03/12/29 18:24
>>177
問題を定式化すると、
2004 = a_0 + n a_1 + n^2 a_2 + ... n^k a_k のとき
16 = a_0 + a_1 + a_2 + ... a_k となる n を全て求める、ということになる。
上から下を引いて整理すると、
1988 = (n-1) a_1 + (n^2-1) a_2 + ... (n^k-1) a_k
ここで右辺は(n-1)の倍数。一方、左辺を素因数分解すると、
1988 = 2 * 2 * 7 * 71
よってn-1はこれらを組み合わせて作られる整数。
nが二桁という条件から、n-1 = 14, 28, 71 について確かめれば十分。
n=15のとき 2004 = 8 * 15^2 + 13 * 15 + 9 ...不適
n=29のとき 2004 = 2 * 29^2 + 11 * 29 + 3 ...適
n=72のとき 2004 = 27 * 72 + 60 ...不適
よって n=29 。
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2桁の制限を外すと、確かめるべきは
n-1 = 2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988
となる。実際に確かめれば、 n=29,143,285,498,995,1989 のときに成立することが判る。
なんかもっと良い枝刈りがありそうな気もするが、まあいいや。