03/02/26 09:06
＞＞149
その関数は、明らかに有理数の点においては不連続だが、
無理数の点において連続であることは、ε-δ論法によってわかる。
無理数をαとして、qを整数、pを正整数として、pを固定するとき、
αにq/pをどれだけ近づけられるかを考えてみよう。
私は問題提起をしよう。
有理数すべてにわたる列{q_n}を考える。
区間の列(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n)のn=1,2,3,…の和集合をUとする。
果たして{q_n}をどのようにとってもU≠Rだろうか？
(もちろん、U=Rとなると、Rのルベーグ測度が1になってしまい、矛盾する。)
151:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/26 09:09
すまぬ、1になるとは限らない。
だがそれでもルベーグ測度は1以下になる。
152:１３２人目の素数さん
03/02/26 10:08
>>150
あ、それ答え知りたいです！
昔自分で考えたときは、Rが局所コンパクトであることを使えばいいかな
と思ったりしましたが。
153:2やんねるで超有名
03/02/26 10:12
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154:152
03/02/26 10:13
あ、昔考えた問題と微妙に違うようですね。
私が考えた問題のときは1/2^nにεがかけてありました。
いずれにしても明快な解答キボンです。
もちろん、ルベーグ測度の可算加法性は証明には使用しないんですよね？
155:Quserman ◆KeLXNma5KE
03/02/26 10:14
＞＞152
うーん、{q_n}を一般にとる場合は、まだ答えを見つけていないのです。
では、手始めにこんな問題からいってみよう。
(q_n-1/2^n,q_n+1/2^n) (n=1,2,3,…)がルート2を含まないように、
{q_n}を選べ。ただし、q_nはすべての有理数をわたるようにせよ。
156:152
03/02/26 13:23
やっぱりどうしても、有限区間の有限直和からなる集合環(有限個の和と共通部分、
およびA-Bの演算で閉じている)上に自然に定義される”長さ”の有限加法性と
有限劣加法性は使いたくなるなあ。そうすれば、閉区間[-n,n]はコンパクトだから
有限個の開集合で覆われて、有限劣加法性から矛盾しないかなあ。
でもそうすると、有限加法的な”長さ”が定義できることを示さないといけないか。
それって簡単でしたっけ？
157:１３２人目の素数さん
03/02/26 15:06
>>148
根拠がデタラメだった。発言撤回しまつ。
158:１３２人目の素数さん
03/02/27 03:13
期待age
159:１３２人目の素数さん
03/02/27 20:59
一緒に氏んでくれる？
160:１３２人目の素数さん
03/03/01 20:51
>>159
ここはそういうスレじゃないよー
161:１３２人目の素数さん
03/03/01 23:15
あと40
ドキドキわくわく
162:１３２人目の素数さん
03/03/02 11:44
どきどきわくわく
163:１３２人目の素数さん
03/03/02 21:22
200までのつなぎ。
無理数で微分可能、有理数で微分不能な連続函数って存在する？
164:１３２人目の素数さん
03/03/03 02:56
有理数で尖ってるような鋸型の関数の無限和を取れば…。
165:１３２人目の素数さん
03/03/03 05:01
∩
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166:１３２人目の素数さん
03/03/03 19:09
>>164
うまく取らないと、高木函数みたいにならない？
167:１３２人目の素数さん
03/03/04 16:12
>>166
ってかそのうまい取り方がわからん。
誰か考えて。
168:１３２人目の素数さん
03/03/04 23:16
稠密な点で微分不能な連続函数は存在するが、
証明がわからんなあ
169:１３２人目の素数さん
03/03/06 01:34
age
170:１３２人目の素数さん
03/03/08 19:41
あと30
171:１３２人目の素数さん
03/03/09 16:53
期待あげ
172:１３２人目の素数さん
03/03/10 04:30
Σ＿｛ａ∈Ｚ，ｂ∈Ｚ，０＜ｂ｝（｜ｘ－ａ／ｂ｜／（ａ＾２＋ｂ＾２）＾２）。
173:１３２人目の素数さん
03/03/10 18:58
>>172
どっちの例？
いたるところ微分可能でない連続関数か
稠密な点で微分可能でない連続関数か？
174:１３２人目の素数さん
03/03/10 19:12
全ての有理数点で微分不能な関数と見た。
175:１３２人目の素数さん
03/03/13 02:12
高木函数
f(x)=Σ_[n:0→∞]p(2^n x)/{2^n}
ただし、p(x)=|x-[x+1/2]|
176:１３２人目の素数さん
03/03/13 02:45
〉175
んなの知ってるよぅ。
おいおい久々に来たらこのスレ氏に書けてんじゃねーかよ、
200まで逝って早いトコ歴史に恥晒せよオイ
177:山崎渉
03/03/13 12:55
（＾＾）
178:173
03/03/13 13:32
>>176
いや、172と175とで「微分可能でない点」が変わるのかどうか
ってことが問題なのだが。
179:１３２人目の素数さん
03/03/21 01:15
あと21
180:
03/03/21 01:17
jack nicol soon
181:１３２人目の素数さん
03/03/22 23:49
ソボレフ空間を詳しく知りたくてブレジス買ったんだけどさぁ，
この邦訳は一体なんなの？
「絶対に知っていなくてはならない積分についてのいくつかの結果」
とか、
いつの時代の言語なのか、「～なかんずく次が成立・・・」
この「なかんずく」は１０回くらい出てる。
この訳者は厨房に違いないよ。
藤田のおっさん、監訳なのに何してたんだよコラ！
しかも数学用語のカッコ書きが仏語で辞書的にも使いづらい。
肝心のソボレフ空間は詳しいけど、やっぱ読みづらい・・・。
182:１３２人目の素数さん
03/03/22 23:58
＞181
ポストモダン解析学 シュプリンガー
にしる。
183:１８１
03/03/23 00:12
＞１８２
あれさあ、（女の人が訳してるけど）問題の解答ないぢゃん？
しかも前半が微妙に要らないくないスカ？
確かにわかりやすいのは認めるますよ。
ということでコーサクの『Functional Analysis』を
アマゾソに注文したのだが、１ヶ月経っても届かない・・・。
ちなみにＭ輪姦で買うのと同じ値段。
あの店みんなでなんとかしようぜ。
184:１３２人目の素数さん
03/03/23 01:18
ねえ２００まだ？
二○○まだ？
185:１３２人目の素数さん
03/03/23 11:29
期待
186:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:41
位相解析age
187:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:52
加藤敏夫sage
188:１３２人目の素数さん
03/03/26 15:53
位相はクライソー
189:１３２人目の素数さん
03/03/26 16:20
もうすぐ200だが、果たして>>100=79はまだ居るのだろうか
190:１３２人目の素数さん
03/03/26 17:09
あと１０
191:１３２人目の素数さん
03/03/26 18:17
>189
漏れもそれが非常に心配だ
192:１３２人目の素数さん
03/03/26 23:30
８
193:１３２人目の素数さん
03/03/26 23:33
7
194:１３２人目の素数さん
03/03/27 00:02
6
195:１３２人目の素数さん
03/03/27 05:27
5get
196:１３２人目の素数さん
03/03/27 06:00
>>200にはやっぱ>>100=>>79とは違うバカが
200げっと～
とか書き込むんだろうな。
197:１３２人目の素数さん
03/03/27 13:32
3
198:１３２人目の素数さん
03/03/27 16:40
２
>>196
で、>>100=>>79が200を取られたので、書けませんでしたと言い訳
199:１３２人目の素数さん
03/03/27 17:26
のこり1
200:７９
03/03/27 21:09
実は、この時期は忙しいので、
正解は、またいつか載せることにしましょう.
では、みなさんまた、いつか.
