03/01/25 00:53
2ゲットォォｫｫ！！
￣￣￣￣￣∨￣￣￣ (´´
∧∧ ） (´⌒(´
⊂(ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
￣￣ (´⌒(´⌒;;
ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ
3:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:53
/ヘ;;;;; このスレは
';=r=‐ﾘ バカどもには
ヽ二/ ちょうどいい目くらましだ。
4:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:55
学校で測度論なんぞも習ったが、結局のところ
リーマソ積分とルベーグ積分の一番の違いって
どこにあるわけ？簡潔に説明して欲しい。。。
5:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:56
/ヘ;;;;;
';=r=‐ﾘ 君の一族は
ヽ二/ そんなことも忘れてしまったのかね？
6:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:56
/ヘ;;;;;
';=r=‐ﾘ ふっはっは、見ろ！！このスレはゴミのようだ！！
ヽ二/
7:132人目の素数ちゃん
03/01/25 00:57
名前の違い。
8:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:58
/ヘ;;;;;
';=r=‐ﾘ 私をあまり怒らせない方がいいぞ。
ヽ二/
9:１３２人目の素数さん
03/01/25 00:59
/ヘ;;;;;
';=r=‐ﾘ このスレは極めて順調ですよ。
ヽ二/
10:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:00
期末試験がんばってくださいね。
11:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:00
エルゴード理論かなんかでルベーグ積分が出てきたが…
なんのこっちゃさっぱりだったＹＯ！！
12:バッハごはん
03/01/25 01:16
吉田洋一「ルベグ積分」はおすすめです。
この本は、私のような数学初心者でもそこそこ読めました。
ただしとても時間がかかりましたけど。
13:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:18
>12
そのシリーズはいい本が多いですね。
「集合論入門」は名著ですよ。
14:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:31
>>4
ものすごく簡潔にいうと
リーマン積分は定積分を定義するとき、変域を細かく分けて
縦長の短冊形の面積の和の極限みたいにする。
ルベーグ積分は値域の方を細かく分けて横長の短冊で
面積の和を考える。
15:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:34
ｽﾚﾘﾝｸ(sci板)l50
ここでもやってるよ。
16:１３２人目の素数さん
03/01/25 01:36
縦か横か、そんなことは本質的ではない。
測度が有限加法的か、可算加法的かの違いだ！
17:14
03/01/25 01:44
>>16
たてよこのちがいって、
せきぶんのていぎにかんしては
けっこうほんしつてきだとおもうけど。
18:１３２人目の素数さん
03/01/25 02:06
一番の違いは、ルベーグ積分は測度さえ入っていれば
どんな集合の上でも定義できるってことかな。
19:バッハごはん
03/01/25 16:16
吉田洋一「ルベグ積分」が読み終わったら、
猪狩惺「実解析入門」あたりに進もうと考えているのですが、
この本を読まれた方はいらっしゃいますか？
20:１３２人目の素数さん
03/01/25 16:20
あれは、いいものだぁ！！
21:１３２人目の素数さん
03/01/25 16:29
>>20
マジレス？？
猪狩惺「実解析入門」の前半は細かい概念がいっぱい出てきて
苦労したんだけど・・。
22:１３２人目の素数さん
03/01/25 17:32
伊藤清三の「ルベーグ積分入門」もいい。
すごく丁寧に書いてある。
23:１３２人目の素数さん
03/01/25 18:32
>>22
しかし丁寧すぎて、読了するまでに疲れる諸刃の剣。
どれを読むにせよ、一度は通らねばならぬ解析の門。
24:１３２人目の素数さん
03/01/26 15:26
>>20
院試前に斜め読みした猪狩惺「実解析入門」は
よく書けてる本だと思ったよ
伊藤清三は古典的名著だとは思うけど
くねくねしたドイツ文字が生理的に嫌だ
25:１３２人目の素数さん
03/01/26 15:39
伊藤清三は昔使ったが難しかったなあ。
単にオレがバカだったかも知れまいが。
個人的には州之内治男がシンプルで良かった。
26:１３２人目の素数さん
03/01/26 16:23
逆に、これは読んではいけない、という本はどれ？
27:１３２人目の素数さん
03/01/26 19:13
>>26
斎藤正彦「線形代数入門」
説明が少なすぎる。
読者に必要とされる予備知識が多すぎる気がする。
多くの本で参考文献に挙げられているけど、
私にとっては全く役にたたなかった。
28:１３２人目の素数さん
03/01/26 21:58
>>27
いや、漏れは逆に線形に関してはこれ以上の名著はないと思ったが・・・
まぁ、人それぞれってことだな
29:１３２人目の素数さん
03/01/26 22:09
斎藤について、説明が少なすぎる、予備知識が多すぎる、という
批判はあまり聞かんな。単因子論のところはよく批判されるが。
平面空間のベクトルから入っていて、例もそこそこ豊富だし、
丁寧な叙述というのが俺の感想。
佐武・旧のほうが俺は名著だと思う。28 同様、人それぞれか。
30:１３２人目の素数さん
03/01/26 22:38
佐武の線形代数ではジョルダン標準形はどうやって証明しているんですか？
31:１３２人目の素数さん
03/01/26 22:52
このスレはいつから「できない大学生」の線形代数のスレになったんだ？
32:１３２人目の素数さん
03/01/27 13:33
>>4
リーマン積分での可積分関数全体のつくる空間はノルム||f||=∫|f(x)|dxで完備でなく、
それを完備化したものがルベ－グ積分での可積分関数全体のつくる空間になる。
33:１３２人目の素数さん
03/01/27 14:17
勉強不足なのかルベーグ積分ってルベーグ測度のおまけにしか思えん。
34:１３２人目の素数さん
03/01/27 15:25
ルベーグ測度じゃなくてもルベーグ積分は定義できます。
俺にはむしろルベーグ測度が、リーマン積分と対応付けするためのおまけに思える。
35:１３２人目の素数さん
03/01/28 00:08
積分に使うメジャーがルベーグメジャーのときルベーグ積分ていうんだろ。
おまけっていうかメジャーの一番基本的なものだ。
だから積分の一番基本的なものでもある。
リーマンとルベーグの対応というが、ルベーグはリーマンの拡張だからなんとも・・・
36:１３２人目の素数さん
03/01/28 00:08
しまった
sageわすれた
37:１３２人目の素数さん
03/01/28 00:56
リーマソ積分とルベーグ積分の違いは
かなりひねた関数でも積分が定義できることと
項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
lim n->∞∫ fn dx = ∫ lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃだめ
あとフビニかなあ。
38:１３２人目の素数さん
03/01/28 00:58
ふむふむ
39:１３２人目の素数さん
03/01/28 00:59
>>36
＞sageわすれた
必要ない一言だろ。
sageたってスレはさがらん。
そんなことも知らないのか？
40:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:02
＞sageたってスレはさがらん。
＞そんなことも知らないのか？
必要ない一言だろ。
41:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:03
37 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：03/01/28 00:56
リーマソ積分とルベーグ積分の違いは
かなりひねた関数でも積分が定義できることと
項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
lim n->∞∫ fn dx = ∫ lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃだめ
ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ
ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ
∧_∧ ∧_∧ ∧_∧ ∧_∧ ∧_∧ ∧_∧
( )】 ( )】 ( )】 【( ) 【( ) 【( )
/ /┘ . / /┘. / /┘ └＼＼ └＼＼ └＼＼
ノ￣ゝ ノ￣ゝ ノ￣ゝ ノ￣ゝ ノ￣ゝ ノ￣ゝ
42:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:05
>>37は D Q N
43:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:07
>>42
おまえはドキュソ。
44:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:21
>>37の大定理：
関数族{fn(x)}n=1,2,3,......,に対し、fn(x)が適当な領域（どんな領域？）でリーマン可積分とする
lim n->∞∫ fn dx = ∫ lim n->∞ fn dx
が成り立つならば、fn(x)は一様収束する
45:１３２人目の素数さん
03/01/28 01:23
積分って図形の面積を求める物じゃ無かったのかよー･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
って時々思うね。
46:１３２人目の素数さん
03/01/28 02:01
>>44
>>37は
f_n(x)が一様収束する
⇒lim{n→∞}∫f_ndx = ∫lim{n→∞}f_ndx
と言っているのでは？
47:１３２人目の素数さん
03/01/28 02:31
>>46
揚げ足取りでしょ。
何か言えば、書き方がいい加減でいけないとかご高説垂れるんじゃないかな。
48:１３２人目の素数さん
03/01/28 02:34
なんか言われそうだから言っとくと
揚げ足取ってるのは大はしゃぎしている
>>44 のことだよ。
49:１３２人目の素数さん
03/01/28 04:06
関数解析・ルベーク積分自体を語るより、どこでどう使うかを語った方が
有用だと思います。
50:１３２人目の素数さん
03/01/28 04:09
場の理論に出てくる経路積分は何者か？
51:１３２人目の素数さん
03/01/28 04:29
関数解析の本って何が良い?
