03/11/19 01:07
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
2:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:16
/ ／ ／ | ＼ ヽ
/ ／ ／ / / || | i ヽ i
i / / / / / / || || |│ |ﾉｽ
|// / /___, -一ｧ| /! |ﾄ、|│ | | く」
|,-‐￢ ￣---┘'７ |! ﾊ! |,､-┼十|! | | |
, -‐ ''" し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l | ﾊ |
,r／ __ ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ! ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ |
／ ||ヽ -' ／￣ )｀ __ |ヒﾉ:} '` ,ｲ/ | |
,r ' ヾ､ ,-､＿___ , イ￣,r=＝- ==-' ﾚ' /| |
／ ヽ `ーｿ ' | |ﾄ､,ﾍ ′"" "" / / || |
. ／ ＼_ ／ | ﾊ ヽ｀ﾞ'ﾍ ' '__. ィ ／ / | | |
／ / / | ヽ 川＼ ヾ三ﾆ‐'′／/! | | | | 新スレ、乙であります
/ / / 八 ＼川| |`ト- .. __ , イ‐ｧﾍ | | || |!
／ / / / ＼ ＼ 「`ー- ､ ／ .〉 ト､| ヽ、
,イ ／-─＝￢ﾆヘ､_ ＼ 厂＼ 厂ヽ /!| | `ｰ＝ﾍ
-‐ ￣ /─ ' ￣ ├- ヽ＼ ＼ﾉ＼ ＼ 人 ﾊ!ヽ || |-┤ ヽ
/ ／!‐-- | |＼ ﾄ､_｀ヽ oヽ ﾄ､! || |‐┤- ヽ
／/ 〉 __ ／ ├‐- || | 川-‐ | | 厂7! ﾊ! ├:┤ ￣ヽ
／ / ｰ ─ ￣ ├‐- ﾘ || ﾊ!ﾍ | | ト┤|/′ ヾ,┤ ﾞi_
‐ ' 〉‐- | / /＼ .|o | /ヽ/（′ ∨ ＼
‐--─ ─-r､___-､ /ー_ {( '´＞､! /ヽ/ |＼ ＼
3:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:19
さっそく、面白い問題を出してくれ～
4:１３２人目の素数さん
03/11/19 01:49
(1)半径１の円に内接する正n角形（n≧3）がある。
この正n角形の二頂点間距離の二乗和を求めよ。
(2)半径１の球に内接する正20面体がある。
この正20面体の二頂点間距離の二乗和を求めよ。（正20面体は球の中心に関して点対称な立体である）
5:前スレ1
03/11/19 06:04
「京大」って文字を消してんじゃねぇよﾊﾞｶﾔﾛｳーーーーーﾌｶﾞｰｰｰｰｰ
6:１３２人目の素数さん
03/11/19 08:18
東大後期タイプ（？）な問題を考えました。
f_n(x)=sin(nx) とする。
このとき実数x＞０に対し、x_n→x(n→∞)かつ
全ての自然数nに対してf_n(x_n)=－１となる
数列｛x_n｝は存在するか。
存在すればそのx_nを求め、存在しなければそのことを証明せよ。
シンプルだけどかなり難しいと思うんで、チャレンジしてみて！
7:pig
03/11/19 13:38
体積がVの粘土の塊がある。これで直円錐形のやじりを作るときやじりの表面積の最小値を求めろよ
8:１３２人目の素数さん
03/11/19 17:12
>>5
うっかりしてた、超ゴメン。
次スレ立てるときに、前スレのタイトルも含めて訂正しましょう。
9:１３２人目の素数さん
03/11/19 18:06
>7
直円錐の半径をｒ、高さをｈとおくと
V=πr^2h/3
また直円錐を展開した側面の扇形の中心角をθとすると
２πr=θ√(r^2+h^2)
だから表面積S(r)は
S(r)=πr^2+π(r^2+h^2)2θ/2π
=πr^2+2πr√(r^2+h^2)
=πｒ^2+2πr√(r^2+9V^2/π^2r^4)
={πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}/r
S'(r)=[{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}r-{πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}]/r^2
=(2πr^3√(π^2r^6+9V^2)+4π^2r^6-18V^2)/r^2√(π^2r^6+9V^2)
S'(r)の分子=4π^2r^6+2πr^3√(π^2r^6+9V^2)-18V^2
ここで分子が０となるのは
{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}^2=(18V^2-4π^2r^6)^2
ｒについて整理しr^6=tとおくと
π^4t^2-15π^2V^2t+81V^4=0
とｔの二次方程式になるので解くと
t=V^2(15-3√13)/π^2
したがって最小値は
{√(15-3√13)+2√(24-3√13)}{π^2V^4/(15-3√13)}^k
ただし、k=1/6
10:１３２人目の素数さん
03/11/19 19:37
0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。
√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2
11:１３２人目の素数さん
03/11/19 21:58
>>10
昔の京大の問題じゃねーの？
使い回すなよウンコ
12:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:31
スレ違いすぎだな
13:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:32
>>10
荒らしはやめてください。
14:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:32
0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。
√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2
15:１３２人目の素数さん
03/11/19 22:53
単発定理シリーズの次は単発入試予想シリーズだな
16:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:48
良スレ保守
17:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:49
>>6
∃n∈N s.t. sin(nx)=-1
を満たすx∈[0,π]は[0,π]で稠密。
で終わりで( ・∀・)ｲｲ!?
18:１３２人目の素数さん
03/11/20 00:55
>>17
自己レス。
これじゃ駄目ぽだった・・・（゜д゜)鬱死・・・
19:１３２人目の素数さん
03/11/20 01:22
nについてのかなりの飛躍が必要だが>>17であってることはあってるのか。
20:１３２人目の素数さん
03/11/20 01:29
贔屓目にみれば考えの方向はわからないでもないけど
かなりだめぽだと思う
21:１３２人目の素数さん
03/11/20 02:34
>>6
x>0,自然数nに対し,自然数mを
2m/n<=x/π<=(2m+1)/nもしくは
(2m+1)/n<=x/π<=2m/n
となるように取ることが出来る。
この時、x_n=-(π/(2n)+(2m)π/nと定めると
|xn-x|=|(2m)π/n-(π/(2n))-x|<={1+|π/2|}/nより
x_n→x
nx_n=-π/n+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
これじゃ駄目か？
22:１３２人目の素数さん
03/11/20 02:37
おっと
nx_n=-π/2+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
だね。 駄目だなこりゃ。宇津田。
23:１３２人目の素数さん
03/11/20 03:25
さて、瞬殺可能な問題は早めに片づけておこう。
>>4
(1)
x-y座標平面を導入し、半径1の円をx^2+y^2=1と表す。
明らかに正n角形の頂点はx(k)=( cos(2kπ/n) , sin(2kπ/n) )と表される。
二頂点x(i) , x(j)の距離の二乗をd(i,j)とすれば、余弦定理より
d(i,j) = 2 - 2cos( 2π(i-j)/n )が成立する。これより求める二乗和は
Σ[1≦i,j≦n] d(i,j) /2
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n] cos( 2π(i-j)/n )
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n]( cos( 2πi/n )*cos( 2πj/n ) - sin( 2πi/n)sin( 2πj/n) )
= n^2 - Σ[1≦j≦n]( cos( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] cos( 2πi/n ) ) - Σ[1≦j≦n]( sin( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] sin( 2πi/n ) ) --[Eq.1]
と計算出来る。また、虚数単位√(-1)を用いてz = ( cos(2π/n) + √(-1)sin(2π/n)とすれば、
Σ[1≦k≦n] z^k = 0 が成立するため、両辺の実部と虚部を比較して
Σ[1≦k≦n] sin( 2πj/n ) = 0 Σ[1≦k≦n] cos( 2πj/n ) = 0
[Eq.1]にこれを代入すれば、n^2と計算出来る。
(2)
正二十面体は三角形が二十個合わさった形であり、各頂点には５つの三角形が集まっている。
そのため、頂点の総数は3*20/5=12 辺の総数は3*20/2=30と計算される。
また、正二十面体の任意の頂点Aに対し、ある点Bが存在し、ABは外接球の直径をなす。
PをA,B以外の頂点とすれば、AP^2+BP^2=AB^2=4。が成立する。A,Bを固定すればこのような点Pは10個取れるため。
それらの総和は40。点Aを移動させる事により、直径を成す二頂点以外の距離の二乗和を求めれば、40*12/4=120。
直径を成す二点を考えれば、その距離の二乗和は、4*12/2=24となる。
結果、両方をあわせれば、144。
24:１３２人目の素数さん
03/11/20 04:24
>>6
sin(ny)=-1 ⇔ ny=(4m-1)π/2 ⇔ y=(4m-1)π/(2n) ただし、mは整数。
数列、y(m,n)をy(m,n)=(4m-1)π/(2n)で定義すれば、
任意の自然数n、実数xに対して、n,xに依存したある整数m(n,x)が存在し
y(m,n)≦x＜y(m+1,n) --[不等式1]
さらに、y(m+1,n) - y(m,n) = 2π/n が成立するため、
[不等式1]はさらに変形出来て
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n) ≦ x ＜ y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
となる。
xを定数と考えれば、y(m(n,x),n)はnを添え字とする数列と考えられる。
数列y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n)は共に
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
を満たすため、n→∞としたときxに収束する。
このため、このような数列y(m(n,x),n)を考えれば
それは任意の実数xに収束する。
======
不思議な事にあってる気が全くしない。
どこか(or全部)間違ってるはず、訂正希望。
25:１３２人目の素数さん
03/11/20 06:27
0<a<π/4、0<b<π/4、0<c<π/4 かつ (sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1が成立するとき、
cos(a+b+c)の正負を調べよ。
26:１３２人目の素数さん
03/11/20 10:34
>>24
訂正(揚げ足取りでｽﾏｿ)
y(m,n)≦x＜y(m+1,n) --[不等式1]
→y(m(n,x),n)≦x＜y(m(n,x)+1,n) --[不等式1]
個人的には、>>24で正解な気がするけれど。
27:24
03/11/20 15:29
あってるか。。うん、なんかそんな気がしてきた。 昨日は二つ解決と
28:moon
03/11/20 16:59
「一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
29:１３２人目の素数さん
03/11/20 20:00
難問。
m, n(≧5), a_1, a_2, ……, a_m-1, a_mはすべて自然数とする。
<a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m = Σ[1≦k≦m]a_k*k! (1≦k≦m, 0≦a_k≦k, a_m≠0)とおく。
n!を <a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m で表せ。
１ｈかけた自分のを卓越するような解答を、願います。
30:１３２人目の素数さん
03/11/20 20:17
またマルチか
31:１３２人目の素数さん
03/11/20 21:53
東大が好んだ、複数動点が登場する問題。
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）
点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）
点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
32:１３２人目の素数さん
03/11/20 22:23
凸四角形ABCDがある。 AC、BDが対角線を成し、その交点をEとする。
∠CAD=40°∠ACD=80°∠CAB=55°∠ACB=25°であるとき、
∠CEDを求めよ。
33:１３２人目の素数さん
03/11/21 00:37
>>28
プレの問題出すな。
>>29
問題の意図が掴みにくい。ただa_k・k!をそう表しているだけなら、ずらせば済む話だし
34:6
03/11/21 08:01
>>24 ブラボー＆漏れの解答↓。
任意のｘ（>０）及びｎに対し、ある負でない整数ｋが定まって
2πｋ/ｎ≦ｘ< 2π（ｋ＋１）/ｎ
が成立する。すなわち、０≦α＜2π/ｎであるような実数αがあって、
ｘ＝2πｋ/ｎ＋α
とかける。
ｘ_ｎ:＝3π/2ｎ＋2πｋ/ｎ
↓ ↓
（ ０ ｘ ）
と定義してやれば、 ｘ_ｎ→ｘ （ｎ→∞）であり、
かつ全てのｎで f_n(x_n)=－１ である。
この問題のポイントは、ｆ_ｎ（ｘ）が周期関数なので、
どんなｘを取っても幅が2π/ｎのある区間に入るというところ。
ｎを大きくすればそれに応じて幅も小さくなることを上手く使ってやる。
35:6@本物
03/11/21 08:10
成りすましクンが居ますね。
36:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:15
>>21 も正解ではないか？何を凹んでいるのだ？
・・・この問題、結構簡単だったみたいだな。ゴメンよ。
ゼミのテキストのExampleから思いついたのだが、
いまいち底が浅かったかな。
37:6&36
03/11/21 08:24
相手が悪かったな、>>35よ。
この問題はsin(nx)がΓ-収束していることを
checkする例から取ったものなのだ。
よってオマエが成りすまし。
ちなみにΓ-収束に関しては、
Gianni Dal Maso
『An Introduction to Γ-Convergence』を参照。
38:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:35
厨房相手にムキってんじゃねーよダサ坊が
39:１３２人目の素数さん
03/11/21 08:45
>>646
超ワラタ
40:pig
03/11/21 09:16
東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
41:pig
03/11/21 09:20
東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
①与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
②1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
③平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
42:pig
03/11/21 09:21
>>40,>>41誤爆ｽﾏｿ!