201:１３２人目の素数さん
03/03/27 21:12
人 ｳﾝｺ ｼｭｰﾘｰｹｰﾝ ｳｵｯ ｼﾝﾍｲｷｶｰ
（ ）∩
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（ ヽ/ ／⊃／ ← >>79
ﾉ>ノ （ ,-○
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202:１３２人目の素数さん
03/03/27 23:43
てめぇ、ナニイってンだこラ
203:１３２人目の素数さん
03/03/28 00:16
>>200
あほか
一ヶ月以上も期間があってそれか
かわすにしても気のきいたレスしろよ
204:１３２人目の素数さん
03/03/28 04:14
２００はニセモノ臭い
がホント最悪
205:１３２人目の素数さん
03/03/28 05:31
URLﾘﾝｸ(p-area.net)
これ解る人っているの？
206:１３２人目の素数さん
03/03/28 05:33
>>205
ぐろ。
207:１３２人目の素数さん
03/03/28 08:09
２００で正解（ 簡 単 で す ）を載せます。お楽しみ．
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208:山崎渉
03/04/17 09:56
（＾＾）
209:山崎渉
03/04/20 04:13
∧＿∧
（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
210:１３２人目の素数さん
03/04/27 20:18
(´･∀･｀)ﾍｰ
211:_
03/04/27 20:22
（ ´∀｀）/＜ 先生！！こんなのを見つけました。
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212:１３２人目の素数さん
03/05/13 03:57
ルベーグ測度を入れれば積分を考えられる、ってのは分かる。
けど微分も考えられる、ってどういうことだ？
213:１３２人目の素数さん
03/05/13 12:32
>>35
ルベーグ積分はリーマン積分の拡張じゃないよな。
ルベーグ積分が定義されないが、リーマン積分できる関数があったような
記憶があるが。
たしか、振動しながら、０に近づくような関数。
214:１３２人目の素数さん
03/05/13 13:49
>>213
sin(x) / x とかだろ。
無限区間のルベーグ積分は、直接定義するため、絶対収束の場合しかカバーしない。
したがって「直接定義されたルベーグ積分」としての ∫(0～∞) sin(x)/x dx はない。
しかし、lim[A→∞] ∫(0～A) sin(x)/x dx は存在する。
そして、リーマン広義積分の∫(0～∞) sin(x)/x dx と一致する。
リーマン広義積分は、最初から lim[A→∞]∫(0～A) sin(x)/x dx と定義しただ
けのことなので、別にリーマン積分が偉いわけではない。
215:１３２人目の素数さん
03/05/13 14:06
>>212
ひとつは、測度論のおかげで、「ほとんどいたるところ微分可能」とか、そう
いう命題が書けるようになる利点。
簡単な例をあげると、f(x)=-1 (x<0) : =1 (x≧0) は任意の区間で積分可能で、
F(x)=-x (x>0) : =x (x≧0)になる。しかしF'(x)=f(x)は、原点では成り立たない。
「そんな一点くらいのことで…」という感覚は、「測度0の集合」を無視すること
で保たれ、最終的に広い範囲の関数をカバーしたきれいな定理が書ける。
もうひとつは、微分といっても瞬間速度のようなものだけでなく、密度微分のような
ものが（初等的にも）ある。密度とは、質量や電荷を、長さ（体積）で割ったものを、
一点に極限させたもの：
∫[a～a+h]f(x)dx / ∫[a～a+h]dx → f(a) (h→0)
という感じ。
これを厳密につきつめていくと、ルベーグ積分論のラドン・ニコディムの定理
になる。
初等的な場合は同じ「微分」であっても、精密な数学になるといろいろ分化し
ていくという例。
216:１３２人目の素数さん
03/05/13 22:04
フレッシェ微分って何ですか？
217:１３２人目の素数さん
03/05/14 00:41
>>214
なるへそ。俺の理解不足か。
218:１３２人目の素数さん
03/05/14 15:35
>>216
おおざっぱにいうと、ノルム空間（一般には関数空間などの無限次元空間）において、
ノルムの収束で定義した微分
219:山崎渉
03/05/21 22:39
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
220:山崎渉
03/05/21 23:29
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
221:山崎渉
03/05/28 15:21
∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎―◎ 山崎渉
222:１３２人目の素数さん
03/05/31 23:30
７９
リーマン積分不可、アッパーリーマンサムとローアーリーマンサムは１と０で一致しない。
有理数はメジャー０、カウンタブルなのでｅ／２＾ｎのオープン区間でかこめる。その和は＜ｅ。
だからルベーグ積分はｆ＝０で０。この問題どこに書いてあったの？
223:１３２人目の素数さん
03/06/09 19:49
他スレで質問したのですが，1000までいってしまいました．
質問させて下さい．
(X,B,μ)を測度空間．f,f_1,f_2,…をB可測な可積分関数．
任意のA∈Bに対して，
∫_A f_n dμ → ∫_A f dμ (n→∞)
のとき，f_n → f a.e.(B,μ)
この命題は真でしょうか？
偽でしょうか？
224:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 14:42
（・3・） エェー 質問ｓａｇｅてたらわかんないYO！
反例あるYO！
X=[0,1)で関数列がχ_[0,1/2], χ_[1/2,1), χ_[0,1/3), χ_[1/3,2/3)，χ_[2/3,1)・・・
のときは，∫_A f_n dμ → 0 (n→∞)だけど，f_nは至る所発散するNE！
（・3・）アルェー 結論を至る所収束する部分列が存在するに変えれば，真になるZO！
225: ◆yBEncckFOU
03/06/14 17:50
ぼるじょあはＮＥとかＺＯとか使わないぞ
226:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:11
（・3・）エェー ぼるじょあ◆yBEncckFOUは共同体で連続体で群生体だから
突然変異もあるかもYO！
ちなみにぼるじょあの巣はURLﾘﾝｸ(pc2.2ch.net) だYO！
227:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:24
>>226
（・3・）エェー 知らなかったＹＯ！
228:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/06/14 18:26
うざいぞ！ぼるじょあ
229:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/14 18:36
>>228
（・3・）エェー お前もぼるじょあじゃないかＹＯ！
230:１３２人目の素数さん
03/06/14 18:52
こういう対応関係があると思うんだけど、
リーマン積分→広義積分
↓ ↓
ルベーグ積分→？？？積分
？？？積分に相当するものはあるんでしょうか？
231:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:32
ファインマン積分だー
232:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:33
バイト見つけた。１０００円くれるってさ。
URLﾘﾝｸ(f15.aaacafe.ne.jp)
233:１３２人目の素数さん
03/06/14 21:55
>>231
それは絶対にうそ（ｗ
234:１３２人目の素数さん
03/06/15 05:05
リーマン予想とはζ(s)=0となるような点は自明な零点（ｓ＝－２，
－４，－６……）を除いて、あとはすべてｓの実数部分が１／２
であるような点であろうという予想です。
235:１３２人目の素数さん
03/06/15 05:07
【皇室板】つくろう！【ロイヤル板】
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色々なところなどに貼りつけて下さいませませ。
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236:１３２人目の素数さん
03/06/15 05:14
二代目数学学習マニュアル（大学生、院生編）
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関数解析の本の話で盛りあがってますね。
237:１３２人目の素数さん
03/06/15 13:15
漏ﾚ､落ちこぼれちゃってﾙﾍﾞｰｸﾞの有界収束定理が理解出来ずにかなり困ってます｡
どなたか定理の内容､使用例(使用上の注意も含めて)､それと証明を講義よりも教科書よりも数倍丁寧に教えてくれないでしょｰか?
238:mathmania ◆uvIGneQQBs
03/06/15 14:12
Re:>230
開区間上の非有界関数のルベーグ積分も、無限区間上の関数のルベーグ積分も
広義ルベーグ積分とは云わずに、ルベーグ積分と云っている。
ただそれだけのことだ。
239:１３２人目の素数さん
03/06/15 14:25
>>237
どこが分からないのか聞きましょうか？
240:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/15 14:40
（・3・） エェー くれないYO！ >>237
30講をよく読めYO！
自分でよく考えて，その上でわからないとこをポイントしぼって質問しないと，
ぼるじょあでも軽く放置だYO！
241:１３２人目の素数さん
03/06/15 14:41
>>237
数学をやめる。
242:１３２人目の素数さん
03/06/15 15:46
>>238
おお、そうなんですか。有難う御座います。
ルベーグってぎりぎりで広げられるだけ広げたんですね。
勉強する気になってきたゾ（ｗ
243:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:05
>>237
定理の内容：
ルベーグ積分の有界収束定理とリーマン積分におけるアルツェラの収束定理とは対応していて、
連続函数と可測函数の違いがあるが、同じものである。
極限と積分の順序交換が可能であることを保証してくれる。
244:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:08
>>238
うそをつくな。
広義積分は存在するが、ルベーグ積分は存在しない例がある。
例えば(sin x)/xなど。
つまり、一般にはそういうものはないということ。
245:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:25
Lebesgue 積分の拡張にもなっているとかいう
Henstock-Kurzweil 積分について教えてください
246:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:26
このスレをざっと見る限り、ルベーグ積分を勉強したい人はまずは志賀浩二さんの本を
嫁ということですか?
