04/10/23 20:36:30
>>791
どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
(補題)
∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n
(証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略
(命題)
∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
(証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき
確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回
くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。
試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。
(n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。
したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は
E=∑[k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1)
一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり
lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値)
よって全期待値は
E=∑[m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2)
(1)、(2)より∑[k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]