52:１３２人目の素数さん
03/01/28 05:02
>>50
経路の集合上におけるルベーグ式積分
ただし積分のもとになる測度がウィーナー測度とかの、明確に定義され存在
が保証されている測度なら良いが、そうでない場合は謎。
53:１３２人目の素数さん
03/01/28 05:05
>>51
コルモゴロフ，フォミーン「函数解析の基礎」（岩波書店）なんかどうよ？
最近また復刻されたから買うチャーンス！
54:１３２人目の素数さん
03/01/28 19:02
ここは>>37にアルゼラの定理を教えてあげるスレになります
55:１３２人目の素数さん
03/02/08 22:00
56:１３２人目の素数さん
03/02/10 03:27
先月出た新井先生（東大の方）の本は良いよ。
ただ、わかりやすいけどカンタンかつ基本的な内容しか載ってないし、
後半が読み物っぽくて全く使えない。
志賀３０講⇒新井⇒伊藤（＋竹之内）の順で読むのがよろしい。
伊藤は例も豊富だし、結構長く使えるよ。
猪狩は正直中途半端過ぎる。
57:１３２人目の素数さん
03/02/10 07:34
黒田 藤田 伊藤著の「関数解析」
は良い本です。
58:１３２人目の素数さん
03/02/11 22:44
>>37
項別積分定理って奴で、極限と積分の入れ替えがあまりきつくない条件で出来ること
lim n->∞∫ fn dx = ∫ lim n->∞ fn dx
リーマンだと関数が一様収束してなきゃ
だめ （＝一般には成り立たない）
って解釈すべきだよなあ。>>44
>>44はもう一度考え直して>>37に謝罪しましょうや。
ちなみに俺は>>37ではない。
59:１３２人目の素数さん
03/02/12 06:09
>>56
詳しくタイトルを教えていただけないでしょうか。
60:１３２人目の素数さん
03/02/13 13:17
みなさん、「Radon-Nikodym」は何と読んでますか？
ラドン ニコダイム？
61:１３２人目の素数さん
03/02/13 13:27
「やりたいニコールキッドマンと」
62:１３２人目の素数さん
03/02/13 13:29
ラド ンコタイム
63:１３２人目の素数さん
03/02/13 14:57
>>59
これのことだと思われ。
URLﾘﾝｸ(www4.ocn.ne.jp)
ついでに、こっちの本もこのスレ関連だな。
URLﾘﾝｸ(www4.ocn.ne.jp)
>>56
いきなり伊藤ってのは?
きついかな?
64:１３２人目の素数さん
03/02/13 17:30
ラドンニコディム
65:１３２人目の素数さん
03/02/13 22:07
>>56
フーリエ・関数解析の方は見たこと無いけど、ルベーグの方は今日立ち読んできた。
56氏も書いてる通り基本的なことしか書いてない。
漏れが測度論の一番美味しいトコだと思ってる、多次元や無限次元、
関数空間上の理論のってないっぽげ＠ざっと見だけど。
っつーわけで、漏れの書評はｼｮﾎﾞｰﾝ。
やっぱ、測度論の入門書は吉田耕作か伊藤で良いじゃないかと思う。
66:65
03/02/13 22:10
話は変わるけど、伊藤清二っているの？
伊藤清→ｘ→伊藤清三
だよね？（改めて考えるとｽｹﾞｰ兄弟だな。）
もし実在するなら、次男坊は何をやってらっしゃる方なんだろう。
67:１３２人目の素数さん
03/02/14 01:43
折原昭夫「測度と積分」はどうよ？
68:１３２人目の素数さん
03/02/14 06:21
>>66
志村五郎には志村一郎から志村四郎までの兄がいると思ってる人は、
完全なアホです。
69:60
03/02/14 08:04
>>64
ニコディムかあ。あんがとさん。
70:１３２人目の素数さん
03/02/14 08:08
>>68
いるよ！たしか７人兄弟の末っ子。
71:１３２人目の素数さん
03/02/14 08:48
志村n郎
n=1,2,..
72:１３２人目の素数さん
03/02/15 17:27
志村2003郎
73:56
03/02/16 02:38
折原のは読んだ事無いなあ。
ソボレフ空間に詳しい和書って無いかな？
74:１３２人目の素数さん
03/02/16 07:30
痛い７４がいるスレはここですか？
75:１３２人目の素数さん
03/02/16 07:41
もう飽きた。ヤメレ
76:１３２人目の素数さん
03/02/16 08:08
>>73
ブレジス『関数解析』(産業図書)なんてどうだ？
絶版本なら田辺広城『関数解析･下』(実教出版)なんかもあるぞ。
77:１３２人目の素数さん
03/02/16 08:40
>ソボレフ空間
訳本で
「ポストモダン解析学」ヨスト シュプリンガー
78:１３２人目の素数さん
03/02/16 17:40
URLﾘﾝｸ(blueskyproject.net)
79:♪
03/02/16 20:45
院入試で出る問題の候補として､「０，１」区間上で、有理数で１、無理数で０を
とる、関数 ｆ（ｘ）のリーマン積分の値が１ でルベーグ積分が０となること
を示せ． これを正確に計算できれば､測度論の院入試レベルは ＯＫ。
80:１３２人目の素数さん
03/02/16 20:50
>>79 それを示すのは不可能っぽい気がする
81:１３２人目の素数さん
03/02/16 21:09
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
[0,1] 区間上で有理数で1、無理数で0をとる関数のリーマン積分の値が1
82:１３２人目の素数さん
03/02/16 22:47
79の言う院は大学院でなく病院の院
83:１３２人目の素数さん
03/02/17 03:02
79を晒しage
84:１３２人目の素数さん
03/02/17 03:32
>>80
気だけじゃなく、確信しようね。
85:１３２人目の素数さん
03/02/17 12:13
確信しますた。
86:１３２人目の素数さん
03/02/17 16:04
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
87:１３２人目の素数さん
03/02/17 16:20
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
81のようなコピペ君、まだ死んでなかったのね。79と一緒に病院逝かんかなぁ
88:１３２人目の素数さん
03/02/17 16:46
ったく………死ねよ。さっさと。
89:１３２人目の素数さん
03/02/17 16:53
８６＝８８
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
ったく………死ねよ。さっさと。
90:１３２人目の素数さん
03/02/17 16:59
>>86=88
88 は余計だ。無視できないガキか？
それと、>>87 >>89 はコピペだが、>>81 は違う。もとは
＞「０，１」区間
＞関数 ｆ（ｘ）
だよ。「０，１」区間ってのは初めて見たな。開か閉か、どっちなんだ？
79 は他の表記にも突っ込みどころがあって、ネタかもしれんと思た。
91:１３２人目の素数さん
03/02/17 18:44
なんで>>86は>>81を叩いてるんだ?
92:１３２人目の素数さん
03/02/17 18:48
開でも閉でも半開でも積分の値には無関係
93:１３２人目の素数さん
03/02/17 23:59
コピペで火病発症かよ（ｗ
94:１３２人目の素数さん
03/02/18 02:55
本当のファビョンはそんなんじゃない
95:86
03/02/18 19:12
普通に突っ込めばいいだけのを何行も繰り返すのがウザいってだけだって。
88が余計だってんなら90前半の指摘自体も余計よん。90も反応してどうするよ。
96:１３２人目の素数さん
03/02/19 01:08
JFAって凄いの？
解析学だとどんな雑誌が偉いの？
97:１３２人目の素数さん
03/02/19 01:15
このスレつまらん
98:１３２人目の素数さん
03/02/19 03:27
97はルベーグ積分されました。
99:１３２人目の素数さん
03/02/19 10:04
>>98
止めろ！97を殺す気か！！
100:７９
03/02/19 20:48
＞＞７９ の問題は、実関数論の授業で、最初にやる演習問題です．
うちは、駅の無い駅弁大学です．
２００ で 正解（簡単です）を載せます。 お楽しみ．
101:１３２人目の素数さん
03/02/19 20:50
200取り合戦、行くぞ！
102:１３２人目の素数さん
03/02/19 20:58
>>99
ルベーグ積分されてまだ生きてるやつ知ってるよ。
103:１３２人目の素数さん
03/02/20 17:33
正解が楽しみなのでsage
104:１３２人目の素数さん
03/02/20 21:24
afe
105:１３２人目の素数さん
03/02/20 21:28
僕の肛門もヌベーグ積分されそうです
106:１３２人目の素数さん
03/02/20 23:09
>>100
みんな言おうと思いながらも黙ってると思うんだけど
>>79 はリーマン積分できません。
その問題を出したのが教員だったらちょっとイタイですね。
107:１３２人目の素数さん
03/02/20 23:47
>>106
良スレを荒らすのはやめてください。
108:１３２人目の素数さん
03/02/21 00:23
>>79が教員だったら日本の大学終わってる
109:１３２人目の素数さん
03/02/23 01:48
200は遠いな…
110:１３２人目の素数さん
03/02/23 04:45
ahe
111:１３２人目の素数さん
03/02/23 14:57
生暖かく期待sage
112:１３２人目の素数さん
03/02/23 22:43
文系の大学生ですけど、正直はやく200になって欲しいです。
よくわかりませんが79さんによれば
連続関数じゃなくても、リーマン積分可能なんですよね？
113:１３２人目の素数さん
03/02/23 22:46
一般には、連続関数じゃなくてもリーマン積分可能です。
114:１３２人目の素数さん
03/02/23 22:53
ふと思ったけど、駅弁大学と自称するのって駅弁に失礼だよね
115:１３２人目の素数さん
03/02/23 23:02
区分的に連続ならリーマン積分可能だけど、
ところでリーマン可積分の最大のクラスってどんなのだろう?