247:１３２人目の素数さん
03/06/15 16:44
石村園子「すぐわかるルベーグ積分」東京図書
そのうち出そうだな。妙に売れるようなら鬱だ。
すでに出ている、超DQN向き本
松浦 武信, 高橋 宣明, 吉田 正広
物理・工学のためのルベーグ積分入門
東海大学出版会
って、どうよ。先生と生徒の会話形式（ｗ で、
「ほとんどいたるところ」証明は省略されている。
248:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/06/15 16:49
>>246
×志賀浩二さんの本を
○伊藤清三さんの本を
249:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/15 17:24
志賀浩ニさんの本って位相関係しか見た事ない
250:１３２人目の素数さん
03/06/15 17:49
>>243
Lebesgueの項別積分定理が分からないというのは、
Arzelaの項別積分定理とか積分記号下での微積分に関する定理とか
解析学の部分の勉強が十分ではないということだね。
こういう部分が十分に分かっていないからLebesgue積分を考える動機とかも
理解できない。
まず解析入門とかを読むべきでしょう。
251:１３２人目の素数さん
03/06/15 18:02
Lebesgue積分を考える動機というのはやっぱり
連続函数から可測函数にまで扱う函数の範囲を広げると
連続函数と可測函数の違いがどう理論に影響を与えるかということですよね。
函数列の極限が超函数（distribution）となる場合には
函数解析とかも考える動機となるという意味でも
Arzelaの定理は押さえておくべきですよね。
252:１３２人目の素数さん
03/06/15 19:17
Arzelaの定理は知らないﾔｼの方が多いだろう。
高木の解析概論では出てこない。証明が面倒だからかな？
小平の解析入門では定理5.10に出ている。
高木の解析概論ではLebesgueの項別積分の定理を項別積分の定理と呼んでいる。（定理90）
253:１３２人目の素数さん
03/06/15 19:59
>>252
解析概論のP.159に「その証明はむずかしいから、ここでは述べない」
と書いてあるね。
254:１３２人目の素数さん
03/06/15 21:08
>>251
結局、その辺りの定理は一様収束とか有界収束とかいった関数列の収束と関係していて
ある種類の「扱う函数」に対して「どんな収束」を使うと「どういった微分積分」が成り立つか
という視点が重要。
その微積分を使えば関数列の収束で近似して値を求めることができるというのが外測度の考えにも繋がっていく。
255:１３２人目の素数さん
03/06/15 22:36
URLﾘﾝｸ(www.bd.wakwak.com)
URLﾘﾝｸ(www.adultshoping.com)
一円も払わずに大もうけ早い者勝ち
256:１３２人目の素数さん
03/06/15 23:05
>>252
Arzelaの定理はLebesgueの項別積分定理の特別の場合でしょう。
無理してリーマン積分の範囲で証明することもないといえる。
257:１３２人目の素数さん
03/06/15 23:31
>>256
定理の内容や証明について聞かれたから答えただけ。
そういう主義ならいうことはなにもない。
自分の好きなようにやればいい。
258:１３２人目の素数さん
03/06/16 07:51
Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
ただし、Arzelaの定理を使うまでもないというもの（たとえば一様収束する場合）は別ですが。
259:１３２人目の素数さん
03/06/16 14:38
>>247
ﾜﾗﾀ
260:１３２人目の素数さん
03/06/16 14:49
Ascoli-Arzelaの定理の応用例についてはこの本に詳しい。
俣野博「微分と積分３」岩波講座 現代数学への入門
特に「§3.6変分問題への応用」に詳しい解説がある。
曲線に関する古典的変分問題というのがあるのだけれど、
その中でも
[1]測地線
[2]光の経路
[3]等周問題
が特に知られている。
重要なのはこれらが解を持つということで、そこにAscoli-Arzelaの定理が使われる。
こういう問題意識はワイエルシュトラスが持ち込んだ。
ディリクレやガウスなどの変分法を用いた調和関数の構成法をディリクレ原理と呼び、
偏微分方程式論では重要ですが、これに欠陥がある事がワイエルシュトラスによって指摘され、
ここから近代解析学が発展してきたのです。
そういう歴史的にも重要なマイルストーンと思えば良いでしょう。
Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。
261:１３２人目の素数さん
03/06/16 16:25
解析学の入門時に、実数を勉強するけれども、そのときに「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」というのが出てくる。
ε-δ論法、デデキント切断、カントールの区間縮小法などに比べて、あまり印象に残っていないかもしれない。
この「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」の無限次元版として「アスコリ-アルツェラの定理」は位置付けられる。
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」では、与えられた「数列や点列」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
これに対して、「アスコリ-アルツェラの定理」では、与えられた「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
「アスコリ-アルツェラの定理」では、「関数列あるいは関数族」が連続関数である。
「ルベーグの有界収束定理」では、「関数列あるいは関数族」が可測関数である。
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」
↓
「アスコリ-アルツェラの定理」
↓
「ルベーグの有界収束定理」
この流れがあるので「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」が理解できているかが最初のポイント、
「アスコリ-アルツェラの定理」では一様収束でなく有界収束も成り立つ部分が２番目のポイント、
「ルベーグの有界収束定理」では連続関数でなく可測関数になっているのが３番目のポイント。
262:１３２人目の素数さん
03/06/16 16:54
>>237は無反応だけど、ここまでの話について来れなかったのでは（ｗ
263:１３２人目の素数さん
03/06/16 18:18
>>256
それは広義積分も含んでいるのかな？
264:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:13
「ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理」＝（BW）
「アスコリ-アルツェラの定理」＝（AA）
「ルベーグの有界収束定理」＝（LC）
（BW）与えられた 「数列あるいは点列」 の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（AA）与えられた連続「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
265:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:19
それぞれの極限がどういうことを言っているかという例を挙げる。
（BW）有理数の列→無理数
（AA）連続関数列→不連続関数
（LC）可測関数列→可測でない関数
266:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:24
つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
ルベーグ積分の理論です。
267:１３２人目の素数さん
03/06/16 19:45
>>260
>Ascoli-Arzelaの定理の周辺を押さえておかないと
その後の学習に支障をきたします。
それはそうですが、項別積分に関するArzelaの定理とはちょっと違うような気がするんですが。
関係はあるでしょうが。
268:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:13
Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの定理
とりあえず、二つの定理の概要きぼんぬ。
前者は解析学んだ人なら、一度は聞いたことのある基本的な定理ですが、
後者は「漏れは」聞いたことがないっす。
それとも同一のものでしょうか？
269:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:38
>>268
漏れも聞いたことがないです。
検索してもよく分からなかった。
270:１３２人目の素数さん
03/06/16 20:39
項別積分に関するArzelaの定理
実数値函数列 f_n(x), n = 1, 2, ... が区間[a, b]で連続で、一様に有界、
つまり、nに無関係な定数Mが存在して[a, b]でつねに、|f_n(x)| ≦ M
とする。さらにf_n(x)は、[a, b]で連続函数f(x)に点別収束するとする。
このときf_n(x)の[a, b]における積分は、f(x)の[a, b]における積分に収束する。
271:269
03/06/16 20:46
>>270
言われてみればそんな定理を聞いたことがあるような。
確かに有界収束定理に含まれてますね。
272:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:00
>>265
>(AA）連続関数列→不連続関数
一様収束する連続函数列の極限も連続ですが。
>(LC）可測関数列→可測でない関数
収束する可測関数列の極限も可測関数だが。
273:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:16
>>272
そういう揚げ足取りやめれば？
それとも、わざわざそういう特殊な例も考えられるようになるという意味で書いてあるのが
読み取れないほどのまぬけなのか？（藁
>>267-271
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という関係です。
Ascoliがノルム空間での形にArzelaの定理を変形して関数解析で使いやすくした。
基本的にはArzelaの定理と同じと思っていい。
274:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:26
>>273
すると、Ascoli-Arzelaの定理からArzelaの定理が出てくると？
面白い。（あなたでも、どなたでも）説明してくれませんか？
275:１３２人目の素数さん
03/06/16 21:30
>>273
>そういう揚げ足取りやめれば？
揚げ足とりのつもりなんてこれぽっちもないです。
本心からあなたの言ってる意味が分からないのです。
Ascoli-Arzelaの定理から、どうやったら不連続関数が出てくるのでしょうか？
276:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:34
Ascoli-Arzelaの定理の応用例を挙げておく。
２階楕円型方程式の理論におけるRellichのコンパクト性定理の証明で使用する。
変分問題におけるディリクレ原理は、ソボレフ空間を土台とした楕円型方程式の
L^2理論として完成された。
それはスペクトル理論と楕円型境界値問題の可解性との関係を示した。
その出発点となるのがRellichのコンパクト性定理である。
また、ヒルベルト-シュミットの対称核積分方程式論における固有値問題でも、
その固有値の存在定理の証明でAscoli-Arzelaの定理を使用する。
277:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:36
>>274-275
やだね。
278:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:41
>>277
出来ないからじゃない？ 藁
279:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/16 22:42
（・3・） エェー AAの極限は連続関数だC，
LCの極限は可測関数だYO！
280:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:43
>>276
参考書希望。
281:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:49
私は、>>258ですが。
>Arzelaの定理の応用例ってどんなものがありますか？
と書いたのは、Ascoli-Arzelaの定理の応用例を聞いたわけではないです。
Arzelaの定理の応用を聞いたのです。Arzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理は違います。
282:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:50
BWもAAも、近似定理の類ではないと思いますが。
極限の存在を保証する定理では？
283:１３２人目の素数さん
03/06/16 22:52
可測関数の極限が（存在すれば）可測なのは、有界収束定理以前の話だと思いますが。
測度の単調収束定理から来ているのでは？
284:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:23
>>283
だれも可測関数の極限が可測なのは、有界収束定理から来るとは言ってないですが。
285:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:27
Ascoli-Arzelaの定理
点集合Ｄ上の連続関数の族Ｆが以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)ＦはＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Ｆの元からなる任意の関数列f_1,f_2,f_3,…は、
Ｄ上でコンパクト一様収束する部分列をもつ。
