03/11/20 03:25
さて、瞬殺可能な問題は早めに片づけておこう。
>>4
(1)
x-y座標平面を導入し、半径1の円をx^2+y^2=1と表す。
明らかに正n角形の頂点はx(k)=( cos(2kπ/n) , sin(2kπ/n) )と表される。
二頂点x(i) , x(j)の距離の二乗をd(i,j)とすれば、余弦定理より
d(i,j) = 2 - 2cos( 2π(i-j)/n )が成立する。これより求める二乗和は
Σ[1≦i,j≦n] d(i,j) /2
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n] cos( 2π(i-j)/n )
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n]( cos( 2πi/n )*cos( 2πj/n ) - sin( 2πi/n)sin( 2πj/n) )
= n^2 - Σ[1≦j≦n]( cos( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] cos( 2πi/n ) ) - Σ[1≦j≦n]( sin( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] sin( 2πi/n ) ) --[Eq.1]
と計算出来る。また、虚数単位√(-1)を用いてz = ( cos(2π/n) + √(-1)sin(2π/n)とすれば、
Σ[1≦k≦n] z^k = 0 が成立するため、両辺の実部と虚部を比較して
Σ[1≦k≦n] sin( 2πj/n ) = 0 Σ[1≦k≦n] cos( 2πj/n ) = 0
[Eq.1]にこれを代入すれば、n^2と計算出来る。
(2)
正二十面体は三角形が二十個合わさった形であり、各頂点には５つの三角形が集まっている。
そのため、頂点の総数は3*20/5=12 辺の総数は3*20/2=30と計算される。
また、正二十面体の任意の頂点Aに対し、ある点Bが存在し、ABは外接球の直径をなす。
PをA,B以外の頂点とすれば、AP^2+BP^2=AB^2=4。が成立する。A,Bを固定すればこのような点Pは10個取れるため。
それらの総和は40。点Aを移動させる事により、直径を成す二頂点以外の距離の二乗和を求めれば、40*12/4=120。
直径を成す二点を考えれば、その距離の二乗和は、4*12/2=24となる。
結果、両方をあわせれば、144。