116:112
03/02/23 23:08
分割を考える事ができるものならばイイ（・∀・）ってことっすか
117:１３２人目の素数さん
03/02/23 23:11
不連続点が可算個でも大丈夫
118:１３３人目の素数さん
03/02/23 23:12
２００が楽しみだ。
119:１３２人目の素数さん
03/02/23 23:17
>>116
分割に依存しなければ(･∀･) ｲｲ!
とか荒らさないで、静かに200を待ちましょう
120:112
03/02/23 23:21
荒らすつもりじゃ無いですよ。
あげないと200いかないと思って・・
121:１３２人目の素数さん
03/02/23 23:38
>>115
不連続点が高々可算個
122:１３２人目の素数さん
03/02/23 23:46
だから文系の人こそ志賀さんの３０講読めよ。
わかりやすく書いてある。
123:１３２人目の素数さん
03/02/24 00:32
いや、まぢで何処をどうしたらリーマン積分可能なの？
定義しらねぇんじゃねぇの？
簡単な解答がありえないことを皆で追い詰めて２００を待ちませんか
124:１３２人目の素数さん
03/02/24 00:35
追い詰める、もとい、荒らされる前に200逝くことをキボン
125:１３２人目の素数さん
03/02/24 00:41
定義は U(P,f)-L(P,f)<ε ??
126:１３２人目の素数さん
03/02/24 00:47
>124の言う通りだ
皆、とにかく静かにage
127:１３２人目の素数さん
03/02/24 01:41
200で数学の歴史が塗り替えられます。
128:１３２人目の素数さん
03/02/24 06:12
２００でこのスレがsageられる可能性もあります。
129:１３２人目の素数さん
03/02/24 18:51
生暖かく期待sage
130:１３２人目の素数さん
03/02/25 06:23
ﾙﾍﾞｰｸ測度のことよくわかってなくても、T大で修士号もらいました。
言い訳しときますがﾙﾍﾞｰｸ積分の性質については良く知っています。
131:１３２人目の素数さん
03/02/25 06:30
エロ求む
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132:１３２人目の素数さん
03/02/25 12:02
>>121
それだと先の「有理数で1、無理数で0」はRiemann積分可能になってしまうのだが
133:132
03/02/25 12:03
あ、積分区間は[0,1]でね。
134:１３２人目の素数さん
03/02/25 14:40
ここは馬鹿が次々と湧いてくるな
135:１３２人目の素数さん
03/02/25 19:40
>>132
明らかに不連続店が非可算個あるのだが
136:１３２人目の素数さん
03/02/25 19:52
有理数があるところだけで不連続だから、加算個じゃないの？
137:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/25 19:54
＞＞132,＞＞136 ε-δ論法と、有理数の稠密性をあわせて考えてくれ。
138:１３２人目の素数さん
03/02/25 19:55
>>136
考えている関数をfとする。
xを[0,1]上の無理数とすると,任意のδ>0に対してあるy（有理数）が存在して|x-y|<δかつ|f(x)-f(y)| = 1
よってfはxで連続ではない。結局fは[0,1]上のすべての点で不連続
139:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:04
有理数で不連続、無理数で連続な函数の例と混同した・・・
わけないな。
140:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:10
>>139
>有理数で不連続、無理数で連続な函数の例
気になるな
141:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:16
そんな関数ねえよ
142:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:21
>>141
ﾊｧ？
143:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:22
あるよー
x ≠ 0 が有理数なら x = q/p(既約分数, p は正)として f(x) = 1/p
x = 0 なら f(x) = 1
x が無理数なら f(x) = 0
144:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:25
有理数で連続、無理数で不連続な関数はあるの？
145:１３２人目の素数さん
03/02/25 21:45
「>>143 の函数を定義に従ってリーマン積分せよ」ってのは、
10年前の解析系の学生なら（一部を除いて）普通にできた。
今は、そういう函数の存在すら知らないのが普通になった（鬱
「学力低下は存在しない」って言う香具師、氏ねよ ｺﾞﾗｱ
146:１３２人目の素数さん
03/02/26 04:21
>>144
有理数は完備じゃないからそんなん無理だろ。
147:浪人生
03/02/26 04:39
>>143
すげー
人生で13番目ぐらいの感動
148:１３２人目の素数さん
03/02/26 05:50
>>146
無理数は完備じゃないから>>143は無理ですか。
149:１３２人目の素数さん
03/02/26 07:00
>>143
それ本当に連続？
150:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/26 09:06
＞＞149
その関数は、明らかに有理数の点においては不連続だが、
無理数の点において連続であることは、ε-δ論法によってわかる。
無理数をαとして、qを整数、pを正整数として、pを固定するとき、
αにq/pをどれだけ近づけられるかを考えてみよう。
私は問題提起をしよう。
有理数すべてにわたる列{q_n}を考える。
区間の列(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)のn=1,2,3,…の和集合をUとする。
果たして{q_n}をどのようにとってもU≠Rだろうか？
(もちろん、U=Rとなると、Rのルベーグ測度が1になってしまい、矛盾する。)
151:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/26 09:09
すまぬ、1になるとは限らない。
だがそれでもルベーグ測度は1以下になる。
152:１３２人目の素数さん
03/02/26 10:08
>>150
あ、それ答え知りたいです！
昔自分で考えたときは、Rが局所コンパクトであることを使えばいいかな
と思ったりしましたが。
153:2やんねるで超有名
03/02/26 10:12
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154:152
03/02/26 10:13
あ、昔考えた問題と微妙に違うようですね。
私が考えた問題のときは1/2^nにεがかけてありました。
いずれにしても明快な解答キボンです。
もちろん、ルベーグ測度の可算加法性は証明には使用しないんですよね？
155:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/26 10:14
＞＞152
うーん、{q_n}を一般にとる場合は、まだ答えを見つけていないのです。
では、手始めにこんな問題からいってみよう。
(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n) (n=1,2,3,…)がルート2を含まないように、
{q_n}を選べ。ただし、q_nはすべての有理数をわたるようにせよ。
156:152
03/02/26 13:23
やっぱりどうしても、有限区間の有限直和からなる集合環(有限個の和と共通部分、
およびA-Bの演算で閉じている)上に自然に定義される”長さ”の有限加法性と
有限劣加法性は使いたくなるなあ。そうすれば、閉区間[-n,n]はコンパクトだから
有限個の開集合で覆われて、有限劣加法性から矛盾しないかなあ。
でもそうすると、有限加法的な”長さ”が定義できることを示さないといけないか。
それって簡単でしたっけ？
157:１３２人目の素数さん
03/02/26 15:06
>>148
根拠がデタラメだった。発言撤回しまつ。
158:１３２人目の素数さん
03/02/27 03:13
期待age
159:１３２人目の素数さん
03/02/27 20:59
一緒に氏んでくれる？
160:１３２人目の素数さん
03/03/01 20:51
>>159
ここはそういうスレじゃないよー
161:１３２人目の素数さん
03/03/01 23:15
あと40
ドキドキわくわく
162:１３２人目の素数さん
03/03/02 11:44
どきどきわくわく
163:１３２人目の素数さん
03/03/02 21:22
200までのつなぎ。
無理数で微分可能、有理数で微分不能な連続函数って存在する？
164:１３２人目の素数さん
03/03/03 02:56
有理数で尖ってるような鋸型の関数の無限和を取れば…。
165:１３２人目の素数さん
03/03/03 05:01
∩
∧＿∧ | | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（ ´Д｀）／/ ＜ 先生！こんなのを発見シマスタ！
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|| ||￣￣￣￣￣￣￣||
.|| ||
166:１３２人目の素数さん
03/03/03 19:09
>>164
うまく取らないと、高木函数みたいにならない？
167:１３２人目の素数さん
03/03/04 16:12
>>166
ってかそのうまい取り方がわからん。
誰か考えて。
168:１３２人目の素数さん
03/03/04 23:16
稠密な点で微分不能な連続函数は存在するが、
証明がわからんなあ
169:１３２人目の素数さん
03/03/06 01:34
age
170:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:41
あと30
171:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:53
期待あげ
172:１３２人目の素数さん
03/03/10 04:30
Σ＿｛ａ∈Ｚ，ｂ∈Ｚ，０＜ｂ｝（｜ｘ－ａ／ｂ｜／（ａ＾２＋ｂ＾２）＾２）。
173:１３２人目の素数さん
03/03/10 18:58
>>172
どっちの例？
いたるところ微分可能でない連続関数か
稠密な点で微分可能でない連続関数か？
174:１３２人目の素数さん
03/03/10 19:12
全ての有理数点で微分不能な関数と見た。
175:１３２人目の素数さん
03/03/13 02:12
高木函数
f(x)=Σ_[n:0→∞]p(2^n x)/{2^n}
ただし、p(x)=|x-[x+1/2]|
176:１３２人目の素数さん
03/03/13 02:45
〉175
んなの知ってるよぅ。
おいおい久々に来たらこのスレ氏に書けてんじゃねーかよ、
200まで逝って早いトコ歴史に恥晒せよオイ
177:山崎渉
03/03/13 12:55
（＾＾）
178:173
03/03/13 13:32
>>176
いや、172と175とで「微分可能でない点」が変わるのかどうか
ってことが問題なのだが。
179:１３２人目の素数さん
03/03/21 01:15
あと21
180:
03/03/21 01:17
jack nicol soon
181:１３２人目の素数さん
03/03/22 23:49
ソボレフ空間を詳しく知りたくてブレジス買ったんだけどさぁ，
この邦訳は一体なんなの？
「絶対に知っていなくてはならない積分についてのいくつかの結果」
とか、
いつの時代の言語なのか、「～なかんずく次が成立・・・」
この「なかんずく」は１０回くらい出てる。
この訳者は厨房に違いないよ。
藤田のおっさん、監訳なのに何してたんだよコラ！
しかも数学用語のカッコ書きが仏語で辞書的にも使いづらい。
肝心のソボレフ空間は詳しいけど、やっぱ読みづらい・・・。
182:１３２人目の素数さん
03/03/22 23:58
＞181
ポストモダン解析学 シュプリンガー
にしる。
183:１８１
03/03/23 00:12
＞１８２
あれさあ、（女の人が訳してるけど）問題の解答ないぢゃん？
しかも前半が微妙に要らないくないスカ？
確かにわかりやすいのは認めるますよ。
ということでコーサクの『Functional Analysis』を
アマゾソに注文したのだが、１ヶ月経っても届かない・・・。
ちなみにＭ輪姦で買うのと同じ値段。
あの店みんなでなんとかしようぜ。
184:１３２人目の素数さん
03/03/23 01:18
ねえ２００まだ？
二○○まだ？
185:１３２人目の素数さん
03/03/23 11:29
期待
186:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:41
位相解析age
187:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:52
加藤敏夫sage
188:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:53
位相はクライソー
189:１３２人目の素数さん
03/03/26 16:20
もうすぐ200だが、果たして>>100=79はまだ居るのだろうか
190:１３２人目の素数さん
03/03/26 17:09
あと１０
191:１３２人目の素数さん
03/03/26 18:17
>189
漏れもそれが非常に心配だ
192:１３２人目の素数さん
03/03/26 23:30
８
193:１３２人目の素数さん
03/03/26 23:33
7
194:１３２人目の素数さん
03/03/27 00:02
6
195:１３２人目の素数さん
03/03/27 05:27
5get
196:１３２人目の素数さん
03/03/27 06:00
>>200にはやっぱ>>100=>>79とは違うバカが
200げっと～