43:１３２人目の素数さん
03/11/21 22:24
むしろ京大の論文っぽい問題だけど・・・（ｽﾏｿ
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
44:１３２人目の素数さん
03/11/21 22:26
出してばっかじゃつまらんから解けよお前ら
45:１３２人目の素数さん
03/11/22 00:27
解答専用の別スレがあれば解くかもしれないけどな。遠慮しておくよ。
46:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:05
じゃはりきって解こうぜ！
47:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:19
とりあえず>>40と>>43にでもとりかかってみるか
48:１３２人目の素数さん
03/11/22 06:35
俺は上から順番に・・・
>>10と>>25が残ってる。
49:１３２人目の素数さん(10)(25)
03/11/22 21:45
>>48
両方、俺の出題ｗ
>>10は京大の過去問とは知らずに出してしまいスマソ。
三角関数関連の問題を作成しているところ、思いついた問題のうちの一つだったから
それと>>10は何年くらいの京大の過去問か情報キボンヌ。
50:１３２人目の素数さん
03/11/23 00:54
>>49
９１年・京大前期。
このスレに出入りするんなら、東大・京大の過去問くらいチェックしとけ。
ちなみに左側の不等式は難問と評判だな。
51:１３２人目の素数さん
03/11/23 01:24
受験って凸不等式つかえないんだっけ？つかえるなら>>10は一撃だけど
だめなんだろうなやっぱ。まあ２変数だったら凸不等式自体その場で凸不等式証明すれば
問題ないんだろうけど。
52:１３２人目の素数さん(10)(25)
03/11/23 01:30
>>50
情報サンクス。問題演習量の少なさを痛感ｗ
左側の方は難問か？標準的だと思うのだが・・・
a+bを固定して解く、加法定理で半ごり押し、エレガントに対数、等いろいろ解法を出せるから面白いと思うけどね。
>>51
証明さえすれば、オッケーだとは思うが。
53:１３２人目の素数さん
03/11/23 02:35
★センター試験の数学の得点の７割は「１××」 センター試験、数学の得点に偏り
・大学入試センター試験の数学の得点では、得点の数字の最上位が「１」の
場合が圧倒的に多い―東京理科大の芳沢光雄教授（数学）、大学院生の
穂積悠樹さんらが過去の得点分布を調べてわかった。３けたの得点では、
６割以上は百の位が１だった。自己採点を間違えた人でも頭を１にすれば
正しい得点になる率は上がる。芳沢さんは、青天井配点のようなどんぶり
勘定方式を採用するなど改善すべきだという。
穂積さんは、昨年までの１３年間にわたるセンター試験の「数学１・Ａ」と
「数学２・Ｂ」について、本試験と追試験の全得点分布を調べた。
企業会計や人口、住所番地などの数字の最上位は「１」に偏り、２～９と
ふえるほど出現率が減る。３０年代に米物理学者がこの傾向を見つけ、
「ベンフォードの法則」と名付けられた。法則では「３割程度が１に偏る」が、
数学の得点はそれよりも偏りが激し過ぎる。
センター試験では、頭が1の得点が多くなりすぎないように、満点を
200点にするなどの工夫をしている。それが裏目に出たと芳沢さんはみる。
センター試験に限らず、大学入試全般で120点満点や150点満点などの
頭が1になりやすい方式が多くなっている。芳沢さんは「集計が楽だから
と安易な方式に頼らず、512点満点など、受験生の本当の力をみる努力
をすべきだ」と話す。
54:１３２人目の素数さん
03/11/23 03:12
>>53
コピペにマジレスすまんのだが、
それのどこが得点の偏りになっているのか誰か説明してくれ。
55:１３２人目の素数さん
03/11/23 14:23
>>43
「妥当」っていうのは、期待値的に、確率的にってことだよね。
むずいなぁ・・・
56:１３２人目の素数さん
03/11/23 16:12
>>40やってる人いる？
57:１３２人目の素数さん
03/11/23 16:39
43は妥当の意味のとり方によって答えは変わるよなぁ。
いや、変わらないかもしれないけど。
計算の仕方は大体分かるけど、面倒そう。
58:１３２人目の素数さん
03/11/24 04:54
age
59:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:36
それで>>29 >>31の結論 つきました？
60:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:52
正方形の各点ABCDがあり、AからCに引いた直線とBからDに引いた直線の交点をEとします。
その交点Eを通る直線を辺DC上から引いたとし、その辺DC上との交点をFとします。
ただし、このときの∠CFEは40°以下であること。
この直線FEの延長上にある点Gを、AF＝EGとなる位置におきます。
この△AGE上をA君が歩くと3分40秒かかるそうです。
しかしA君の靴紐は1分間に一度必ずほどけてしまい、その度に20秒間のロスがあります。
その条件でA君の速さを50分間測定し、その平均をだすと時速2200Mとなりました。
同じように△FEC上をB君が歩くと2分30秒かかりました。
B君の歩く速さは常に一定で、時速0，00000000000000003光年となります。
ただし、1光年は9兆5千億kmと考えます。
このとき、A君の好きな人は誰でしょう？
61:１３２人目の素数さん
03/11/24 16:59
>>60
この話は本当ですか？
ペトロナスタワー
URLﾘﾝｸ(www.kajima.co.jp)
まず左のタワーをハザマが建てた。
それをパクりながら三星が右のタワーを建てたが傾いた。
62:１３２人目の素数さん
03/11/24 17:10
>>60
>>60
63:１３２人目の素数さん
03/11/24 17:30
>>60>>62
おまいらなかなかやるな。
64:１３２人目の素数さん
03/11/25 16:30
<<60
三行目ですでにダメなわけだがな。
65:１３２人目の素数さん
03/11/28 17:57
>>64
出だしですでにダメなわけだがな。
66:１３２人目の素数さん
03/12/03 22:34
放物線y=x^2 をCとおく。いま、y>x^2を満たす領域にある点P(p,q)が
次の条件を満たすとき、p,qの満たすべき必要十分条件を求めよ。
(条件) Pを通るCの任意の弦を直径とする円が
常にある定点を通る。
67:１３２人目の素数さん
03/12/03 22:43
>>66
昔、だいすうの学コンで、似たようなのが出てた気がする。
68:１３２番目の素数さん
03/12/05 00:03
>>66
q=p^2 +1
69:１３２番目の素数さん
03/12/05 13:44
フィボナッチ数列A_n+2=A_n+1 + A_n（n=1,2,3・・・）において、
13の倍数をとる項はnが7の倍数のもののみであり、nが7の倍数の項は全て13の倍数であることを証明せよ。
D＊＊＊＊
70:１３２人目の素数さん
03/12/05 15:38
>>69
A_1=A_2=1が抜けてるがまあいいとしよう。
とりあえず簡単だろ。C***くらいじゃね？ 以下解答。
数列A_nを13で割った余りをR_nとする。すると数列{R_n}は以下のように循環数列になる。
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,
1,1,2,3,…
1行目の28個の項において第7項、第14項、第21項、第28項はいずれも0であるから。
第7n項（n=1,2,…）はいずれも0である。すなわちR_7n=0であるからA_7nは13の倍数。
また、それ以外の項はR_nが0でないから13の倍数でない。
これが13じゃなくて37とかだったら書き出す気も失せるが、
高々169項での循環ならこっちの方が早いかと。
そういえば、このようにひたすら1の位だけを計算させる試験みたいのがあったな。
71:３流大学さん
03/12/05 15:58
計算方法の基本である、カッコ内を優先して行わなければならない理由を、例に挙げて計算し、矛盾を示したうえで説明せよ。
72:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:07
>>71
おまいは何を考えているのかと小一時間（ry
73:１３２番目の素数さん
03/12/05 16:24
あぁ・・・最初の２項について書き忘れていた・・・
>>70
正解。ただ試験中ここまで実験しきれる受験生はそこまで多くないだろうということでＤ。
また、小問二つに分けて、（１）でA_n+2=(A_k+3)・(A_n-k)+(A_k+2)・(A_n-k-1)を示させる問題にして（２）を>>69にしてはどうだろう。
まぁ、受験生を攪乱しているのか！と言われそうだが
74:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:25
馬鹿か
75:１３２番目の素数さん
03/12/05 16:26
>>66
エクストラ数学にあったな、それ。
円をベクトル表示して解いていくって作業が特徴的だが、そこまで難しくない。
76:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:43
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の解が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）
と書けることを示せ。
77:１３２人目の素数さん
03/12/05 16:57
>>76
「f(x)=0の根が全て有理数ならば」にしとく
78:１３２人目の素数さん
03/12/05 19:10
代数学の基本定理と、ガウスの定理ですか。
難しくないですか？
79:１３２人目の素数さん
03/12/05 19:14
>>71
なるほどね、簡単だが気づかない奴には気づかないかもな。
ようするに、虚数の問題だな。
80:１３２人目の素数さん
03/12/05 21:57
>>75
エクストラ数学って何？
81:１３２人目の素数さん
03/12/05 22:22
>>79
ﾌﾟﾌﾟｯﾌﾟﾌﾟｸﾌﾟﾌﾟ
82:１３２人目の素数さん
03/12/06 10:22
1=√1 … (1)
=√(-1×-1) … (2)
=√(-1)×√(-1) … (3)
=i×i … (4)
=-1 … (5)
このような矛盾が起きるため、(2)から(3)に移るところカッコ内の計算を先にしなければならない。
よって、題意なり。
83:１３２人目の素数さん
03/12/06 12:53
括弧内の計算と言うよりも、
√ab = √a√b は高校まででは、a, b > 0 のときしか
成り立たない公式であると言うことが、いろいろとアレだと思う。
84:１３２人目の素数さん
03/12/06 15:40
本質的に非結合的な二項代数の例を挙げれば十分だしょ。
実数a,bに対し実数a§bをab-1かなんかで定義。この時
a§(b§c)≠(a§b)§c
例a=1,b=2,c=3
1§(2§3)=1§5=4
(1§2)§3=1§3=2
()内を先に計算すると約束してある。約束どおり計算しなければ結果が異なって
しまう。
85:１３２番目の素数さん
03/12/06 20:10
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
86:１３２人目の素数さん
03/12/07 01:23
2/3＜sin2であることを証明せよ。
87:１３２人目の素数さん
03/12/07 06:16
数値近似系は飽きた。
もっと違うの出すれよ
88:１３２人目の素数さん
03/12/07 07:00
>>87
まぁ待て、出題したからにはエレガントな解答があるに違いないッ！
この前の tan2005°では、凸不等式をさりげなく使ってたしなぁ…
>>86
模範解答をキボンにゅ！
89:１３２人目の素数さん
03/12/07 07:44
ｒ;;;;;ノヾ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾋ‐=r=;' ∬ ／
'ヽ ▽/ っ━~~ ＜ 見せてもらおうか>>86、エレガントな解答とやらを・・・
＿と~,, ~,,,ﾉ_. ∀ ＼
ﾐ,,,,/~), │ ┷┳━ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
90:１３２人目の素数さん
03/12/07 11:20
ﾁﾝ ☆ ﾁﾝ ☆
ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾁﾝ ♪
♪
♪ ☆ﾁﾝ .☆ ｼﾞｬｰﾝ！ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
☆ ﾁﾝ 〃 ∧＿∧ ヽ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（・∀・ #） ／＼＿／ ＜ >>86の解答 まだー？
ﾁﾝ ＼＿／⊂ つ ∥ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣￣／| ∥ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
| ￣ ￣￣￣￣￣￣:| :| ／|＼
| |／
91:１３２人目の素数さん
03/12/07 11:21
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
从 `ヾ/゛／' "＼' /". | |
〝 ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜ まだぁー？ |
. '=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡ |＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿＿ ＿|
... 《゛=!|l|》ﾘl⌒! Ｉ⌒I I⌒I I⌒I从=≡|l≫,
《 l|!|!l!((つT(つ) ((つT(つ)) !|l!|l;》;
《 l|!|￣|￣γ ⌒ ヽ γ ⌒ ヽ三ll≡|l》;
.. 《l|!| | （（TAMA））（（TAMA））||l|||l 》;
〝 ≡丿-へ/人 ＿ 人 人 ＿ 人//へヾ
ﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞ
92:１３２人目の素数さん
03/12/07 15:10