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。（f(ｘ)＝lim（n→∞）f_n(ｘ)）
このとき、f(ｘ)がＤで連続ならばΣf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
286:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:29
Ascoli-Arzelaの定理の証明はよく見かけるが、
Arzelaの定理の証明は小平「解析入門」でしか見たことが無い。
287:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:39
>>278-280
＞参考書希望。
やだね。
288:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:43
>>286
前に書いたようにArzelaの定理はLebesgueの有界収束定理からすぐ出る。
289:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:45
>>287
なにむくれてんだ？ 間違いを指摘されたからか？
290:１３２人目の素数さん
03/06/16 23:56
>>288
歴史的に、Arzelaの定理とLebesgueの有界収束定理とどちらが先に証明されたか知ってるか？
そう言う意味で書いてみた。Arzelaの定理はハウスドルフによる初等的証明がなされたのは
1927年だが、ArzelaはLebesgueの有界収束定理から導いたのか？
291:１３２人目の素数さん
03/06/17 00:52
Ascoli-Arzelaの定理の証明は対角線論法で証明する。
Arzelaの定理はハウスドルフの初等的証明による以外は分からない。
そもそもArzelaの定理とAscoli-Arzelaの定理はどちらが先に発見されたんだ？
292:１３２人目の素数さん
03/06/17 02:19
Arzelaの定理って聞いたこと無いなと思ったら、有界収束ではない一様収束バージョン
の定理が書いてあった。しかもこのバージョンの定理には名前がついてない。
リーマン積分の範囲ではArzelaの定理のように有界収束まで条件を緩める必要が無いのと、
有界収束の説明をするのが大変だから、それとArzelaの定理の証明が難しいという理由なんだろうな。
でもせめて名前ぐらいあっても良いのに。例えば、Arzelaの項別積分の一様収束定理とかさ。
長いけど。
293:１３２人目の素数さん
03/06/17 02:31
こういう２つの流れがあるのは分かった。
Borzano-Weierstrassの定理
↓
Ascoli-Arzelaの定理
Arzelaの項別積分定理
↓
Lebesgueの有界収束定理(Lebesgueの項別積分定理)
でもAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事はできるのかな？
条件部分は同じだからうまく出来そうな気がするんだけど。
294:１３２人目の素数さん
03/06/17 03:21
>>293
志賀30講のP.159-162より
（ ★ ）f(x)が連続 ⇒ G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは微分可能
（★★）f(x)が有界で積分可能 ⇒ G(x)＝∫(a～x)f(x)dxは連続
といえるけど、これからAscoli-Arzelaの定理とArzelaの項別積分定理とをうまくつなげる事ができないかな？
295:１３２人目の素数さん
03/06/17 06:12
>>270と>>285のArzelaの定理が
同じものに見えないのですが・・・
296:１３２人目の素数さん
03/06/17 07:41
>>290
もちろんLebesgueの有界収束定理が先だろ。
だがどちらが先とかいう数学史的事実は、有る定理の証明を我々が学ぶ場合に関係ない。
簡単なほうがいいだろ、普通？
初等的証明というのは一般的にいって難しく、透明でないのだよ。
だからこそ初等的証明がされるのは時代が後になるのだ。
297:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:03
Arzelaの定理が発表されたのは1885年だっけ
Osgoodが1897年に再発見するわけだ
Lebesgue積分の理論が世に出たのは1902年
298:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:09
>>297
当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。
299:１３２人目の素数さん
03/06/17 08:21
ていうかむしろArzelaの定理の初等的でない証明を知りたいが。
一体何を使って証明してるんだ？
300:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:48
300ゲッツ&リターン>>299
301:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:54
アンドリバース>>300
302:人間の商品化、全体主義への一歩
03/06/17 09:54
●●●マスコミの 「盗聴／盗撮」 は許されるの？その７Ａ●●●
URLﾘﾝｸ(natto.2ch.net)
38 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 19:17 ID:/Jozo2co
フジのスーパーニュースを見ていたら、盗聴、盗撮をしていた。
とにかくレポーターとか、テレビ局の人間と話しをする時は、
カメラやマイクで隠し撮りをしていることを、常に念頭に置くべし。
マスコミをとにかく用心するに超したことはない。
取材を受けて、物がなくなったというのもよく聞く。
39 名前： >38 投稿日： 01/11/09 21:33 ID:qM1FVdrM
蛆は自爆か（Ｗ
カミングアウトをするより、盗聴を止めろ
置かれた盗聴機はいつ撤去するんだよ？
そんなことを電波に流されたからって、不安で寝れやしない。
40 名前： 文責：名無しさん 投稿日： 01/11/09 22:32 ID:GPVrbaOJ
マスコミ相手にしても仕方ないぜ。まじで自分らの生活を死守する方が大事。
テレビ・ラジオは出来る限り無視しよう。ついつい見聞きするから調子に乗らせる。
今後世の中どうなっていくかわからんのだから、必要な情報のみ入手して身の保全を
図れ。いい加減な娯楽メディアは放っておくべし。
303:１３２人目の素数さん
03/06/17 09:56
アーンドスキップスキップ>>301
304:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:09
折れは「Arzelaの定理」を、有界収束定理のリーマン積分版（収束先も積分可能と
いう条件を付け加えただけ）と理解していて、ここまでの議論でも何人かはそう理
解しているように見える（たしか小平に載ってるのとかハウスドルフの証明うんぬ
んってやつもそれだったはず）。
しかし、>>285の「Arzelaの定理」は違う主張のようだ。関数項級数の項別積分とい
う形になっているための違い（余分な条件もそのせいか）とも思ったが、>>285に書
いてある主張って、なんだか変じゃない？
S_n(x) = Σ[k=1～n]f_k(ｘ) の有界性やS(x)=lim[n→∞]S_n(x)の存在やその積
分可能性のことと、{f_n(x)}の一様有界性やf(x)=lim[n→∞]f_n(x)のことはとり
あえず別でしょ？
（だいたい、lim[n→∞]S_n(x) が存在するためには f_n(x)→0 が必要じゃ？）
>>285の「Arzelaの定理」のソースきぼん。
305:１３２人目の素数さん
03/06/17 14:15
杉浦光夫の解析入門ⅠのP.310によれば
一様収束のバージョンを「項別積分の定理」、
有界収束のバージョンを「Arzelaの定理」と呼ぶらしい。
杉浦の本の索引にも「Arzelaの定理」の項目は無かったので探し難かった。
306:１３２人目の素数さん
03/06/17 15:11
項別積分とArzelaの定理はこうだと思うんだけど。
項別積分定理
連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で一様収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
Arzelaの定理
連続関数を項にもつ級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)が有界領域Ｄ上で有界収束すれば、
Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
これを>>285風に書きかえると
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜f(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
どこかおかしいかな？
307:１３２人目の素数さん
03/06/17 15:19
>>306の最後は間違えた。こうなるんじゃないの？
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各級数Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup(f∈Ｆ)｜Σ（n=1～∞）f_n(ｘ)｜＜∞。
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
308:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:05
>>307もおかしいな。こうかな？
Arzelaの定理
或る区域Ｄの連続関数f_n(ｘ)が以下の条件を満たすとする。
[1](同等連続性)各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続。
[2](各点有界性)任意のｘ∈Ｄに対しsup｜S(ｘ)｜＜∞。（S(ｘ)＝Σf_n(ｘ)）
このとき、Σf_n(ｘ)を項別に積分可能である。
309:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:16
>>290,>>296-298の話って笑うよな。しかも>>304でやり返してるよ（ｗ
＞当然、Arzelaの定理のHausdorfによる初等的証明の時期(1927)と較べたのだよ。
＞議論の流れからいって、言わずもがなと思っていたが。
明らかにテキトーなことを言っただろうに
といってみるテスト
310:まおまお
03/06/17 16:44
変化速度についていけないので、よく分かりませんが、（>>304の指摘
にもあったように）f_n(x)の一様連続性ってのは、やっぱり関係して
くるんでしょうか？
仮に関係してくるんだとして、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」って
いう書き方だと、各f_n(ｘ)がそれぞれ（独立に）一様連続であるように
見えませんか。これって確か、「全部のf_nが同条件で」一様連続でした
よね？ それとも、>>308の場合は違うのかしらん。
311:１３２人目の素数さん
03/06/17 16:54
>>310
「一様連続」と「同等連続」は異なる概念。
312:まおまお
03/06/17 17:13
あ、そうなん？
313:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:13
ええと、確かこうだったよな：
f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε
{f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε
要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の
点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して
一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。
だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり
にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味
にとらなければならない。
（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
314:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:26
>>281
Arzelaの定理の応用例
小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、
定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11
という各定理です。
特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が
解説されています。
315:まおまお
03/06/17 17:35
>>313
おお、解説thanks！
>（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが）
うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。
で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。
{f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、
ってのは、合ってますかね？
316:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:41
Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。
11.28 Theorem (Arzela-Ascoli)
Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex
functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E.
Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on