とか書き込むんだろうな。
197:１３２人目の素数さん
03/03/27 13:32
3
198:１３２人目の素数さん
03/03/27 16:40
２
>>196
で、>>100=>>79が200を取られたので、書けませんでしたと言い訳
199:１３２人目の素数さん
03/03/27 17:26
のこり1
200:７９
03/03/27 21:09
実は、この時期は忙しいので、
正解は、またいつか載せることにしましょう.
では、みなさんまた、いつか.
201:１３２人目の素数さん
03/03/27 21:12
人 ｳﾝｺ ｼｭｰﾘｰｹｰﾝ ｳｵｯ ｼﾝﾍｲｷｶｰ
（ ）∩
( ･∀･)丿 ：・’．：：● ：・’．：：● ：・’．：：● ：・’．：：● Λ Λ∩
～（｀二⊃ ∑（ﾟДﾟ；）/
（ ヽ/ ／⊃／ ← >>79
ﾉ>ノ （ ,-○
UU ∪
202:１３２人目の素数さん
03/03/27 23:43
てめぇ、ナニイってンだこラ
203:１３２人目の素数さん
03/03/28 00:16
>>200
あほか
一ヶ月以上も期間があってそれか
かわすにしても気のきいたレスしろよ
204:１３２人目の素数さん
03/03/28 04:14
２００はニセモノ臭い
がホント最悪
205:１３２人目の素数さん
03/03/28 05:31
URLﾘﾝｸ(p-area.net)
これ解る人っているの？
206:１３２人目の素数さん
03/03/28 05:33
>>205
ぐろ。
207:１３２人目の素数さん
03/03/28 08:09
２００で正解（ 簡 単 で す ）を載せます。お楽しみ．
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208:山崎渉
03/04/17 09:56
（＾＾）
209:山崎渉
03/04/20 04:13
∧＿∧
（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
210:１３２人目の素数さん
03/04/27 20:18
(´･∀･｀)ﾍｰ
211:_
03/04/27 20:22
（ ´∀｀）/＜ 先生！！こんなのを見つけました。
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212:１３２人目の素数さん
03/05/13 03:57
ルベーグ測度を入れれば積分を考えられる、ってのは分かる。
けど微分も考えられる、ってどういうことだ？
213:１３２人目の素数さん
03/05/13 12:32
>>35
ルベーグ積分はリーマン積分の拡張じゃないよな。
ルベーグ積分が定義されないが、リーマン積分できる関数があったような
記憶があるが。
たしか、振動しながら、０に近づくような関数。
214:１３２人目の素数さん
03/05/13 13:49
>>213
sin(x) / x とかだろ。
無限区間のルベーグ積分は、直接定義するため、絶対収束の場合しかカバーしない。
したがって「直接定義されたルベーグ積分」としての ∫(0～∞) sin(x)/x dx はない。
しかし、lim[A→∞] ∫(0～A) sin(x)/x dx は存在する。
そして、リーマン広義積分の∫(0～∞) sin(x)/x dx と一致する。
リーマン広義積分は、最初から lim[A→∞]∫(0～A) sin(x)/x dx と定義しただ
けのことなので、別にリーマン積分が偉いわけではない。
215:１３２人目の素数さん
03/05/13 14:06
>>212
ひとつは、測度論のおかげで、「ほとんどいたるところ微分可能」とか、そう
いう命題が書けるようになる利点。
簡単な例をあげると、f(x)=-1 (x<0) : =1 (x≧0) は任意の区間で積分可能で、
F(x)=-x (x>0) : =x (x≧0)になる。しかしF'(x)=f(x)は、原点では成り立たない。
「そんな一点くらいのことで…」という感覚は、「測度0の集合」を無視すること
で保たれ、最終的に広い範囲の関数をカバーしたきれいな定理が書ける。
もうひとつは、微分といっても瞬間速度のようなものだけでなく、密度微分のような
ものが（初等的にも）ある。密度とは、質量や電荷を、長さ（体積）で割ったものを、
一点に極限させたもの：
∫[a～a+h]f(x)dx / ∫[a～a+h]dx → f(a) (h→0)
という感じ。
これを厳密につきつめていくと、ルベーグ積分論のラドン・ニコディムの定理
になる。
初等的な場合は同じ「微分」であっても、精密な数学になるといろいろ分化し
ていくという例。
216:１３２人目の素数さん
03/05/13 22:04
フレッシェ微分って何ですか？
217:１３２人目の素数さん
03/05/14 00:41
>>214
なるへそ。俺の理解不足か。
218:１３２人目の素数さん
03/05/14 15:35
>>216
おおざっぱにいうと、ノルム空間（一般には関数空間などの無限次元空間）において、
ノルムの収束で定義した微分
219:山崎渉
03/05/21 22:39
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
220:山崎渉
03/05/21 23:29
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
221:山崎渉
03/05/28 15:21
∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎―◎ 山崎渉
222:１３２人目の素数さん
03/05/31 23:30
７９
リーマン積分不可、アッパーリーマンサムとローアーリーマンサムは１と０で一致しない。
有理数はメジャー０、カウンタブルなのでｅ／２＾ｎのオープン区間でかこめる。その和は＜ｅ。
だからルベーグ積分はｆ＝０で０。この問題どこに書いてあったの？
223:１３２人目の素数さん
03/06/09 19:49
他スレで質問したのですが，1000までいってしまいました．
質問させて下さい．
(X,B,μ)を測度空間．f,f_1,f_2,…をB可測な可積分関数．
任意のA∈Bに対して，
∫_A f_n dμ → ∫_A f dμ (n→∞)
のとき，f_n → f a.e.(B,μ)
この命題は真でしょうか？
偽でしょうか？
224:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 14:42
（・3・） エェー 質問ｓａｇｅてたらわかんないYO！
反例あるYO！
X=[0,1)で関数列がχ_[0,1/2], χ_[1/2,1), χ_[0,1/3), χ_[1/3,2/3)，χ_[2/3,1)・・・
のときは，∫_A f_n dμ → 0 (n→∞)だけど，f_nは至る所発散するNE！
（・3・）アルェー 結論を至る所収束する部分列が存在するに変えれば，真になるZO！
225: ◆yBEncckFOU
03/06/14 17:50
ぼるじょあはＮＥとかＺＯとか使わないぞ
226:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:11
（・3・）エェー ぼるじょあ◆yBEncckFOUは共同体で連続体で群生体だから
突然変異もあるかもYO！
ちなみにぼるじょあの巣はURLﾘﾝｸ(pc2.2ch.net) だYO！
227:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:24
>>226
（・3・）エェー 知らなかったＹＯ！
228:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/06/14 18:26
うざいぞ！ぼるじょあ
229:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:36
>>228
（・3・）エェー お前もぼるじょあじゃないかＹＯ！
230:１３２人目の素数さん
03/06/14 18:52
こういう対応関係があると思うんだけど、
リーマン積分→広義積分
↓ ↓
ルベーグ積分→？？？積分
？？？積分に相当するものはあるんでしょうか？
231:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:32
ファインマン積分だー
232:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:33
バイト見つけた。１０００円くれるってさ。
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233:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:55
>>231
それは絶対にうそ（ｗ
234:１３２人目の素数さん
03/06/15 05:05
リーマン予想とはζ(s)=0となるような点は自明な零点（ｓ＝－２，
－４，－６……）を除いて、あとはすべてｓの実数部分が１／２
であるような点であろうという予想です。
235:１３２人目の素数さん
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236:１３２人目の素数さん
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237:１３２人目の素数さん
03/06/15 13:15
漏ﾚ､落ちこぼれちゃってﾙﾍﾞｰｸﾞの有界収束定理が理解出来ずにかなり困ってます｡
どなたか定理の内容､使用例(使用上の注意も含めて)､それと証明を講義よりも教科書よりも数倍丁寧に教えてくれないでしょｰか?
238:mathmania ◆uvIGneQQBs
03/06/15 14:12
Re:>230
開区間上の非有界関数のルベーグ積分も、無限区間上の関数のルベーグ積分も
広義ルベーグ積分とは云わずに、ルベーグ積分と云っている。
ただそれだけのことだ。
239:１３２人目の素数さん
03/06/15 14:25
>>237
どこが分からないのか聞きましょうか？
240:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/15 14:40
（・3・） エェー くれないYO！ >>237
30講をよく読めYO！
自分でよく考えて，その上でわからないとこをポイントしぼって質問しないと，
ぼるじょあでも軽く放置だYO！
241:１３２人目の素数さん
03/06/15 14:41
>>237
数学をやめる。
242:１３２人目の素数さん
03/06/15 15:46
>>238
おお、そうなんですか。有難う御座います。
ルベーグってぎりぎりで広げられるだけ広げたんですね。
勉強する気になってきたゾ（ｗ
243:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:05
>>237
定理の内容：
ルベーグ積分の有界収束定理とリーマン積分におけるアルツェラの収束定理とは対応していて、
連続函数と可測函数の違いがあるが、同じものである。
極限と積分の順序交換が可能であることを保証してくれる。
244:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:08
>>238
うそをつくな。
広義積分は存在するが、ルベーグ積分は存在しない例がある。
例えば(sin x)/xなど。
つまり、一般にはそういうものはないということ。
245:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:25
Lebesgue 積分の拡張にもなっているとかいう
Henstock-Kurzweil 積分について教えてください
246:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:26
このスレをざっと見る限り、ルベーグ積分を勉強したい人はまずは志賀浩二さんの本を
嫁ということですか?
247:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:44
石村園子「すぐわかるルベーグ積分」東京図書
そのうち出そうだな。妙に売れるようなら鬱だ。
すでに出ている、超DQN向き本
松浦 武信, 高橋 宣明, 吉田 正広
物理・工学のためのルベーグ積分入門
東海大学出版会
って、どうよ。先生と生徒の会話形式（ｗ で、
「ほとんどいたるところ」証明は省略されている。
248:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/06/15 16:49
>>246
×志賀浩二さんの本を
○伊藤清三さんの本を
249:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/15 17:24
志賀浩ニさんの本って位相関係しか見た事ない
250:１３２人目の素数さん
03/06/15 17:49
>>243
Lebesgueの項別積分定理が分からないというのは、
Arzelaの項別積分定理とか積分記号下での微積分に関する定理とか
解析学の部分の勉強が十分ではないということだね。
こういう部分が十分に分かっていないからLebesgue積分を考える動機とかも
理解できない。
まず解析入門とかを読むべきでしょう。
251:１３２人目の素数さん
03/06/15 18:02
Lebesgue積分を考える動機というのはやっぱり
連続函数から可測函数にまで扱う函数の範囲を広げると
連続函数と可測函数の違いがどう理論に影響を与えるかということですよね。
函数列の極限が超函数（distribution）となる場合には
函数解析とかも考える動機となるという意味でも
Arzelaの定理は押さえておくべきですよね。
252:１３２人目の素数さん
03/06/15 19:17
Arzelaの定理は知らないﾔｼの方が多いだろう。
高木の解析概論では出てこない。証明が面倒だからかな？
小平の解析入門では定理5.10に出ている。
高木の解析概論ではLebesgueの項別積分の定理を項別積分の定理と呼んでいる。（定理90）
253:１３２人目の素数さん
03/06/15 19:59
>>252
解析概論のP.159に「その証明はむずかしいから、ここでは述べない」
と書いてあるね。
254:１３２人目の素数さん
03/06/15 21:08