>>88
エレガントな解答がなくてスマン。
sinx＜x（0≦x≦1）より両辺2乗して整理すると1-x^2＜(cosx)^2=(1+cos2x)/2
∴1-2x^2＜cos2x ∴∫[0,1](1-2x^2)dx＜∫[0,1]cos2xdx ∴2/3＜sin2
93:１３２人目の素数さん
03/12/07 15:11
sinx≦xだった。すまん。最後の積分の前まで＜→≦でよろ。
94:１３２人目の素数さん
03/12/07 16:02
>>86
=sin(2*180/3.14)=sin(114.64)=sin(65.35)>sin(60)=3^.5/2=.866
>2/3=.666
95:１３２人目の素数さん
03/12/07 16:20
「１＋１」がなぜ「２」となるのかを記述しなさい。
96:１３２人目の素数さん
03/12/07 17:59
>>95
定義の意味わかってないだろ。だってそれは定理じゃないっしょ。
97:１３２人目の素数さん
03/12/07 18:39
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
98:１３２人目の素数さん
03/12/08 04:18
>>25の模範解答まだー？
99:25
03/12/08 17:17
もう流されたかと思っていたよ（汗
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・
－解法例１－
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１）
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ）
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2
∴cos(a+b+c)<0 である。
－解法例２－
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１）
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２）
また、（２）の右辺を整理すると、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c)
=3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b))
=1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b))
=1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※）
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１
よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2
従って、cos(a+b+c)<0 である。
こんな感じ。
100:１３２人目の素数さん
03/12/08 21:52
>>97
URLﾘﾝｸ(www.combinatorics.org)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
101:１３２人目の素数さん
03/12/08 22:28
>>100
ちがうよ。>>97は回転しておなじになるやつを同一視するとはひとこともかいてないでしょ？
102:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:03
>>97
k^(n-2k-1)
103:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:04
>>102
不正解
104:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:07
>>101
K^(n-2k)
105:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:07
>>104
不正解
106:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:12
すくなくともn>6個の円状の座席のなかからとなりあわない３席をえらぶくみあわせは
(1)条件がなければ(1/6)n(n-1)(n-2)
(2)うち一組がとなりあうくみあわせの数はn(n-4)
(3)うち２組がとなりあうくみあわせの数はn
∴その数は(1/6)n(n-1)(n-2)-n(n-4)-n=(1/6)n(n-4)(n-5)
k=3のときこれに一致しないのは正解ではない。
107:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:23
>>106
7*3*2/6=7
ababab^2=1
?
108:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:27
n=7のときは
○×○×○××
○×○××○×
○××○×○×
××○×○×○
×○××○×○
×○×○××○
×○×○×○×
の７通り。
109:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:33
>>106
nk^(n-2k-1)
110:１３２人目の素数さん
03/12/09 00:41
>>109
ちがう。k=3のとき(1/6)n(n-4)(n-5)にならんといかんっちゅうに。
111:１３２人目の素数さん
03/12/11 05:23
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
112:１１１
03/12/11 05:23
ｎは３以上の整数、kは自然数とします。
113:１３２人目の素数さん
03/12/11 10:06
>>111
ドモアブルと二項定理を用いてゴリゴリやる。
某スレでイヤというほどやったテク。
超既出。
114:１３２人目の素数さん
03/12/11 13:58
>>113
具体的にはどうするん？
115:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:03
某スレを隅々まで読んで考えろ！
116:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:08
ちなみに某スレはこちら
ｽﾚﾘﾝｸ(avideo板)
117:１３２人目の素数さん
03/12/11 14:16
>>116
ありがとう・・・
(ノ｀m´)ノ ~┻━┻ (/o＼) お父さんやめてー
118:１３２人目の素数さん
03/12/11 20:56
実数a,b,cはある自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
119:１３２人目の素数さん
03/12/12 17:54
>>118
１しか解けませんでした！
120:１３２人目の素数さん
03/12/13 18:04
age
121:１３２人目の素数さん
03/12/13 18:29
>>118
(1)
2式よりa=0⇒b=c
2式よりb=0⇒a=c
2式よりc=0,k≡0mod2⇒a=b=0
1式よりc=0,k≡1mod2⇒a=b=0
abc=0⇒a=0,b=c , b=0,a=c
ゆえに
122:１３２人目の素数さん
03/12/13 21:59
>2式よりa=0⇒b=c
>2式よりb=0⇒a=c
嘘だ。やはりkの奇遇で場合わけが必要。
（2）は？
123:１３２人目の素数さん
03/12/14 00:33
q
124:118
03/12/14 23:36
>>118の訂正。
（条件追加）ただし、0^0は0または1いずれかの好きなほうを選択して解答せよ。
（問題訂正）
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
↓
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(-ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
125:118
03/12/14 23:41
すいません。やっぱり
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
にしてください。>>124を変形しただけですが。
126:１３２人目の素数さん
03/12/15 00:20
>>125
>>118の設問なら0^0=1と考えるのが自然っぽいけど(∵実数^整数の形なので)
いづれにしても微妙だから受験問題のつもりならどちらかキチンと指定しておくか
k≧2にしておく方が試験問題としては安全だと思う。
127:118
03/12/15 00:59
>>126
確かに曖昧すぎたかもしれなかったですね。
k≧2の方が混乱が少なくていいのかな。
そんなわけで以下>>118の訂正版（+α）。
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
128:１３２人目の素数さん
03/12/15 18:13
a_1 = p, a_n+1 = a_n(a_n - 2)となる数列{a_n}の一般項を求めよ。
129:１３２人目の素数さん
03/12/17 02:41
>>128
回答例ヨロシクネ。
130:１３２人目の素数さん
03/12/17 14:16
a_n=2cos(t_n)+1
131:１３２人目の素数さん
03/12/17 20:02
>>129
誰か解いてくれてもなぁ。（この板の住人にとっては簡単だろうに
－略解－
（与式）より(a_n)-1=(b_n)+(1/b_n)とすると、(b_n+1)+1/(b_n+1)=(b_n)^2+(1/b_n)^2
よってp=(b_1)+1/(b_1)の解をα、βとすると、帰納的にa_nは下のように書け、一般項は求められた。
a_n=1+{α^(2^n-1)}+{β^(2^n-1)}（但し、α、βはb_1≠0より、二次方程式(b_1)^2-p(b_1)+1=0の解）
α、βは長くなるので、説明だけにしています。
132:１３２人目の素数さん
03/12/18 12:26
二次の正方行列A=|0 -1 |（自然数p,qは互いに素）が存在する。
|1 2cos(qπ/p)|
A^n=Aとなる２以上の自然数nを求めよ。
133:１３２
03/12/18 12:33
a_11=0、a_12=-1、a_21=1、a_22=2cos(qπ/p)ね。
134:１３２人目の素数さん
03/12/18 13:15
p=1のとき解なし。
p≠1かつqが奇数のとき2mp+1（mは任意の自然数）
p≠1かつqが偶数のときmp+1（mは任意の自然数）
135:１３２
03/12/18 13:45
>134
正解
136:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:15
0以上1以下の数１つを実数を生み出す乱数発生装置がある。
この乱数発生装置は故障していて，ある数が生み出される確率は，
その数の大きさに比例するという。
このとき，この乱数発生装置によって生み出される数の期待値を求めよ。
･･･微妙か？日本語変だったら直してくれ。
137:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:52
2/3
138:１３２人目の素数さん
03/12/18 14:59
やるじゃん。
139:１３２人目の素数さん
03/12/18 20:42
誰かスレの最初の方のかたずいていない問題解いてくれー
（ってか出題者、解答だせ）
140:１３２人目の素数さん
03/12/18 20:46
>>139
ドレが解かれてないか調べるのが面倒だ。挙げてくれ。
141:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:39
>>139
（誤）かたずいていない
（正）かたづいていない
早く日本語覚えてね。在の方
142:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:46
>>97まだだよ。
143:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:49
>>136
真面目に考えると面倒だけど、答えだけなら三角形の重心を考えれば瞬殺
144:１３２人目の素数さん
03/12/18 21:55
>>143
同感
てか問題見た時にそっちにイメージがいってしまった。
145:未解決問題
03/12/18 22:02
■■１■■
一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
■■２■■
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
146:未解決問題
03/12/18 22:04
■■３■■
（１）与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
（２）1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。
折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
（３）平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。
点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
■■４■■
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
147:未解決問題
03/12/18 22:04
■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。
■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
148:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:10
147の６番って隣り合う面だと思われ。
（面と面の組み合わせ何通りもあるし
149:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:40
>>143
そう？
x が出る確率を p(x) = ax とする。∫[0,1] p(x) dx = 1 より、 a = 2
従って期待値は ∫[0,1] x p(x) dx = 2/3.
