04/10/23 20:05:05
>>805
やってみますた。
f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順)
f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3
f''(x) = sin x - x ± 12x^2
f'''(x) = cos x - 1 ± 24x
f''''(x) = -sin x ± 24
±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0 だから、
x>0のとき±f(x)>0。すなわち、
-x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4
両辺をx^3(>0)で割って、
-x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x
∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1)
題意の弓形の円周角はaだから、
S = (1/2)a - (1/2)sin a
lim[a->+0]S/(a^3)
=(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3)
=1/12 (∵(1))