every compact subset of X.
317:１３２人目の素数さん
03/06/17 17:53
Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？
318:１３２人目の素数さん
03/06/17 18:04
Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。
Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、
Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。
319:１３２人目の素数さん
03/06/17 18:44
Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、
Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？
小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。
320:１３２人目の素数さん
03/06/17 20:12
>>308
区域っていう用語は聞いたことがないんですが、
Euclid空間の有界領域のこと？
321:１３２人目の素数さん
03/06/17 21:58
初等的証明＝Lebesgue積分を使わない
という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。
別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。
ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。
322:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:19
>ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。
そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、
あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、
さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？
323:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:20
>>321
わからんなら書くな。恥の上塗り。
324:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:25
>>321-322
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
325:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:34
ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。
326:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:35
>>325
分かればいい。二度とするな。
327:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:51
>>325-326
ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ
328:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:55
>>321-322
そんなことは>>243が既に書いている。
Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。
329:１３２人目の素数さん
03/06/17 23:59
あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？
330:１３２人目の素数さん
03/06/18 00:00
URLﾘﾝｸ(yahooo.s2.x-beat.com)
331:１３２人目の素数さん
03/06/18 00:37
>>329
誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。
自重してくれないかな。迷惑なんだよ。
332:１３２人目の素数さん
03/06/18 01:54
自分で進めりゃいいのに
333:１３２人目の素数さん
03/06/18 02:00
>>328
Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから
Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？
なんか文句有るのか？
334:１３２人目の素数さん
03/06/18 03:34
えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を
自分で調べてから言わないのだろう・・・
335:334
03/06/18 04:50
俺の大学には、Arzelaの論文はない。
夏休みにでも、取ってくるか。
ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。
336:１３２人目の素数さん
03/06/18 07:21
>>335
Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。
337:１３２人目の素数さん
03/06/18 11:50
>>317
一様収束のときの定理は載ってる。
Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは
Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。
338:１３２人目の素数さん
03/06/18 12:14
>>336
Arzelaはイタリア人だけど，論文ならイタリア語は使ってないんじゃないかな？
339:１３２人目の素数さん
03/06/18 13:11
>>336,338
古い論文だから、直接見るのは難しいけど
論文のタイトル見れば、何語かはわかるよ。
340:１３２人目の素数さん
03/06/18 21:01
>>338
甘い。代数幾何学で有名なEnriques, Castelnuovo, Severiなどは、イタリア語で書いている。
341:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:02
>>340
ザリスキーもかなりの数の論文はイタリア語でしたね。
342:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:32
イタリア人ってのは一種、独特の天才的なところがあるな。芸術家だってレオナルドや
ミケランジェロのような超天才がいるし、スポーツカーのフェラーリやランボルギーニだって
ポルシェより美しい。女性も綺麗だ。ジーナ・ロロブリジーダ、シルバ・コシナ、
クラウディア・カルディナーレ、オルネラ・ムーティとか。
343:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:32
Arzelaの定理はこの本のp.228にも載ってるよ
と言ってみるテスト。
T.M.Apostol "Mathematical analysis"(1974: Addison-Wesley)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
344:１３２人目の素数さん
03/06/18 22:42
>>331だけど、Arzelaの定理ってヒルベルトがディリクレ問題の論文を書くよりも
前に発見されてたんだね。論文を見つけたよ。でも>>333は知ってるだろうから
ここに書くまでも無いな（ｗ
345:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:05
>>344
論文を手に入れてない（うちの大学にない）から、確認したいんです。
637 ページから始まる論文であってますか？
自分で論文を調べられないようなDQNを排除したいので、
タイトルや雑誌名はあえて伏せます。
346:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:30
>>345
調べられないDQNは、お前だろう。
347:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:35
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", ####.####. ##(####), pp.135-137
からも辿れるとだけ言っておく。これでいいかな？>>345
348:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:38
>>346
排除されて悔しがってるよ（ｗ
349:345
03/06/18 23:49
>>347
その論文でしたら、あります。
ありがとうございました。
350:１３２人目の素数さん
03/06/18 23:54
>>347-348
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
何も勿体ぶるこたあないだろ。小平の本に書いてある。
351:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:00
>>305
「項別積分の定理」→「拡張された項別積分の定理」
「Arzelaの定理」→「Lebesgueの項別積分定理」
「拡張された項別積分の定理」は広義積分での条件。
「Lebesgueの項別積分定理」はLebesgue積分での条件。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」は共にリーマン積分での条件。
なぜリーマン積分には２つの条件があるのか？
それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
その違いは一様収束と有界収束というもの。
そしてこの条件の違いが広義積分可能だがLebesgue積分が出来ないという場合が存在する
ことに深く関係している。
広義積分とLebesgue積分の違いを良く理解する為にも「Arzelaの定理」の証明の複雑さは
良く考える価値のあるものだ。
「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」の比較は面白い。
352:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:11
しかし、あれだな。
古い論文を読むようになると独語、仏語、伊語、露語などを読む羽目になって
かなり語学の部分で苦労しますね。
若いうちに語学力をつけておくと文献を読めるし、交流範囲も広がるしお勧め。
353:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:21
英語、独語、仏語の論文は読めるのが最低条件。
ガロアやラマヌジャンのような天才は別だが。
354:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:30
>>351
すみません。
＞それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。
の意味がよくわからないです。両方の定理とも項別積分ができるための十分条件
ではないのでしょうか。
355:１３２人目の素数さん
03/06/19 00:57
>>354
すみません。変な書きかたしてしまって。
もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
「項別積分の定理」で使う、
『一様収束』は項別積分が出来るための十分条件であるが必要条件ではない。
一方、「Arzelaの定理」で使う、
『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
その違いは一様収束と有界収束というもので、
広義積分とLebesgue積分の違いに繋がっているという意味です。
「Lebesgueの項別積分定理」を広義積分にも対応する様に拡張できない理由が
そこにあります。
356:１３２人目の素数さん
03/06/19 01:41
Arzelaの定理(1885年)
Osgoodの再発見(1897年)
Lebesgue積分(1902年)
Arzelaの定理のハウスドルフによる初等的証明(1927年)
この年代を考えてもArzelaやOsgoodが項別積分の必要条件を考察した動機が気になるな。
ディリクレ問題なのかな？
357:１３２人目の素数さん
03/06/19 02:45
独語はわりとすんなり読めるけど
仏語はどうも苦手だ
英訳が無いか必ず探してしまふ
358:１３２人目の素数さん
03/06/19 11:18
>>355
＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？
359:１３２人目の素数さん
03/06/19 11:30
「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門 測度と積分」（梅田亨）には、Arzela
の定理に関してこう記述しています：
（p.71)
…この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから,
藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦
『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく,
Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証
明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書）
などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの
文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み
ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である.