150:１３２人目の素数さん
03/12/18 22:56
>>149
それだと、（漏れは）10秒くらい掛かるから瞬殺とは言えない
151:１３２人目の素数さん
03/12/18 23:44
有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
152:151
03/12/18 23:47
（２）に以下の文を追加します。
「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
153:151
03/12/18 23:48
k≦nです。申し訳ありません。
154:１３２人目の素数さん
03/12/18 23:52
>>151
x=0.1378463123123123123123123123123123･･･
とかだとL(x)=3にするの？
155: ◆MC1Z7pcz5k
03/12/19 00:28
>>147
■■８■■ について
この問題はいろいろな解法があると思いますが, 1990 年 東京工業大学後期 に出題されています。
まずは, そこから確認してみてください。
156:151
03/12/19 00:41
>>154
失礼しました。純循環小数についての問題と見て下さい。
混循環小数も混ぜるとあり得なくなるね・・・
157:１３２人目の素数さん
03/12/19 00:46
>>156
じゃこれは何？
＞152 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:47
＞（２）に以下の文を追加します。
＞「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
＞153 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:48
＞k≦nです。申し訳ありません。
L(m)とかL(k)ってm=m.0000000000000000000･･･もk=k.00000000000000000000･･･も混循環小数とかいうやつになるじゃん。
158:127
03/12/19 00:49
>>147
単純に場合分けするだけなのですが、これだけのことを時間内に処理しきれるかは
文字計算（特に正負入り混じったもの）に慣れていることが重要かと。
かなり点数に差が出るのではと思います。
（1）
[ I ] a=0のとき、kが奇数ならば第二式よりb=cとなりa+b=cをみたしている。
kが偶数のとき第二式よりb=±c。b=cはa+b=cをみたしている。
b=-cとすると第一式、第三式より
b^(k-1)≦-b^(k-1), b^(k+1)≧-b^(k+1) （∵k-1は奇数）
ゆえにb=0。したがってc=0。これはa+b=cをみたしている。
[ II ] b=0のとき、[ I ]と同様。
[ III ] c=0のとき、kが奇数ならば第二式よりa=-b。これを第一式に代入して
2b^(k-1)≦0 （∵k-1は偶数）
ゆえにb=0。したがってa=0。これはa+b=cをみたしている。
kが偶数のときは第二式よりa=b=0となり、やはりa+b=cをみたす。
159:127
03/12/19 00:49
（2）
[ I ] c＞0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、第二式より0＜a＜cかつ0＜b＜cである。
第二式の両辺にcをかけて
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＞(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
これは第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式より0＜c＜-bである。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は偶数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第一式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜cかつ0＜-b＜cである。このとき
a^(k+1)+b^(k+1)＜a^(k+1)＜c^(k+1) （∵k+1は奇数だからb^(k+1)＜0）
となり第三式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
( iv ) a＜0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第一式に矛盾。
[ II ] c＜0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式よりb＜c＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k+1は奇数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第三式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜-cかつc＜b＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は奇数だから0＞b^(k-1)＞c^(k-1)）
となり第一式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
以上よりa＜0かつb＜0かつc＜0が必要。
160:127
03/12/19 00:50
（3）
逆にa＜0かつb＜0かつc＜0のとき、kが奇数ならば第二式に矛盾。したがってkが偶数であることが必要。
a＜0かつb＜0かつc＜0でkが偶数のとき、第二式をみたす(a,b,c)の組は無数に存在するが、
その(a,b,c)の組すべてに対して第二式よりc＜a＜0かつc＜b＜0が成り立ち、
c^(k-1)=(a^k)c^(-1)+(b^k)c^(-1)＞(a^k)a^(-1)+(b^k)b^(-1)=a^(k-1)+b^(k-1)
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＜(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
より第一式、第三式も成り立っている。
補足
（1）～（3）より第一式～第三式をみたす(a,b,c,k)の組は
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
（tは任意の実数、u,vは互いに独立な任意の正の数、mは任意の自然数）
とかける。
161:127
03/12/19 00:53
間違えた。
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,-{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
~~
162:151
03/12/19 01:04
>>157
問題を訂正し直します。（急いじゃいかんね
循環節の始まりが小数第１位である有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数、）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
ただし、確率P(k)は、L(x)が高々n個になるもの中からL(x)=kとなるものを選び確率であると定義する。
163:１３２人目の素数さん
03/12/19 01:31
>>162
＞（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
これはメビウス関数使ってよしですか？
164:１３２人目の素数さん
03/12/19 02:26
>>162
悪問。
せめて（１）では具体的な数についての考察にすべき。
165:１３２人目の素数さん
03/12/19 02:53
>>162
(1)はｎ＝６かｎ＝８あたりを求めさせるのがいいんじゃない？
最高でもｎ＝１２くらいでどうよ
166:１３２人目の素数さん
03/12/19 02:53
nは2以上の整数とする。相異なるn個以上の自然数の和で
表されない自然数の個数をf(n)とする。
（1）f(2),f(3)を求めよ。
（2）f(n)を求めよ。
（3）相異なるn個の自然数の和で表されない自然数の個数g(n)を求めよ。
167:１３２人目の素数さん
03/12/19 03:02
>>166はいい問題のような気がするが
みたことあるような気もする
168:１３２人目の素数さん
03/12/19 03:16
>>166
できた。
X(n)={m|mは相異なるn個の自然数の和で表されない自然数}とおく。
X(2)={1,2}
X(3)={1,2,3,45}
X(4)={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
･･･
X(n)={m|1≦m＜(1/2)n(n+1)}･･･(※)と推定できる。これを帰納法で示す。
(I)n=2のとき 明らか
(II)n=kで成立するとする。mを(1/2)(k+1)(k+2)以上の自然数とする。m-(k+1)≧(1/2)k(k+1)であるので
仮定よりあいことなるk個の自然数x1,x2,･･･xkでm-(k+1)=∑xiとなるものがとれる。
このときm=1+∑(xi+1)で、1,x1+1,･･･xk+1は相異なるk+1個の自然数であるからmはX(k+1)にはいらない。
1≦m＜(1/2)(k+1)(k+2)であるmはあきらかにX(k+1)にはいるゆえ(※)はk+1でも成立。
∴(I)(II)より(※)はすべての自然数で成立。
∴f(n)=g(n)=(1/2)n(n+1)-1
169:１３２人目の素数さん
03/12/19 03:47
>>168
正解。
X(n)の具体的な要素を求めているとき、
本当に他の整数がX(n)の要素でないかを書いてところが試験的にややあやしいが。
一応私の用意した解答↓
相異なるn個の自然数の和で表される最小の数を a[n]=1+2+…+n=n(n+1)/2 とおく。
1≦m＜a[n]の範囲にある自然数mはいずれも相異なる自然数の和で表されない。
m≧a[n]の数がいずれも相異なるn個以上の自然数の和で表される（＊）ことを示す。
a[n]≦m＜a[n+1]をみたす整数a[n], a[n]+1, …, a[n]+nは
1+2+…+n
1+2+…+n+1 = 1+2+…+n+(n+1)-n = 1+2+…+(n-1)+(n+1)
：
1+2+…+n+n = 1+2+…+n+(n+1)-1 = 2+3+…+n+(n+1)
となり相異なるn個の自然数の和で表される。
同様にしてa[n+k]はn+k個の自然数の和で表されることが示される。
よって＊は示された。
さて、相異なるn+k個の自然数の和で表わされた自然数Xを考える。
そのn+k個の自然数をx[1],…,x[n+k]（x[1]＜…＜x[n+k]）とすると
X = x[1]+…+x[n-1]+(x[n]+…+x[n+k])
x[n]+…+x[n+k]を1つの自然数MとしてみるとXはn個の自然数の和で表され、
x[n-1]＜MであるからMはx[1],…,x[n-1]のいずれとも異なる。
したがってXは相異なるn個の自然数の和であ割らされる。
ゆえにf(n)=g(n)=n(n+1)/2-1
170:１３２人目の素数さん
03/12/19 03:57
別解（>>169とたいした違いはない。が、こっちの方がはるかに説明が簡単だった。）
m=1+2+…+(n-1)+{m-(n-1)n/2}であるから
m-(n-1)n/2≧nである自然数mのすべてについて
mは相異なるn個の自然数の和で表わされ、
これ未満のものは表わされない。
したがって1から(n-1)n/2+n-1までのn(n+1)/2-1個の
自然数は相異なるn個の自然数の和で表されない。
171:１３２人目の素数さん
03/12/19 09:07