>>251
結局、その辺りの定理は一様収束とか有界収束とかいった関数列の収束と関係していて
ある種類の「扱う函数」に対して「どんな収束」を使うと「どういった微分積分」が成り立つか
という視点が重要。
その微積分を使えば関数列の収束で近似して値を求めることができるというのが外測度の考えにも繋がっていく。
255:１３２人目の素数さん
03/06/15 22:36
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256:１３２人目の素数さん
03/06/15 23:05
>>252
Arzelaの定理はLebesgueの項別積分定理の特別の場合でしょう。
無理してリーマン積分の範囲で証明することもないといえる。
257:１３２人目の素数さん
03/06/15 23:31
>>256
定理の内容や証明について聞かれたから答えただけ。
そういう主義ならいうことはなにもない。
自分の好きなようにやればいい。
258:１３２人目の素数さん
03/06/16 07:51
Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
ただし、Arzelaの定理を使うまでもないというもの（たとえば一様収束する場合）は別ですが。
259:１３２人目の素数さん
03/06/16 14:38
>>247
ﾜﾗﾀ
260:１３２人目の素数さん
03/06/16 14:49
Ascoli-Arzelaの定理の応用例についてはこの本に詳しい。
俣野博「微分と積分３」岩波講座 現代数学への入門
特に「§3.6変分問題への応用」に詳しい解説がある。
曲線に関する古典的変分問題というのがあるのだけれど、
その中でも
[1]測地線
[2]光の経路
[3]等周問題
が特に知られている。
重要なのはこれらが解を持つということで、そこにAscoli-Arzelaの定理が使われる。
こういう問題意識はワイエルシュトラスが持ち込んだ。
ディリクレやガウスなどの変分法を用いた調和関数の構成法をディリクレ原理と呼び、
偏微分方程式論では重要ですが、これに欠陥がある事がワイエルシュトラスによって指摘され、
ここから近代解析学が発展してきたのです。
そういう歴史的にも重要なマイルストーンと思えば良いでしょう。
Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。
261:１３２人目の素数さん
03/06/16 16:25
解析学の入門時に、実数を勉強するけれども、そのときに「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」というのが出てくる。
ε-δ論法、デデキント切断、カントールの区間縮小法などに比べて、あまり印象に残っていないかもしれない。
この「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」の無限次元版として「アスコリ-アルツェラの定理」は位置付けられる。
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」では、与えられた「数列や点列」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
これに対して、「アスコリ-アルツェラの定理」では、与えられた「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
「アスコリ-アルツェラの定理」では、「関数列あるいは関数族」が連続関数である。
「ルベーグの有界収束定理」では、「関数列あるいは関数族」が可測関数である。
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」
↓
「アスコリ-アルツェラの定理」
↓
「ルベーグの有界収束定理」
この流れがあるので「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」が理解できているかが最初のポイント、
「アスコリ-アルツェラの定理」では一様収束でなく有界収束も成り立つ部分が２番目のポイント、
「ルベーグの有界収束定理」では連続関数でなく可測関数になっているのが３番目のポイント。
262:１３２人目の素数さん
03/06/16 16:54
>>237は無反応だけど、ここまでの話について来れなかったのでは（ｗ
263:１３２人目の素数さん
03/06/16 18:18
>>256
それは広義積分も含んでいるのかな？
264:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:13
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」＝（BW）
「アスコリ-アルツェラの定理」＝（AA）
「ルベーグの有界収束定理」＝（LC）
（BW）与えられた 「数列あるいは点列」 の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（AA）与えられた連続「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
265:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:19
それぞれの極限がどういうことを言っているかという例を挙げる。
（BW）有理数の列→無理数
（AA）連続関数列→不連続関数
（LC）可測関数列→可測でない関数
266:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:24
つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
ルベーグ積分の理論です。
267:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:45
>>260
>Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。
それはそうですが、項別積分に関するArzelaの定理とはちょっと違うような気がするんですが。
関係はあるでしょうが。
268:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:13
Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの定理
とりあえず、二つの定理の概要きぼんぬ。
前者は解析学んだ人なら、一度は聞いたことのある基本的な定理ですが、
後者は「漏れは」聞いたことがないっす。
それとも同一のものでしょうか？
269:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:38
>>268
漏れも聞いたことがないです。
検索してもよく分からなかった。
270:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:39
項別積分に関するArzelaの定理
実数値函数列 f_n(x), n = 1, 2, ... が区間[a, b]で連続で、一様に有界、
つまり、nに無関係な定数Mが存在して[a, b]でつねに、|f_n(x)| ≦ M
とする。さらにf_n(x)は、[a, b]で連続函数f(x)に点別収束するとする。
このときf_n(x)の[a, b]における積分は、f(x)の[a, b]における積分に収束する。
271:269
03/06/16 20:46
>>270
言われてみればそんな定理を聞いたことがあるような。
確かに有界収束定理に含まれてますね。
272:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:00
>>265
>(AA）連続関数列→不連続関数
一様収束する連続函数列の極限も連続ですが。
>(LC）可測関数列→可測でない関数
収束する可測関数列の極限も可測関数だが。
273:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:16
>>272
そういう揚げ足取りやめれば？
それとも、わざわざそういう特殊な例も考えられるようになるという意味で書いてあるのが
読み取れないほどのまぬけなのか？（藁
>>267-271
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という関係です。
Ascoliがノルム空間での形にArzelaの定理を変形して関数解析で使いやすくした。
基本的にはArzelaの定理と同じと思っていい。
274:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:26
>>273
すると、Ascoli-Arzelaの定理からArzelaの定理が出てくると？
面白い。（あなたでも、どなたでも）説明してくれませんか？
275:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:30
>>273
>そういう揚げ足取りやめれば？
揚げ足とりのつもりなんてこれぽっちもないです。
本心からあなたの言ってる意味が分からないのです。
Ascoli-Arzelaの定理から、どうやったら不連続関数が出てくるのでしょうか？
276:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:34
Ascoli-Arzelaの定理の応用例を挙げておく。
２階楕円型方程式の理論におけるRellichのコンパクト性定理の証明で使用する。
変分問題におけるディリクレ原理は、ソボレフ空間を土台とした楕円型方程式の
L^2理論として完成された。
それはスペクトル理論と楕円型境界値問題の可解性との関係を示した。
その出発点となるのがRellichのコンパクト性定理である。
また、ヒルベルト-シュミットの対称核積分方程式論における固有値問題でも、
その固有値の存在定理の証明でAscoli-Arzelaの定理を使用する。
277:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:36
>>274-275
やだね。
278:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:41
>>277
出来ないからじゃない？ 藁
279:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/16 22:42
（・3・） エェー AAの極限は連続関数だC，
LCの極限は可測関数だYO！
280:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:43
>>276
参考書希望。
281:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:49
私は、>>258ですが。
>Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
と書いたのは、Ascoli-Arzelaの定理の応用例を聞いたわけではないです。
Arzelaの定理の応用を聞いたのです。Arzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理は違います。
282:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:50
BWもAAも、近似定理の類ではないと思いますが。
極限の存在を保証する定理では？
283:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:52
可測関数の極限が（存在すれば）可測なのは、有界収束定理以前の話だと思いますが。
測度の単調収束定理から来ているのでは？
284:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:23
>>283
だれも可測関数の極限が可測なのは、有界収束定理から来るとは言ってないですが。
285:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:27
Ascoli-Arzelaの定理
点集合Ｄ上の連続関数の族Ｆが以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)ＦはＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Ｆの元からなる任意の関数列f_1,f_2,f_3,…は、
Ｄ上でコンパクト一様収束する部分列をもつ。
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。（f(ｘ)＝lim（n→∞）f_n(ｘ)）
このとき、f(ｘ)がＤで連続ならばΣf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
286:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:29
Ascoli-Arzelaの定理の証明はよく見かけるが、
Arzelaの定理の証明は小平「解析入門」でしか見たことが無い。
287:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:39
>>278-280
＞参考書希望。
やだね。
288:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:43
>>286
前に書いたようにArzelaの定理はLebesgueの有界収束定理からすぐ出る。
289:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:45
>>287
なにむくれてんだ？ 間違いを指摘されたからか？
290:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:56
>>288
歴史的に、Arzelaの定理とLebesgueの有界収束定理とどちらが先に証明されたか知ってるか？
そう言う意味で書いてみた。Arzelaの定理はハウスドルフによる初等的証明がなされたのは
