04/09/10 22:18:01
>>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。