360:359
03/06/19 11:32
すみません 「数学セミナー」2003年1月号でした
361:１３２人目の素数さん
03/06/19 13:28
連続性や微分可能性や積分可能性などの
注目している解析的性質は、
適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。
362:１３２人目の素数さん
03/06/19 13:52
>>342
イタリア女優ってきりっとした顔だね。
写真のあるページを集めてみた。
オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？
ジーナ・ロロブリジーダ
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
シルバ・コシナ
URLﾘﾝｸ(koscina.hp.infoseek.co.jp)
クラウディア・カルディナーレ
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
オルネラ・ムーティ
URLﾘﾝｸ(www.fmstar.com)
363:１３２人目の素数さん
03/06/19 15:33
>>355
＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。
というのは、やはりおかしくないでしょうか？
例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。
すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、
∫_[0，1] f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。
>>355とは関係ないですが、上のほうで
Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理
という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は
「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための
必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門Ⅰによると
「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」
となっています。
有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列
ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？
364:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/19 21:26
下がってるなageよう
365:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/19 21:26
あがってないしね
366:１３２人目の素数さん
03/06/19 21:28
>>362
俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン
に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。
スレ違いなので、このへんで。
367:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/20 02:00
み、みんな！
お、落ち着けYO！
/∧＿/∧ /∧＿/∧ ｵﾛｵﾛ
（(・・εε・・;;)） ((;;・・３３・・)） ｵﾛｵﾛ
// ＼＼ // ＼＼ ｵﾛｵﾛ
⊂⊂(( ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ// )) つつ ｵﾛｵﾛ
しし(（＿）) (（＿）)ＪＪ
368:１３２人目の素数さん
03/06/20 06:04
>>363
このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ
369:１３２人目の素数さん
03/06/20 06:29
そういう口出しは余計なお世話ですぞ。
370:１３２人目の素数さん
03/06/20 08:36
いや、でも同感だね。
有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。
釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。
371:１３２人目の素数さん
03/06/21 10:32
無線機設計を携わっている技術者ですが
関数についておたずねします。
グラフの形状から関数を求めるときに
ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。
反比例関数にｘ軸を対数にして、
傾きが直線になった時は
マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？
Aは任意の値で
Y=10－AX （－AＸは上付きと考えて下さい）
逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時
Y=Ａ/X
として考えればいいのでしょうか？
372:Nanashi_et_al.
03/06/21 10:36
URLﾘﾝｸ(diary4.cgiboy.com)
373:１３２人目の素数さん
03/06/21 10:41
>>371
意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として
意味が分からないのだよ。
374:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/21 12:32
ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ)
375:１３２人目の素数さん
03/06/21 16:51
K.Yosida "Functional Analysis"
この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。
他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。
この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、
各国語に翻訳されている様だ。
376:１３２人目の素数さん
03/06/21 18:25
そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？
377:１３２人目の素数さん
03/06/21 18:43
>>363
結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて
混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。
>>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。
＞（LC）可測関数列→可測でない関数
＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが
＞ルベーグ積分の理論です。
など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同
したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ）
＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。
は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば
ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。
（どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的
定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。）
もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位
相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の
ヒントがあるので参照を薦める。）
378:377
03/06/21 18:57
>>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証
明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、
有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流
にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。
（ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ）
それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
もわかってないようだ」とか書いてた）。
「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ
り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。
379:345
03/06/22 18:46
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。
別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、
違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。
380:１３２人目の素数さん
03/06/23 19:13
ルベーグ積分つったらザックス流だろ。
ハルモス流は糞。
381:１３２人目の素数さん
03/06/23 20:50
>>380
興味ある。詳細希望。
382:１３２人目の素数さん
03/06/23 20:52
>377
>もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。
どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。
383:377
03/06/25 01:31
>>382
「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。
指定した文献を読んでくれ。
おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、
Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス
コリの定理。
Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。
どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。
（そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。）
384:１３２人目の素数さん
03/06/25 16:57
>>380
ザックスって誰?
385:１３２人目の素数さん
03/06/25 22:16
>>384
ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks.
386:１３２人目の素数さん
03/06/26 23:07
ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと ｶｷｶｷφ（°_°）
387:１３２人目の素数さん
03/06/27 22:32
>>380 >>385
URLﾘﾝｸ(www-gap.dcs.st-and.ac.uk)
この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。
ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。
URLﾘﾝｸ(webcat.nii.ac.jp)
つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。
大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか?
Saks 流のが多いのかな?
388:１３２人目の素数さん
03/06/27 23:37
ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。
389:１３２人目の素数さん
03/06/28 00:42
Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は
どこかに紹介されていないでしょうか？
「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に
変えられました。
390:１３２人目の素数さん
03/06/28 06:35
>>389
Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？
391:１３２人目の素数さん
03/06/28 10:04
=========================
Remarks:
- Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by
considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions.
- It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it,
however,only for continuous functions.
In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem.
Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM.
For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood),
see the works listed below.
REFERENCES :
[1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian),
Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215.
[2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
[3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie
Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724).
[4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles",
Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41).
[5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables
B ",
Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188.
[6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the
Theory of Fourier's series" ,
t.II, 2-end ed., 1926, 131-132.
[7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales
Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375)
[8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto
Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780.
[9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190.
392:１３２人目の素数さん
03/06/28 10:12
URLﾘﾝｸ(www.k-514.com)
拾ったサンプルムービー集めたよ
393:１３２人目の素数さん
03/06/28 11:37
ここまでの情報をまとめてみよう。
Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。
>>345,>>391
ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti
Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569
Osgoodの再発見はこの論文。
>>356
OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of
series term by term ",
Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190
ハウスドルフの証明はこの論文。
>>347,>>350
F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137
394:１３２人目の素数さん
03/06/28 11:51
上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ－マン積分可能な函数列を扱っている。
Osgoodは連続函数列のみを扱っている。
395:１３２人目の素数さん
03/06/28 12:50
ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。
"Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ）
396:１３２人目の素数さん
03/06/28 12:53
『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。
397:１３２人目の素数さん
03/06/28 14:51
19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。
これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。
そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。
398:１３２人目の素数さん
03/06/28 14:55
チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ!