どうでもいいかもしれないがn(n+1)/2-1=(n-1)(n+2)/2ですな。
172:１３２人目の素数さん
03/12/19 10:29
勝手に改題するのもどうかと思うが、>>162の（１）は
n=Π[1,m]a_lってしたらどうよ。あり得なくなるか・・・？
173:１３２人目の素数さん
03/12/20 00:41
>>136
やっぱり、問題文が微妙だと思う
その装置を使って一つ数をゲットしたとき
1をゲットする確率 = 0
0をゲットする確率 = 0
一方、
>ある数が生み出される確率は，その数の大きさに比例するという
ので、比例係数 = 0 …
174:１３２人目の素数さん
03/12/21 09:47
>>173
その理論だと、任意の数をゲットする確率が0になるから、この乱数発生器からは
何一つ数を得ることが出来なくなってしまうよ。
[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
P(Ω) = 1 から決定される。
とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。
175:１３２人目の素数さん
03/12/21 22:12
一辺の長さ１の正三角形と一辺の長さ１で固定された正六角形がある。
この正三角形の二頂点は正六角形の頂点、又は辺を共有している。
この時、残りの一頂点が描く図形を答えよ。
（但し、答える際は、その図形と正六角形の位置関係、及びその図形の式も適当に座標をおき、答えよ）
176:１３２人目の素数さん
03/12/21 22:27
(1)y=x^x、y=x^(x^x) (x>0) の増減を調べ、グラフを描け。
(2)y=x^(x^(x^…^x))…) （n回） (x>0) は極値を何個持つか。
177:１３２人目の素数さん
03/12/22 22:06
第1問の484＆646です。
いつの間にやら、第3問までできていたとは。
久々に問題を出します。
整数なので（というか僕の出すのは整数ばっかり）、
高校生には難しく感じる人もいると思いますが、
ここにいる人には簡単かも。
nを２桁の整数とする。
2004(10進法)をn進法で表して、各位の和を計算し、
10進法で表したところ、16となった。
nとして正しいものをすべて求めなさい。
2桁の整数、という条件を外すと、ちょっと面倒になるので、
高校生の入試として30分ではきつくなるかもしれませんね
（もっとも、問題自体は難しくならず、手間がかかるだけ）。
こういった問題を出すとき、もしかして勘違いがないかな、
ってドキドキしますね。
178:松井 ◆...VBh.www
03/12/22 22:12
皆さんはじめまして
突然ですがYAHOOのトップにチャットという項目があるのはご存知ですよね？
そちらのチャットのカテゴリの中に「政治」があります
その政治カテゴリのユーザールームに「創価学会YAHOO支部」という部屋があります
そこの部屋に遊びもきてください
ボイスチャットもフル稼働です
みなさんの中にも創価学会に対するご自分の意見をどんどん言ってください
その宣伝でした
尚、人数制限がありますので（５０人）すぐに満室になって入れなくなるので
今これを読みまして興味を持たれた方はおはやめのご入室をお勧めします
179:１３２人目の素数さん
03/12/22 22:27
なんといいますか、「萌える英単語」に代表されるように「萌え」の力は大きいです。
この先は学習する生徒の側だけじゃなく、教える側
ひいては入試問題を出す側（東大含む）も、萌えを考慮していかなきゃいけないんじゃないでしょうか。
数学ならまず１変数の場合から新たな要素を吟味していくのが適切でしょう。
ｽﾚﾘﾝｸ(campus板)l50
180:１３２人目の素数さん
03/12/24 22:53
>>174
>[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
>確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
>P(Ω) = 1 から決定される。
>とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
>しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。
漏れもその方法で考えたけどな。あと、連続確立は範囲外だけど2001年の東大後期で出題されてたよ。
181:１３２人目の素数さん
03/12/24 22:56
>>180
×確立
○確率
欝だ氏脳・・・
182:１３２人目の素数さん
03/12/24 23:30
でも、ちゃんと断り書きが添えてあったね。
183:１３２人目の素数さん
03/12/25 00:30
つか、確率と確率密度をごちゃ混ぜにしたような問題が粗悪なだけで、
連続確率が範囲外かどうかなんかはまた別の話
184:１３２人目の素数さん
03/12/28 02:07
この前類題っぽいのでてたけど、まだこっちの方が計算多いかな？
単位円に内接する正ｎ角形の二頂点間距離の和を求めよ。
ただしｎは３以上の自然数とする。
185: ◆BhMath2chk
03/12/28 05:00
>>97
ｎ（ｎ－ｋ－１）！／ｋ！（ｎ－２ｋ）！。
186:１３２人目の素数さん
03/12/28 21:58
>>184 n cot(π/(2n))
187:１３２人目の素数さん
03/12/29 14:57
>>186
正解。
Ｂ＊＊＊ぐらいかな。今回のは
a_1=α（αは正の無理数） a_n+1=[Σ[1,n](a_k)/k] 数列a_nは増加数列とする。
（１）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^2は発散することを証明せよ。
（２）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^3は収束することを証明せよ。
（３）(a_n)/nの取りする値の範囲を求めよ。
188:１３２人目の素数さん
03/12/29 15:29
ｎ>1で増加数列・・・すまそ
189:１３２人目の素数さん
03/12/29 18:24
>>177
問題を定式化すると、
2004 = a_0 + n a_1 + n^2 a_2 + ... n^k a_k のとき
16 = a_0 + a_1 + a_2 + ... a_k となる n を全て求める、ということになる。
上から下を引いて整理すると、
1988 = (n-1) a_1 + (n^2-1) a_2 + ... (n^k-1) a_k
ここで右辺は(n-1)の倍数。一方、左辺を素因数分解すると、
1988 = 2 * 2 * 7 * 71
よってn-1はこれらを組み合わせて作られる整数。
nが二桁という条件から、n-1 = 14, 28, 71 について確かめれば十分。
n=15のとき 2004 = 8 * 15^2 + 13 * 15 + 9 ...不適
n=29のとき 2004 = 2 * 29^2 + 11 * 29 + 3 ...適
n=72のとき 2004 = 27 * 72 + 60 ...不適
よって n=29 。
---
2桁の制限を外すと、確かめるべきは
n-1 = 2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988
となる。実際に確かめれば、 n=29,143,285,498,995,1989 のときに成立することが判る。
なんかもっと良い枝刈りがありそうな気もするが、まあいいや。
190:１３２人目の素数さん
03/12/29 18:57
>>185
正解。
191:１３２人目の素数さん
03/12/30 21:18
３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)をとった。
この時、点A,B,Cが三角形を成すならば、α、βを焦点とし△ABCの各辺の中点を通る楕円が存在することを証明せよ。
192:１３２人目の素数さん
03/12/30 23:44
>>191
3点で円が定まるからそんな楕円はいくらでも存在する。
おそらく各辺の中点で接する楕円といいたいんだろうが、
誘導がないと知識で差が付くため悪問。
193:１３２人目の素数さん
03/12/30 23:45
>>192は問題を読んでなかった。
α、βを焦点とするという条件があるのか。
まあどっちにしろ悪問。
194:１３２人目の素数さん
03/12/31 00:30
早とちり。
195:１３２人目の素数さん
03/12/31 03:32
こんな風に変えてみた。
３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)、D(α)、E(β)をとった。
以下の問いに答えよ。ただし点A,B,Cは三角形を成しているモノとする。
（１）点D,Eが△ABCの内部にあることを証明せよ。
（２）線分DEの中点と、△ABCの重心が一致することを証明せよ。
（３）辺ABの中点をMとした。
(i）角AME=角BMDであることを証明せよ。
(ii)DM+MEをz_1、z_2、z_3及びα、βで表し、定数であることを示せ。
（４）以上のことから△ABCの各辺の中点と接する楕円の焦点はα、βであることを証明せよ。
ただし、楕円の性質に関して必要な事は、楕円がxy平面上でx^2/a+y^2/b=1と表されることで示せ。
こんな感じかな？
196:１３２人目の素数さん
03/12/31 04:43
すまそ。
（３）の(ii)での「定数であることを示せ」はいらないな・・・
197:高田
03/12/31 09:08
２００３年の第二回駿台東大入試実戦の理系ベスト２０
01：現 西大和（奈良）
02：現 ラサール（鹿児島）
03：現 灘（兵庫）
04：浪 東大寺（奈良）
05：浪 神戸女学院（兵庫）
06：浪 灘（兵庫）
07：現 灘（兵庫）
08：現 灘（兵庫）
""：現 灘（兵庫）
10：現 筑駒（東京）
11：現 灘（兵庫）
12：現 灘（兵庫）
13：浪 大阪星光（大阪）
14：現 筑駒（東京）
15：浪 開成（東京）
""：現 開成（東京）
17：現 愛光（愛媛）
18：現 灘（兵庫）
19：現 神戸女学院（兵庫）
20：現 不明（北海道）
198:１３２人目の素数さん
03/12/31 09:20
>>195
知識で差が付くため悪問。
199:１３２人目の素数さん
04/01/03 23:49
nを自然数とする。
（1） 適当な実数a[0], a[1], …, a[n]を用いて
(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
と表されることを証明せよ。
（2） (1)のa[0], a[1], …, a[n]について
Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
を求めよ。
200:１３２人目の素数さん
04/01/04 03:03
>>198
受験数学なんてしょせん知識で解くもんじゃん
と県1位だった私は思うニダ
201:１３２人目の素数さん
04/01/05 00:26
>>199
知識で差が付くため悪問。
202:１３２人目の素数さん
04/01/05 13:07
白血病解析プロジェクト
URLﾘﾝｸ(p-q.hp.infoseek.co.jp)
みんなも参加しよう！
203:１３２人目の素数さん
04/01/05 13:13
>>199
気分的に a[k] = a_k と書かせてもらう. (1) は自明, (2) は簡単, ということで
東大京大レベルじゃあないと思うが..
(1) n についての数学的帰納法を用いる.
0 のとき明らか. n-1 で成立するとする. n のとき
(cosx)^n = (cosx)^n-1 cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k cos(kx) cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k/2 {cos[(k+1)x]+cos[(k-1)x]}
= Σ[k=0,n] b_k cos(kx)
よって成立する.
