04/10/02 23:47:00
>>553>>558
∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。
余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。
∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。
ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば
c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。
∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。
b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。
b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので
(b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが
(2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。
よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4)
であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので
これが答え。