こういう流れの先頭にある定理だったかな？
チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理
↓
アスコリの定理
399:１３２人目の素数さん
03/06/28 15:18
>>395
Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。
400:１３２人目の素数さん
03/06/28 15:30
>>380
「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。
たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎
関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」
でやると可測条件がわかりやすいのが利点。
次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と
位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が
必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり
違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？
第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。
第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して
おいて実質を調べるか。
積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下
積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ
てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。
そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、
2^nとおりになると。
しかもみな一長一短で、「決定版」がない。
401:１３２人目の素数さん
03/06/28 20:56
アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、
どの定理も有名ではないかも知れないけど、
続々と重要な定理が登場しますね。
402:１３２人目の素数さん
03/06/28 22:18
まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。
もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。
もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。
そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。
一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。
403:１３２人目の素数さん
03/06/29 00:05
>>383によると
アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。
アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。
ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。
もしかしてこういうながれがあるのかなあ？
ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理
404:１３２人目の素数さん
03/06/29 01:07
>>403
最後をまちがえた。アスコリじゃなくてアルツェラ。
ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理
405:１３２人目の素数さん
03/06/29 14:14
チホノフの定理ってナーヌ？
406:１３２人目の素数さん
03/06/29 14:28
「ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理」
という流れがあるので、
ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理→
ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理
となるのかな？でも「バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理」といえるのかな？
407:１３２人目の素数さん
03/06/29 23:30
>>359
2002年1月号じゃねーだろ、ヴォケ！
2003年1月号だ！
数学セミナー 日本評論社
連載 徹底入門：測度と積分／有界収束定理をめぐって 梅田亨
2002.11 P.52 素朴な面積からの出発
2002.12 P.70 積分と一様収束
2003.01 P.68 有界収束と積分
2003.02 P.72 測度への序章
2003.03 P.76 可測集合と測度
2003.04 P.72 積分論への出発
408:１３２人目の素数さん
03/06/30 00:08
>>407
>>359の間違いは>>360で訂正していましたね。すまん^2
409:１３２人目の素数さん
03/06/30 15:28
age
410:１３２人目の素数さん
03/06/30 16:40
この板の連中は頭がいいと。 ｶｷｶｷφ（°_°）
411:１３２人目の素数さん
03/06/30 16:41
ついでに、俺にはチンプンカンプンと。 ｶｷｶｷφ（°_°）
412:１３２人目の素数さん
03/06/30 16:46
>>410-411
このあたりの教科書でも読んで参加しろよっと。 ｶｷｶｷφ（°_°）
Kolmogorov-Fomin『関数解析の基礎』（岩波）
藤田宏他『関数解析』（岩波基礎数学選書）
K. Yosida "Functional Analysis" Splinger
H. Brezis『関数解析』(産業図書)
Frigyes Riesz, Bela Sz.-Nagy "Functional Analysis" Dover Pubns
413:１３２人目の素数さん
03/06/30 17:17
t.A.T.U.R.U.B.e
414:ぼるじょあ ◆yBEncckFOU
03/06/30 19:31
>>>410-411
どこの板からきたんだＹＯ
415:１３２人目の素数さん
03/07/01 00:18
>>405
チホノフの定理って、位相空間論やるとコンパクト空間のところで出てくるよ。
アルツェラの定理と一緒にやると勉強になるかもね。
416:１３２人目の素数さん
03/07/01 00:43
>>412
ルベーグ積分の教科書も挙げておこっと。ｶｷｶｷφ（°_°）
伊藤清三「ルベーグ積分」裳華房
吉田洋一「ルベグ積分」培風館
溝畑茂「ルベーグ積分」岩波全書
藤田宏、吉田耕作「現代解析入門」岩波基礎数学選書
417:１３２人目の素数さん
03/07/01 09:12
チホノフ=チコノフ？
418:１３２人目の素数さん
03/07/01 20:06
今、入手が容易な関数解析の本だと何が(･∀･)ｲｲ？
419:１３２人目の素数さん
03/07/01 20:35
谷島先生のルベーグ積分の本はどうですか？朝倉のやつ。
420:１３２人目の素数さん
03/07/01 20:49
ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌは？
421:１３２人目の素数さん
03/07/01 21:06
Rieszの本とｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの本、安い！
422:１３２人目の素数さん
03/07/02 17:36
ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの「ｴﾚﾒﾝﾂｵﾌﾞﾌｧﾝｸｼｮﾝｱﾝﾄﾞﾌｧﾝｸｼｮﾅﾙｱﾅﾘｼｽ」が「函数解析の基礎」？
423:_
03/07/02 17:40
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)
424:１３２人目の素数さん
03/07/02 21:51
名前：名無しさん＠お腹いっぱい。 ：03/07/02 20:59 ID:8Ds2VGGx
あ～ん がまん汁が・・・
★★ココをクリックで思わずニンマリの無修正画像★★
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
URLﾘﾝｸ(upbbs.s2.x-beat.com)
425:１３２人目の素数さん
03/07/02 22:51
いえーす
426:１３２人目の素数さん
03/07/03 05:35
Feffermanがやっているような関数解析の専門書教えてください_●_
427:１３２人目の素数さん
03/07/05 12:26
数学科→Lebesgue積分がわかる人が半数
応用数学科→Lebesgue積分がわかんない人が大多数
であってます？
428:ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU
03/07/05 12:36
>>427
どこの大学かにもよると思う。
東大の数学科なら全員理解していると思うし、Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
応用数学科のことは知らない。
429:１３２人目の素数さん
03/07/05 18:35
＞東大の数学科なら全員理解していると思う
そんなことは絶対に無いから安心して！
430:１３２人目の素数さん
03/07/05 18:38
＞そんなことは絶対に無いから安心して！
東大をなめすぎです。
漏れの知っている限り、全員が理解しています。
431:１３２人目の素数さん
03/07/05 18:39
>>428
知った気になってる奴は多い
432:１３２人目の素数さん
03/07/05 19:56
理解といっても程度の問題がある。
東大で知った気になっているﾔｼでも他大学の人間から見ればよく理解している。
などと持ち上げてみるテスト（ｗ
433:１３２人目の素数さん
03/07/05 23:03
こりゃいいことを聞いたな。
院試の口頭試問で何を聞いても
全員答えられると・・・（ぼそぼそ
434:１３２人目の素数さん
03/07/05 23:42
> Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。
そんなに難しいことだろうか？ Lebesgue積分って。
それとも私がまだとばくちまでしか勉強してないせい？ 先へ行くと難しいの？
435:１３２人目の素数さん
03/07/05 23:48
東大生が全員理解しているとして、Ｆランクの教授が全員東大出身の場合、矛盾を生じる訳だが（ｗ
436:１３２人目の素数さん
03/07/06 00:33
