03/12/19 03:47
>>168
正解。
X(n)の具体的な要素を求めているとき、
本当に他の整数がX(n)の要素でないかを書いてところが試験的にややあやしいが。
一応私の用意した解答↓
相異なるn個の自然数の和で表される最小の数を a[n]=1+2+…+n=n(n+1)/2 とおく。
1≦m＜a[n]の範囲にある自然数mはいずれも相異なる自然数の和で表されない。
m≧a[n]の数がいずれも相異なるn個以上の自然数の和で表される（＊）ことを示す。
a[n]≦m＜a[n+1]をみたす整数a[n], a[n]+1, …, a[n]+nは
1+2+…+n
1+2+…+n+1 = 1+2+…+n+(n+1)-n = 1+2+…+(n-1)+(n+1)
：
1+2+…+n+n = 1+2+…+n+(n+1)-1 = 2+3+…+n+(n+1)
となり相異なるn個の自然数の和で表される。
同様にしてa[n+k]はn+k個の自然数の和で表されることが示される。
よって＊は示された。
さて、相異なるn+k個の自然数の和で表わされた自然数Xを考える。
そのn+k個の自然数をx[1],…,x[n+k]（x[1]＜…＜x[n+k]）とすると
X = x[1]+…+x[n-1]+(x[n]+…+x[n+k])
x[n]+…+x[n+k]を1つの自然数MとしてみるとXはn個の自然数の和で表され、
x[n-1]＜MであるからMはx[1],…,x[n-1]のいずれとも異なる。
したがってXは相異なるn個の自然数の和であ割らされる。
ゆえにf(n)=g(n)=n(n+1)/2-1