04/10/10 22:53:25
>>603
受験の解答だとこんなもん？
a<bという仮定は当然あるものとして
まず多項式P,Q,Rについて
Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。
degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は
0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。
よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは
Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。
(1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から
P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより
P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。
よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。
もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら
(3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。
よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。