(2) (cosx)^n = Σa_k cos(kx) において
x = 0 とすると 1 = Σa_k
両辺を x で2回微分して x = 0 とすると n = Σa_k k^2
従って Σ(k^2-n)a_k = Σk^2a_k - nΣa_k = 0
204:199
04/01/05 17:48
>>203
正解。東大京大って意外とこんなもんだと思う。
>>201
知識で差が付くほどのものか？
>>203の解答みたいに2回微分することに気づかなくても
（1）から次のような解答にいたる事はごく自然で解けるはず。
（1）より
(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
(cosx)^(n+1)=b[0]+b[1]cosx+…+b[n+1]cos(n+1)x
とかける。
（1）の過程からn≧2のとき
b[0]=a[1]/2, b[1]=a[0]+a[2]/2,
2≦k≦n-1のとき b[k]=(a[k-1]+a[k+1])/2
b[n]=a[n-1]/2, b[n+1]=a[n]/2
したがって
Σ[k=0,n+1]{k^2-(n+1)} b[k]
= {1^2-(n+1)}a[0]+Σ[k=1,n]{(k-1)^2+(k+1)^2-2(n+1)}a[k]/2
= (0^2-n)a[0]+Σ[k=1,n](k^2-n)a[k]
= Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
（以下略）
205:199
04/01/05 17:50
確かに
(cosx)^n=a[0,n]+a[1,n]cosx+…+a[n,n]cos(nx)
としなかったのは不親切かもしれなかったと反省。
206:１３２人目の素数さん
04/01/12 00:08
「未解決問題」解くどころかとかれていない問題ばっか増えているな。
ここ最近書き込まれていないし
207:177
04/01/12 05:06
>>189
正解です。
簡単だったかもしれませんが、楽しめましたでしょうか？
久々に来てみました。
場合分けの所は、それ以上工夫する必要はないと思います。
208:１３２人目の素数さん
04/01/13 02:38
未解決というか、それほど良問でもないからスルーされてるのでは？
>>146の■■３■■（１）出題者か解けた人いたら解答よろ。
209:１３２人目の素数さん
04/01/13 06:00
おかしい・・・おかしすぎる・・・
わからない問題スレで４回聞いても答えてくれた人はいない。
ヤフー数学カテでもスルー。
これは難問なのでしょうか？
実数集合A={a_i｜1≦i≦n}において
Σ[1≦i≦n]a_i=p、Σ[1≦i≦n](a_i)^2=q（p,q定数）が成り立っている。
Σ[1≦i≦n](ai)^3のとり得る値の範囲を求めよ。
また、最小値、最大値をとるときの集合A(a_i≦a_(i+1),1≦i≦n-1)を求めよ。
ただし、iは自然数、nは3以上の自然数とする。
210:１３２人目の素数さん
04/01/13 13:18
>>209
数学科行っている奴にとっては易問
（受験数学の基本ばっか使うだけだし）
211:１３２人目の素数さん
04/01/13 18:54
>>210
易問 なんて猿でも言える。
答えが出てないって言ってるんではないの？
212:１３２人目の素数さん
04/01/21 20:55
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133 ：大学への名無しさん ：04/01/21 15:56 ID:AAAA7DSY
お、、、、俺のID・・・・・・・
神IDｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━ !!!!
騙されスレじゃないからお前らも記念カキコしる！！
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:133-番)
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213:１３２人目の素数さん
04/01/31 06:00
102
214:１３２人目の素数さん
04/01/31 08:23
3.1415926535・・・
215:１３２人目の素数さん
04/01/31 17:26
nは2以上の自然数とし、nCkを(n,k)と書くことにする。
(n,k+1)/(n,k) が0≦k≦n/2-1をみたすすべての整数kで
整数となるようなnを求めよ。
216:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:16
>>215
解なくね？俺の間違いかもしれないけど
217:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:24
>>216
勘違いだと思う。kの範囲を間違えてない？。
218:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:31
>>215
やってみた。
（ｎ＋１）/（ｋ＋１）が題意を満たすｋの範囲で整数にならなければいけない。
ｎが偶数だと、ｋ＋１は奇数でなくてはならなく、ｋは偶数。すると、題意に反する。
よって、ｎは奇数。ｎ＝２ｍ＋１として、２（ｍ＋１）/（ｋ＋１）が整数にならなければならない。
ｋの範囲は、０≦ｋ≦ｍ－１/２。よって、ｋは０，１，２，・・・，ｍ－１。
２（ｍ＋１）が１，２，３，・・・，ｍで割り切られなければならない。
２（ｍ＋１）＝ｍ！でなければならない。
ｍ＝１，２，３，・・・なので、解はない。
219:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:35
>>218
2行目からおかしいわけだが…。
220:工棒
04/01/31 19:39
n=2?
221:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:42
>>220
もっとある。
222:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:44
うわ、恥ずかしい(´;ω;`)ｼｮﾎﾞｰﾝ なんつぅ解答したんだろ俺は
223:工棒
04/01/31 19:46
n=1,2?
224:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:48
>>223
そもそもn≧2なわけだが。
225:１３２人目の素数さん
04/01/31 19:50
１。
１，１。
１，２，１。
１，３，３，１。
１，４，６，４，１。
１，５，１０，１０，５，１。
１，６，１５，２０，１５，６，１。
226:工棒
04/01/31 20:07
(n,k+1)/(n,k) =(n-k)/(k+1) ?
227:１３２人目の素数さん
04/01/31 20:08
>>226
んだ。
分子のｋ分離しちゃえば見やすいよ
228:工棒
04/01/31 20:13
条件より
(n+2)/n≦(n-k)/(k+1)≦n
(n+2)/n=1+2/n も整数
n≧2 より n=2 になりましたが、ダメですか？
229:１３２人目の素数さん
04/01/31 20:15
>>228
だめです。
230:フォイエルバッハの円
04/01/31 21:06
直線ｌ上に点Ａ・Ｄ・Ｅ・Ｖが、直線ｍ上に点Ｂ・Ｄが、直線ｎ上に点Ｃ・Ｅがこの順で並んでいる。
半径３５０の円Ｏ１（中心点Ｏ１）が直線ｌ・ｎと点Ａ・Ｃで接しており、
半径不詳の円Ｏ２（中心点Ｏ２）が直線ｌ・ｍと点Ａ・Ｂで接している。
点Ｏ１・Ｏ２・Ａは直線ｋ上にこの順に並んでいる。
∠ＶＥＣ＝∠ＶＤＢ＝６６．４°、ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
円Ｏ２の半径を求めなさい。
必要なら、ｃｏｓ６６．４°＝０．４を使うこと。
231:フォイエルバッハの円
04/01/31 23:29
時間切れですか？？
232:１３２人目の素数さん
04/02/07 04:04
29
233:京大生
04/02/07 05:39
>>215
(n,k+1)/(n,k)=(n-k)/(k+1)
=(n+1)/(k+1)-1
=n'/k'-1
ここで、n'=n+1 k'=k+1なので、n'≧3 1≦k'≦(n'-1)/2
この条件の下でn'/k'が整数になるような自然数n'を求めればよい。
n'=2m+1(mは自然数)のとき、k'=mを代入すると
n'/k'=(2m+1)/m=Aとなる。(m>0よりAは非負整数とおける)
ゆえに、2m+1=Am⇔1=(A-2)m⇔A=3 m=1なので、n'=3
n'=2m(mは2以上の整数)のとき、k'=m-1を代入すると
n'/k'=2m/(m-1)となる。
ここで、2m/(m-1)>2(m-1)/(m-1)=2
2m/(m-1)≦{2m+(2m-4)}/(m-1)=4
ゆえに、2m/(m-1)=3または4
2m/(m-1)=3のとき、m=3となりn'=6
2m/(m-1)=4のとき、m=2となりn'=4
以上からn'=3，4，6なのでn=2，3，5となる。
このとき、(n,k+1)/(n,k) は0≦k≦n/2-1をみたす
すべての整数kで整数となる。
したがって、求めるnはn=2，3，5となる。
受験生頑張って下さい!！
234:１３２人目の素数さん
04/02/07 06:24
>>230
344？
235:１３２人目の素数さん
04/02/07 06:32
知ってる人は知ってる問題。
三角形ABCにおいて、∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数、
他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。
236:１３２人目の素数さん
04/02/07 08:51
>>235
それ京大の過去問だろ。
237:235
04/02/07 08:53
うん。ばれたか。
238:１３２人目の素数さん
04/02/07 11:28
めっちゃ昔の兄弟の問題でも覚えてるやついたのに、
んな最近のでごまかせると思ったか。
239:235
04/02/07 11:41
いやばれてるつもりで出題したんだが・・・
スマソ
工房だから許してください。
240:１３２人目の素数さん
04/02/07 12:09
X_n=Σ_[k=1,n](1/n^2)が整数となるのはｎ=1の時のみであることを示せ。
241:１３２人目の素数さん
04/02/07 14:50
１／ｎが整数だからｎ＝１。
242:１３２人目の素数さん
04/02/07 15:07
>>241
分数と分数の和が整数にならないこと示さないといけないだろ。
243:240
04/02/07 15:15
>>241
そういうこと。
244:１３２人目の素数さん
04/02/07 23:46
>>235
a>cと仮定する。
b^2=a^2+c^2-acとなるがb^2=(a-c)a+c^2>c^2よりb>c
(b-c)(b+c)=a(a-c)より
b-cまたはb+cがaで割れる。（aが素数であるから）
・b-c=akとなる場合(k>0)
ak(ak+2c)=a(a-c)
(k^2-1)a+(2k+1)c=0となるが左辺>0となるので矛盾。
・b+c=akとなる場合(k>0)
ak(ak-2c)=a(a-c)
(k^2-1)a=(2k-1)cでa>cよりk^2-1<2k-1となるが
このようなkはk=1しかない。この時c=0となるので矛盾。
よってa=cとなる。
もっと簡単に出来る方法はある？
245:１３２人目の素数さん
04/02/08 02:20
ａ≦ｂ≦ｃとすると（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝ｃ（ｃ－ａ）で
０≦ｂ－ａ＜ｃ＜ｂ＋ａ≦２ｃから０＝ｂ－ａまたはｂ＋ａ＝２ｃ。
246:フォイエルバッハの円
04/02/08 03:34
＞＞２３４
不正解
247:１３２人目の素数さん
04/02/08 05:29
>>240
1≦Xn＜1+∫[1,∞](dx/x^2) = 2
248:240
04/02/08 14:35
>>247
正解です。
249:フォイエルバッハの円
04/02/09 15:38
難し過ぎたかなぁ？
250:１３２人目の素数さん
04/02/09 18:29
n = 24 とする。1≦k≦n をみたす整数 k に対し、
f(k) = cos(2πk/n)+ i sin(2πk/n) とおく。
ここで、i は虚数単位である。
(1) A={1, 2, ..., n} とおくとき、Σ_{k∈A} f(k) = 0
であることを証明せよ。
ただし、Σ_{k∈A} f(k) とは、すべての A の要素 k に
対して f(k) を足し合わせること、すなわちこの場合は
f(1) + f(2) + … + f(n) を意味する。
(2) 次の条件 (*) をみたす、正整数 m をすべて求めよ。
(*) A の部分集合 B で、m 個の要素からなるものをとれば、
Σ_{k∈B} f(k) = 0 となるようにできる。
※ 余裕のある方は、一般の n の場合にも挑戦してみてください。
251:１３２人目の素数さん
04/02/09 18:40
ｍ＝０，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３
，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２４。
252:250
04/02/09 18:49
>>251
