04/10/26 04:34:56
>>841
(1)
正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。
△ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。
よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、
a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14)
(2)
正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。
以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。
b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2)
a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2
よって、
(a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x)
(1)より、(a/b)^2=4x^2なので、
(1+2x)^2/(2+2x)=4x^2
8x^3+4x^2-4x-1=0