1927年だが、ArzelaはLebesgueの有界収束定理から導いたのか？
291:１３２人目の素数さん
03/06/17 00:52
Ascoli-Arzelaの定理の証明は対角線論法で証明する。
Arzelaの定理はハウスドルフの初等的証明による以外は分からない。
そもそもArzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理はどちらが先に発見されたんだ？
292:１３２人目の素数さん
03/06/17 02:19
Arzelaの定理って聞いたこと無いなと思ったら、有界収束ではない一様収束バージョン
の定理が書いてあった。しかもこのバージョンの定理には名前がついてない。
リーマン積分の範囲ではArzelaの定理のように有界収束まで条件を緩める必要が無いのと、
有界収束の説明をするのが大変だから、それとArzelaの定理の証明が難しいという理由なんだろうな。
でもせめて名前ぐらいあっても良いのに。例えば、Arzelaの項別積分の一様収束定理とかさ。
長いけど。
293:１３２人目の素数さん
03/06/17 02:31
こういう２つの流れがあるのは分かった。
Borzano-Weierstrassの定理
↓
Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの項別積分定理
↓
Lebesgueの有界収束定理(Lebesgueの項別積分定理)
でもAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事はできるのかな？
条件部分は同じだからうまく出来そうな気がするんだけど。
294:１３２人目の素数さん
03/06/17 03:21
>>293
志賀30講のP.159-162より
（ ★ ）f(x)が連続 ⇒ G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは微分可能
（★★）f(x)が有界で積分可能 ⇒ G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは連続
といえるけど、これからAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事ができないかな？
295:１３２人目の素数さん
03/06/17 06:12
>>270と>>285のArzelaの定理が
同じものに見えないのですが・・・
296:１３２人目の素数さん
03/06/17 07:41
>>290
もちろんLebesgueの有界収束定理が先だろ。
だがどちらが先とかいう数学史的事実は、有る定理の証明を我々が学ぶ場合に関係ない。
簡単なほうがいいだろ、普通？
初等的証明というのは一般的にいって難しく、透明でないのだよ。
だからこそ初等的証明がされるのは時代が後になるのだ。
297:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:03
Arzelaの定理が発表されたのは1885年だっけ
Osgoodが1897年に再発見するわけだ
Lebesgue積分の理論が世に出たのは1902年
298:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:09
>>297
当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。
299:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:21
ていうかむしろArzelaの定理の初等的でない証明を知りたいが。
一体何を使って証明してるんだ？
300:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:48
300ゲッツ&リターン>>299
301:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:54
アンドリバース>>300
302:人間の商品化、全体主義への一歩
03/06/17 09:54
●●●マスコミの 「盗聴／盗撮」 は許されるの？その７Ａ●●●
URLﾘﾝｸ(natto.2ch.net)
38 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co
フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。
とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、
カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。
マスコミをとにかく用心するに超したことはない。
取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。
39 名前： >38 投稿日： 01/11/09 21:33 ID:qM1FVdrM
蛆は自爆か（Ｗ
カミングアウトをするより、盗聴を止めろ
置かれた盗聴機はいつ撤去するんだよ？
そんなことを電波に流されたからって、不安で寝れやしない。
40 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 22:32 ID:GPVrbaOJ
マスコミ相手にしても仕方ないぜ。まじで自分らの生活を死守する方が大事。
テレビ・ラジオは出来る限り無視しよう。ついつい見聞きするから調子に乗らせる。
今後世の中どうなっていくかわからんのだから、必要な情報のみ入手して身の保全を
図れ。いい加減な娯楽メディアは放っておくべし。
303:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:56
アーンドスキップスキップ>>301
304:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:09
折れは「Arzelaの定理」を、有界収束定理のリーマン積分版（収束先も積分可能と
いう条件を付け加えただけ）と理解していて、ここまでの議論でも何人かはそう理
解しているように見える（たしか小平に載ってるのとかハウスドルフの証明うんぬ
んってやつもそれだったはず）。
しかし、>>285の「Arzelaの定理」は違う主張のようだ。関数項級数の項別積分とい
う形になっているための違い（余分な条件もそのせいか）とも思ったが、>>285に書
いてある主張って、なんだか変じゃない？
S_n(x) = Σ[k=1～n]f_k(ｘ) の有界性やS(x)=lim[n→∞]S_n(x)の存在やその積
分可能性のことと、{f_n(x)}の一様有界性やf(x)=lim[n→∞]f_n(x)のことはとり
あえず別でしょ？
（だいたい、lim[n→∞]S_n(x) が存在するためには f_n(x)→0 が必要じゃ？）
>>285の「Arzelaの定理」のソースきぼん。
305:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:15
杉浦光夫の解析入門ⅠのP.310によれば
一様収束のバージョンを「項別積分の定理」、
有界収束のバージョンを「Arzelaの定理」と呼ぶらしい。
杉浦の本の索引にも「Arzelaの定理」の項目は無かったので探し難かった。
306:１３２人目の素数さん
03/06/17 15:11
項別積分とArzelaの定理はこうだと思うんだけど。
項別積分定理
連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で一様収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
Arzelaの定理
連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で有界収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
これを>>285風に書きかえると
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
どこかおかしいかな？
307:１３２人目の素数さん
03/06/17 15:19
>>306の最後は間違えた。こうなるんじゃないの？
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
308:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:05
>>307もおかしいな。こうかな？
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup｜S(ｘ)｜＜∞。（S(ｘ)＝Σf_n(ｘ)）
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
309:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:16
>>290,>>296-298の話って笑うよな。しかも>>304でやり返してるよ（ｗ
＞当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
＞議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。
明らかにテキトーなことを言っただろうに
といってみるテスト
310:まおまお
03/06/17 16:44
変化速度についていけないので、よく分かりませんが、（>>304の指摘
にもあったように）f_n(x)の一様連続性ってのは、やっぱり関係して
くるんでしょうか？
仮に関係してくるんだとして、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」って
いう書き方だと、各f_n(ｘ)がそれぞれ（独立に）一様連続であるように
見えませんか。これって確か、「全部のf_nが同条件で」一様連続でした
よね？ それとも、>>308の場合は違うのかしらん。
311:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:54
>>310
「一様連続」と「同等連続」は異なる概念。
312:まおまお
03/06/17 17:13
あ、そうなん？
313:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:13
ええと、確かこうだったよな：
f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε
{f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε
要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の
点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して
一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。
だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり
にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味
にとらなければならない。
（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
314:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:26
>>281
Arzelaの定理の応用例
小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、
定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11
という各定理です。
特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が
解説されています。
315:まおまお
03/06/17 17:35
>>313
おお、解説thanks！
>（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。
で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。
{f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、
ってのは、合ってますかね？
316:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:41
Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。
11.28 Theorem (Arzela-Ascoli)
Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex
functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E.
Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on
every compact subset of X.
317:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:53
Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？
318:１３２人目の素数さん
03/06/17 18:04
Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。
Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、
Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。
319:１３２人目の素数さん
03/06/17 18:44
Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、
Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？
小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。
320:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:12
>>308
区域っていう用語は聞いたことがないんですが、
Euclid空間の有界領域のこと？
321:１３２人目の素数さん
03/06/17 21:58
初等的証明＝Lebesgue積分を使わない
という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。
別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。
ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。
322:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:19
>ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。
そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、
あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、
さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？
323:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:20
>>321
わからんなら書くな。恥の上塗り。
324:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:25
>>321-322
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
325:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:34
ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。
326:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:35
>>325
分かればいい。二度とするな。
327:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:51
>>325-326
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
328:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:55
>>321-322
そんなことは>>243が既に書いている。
Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。
329:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:59
あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？
330:１３２人目の素数さん
03/06/18 00:00
URLﾘﾝｸ(yahooo.s2.x-beat.com)
331:１３２人目の素数さん
03/06/18 00:37
>>329
誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。
自重してくれないかな。迷惑なんだよ。
332:１３２人目の素数さん
03/06/18 01:54
自分で進めりゃいいのに
333:１３２人目の素数さん
03/06/18 02:00
>>328
Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから
Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？
なんか文句有るのか？
334:１３２人目の素数さん
03/06/18 03:34
えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を
自分で調べてから言わないのだろう・・・
335:334
03/06/18 04:50
俺の大学には、Arzelaの論文はない。
夏休みにでも、取ってくるか。
ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。
336:１３２人目の素数さん
03/06/18 07:21
>>335
Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。
337:１３２人目の素数さん
03/06/18 11:50
>>317
一様収束のときの定理は載ってる。
Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは
Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。
338:１３２人目の素数さん
03/06/18 12:14
>>336
Arzelaはイタリア人だけど，論文ならイタリア語は使ってないんじゃないかな？
339:１３２人目の素数さん
03/06/18 13:11
>>336,338
古い論文だから、直接見るのは難しいけど
論文のタイトル見れば、何語かはわかるよ。
340:１３２人目の素数さん
03/06/18 21:01
>>338
甘い。代数幾何学で有名なEnriques, Castelnuovo, Severiなどは、イタリア語で書いている。
341:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:02
>>340
ザリスキーもかなりの数の論文はイタリア語でしたね。
342:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:32
イタリア人ってのは一種、独特の天才的なところがあるな。芸術家だってレオナルドや
ミケランジェロのような超天才がいるし、スポーツカーのフェラーリやランボルギーニだって
ポルシェより美しい。女性も綺麗だ。ジーナ・ロロブリジーダ、シルバ・コシナ、
クラウディア・カルディナーレ、オルネラ・ムーティとか。
343:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:32
Arzelaの定理はこの本のp.228にも載ってるよ
と言ってみるテスト。
T.M.Apostol "Mathematical analysis"(1974: Addison-Wesley)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
344:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:42
>>331だけど、Arzelaの定理ってヒルベルトがディリクレ問題の論文を書くよりも
前に発見されてたんだね。論文を見つけたよ。でも>>333は知ってるだろうから
ここに書くまでも無いな（ｗ
345:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:05
>>344
論文を手に入れてない（うちの大学にない）から、確認したいんです。
637 ページから始まる論文であってますか？
自分で論文を調べられないようなDQNを排除したいので、
タイトルや雑誌名はあえて伏せます。
346:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:30
>>345
調べられないDQNは、お前だろう。
347:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:35
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", ####.####. ##(####), pp.135-137
からも辿れるとだけ言っておく。これでいいかな？>>345
348:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:38
>>346
排除されて悔しがってるよ（ｗ
349:345
03/06/18 23:49
>>347
その論文でしたら、あります。
ありがとうございました。
350:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:54
>>347-348
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
何も勿体ぶるこたあないだろ。小平の本に書いてある。
351:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:00
>>305
「項別積分の定理」→「拡張された項別積分の定理」
「Arzelaの定理」→「Lebesgueの項別積分定理」
「拡張された項別積分の定理」は広義積分での条件。
「Lebesgueの項別積分定理」はLebesgue積分での条件。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」は共にリーマン積分での条件。
なぜリーマン積分には２つの条件があるのか？
それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
その違いは一様収束と有界収束というもの。
そしてこの条件の違いが広義積分可能だがLebesgue積分が出来ないという場合が存在する
ことに深く関係している。
広義積分とLebesgue積分の違いを良く理解する為にも「Arzelaの定理」の証明の複雑さは
良く考える価値のあるものだ。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」の比較は面白い。
352:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:11
しかし、あれだな。
古い論文を読むようになると独語、仏語、伊語、露語などを読む羽目になって
かなり語学の部分で苦労しますね。
若いうちに語学力をつけておくと文献を読めるし、交流範囲も広がるしお勧め。
353:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:21
英語、独語、仏語の論文は読めるのが最低条件。
ガロアやラマヌジャンのような天才は別だが。
354:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:30
>>351
すみません。
＞それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
の意味がよくわからないです。両方の定理とも項別積分ができるための十分条件
ではないのでしょうか。
355:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:57
>>354
すみません。変な書きかたしてしまって。
もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
「項別積分の定理」で使う、
『一様収束』は項別積分が出来るための十分条件であるが必要条件ではない。
一方、「Arzelaの定理」で使う、
『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
その違いは一様収束と有界収束というもので、
広義積分とLebesgue積分の違いに繋がっているという意味です。
「Lebesgueの項別積分定理」を広義積分にも対応する様に拡張できない理由が
そこにあります。
356:１３２人目の素数さん
03/06/19 01:41
Arzelaの定理(1885年)
Osgoodの再発見(1897年)
Lebesgue積分(1902年)
Arzelaの定理のハウスドルフによる初等的証明(1927年)
この年代を考えてもArzelaやOsgoodが項別積分の必要条件を考察した動機が気になるな。
ディリクレ問題なのかな？
357:１３２人目の素数さん
03/06/19 02:45
独語はわりとすんなり読めるけど
仏語はどうも苦手だ
英訳が無いか必ず探してしまふ
358:１３２人目の素数さん
03/06/19 11:18
>>355
＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？
359:１３２人目の素数さん
03/06/19 11:30
「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門 測度と積分」（梅田亨）には、Arzela
の定理に関してこう記述しています：
（p.71)
…この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから,
藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦
『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく,
Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証
明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書）
などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの
文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み
ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である.