正解。n = 24 の場合はそれほど難しくないですね。（幾何学的なイメージがあれば）
253:１３２人目の素数さん
04/02/09 18:50
ｎが６の倍数のときは簡単。
254:１３２人目の素数さん
04/02/11 18:58
半径1の円4つを(※)を満たすようにして平面に書いた。
出来た図形の外周に囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。
・どの円も他の二つと重なるようにし、また出来た図形の外周で囲まれた領域内に円ののっていない部分が存在しない・・・（※）
255:１３２人目の素数さん
04/02/18 18:54
/ / }
_/ノ.. /、
/ < }
ry､ ｛ｋ＿ _/`;, ﾉﾉ ﾊﾟﾝﾊﾟﾝ
/ / } ;' `i､
_/ノ../、 ＿/ 入/ / ｀ヽ, ﾉﾉ
/ r;ｧ }''i"￣. ￣r'_ノ"'ヽ.i ） ―☆
｛ｋ＿ _/,,.' ;. :. l､ ﾉ
＼ ｀ ､ ,i. .:, :, ' / / ＼
,;ゝr;,;_二∠r;,_ｪ=-ｰ'" r,_,/ ☆
【ラッキーレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です
256:フォイエルバッハの円
04/02/24 00:51
２３０の回答 まだ・・・？
もう 入試シーズンも 終わっちゃうよ！
257:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:01
>>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
↑なにこれ？
258:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:06
>>230
しょーもな
259:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:10
２５７や２５８には多分永遠に解けそうもないな。
というより、そもそも彼らが２ちゃんに投稿すること自体が
罪だったりして。
260:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:19
>>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
これをm,nの間の距離と解釈して。
riをOiの半径として
r2sin56.8°-r1sin56.8°=6
にsin56.8°=cos33.2°=√((1+cos66.4°)/2)=√0.7とr1=350代入するだけだろ？
261:フォイエルバッハの円
04/02/24 01:22
＞＞２６０
不正解！！
262:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:27
ああ、
r1sin56.8°-r2sin56.8°=6
か。
263:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:29
>>230
しょーもな
264:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:38
全然 目の付け所が 違ってますね。
それじゃ 解けないのも当然。
265:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:39
>>264
じゃあもう解けないでいいや。
266:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:46
(r1-r2)sin23.4°+r1+6=r1じゃね？
267:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:46
訂正
(r1-r2)sin23.4°+r2+6=r1じゃね？
268:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:52
接線の長さを 円の半径であらわすことを考えられてはいかがでしょう。
269:１３２人目の素数さん
04/02/24 01:54
>>267
じゃいかんの？
270:１３２人目の素数さん
04/02/24 02:01
>>268
おおい。
271:１３２人目の素数さん
04/02/24 02:23
どうしても ｒ１－ｒ２＝６としたいようですね。
それは 言えますか？
272:１３２人目の素数さん
04/02/24 03:15
>>271
？？>>267をといたら
r1-r2=10になるけど？
273:１３２人目の素数さん
04/02/24 03:21
(r1-r2)sin23.6°+r2+6=r1に訂正。
(r1-r2)(1-sin23.6°)=6
(r1-r2)(1-cos66.4°)=6
cos66.4°=0.4より
(r1-r2).6=6
r1-r2=10
だと思うが。
274:１３２人目の素数さん
04/02/24 03:24
というか明らかに他にでてる問題より一段ランクの低い問題はっといてどうして
こんなでかい態度がとれるんだろう？自分の出してる問題が他の問題より
レベルが低すぎてだれからもレスがもらえないことが理解できないんだろうか？
275:１３２人目の素数さん
04/02/24 23:27
出来なかった負け惜しみは聞く耳持ちません。
276:１３２人目の素数さん
04/02/24 23:28
２７３の解法は間違い。
ヒントを出されているのに この程度ですか？？？
おばかさんですね。
277:１３２人目の素数さん
04/02/24 23:29
ばーか
278:１３２人目の素数さん
04/02/24 23:48
てかさ。>>230は他の問題一問でもとけるのか？といてみたら自分の問題が
スレちがいの低レベルだってわかりそうなもんだと思うんだが。
釣りじゃなさそうだし。
279:１３２人目の素数さん
04/02/26 10:12
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
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問題うpされたからage
280:１３２人目の素数さん
04/02/26 10:15
出題の特徴
手はつけ易いが計算が繁雑で時間がかかる問題が多い．
その他トピックス
例年，目新しい出題が見うけられるのだが，
今年は「どこかで見たことがある気がする」問題が並んでいる．
厳しい評価ですな。
281:１３２人目の素数さん
04/02/26 11:55
>>280
まあ、そんな感じじゃない。
それにしてもまた π=3.14... にこだわった問題が出題されているなあ。
体積が 8 になる、というのは、πを 3 とみなしたときの2つの球の体積の和なのだろう。
シチュエーションがあまりにも人工的で、センスがいいとは思えないね。
282:１３２人目の素数さん
04/02/26 13:06
っていうか・・・この解答書いた人、字が下手すぎｗ
283:１３２人目の素数さん
04/02/26 14:04
字が下手なのは間違ってた場合言い訳できるからだと思われ。
284:１３２人目の素数さん
04/02/27 04:34
東大の問題を3つほどやってみたけど、
どれも20分ほど格闘したあげくダルくなって放棄。（情けなや
京大の問題も3つほどやってみたんだが、
3つとも10～15分であっさり解けてしまった。
こんなに差があったっけ？
昔は京大の方がねちっこくてダルい印象があったんだけど。
285:１３２人目の素数さん
04/02/27 06:48
今年の京大は異常
286:１３２人目の素数さん
04/02/27 10:02
去年も異常じゃ？w
ずっとこの方針でいくらしいよ。
287:１３２人目の素数さん
04/02/27 10:20
>>282
ワセダ亨か？
288:１３２人目の素数さん
04/03/07 02:10
427
289:１３２人目の素数さん
04/03/08 13:46
円C1は(0,0)、C2は(5,0)、C3は(4,4)、C4は(1,5)を中心とする半径1の円である。
C1の内部・周上に点A、C2,C3,C4も同様に点B,C,Dをとる。
四角形ABCDの面積の最小値及び最大値を求めよ。
290:１３２人目の素数さん
04/03/09 17:06
ﾍｰ(´ν_.｀ )ｿｳﾅﾝﾀﾞ
291:１３２人目の素数さん
04/03/13 02:27
>>289
四角形の面積を4点の位置（動径の位置を回転角で表すと、それぞれとりうる値は0以上2π以下）に
関する4変数の連続関数とみなせば、最小値および最大値が存在することはよい。
そこで最小値（もしくは最大値）が実現されるとして成り立つべき関係を
式で表すと、2つの変数に関する連立方程式が立てられる。
そこまではよいのだが、この連立方程式が解けない…。Mathematica に解かせると、
Simplify できない、物凄く長い式になってしまった。
面白い問題と思うのだが、答えがちゃんと求まるような点を選んだほうがいいのでは…
それとも間違ってますか？
292:１３２人目の素数さん
04/03/13 22:24
東大の問題って
方針の概要は浮かびやすいんだけど
ゴツイ計算につまずいたり
明らかに正しそうなことを上手く表現できなかったりして
なかなか答えにたどりつかない。
293:１３２人目の素数さん
04/03/15 18:45
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
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問題がうｐられてたからage
コメントは両方とも「変わりなし」との事。
個人的には東大の方は問題がなんか汚い。
294:１３２人目の素数さん
04/03/15 18:48
と思ったが京大の4番、三角関数の近似値求める問題じゃねぇか。
東大のパクリだ。パクリ。
295:１３２人目の素数さん
04/03/15 20:25
パクりはウリナラ発祥ニダ
296:１３２人目の素数さん
04/03/16 03:01
Ａからみて東に光速の９９％で遠ざかるＢがあり、
Ａからみて西に光速の９９％で遠ざかるＣがある。
では
（１）ＣからみてＢは東に光速の何％で動いて見えるか？
（２）ＡからみてＢとＣは光速の何％でお互いに離れて見えるか？
297:１３２人目の素数さん
04/03/17 00:35
>>296
特殊相対論の問題。せめて速度の合成法則くらい書いておいてくれ。
298:１３２人目の素数さん
04/03/18 06:51
(1) 99.99%
299:１３２人目の素数さん
04/03/18 21:07
光速よりも速い自然現象の例をあげてください。
300:１３２人目の素数さん
04/03/18 21:27
>>299
名古屋国際の土佐
301:１３２人目の素数さん
04/03/18 22:14
URLﾘﾝｸ(www.marathonguide.com)
302:１３２人目の素数さん
04/03/18 23:54
URLﾘﾝｸ(physicsweb.org)
303:１３２人目の素数さん
04/03/18 23:56
>>299
うわさの伝達速度
304:１３２人目の素数さん
04/03/19 20:07
>>302
光速の３倍、groupe velocityだよ。
305:１３２人目の素数さん
04/03/21 10:57
(2)はだれもできないのか？
306:１３２人目の素数さん
04/03/21 11:05
2^20,996,011-1の次の素数はなに？
307:１３２人目の素数さん
04/03/21 11:14
306はパソコンをつかってよい。
308:１３２人目の素数さん
04/03/22 12:41
>>306
2^38007203 -1
309:１３２人目の素数さん
04/03/22 20:58
ほんとかあ～
310:１３２人目の素数さん
04/03/22 21:45
>>306
模範解答ｷﾎﾞﾝ
311:１３２人目の素数さん
04/03/22 21:57
昔京大でEisensteinの判定法が出てたよね。とりあえず
漏れも一問出してみよう。
f(x)=f '(x)をみたす函数はCe^xしかないことを示せ。
早い人は一分以内に解けるけど。
312:１３２人目の素数さん
04/03/22 23:40
ごく初歩的な微分方程式じゃないか…
>>311は逝ってよし！
313:１３２人目の素数さん
04/03/22 23:47
>>311
え？俺わからん。
「それだけしかない」っていうにはどうすればいいん？
314:311
04/03/23 00:00
312が分かってるのかどうか微妙だけど……
これ知ってるのと知らんのとでは大分微積の理解に
違いが出るだろうから簡単だけど出題しました。
f(x)/e^xを微分すると、0になるから、あとは簡単。
Π^2/6出してもいいんだけど、取り敢えず
「18人(1,2～18)で総当たり戦をしました。三すくみの組合せ
(a,b,c)は最大でいくつ出来ますか？」これ、制限時間15分程度
だったんだが、漏れは時間内に解けなかった。因みに見たこと
ある！なんてデリカシーのないことを言わないように。
315:１３２人目の素数さん
04/03/23 00:03
>>314
いや、それはわかる。
微分して０になるから、ｆ(ｘ)/e^xが定数になる。ってことでしょ？
だから、「それしかない」の証明はどうなんの？
316:１３２人目の素数さん
04/03/23 00:16
多分伝わってない。
(f(x)/e^x)^2=e^(-2)A,
A=f'(x)exp x-f(x)exp x={f'(x)-f(x)}exp x.
これはf(x)が微分可能なら必ず成立するが、この場合
問題の条件からA=0。よってf(x)/exp x=Const.
（こっちの証明には平均値の定理を使う。）
三すくみ難しいよ。
317:１３２人目の素数さん
04/03/23 00:16
失礼、(f(x)/e^x)^2の2は’に変えてください。微分です。
318:１３２人目の素数さん
04/03/23 07:26
>>306
大学生がパソコン使って見つけた世界最大の素数です。
つぎをみつけたらギネスにのります。
319:１３２人目の素数さん
04/03/23 07:34
それの次に大きい素数を見つけることは
それより大きい素数を見つけることより
遙かに難しいと思う
320:１３２人目の素数さん
04/03/23 08:10
>>319
は？あたりまえじゃん。
321:１３２人目の素数さん
04/03/23 22:22
素数の分布からいってどのあたりに次の素数があるのですか？
322:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:18
高二の春休みにガッコの数学課題をしていて面白い問題を見つけました。
数学IAIIBIIICの中でも最も基礎的な範囲である数学Ｉの二次関数。
基礎の基礎とは言え侮る無かれ、二次関数には、数学が得意な方でも二十分はかかってしまう場合分けがあります。
私も解いて見ましたが、二十分程かかってしまう問題でした。初心に戻ったつもりで、この問題を解いてみて下さい。
二次不等式 x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0…①, x^2+3x-4a^2+6a<0…②
について、次の各問いに答えよ。ただし、aは正の定数とする。
(1) ①,②を解け。
(2) ①,②を同時に満たすxが存在するのは, aがどんな範囲にあるときか。
(3) ①,②を同時に満たす整数xが存在しないのは, aがどんな範囲にあるときか。
323:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:25
>>322
なぜそんな問題が東大スレなんだ
324:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:28
>>323
簡単だろうけど、「時間のかかる問題」だから。
東大の人でも一瞬では解けないと思ったからかな
325:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:30
(1)a<x<a+3……① 2a<x<2a+3……②
(2)0<a<3
(3)a=2 ∨5/2≦a
あとは自分で解くこと。
326:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:47
こんな問題に二十分もかかったら、灯台の入学試験じゃ
点数取れないよ。とくに昔の問題は。
327:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:50
（ａ，ａ＋３）。
（－２ａ，２ａ－３），（２ａ－３，－２ａ）。
（３，＋∞）。
（０，７／２）∪｛４｝。
328:１３２人目の素数さん
04/03/24 15:54
>>322
こんなクソ問題 高校一年の教科書付属の問題集に載ってる。
だいいちこんなの２０分もかからん
329:１３２人目の素数さん
04/03/24 16:00
>>327
（０，７／２］∪｛４｝。
330:１３２人目の素数さん
04/03/24 16:26
Π＜355/113を証明せよ。
331:１３２人目の素数さん
04/03/25 02:05
>>330
前から疑問だったんだが、この手の問題って言うのは
何を知識として出発すれば良いんだ？
それこそ、円周率が円周/直径である事からスタートしなくてはいかんのかなぁ。
でも、だとすると、どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
示さないといけないだろうし、それを示すとなると、ほとんど厳密にやろうとしたら
範囲外になるだろうし、一体どの程度の知識で解く事が要求されているのか。
332:１３２人目の素数さん
04/03/25 02:20
そういう基準は受験生としての常識で判断するんだ。
東大は採点者が何を求めているのか察する要領の良さ、
空気読む能力を求めている。
333:１３２人目の素数さん
04/03/25 06:04
> どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
> 示さないといけないだろうし、
これは相似だからで済ましてはいけないの？
334:１３２人目の素数さん
04/03/25 13:14
普通の受験生が厳密に証明しようとしても、厳密とは
程遠い読むに耐えない証明しかできないんだから、
（17世紀数学式に？）円周率の性質をうまく使って値を評価する
だけでいいんじゃないの？そもそも曲線の長さや面積の定義なんて
高校じゃ殆ど教えてないし、教えても誰も理解しないだろ。
335:１３２人目の素数さん
04/03/25 13:23
∑_k=1^∞(1/k^k)=∫_0^1(x^x)dxを示せ。
これだけじゃ高校範囲じゃきついか。
336:１３２人目の素数さん
04/03/25 14:45
>>335
わからんぽ。
教えてください
337:１３２人目の素数さん
04/04/04 16:21
age
338:１３２人目の素数さん
04/04/07 15:19
ager
339:１３２人目の素数さん
04/04/07 15:20
age
340:１３２人目の素数さん
04/04/07 17:16
それは確か、ヨハン・ベルヌーイの…
341:１３２人目の素数さん
04/04/25 22:59
609
342:１３２人目の素数さん
04/04/27 00:18
／￣￣￣￣￣￣＼ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ／ ＼ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
/ ヽ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ l::::::::: ＼,, ,,／ | ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
|:::::::::: （●） （●） | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
へ |::::::::::::へ ＼＿＿_／ | ＜ 面白い問題ﾏﾀﾞｰ？
＼＼ ヽ:::::::::::＼＼.. ＼／ ノ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
チン ＼＼＼. ＼＼ ヽ
チン ＼＼/ ＼＼ ＿ | ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
＼￣￣￣￣￣￣￣／ /￣ ヽ / ＿
＼回回回回回／￣￣ヽ /￣￣／| ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
＼＿＿＿／ ヽ＿＿＿＿／ ／ .|
343:１３２人目の素数さん
04/04/29 15:19
△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rをとる。△AQR,△BRP,△CPQのうち
少なくとも1つの面積は、△PQRの面積を超えないことを示せ。
>>335どっか間違ってるよ。
344:１３２人目の素数さん
04/05/06 00:18
613
345:１３２人目の素数さん
04/05/20 21:57
346:１３２人目の素数さん
04/05/20 22:49
Lim (1+1/x)のx乗=eとする。これを用いて次の極限値をもとめてください
x→+∞
① Lim (1+ｋ/x)のx乗 x＝ｋy と変数変換
x→+∞
347:１３２人目の素数さん
04/05/21 00:51
e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{K!}で定義する ただし0!=1である
このとき\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}が上で定義したeに収束することを示せ
(1+\frac{1}{x})^{x}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdots+\frac{1}{x!}は簡単に示せると思うけど
f(x)<(1+\frac{1}{x})^{x}でeに収束するf(x)がなかなか見つからないかと
とりあえず現役工房からの出題です
348:１３２人目の素数さん
04/05/21 03:32
二項展開して最初の高々N項目まで取った部分和S_Nを
取ってから順番に∞に飛ばせば良いんじゃなかったっけ？
漏れが現役工房のとき『微分と積分1』（入門）で勉強して
全然分からなかった覚えがあるけど（ｗ
349:１３２人目の素数さん
04/05/22 00:37
ツマラン、オマイの話は・・・
350:名無しさん＠お腹いっぱい
04/05/22 09:34
5-2=?
351:１３２人目の素数さん
04/05/24 04:03
‐'7::::::::::::::::::::::::ハ:ﾊ::|ヽ:::;､::::::::::::丶
／::::::::::::::/!i::/|/ ! ヾ ﾘハ:|;!､:::::::l
/´7::::::::::〃|!/_,,、 ''"゛_＾`''`‐ly:::ﾄ 氏ねばいいと思うよ
/|;ｨ:::::N,､‐'゛_,,.＼ ´''""'ヽ !;Ｋ
! |ﾊﾄ〈 ,r''"゛ , ﾘｲ)|
`y't ヽ' /／
! ぃ､ ､;:=＝ｦ 〃
｀'' へ、 ` ‐ '゜ .ｲ
`i;､ ／ l
〉 ` ‐ ´ l`ヽ
352:１３２人目の素数さん
04/05/30 17:20
508
353:１３２人目の素数さん
04/06/07 22:56
質問です。
友人がFランク大に通ってるんですが、そいつが、数学の宿題を聞くのです。
だけど、そいつは、数学を理解しようとせず、問題を解くための途中式を書くことだけを要求します。
彼は、途中式をみることによって、問題の解きかたを何となくしることによって、テストを乗り切ろうという魂胆らしくて、
きちっとした勉強をする気は全くないようです。本人曰く単位が出ればよいとのことです。
しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの。ついに微分の宿題が出た時、そいつは手も足も出なくなってしまい、
落ち込んで、勉強することも諦めて、どうせ自分は何やっても駄目だからとつぶやくのです。
参考図書を進めても、どうせ読んでもわからないと言って、いじけるばかりで何にもなりません。
一体こういう奴にはどういう対処をしたら良いのでしょうか？
Fランク大には彼のようなタイプは多いと聞きますが、みなさんはこういったタイプの人とあったことがありますか？
354:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:43
死ぬべきだと思います。
このストイックな現代社会の中、>>353の友人の様な厨房は生き残れるとでも思っているのでしょうか？
355:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:49
釣りなのかなあ？ この‘はてい’の部分
>>353
>しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの
356:１３２人目の素数さん
04/06/07 23:50
..＿＿＿＿
| （・∀・） ｜
＿＿＿＿ |￣￣￣￣ ＿＿＿＿
| （・∀・） ｜ ∧ | （・∀・） ｜
|￣ <⌒> |￣￣￣￣
∧ .. ／⌒＼ ∧
<⌒> ］皿皿［ .. <⌒>
／⌒＼ ／ 田 田 ＼ .... ／⌒＼ ジサクジエン王国
＿＿＿ ］皿皿［、 _］∩皿皿∩［＿＿］皿皿［、、 ＿＿＿＿
| （・∀・） | ／三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三 三三 ヽ | （・∀・） ｜
￣￣￣￣| |＿_|￣田￣田 /￣￣Π . ∩ . Π￣￣ヽ田￣田￣田 . ［＿|￣￣￣￣_ ＿＿＿＿
＿＿＿＿ ／三三三三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三三三.三 ,,|「|,,,|「|ミ^!、 | （・∀・） ｜
| （・∀・） | ＿_|￣田￣田￣田 ￣田. 田 | | |..田..| | |. 田 .田￣田￣ 田￣田￣田￣|,,|「|,,,|「|ミ^!|￣￣￣￣
￣￣￣￣|＿/==／＼＝ハ, ￣￣|「|￣￣￣￣|ハ＝／＼= |＿_＿_ヽ「|￣￣￣￣￣￣|_|'|「|'''|「|||:ll;|| .|
357:１３２人目の素数さん
04/06/08 01:04
数学の基礎がきじゃくなんでしょ。
もし先生が悪いならのうめんすればいい。
358:１３２人目の素数さん
04/06/08 01:23
キジャクはわかったがウメンがわからん