360:359
03/06/19 11:32
すみません 「数学セミナー」2003年1月号でした
361:１３２人目の素数さん
03/06/19 13:28
連続性や微分可能性や積分可能性などの
注目している解析的性質は、
適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。
362:１３２人目の素数さん
03/06/19 13:52
>>342
イタリア女優ってきりっとした顔だね。
写真のあるページを集めてみた。
オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？
ジーナ・ロロブリジーダ
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
シルバ・コシナ
URLﾘﾝｸ(koscina.hp.infoseek.co.jp)
クラウディア・カルディナーレ
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
オルネラ・ムーティ
URLﾘﾝｸ(www.fmstar.com)
363:１３２人目の素数さん
03/06/19 15:33
>>355
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
というのは、やはりおかしくないでしょうか？
例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。
すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、
∫_[0，1] f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。
>>355とは関係ないですが、上のほうで
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は
「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための
必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門Ⅰによると
「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」
となっています。
有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列
ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？
364:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/19 21:26
下がってるなageよう
365:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/19 21:26
あがってないしね
366:１３２人目の素数さん
03/06/19 21:28
>>362
俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン
に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。
スレ違いなので、このへんで。
367:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/20 02:00
み、みんな！
お、落ち着けYO！
/∧＿/∧ /∧＿/∧ ｵﾛｵﾛ
（(・・εε・・;;)） ((;;・・３３・・)） ｵﾛｵﾛ
// ＼＼ // ＼＼ ｵﾛｵﾛ
⊂⊂(( ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ// )) つつ ｵﾛｵﾛ
しし(（＿）) (（＿）)ＪＪ
368:１３２人目の素数さん
03/06/20 06:04
>>363
このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ
369:１３２人目の素数さん
03/06/20 06:29
そういう口出しは余計なお世話ですぞ。
370:１３２人目の素数さん
03/06/20 08:36
いや、でも同感だね。
有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。
釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。
371:１３２人目の素数さん
03/06/21 10:32
無線機設計を携わっている技術者ですが
関数についておたずねします。
グラフの形状から関数を求めるときに
ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。
反比例関数にｘ軸を対数にして、
傾きが直線になった時は
マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？
Aは任意の値で
Y=10－AX （－AＸは上付きと考えて下さい）
逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時
Y=Ａ/X
として考えればいいのでしょうか？
372:Nanashi_et_al.
03/06/21 10:36
URLﾘﾝｸ(diary4.cgiboy.com)
373:１３２人目の素数さん
03/06/21 10:41
>>371
意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として
意味が分からないのだよ。
374:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/21 12:32
ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ)
375:１３２人目の素数さん
03/06/21 16:51
K.Yosida "Functional Analysis"
この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。
他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。
この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、
各国語に翻訳されている様だ。
376:１３２人目の素数さん
03/06/21 18:25
そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？
377:１３２人目の素数さん
03/06/21 18:43
>>363
結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて
混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。
>>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。
＞（LC）可測関数列→可測でない関数
＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
＞ルベーグ積分の理論です。
など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同
したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ）
＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば
ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。
（どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的
定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。）
もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位
相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の
ヒントがあるので参照を薦める。）
378:377
03/06/21 18:57
>>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証
明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、
有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流
にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。
（ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ）
それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
もわかってないようだ」とか書いてた）。
「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ
り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。
379:345
03/06/22 18:46
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。
別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、
違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。
380:１３２人目の素数さん
03/06/23 19:13
ルベーグ積分つったらザックス流だろ。
ハルモス流は糞。
381:１３２人目の素数さん
03/06/23 20:50
>>380
興味ある。詳細希望。
382:１３２人目の素数さん
03/06/23 20:52
>377
>もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。
どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。
383:377
03/06/25 01:31
>>382
「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。
指定した文献を読んでくれ。
おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、
Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス
コリの定理。
Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。
どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。
（そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。）
384:１３２人目の素数さん
03/06/25 16:57
>>380
ザックスって誰?
385:１３２人目の素数さん
03/06/25 22:16
>>384
ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks.
386:１３２人目の素数さん
03/06/26 23:07
ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと ｶｷｶｷφ（°_°）
387:１３２人目の素数さん
03/06/27 22:32
>>380 >>385
URLﾘﾝｸ(www-gap.dcs.st-and.ac.uk)
この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。
ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。
URLﾘﾝｸ(webcat.nii.ac.jp)
つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。
大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか?
Saks 流のが多いのかな?
388:１３２人目の素数さん
03/06/27 23:37
ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。
389:１３２人目の素数さん
03/06/28 00:42
Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は
どこかに紹介されていないでしょうか？
「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に
変えられました。
390:１３２人目の素数さん
03/06/28 06:35
>>389
Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？
391:１３２人目の素数さん
03/06/28 10:04
=========================
Remarks:
- Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by
considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions.
- It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it,
however,only for continuous functions.
In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem.
Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM.
For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood),
see the works listed below.
REFERENCES :
[1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian),
Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215.
[2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
[3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie
Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724).
[4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles",
Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41).
[5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables
B ",
Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188.
[6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the
Theory of Fourier's series" ,
t.II, 2-end ed., 1926, 131-132.
[7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales
Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375)
[8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto
Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780.
[9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190.
392:１３２人目の素数さん
03/06/28 10:12
URLﾘﾝｸ(www.k-514.com)
拾ったサンプルムービー集めたよ
393:１３２人目の素数さん
03/06/28 11:37
ここまでの情報をまとめてみよう。
Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。
>>345,>>391
ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
Osgoodの再発見はこの論文。
>>356
OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190
ハウスドルフの証明はこの論文。
>>347,>>350
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
394:１３２人目の素数さん
03/06/28 11:51
上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ－マン積分可能な函数列を扱っている。
Osgoodは連続函数列のみを扱っている。
395:１３２人目の素数さん
03/06/28 12:50
ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。
"Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ）
396:１３２人目の素数さん
03/06/28 12:53
『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。
397:１３２人目の素数さん
03/06/28 14:51
19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。
これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。
そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。
398:１３２人目の素数さん
03/06/28 14:55
チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ!
こういう流れの先頭にある定理だったかな？
チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理
↓
アスコリの定理
399:１３２人目の素数さん
03/06/28 15:18
>>395
Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。
400:１３２人目の素数さん
03/06/28 15:30
>>380
「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。
たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎
関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」
でやると可測条件がわかりやすいのが利点。
次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と
位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が
必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり
違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？
第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。
第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して
おいて実質を調べるか。
積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下
積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ
てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。
そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、
2^nとおりになると。
しかもみな一長一短で、「決定版」がない。
401:１３２人目の素数さん
03/06/28 20:56
アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、
どの定理も有名ではないかも知れないけど、
続々と重要な定理が登場しますね。
402:１３２人目の素数さん
03/06/28 22:18
まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。
もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。
もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。
そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。
一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。
403:１３２人目の素数さん
03/06/29 00:05
>>383によると
アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。
アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。
ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。
もしかしてこういうながれがあるのかなあ？
ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理