>>434
学部レベルなら、大雑把（Stielties 積分など細目は無視）に
測度論、可測関数、収束定理、Fubiniの定理、Vitaliの定理と微分
で必要十分でしょう。以上までなら、さほど難しくありません。
ただ、積分論を集合論とどれだけ無関係にできるか、あるいは、
位相や群構造との関連とかを考察すると、わからなくなってきます。
不可測関数の構成に選択公理が必要なことからも、Lebesgue積分の
基礎の問題は、基礎論と関係してきます。
また、Lebesgue測度がR^n の位相や群構造と密接に関係しすぎている
ために、本質的なものが逆に見えにくい。
多くの人は、そういうことに立ち入る必要はないと思います。
437:１３２人目の素数さん
03/07/06 00:51
>>436
Radon・Nikodymの定理も入れてやって下さいな。
438:１３２人目の素数さん
03/07/07 23:39
ルベーグ分解萌え～
439:１３２人目の素数さん
03/07/08 00:07
ちょうかわいい、われめちゃん１本筋～ｗ
ここの画像掲示板の管理人は神だとおもう。
URLﾘﾝｸ(www.hl-homes.com)
440:１３２人目の素数さん
03/07/08 05:06
物理でルベーグ積分必要ですか？
ｽﾚﾘﾝｸ(sci板)
意外と良スレ。
441:１３２人目の素数さん
03/07/08 06:17
Ascoli-Arzelaの定理について
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
442:１３２人目の素数さん
03/07/09 02:48
>>437
ラドン・ニコディムの定理の証明には以下の三通りの証明が有名。
[1]測度論的証明（ニコディムによる）
[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）
[3]最大法を使ったもの（吉田耕作による）
三つとも載ってる本はあるのかな？
いろんな本を参照すると別な証明、つまり別な視点が得られる良い例ですね。
443:１３２人目の素数さん
03/07/09 11:19
>>442
3の方法知らないや・・・。
調べてみよう。
444:１３２人目の素数さん
03/07/09 12:43
>>378の有界収束定理がL1の完備性に関係しているという話とか、
＞それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、
＞その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ
＞もわかってないようだ」とか書いてた）。
>>442のラドン・ニコディムの定理がL^2空間に関係しているという話とか
＞[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる）
この辺りのL^p空間の関係は興味深いな。調べてみるかな。
445:１３２人目の素数さん
03/07/10 11:26
>>436が言っているのはこの辺かな？
リーマン積分を拡張するという視点ですね。
[1]ルベーグの測度論
[2]可測関数とカラテオドリの外測度
[3]ルベーグの有界収束定理と項別微分、項別積分
[4]ヴィタリの定理と微分の定義
[5]ラドン・ニコディムの定理と不定積分
[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換
>>444は函数解析へ繋がる道でヒルベルト空間やバナッハ空間の視点ですね。
446:１３２人目の素数さん
03/07/10 19:47
>>445
どうでもいいけど、個人的には
有界収束定理と言うよりも優収束定理と呼んであげて（ ﾟдﾟ）ﾎｽｨ…
447:１３２人目の素数さん
03/07/10 20:22
>>446
優収束定理って誰の本？
>>445
＞[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換
これは偏微分方程式を解くときにお世話になりますね。そのために出来たのかな(笑)
448:１３２人目の素数さん
03/07/10 20:48
有界収束定理
一様有界な関数列の有限測度に関する積分と極限は交換可能
優収束定理
絶対一様に可積分関数でおさえられる関数列の積分と極限は交換可能
と習った記憶がある
449:１３２人目の素数さん
03/07/10 22:43
>>448
ありがとうございます。優収束定理の方はまだやってませんでした。
勉強になります。
450:446
03/07/10 23:01
>>447
誰の本かは忘れたけど、言いたいことは448氏が書いた通りです。
σ-有限無限測度上でも成り立たせたいな、ってことで。
451:１３２人目の素数さん
03/07/10 23:53
>>446,>>448,>>450
伊藤「ルベーグ積分」P.90-94に書いてありました。
Lebesgueの収束定理から系２として有界収束の定理が導かれていました。
優収束定理→有界収束の定理
前に話題になっていたアルツェラの定理は有界収束の定理の方に対応してるんですね。
452:１３２人目の素数さん
03/07/11 02:51
>>405,>>415,>>417
チホノフの定理は以下の定理と同値であることが証明されています.
「チホノフの定理」＝「帰納的順序集合定理」
＝「整列可能定理」
＝「選択公理」
＝「（一般の無限次元ベクトル空間の）基底の存在定理」
453:１３２人目の素数さん
03/07/11 02:54
チホノフの定理には>>398のような流れもある。
454:１３２人目の素数さん
03/07/11 11:13
>>417
チホノフ=チコノフです。
[定理]コンパクト空間の直積空間はコンパクトである。(Tychonoff)
455:１３２人目の素数さん
03/07/12 22:07
Fubiniの定理か・・・・・Tonelliさん可哀想だな、おい。
ちゃんとFubiniの定理とTonelliの定理を分けて呼ぶ！ヽ（｀Д´）ノ
456:１３２人目の素数さん
03/07/13 03:26
Lebesgueの定理とFubiniの定理とFubini-Tonelliの定理を区別して記述してある本は少数派だと思われ。
伊藤のでも脚注で「Fubini-Tonelliの定理ともいう」と触れてるだけだし。
でも、応用上はFubini-Tonelliの定理が最も便利ですね。
457:１３２人目の素数さん
03/07/13 14:26
>>451
たしか、
「σ-加法性」（＝「完全加法性」） ⇔ 「単調収束定理」（＝「ベッポ・ヘビの定理」）
／⇒「有界収束定理」 ⇔ 「優収束定理」（＝「ルベーグの収束定理」）
↓
＼⇒「ファトゥーの補題」 ⇒↑
となってるので、最後の３つは実はみな同値。ついでに「Ｌpの完備性」（＝「リース・
フィッシャーの定理」もたぶん同値。
＃ 優収束定理のほうが有界収束定理より一般的な主張にみえるが、関数を変形して
一般を特殊に帰着させられる。「ロルの定理」と「平均値の定理」の関係と同様。
（ただ、有限測度空間と無限測度空間で成り立つ事実にややズレがあるため、ちょっ
と話がややこしくなってる。）
458:457
03/07/13 14:32
あわわ、「ベッポ・レビの定理」が「ベッポ・ヘビの定理」になってる…。
Beppo-Leviね。（ちなみに一人の姓名。他の数学者レビたちと区別するため、
わざわざ姓だけでなく名も言うことにしたらしい。）
459:１３２人目の素数さん
03/07/13 14:37
Fubiniの定理とFubini-Tonelliの違いとは？
460:１３２人目の素数さん
03/07/13 15:02
非負可測関数のヤツがトネリで可積分のヤツがフビニ
だったと記憶してるが。
461:１３２人目の素数さん
03/07/13 22:01
ベクトル空間の同型定理ってあるじゃないですか。
V,V':ベクトル空間
f:V→V':線形写像
K:fの核
とすると、V/K ∽＝ Imf (∽＝は"同型"の意です）
というやつ。
これって、V、V'をノルム空間の時に、等長になるように
とることはできるんですか？もしできるのなら、
f:V→V':線形写像が与えられたときにどのように構成
したらよいのでしょうか？？
462:１３２人目の素数さん
03/07/13 22:13
マルチか
463:１３２人目の素数さん
03/07/14 01:12
>>457,>>458
「ベッポ・レビの定理」を「ベッポ・ヘビの定理」って書くの新しいですね。
これは使えそうだ。ありがとう。 ｶｷｶｷφ（°_°）
464:１３２人目の素数さん
03/07/14 18:39
>>463
「ル..レーグ積分」と書いてみる。
465:１３２人目の素数さん
03/07/15 11:26
6
466:山崎 渉
03/07/15 12:33
__∧＿∧_
|（ ＾＾ ）| ＜寝るぽ（＾＾）
|＼⌒⌒⌒＼
＼ |⌒⌒⌒~| 山崎渉
~￣￣￣￣
467:１３２人目の素数さん
03/07/17 21:06
解析って
面白い
468:１３２人目の素数さん
03/07/17 23:26
M.Reed-B.Simon : Method of Modern Mathematical Physics, Academic Press
vol.1 Functional Analysis(1972)ISBN:0125850506
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
vol.2 Fourier Analysis, Self-Adjointness(1975)ISBN:0125850026
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
vol.3 Scattering Theory(1979)ISBN:0125850034
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
vol.4 Analysis of Operators(1978)ISBN:0125850042
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
469:１３２人目の素数さん
03/07/17 23:27
N.Dunford-J.T.Schwartz : Linear Operators, Interscience-John Wiley
PartⅠ.General Theory
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
PartⅡ.Spectral Theory
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
PartⅢ.Spectral Operators
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
470:１３２人目の素数さん
03/07/18 20:43
いつの間にか良スレになってるね
471:１３２人目の素数さん
03/07/23 19:58
そして、書き込みは途絶えた…
472:１３２人目の素数さん
03/07/23 19:59
おまんこをルベグ積分して見て下さい
473:_
03/07/23 20:02
URLﾘﾝｸ(homepage.mac.com)
474:１３２人目の素数さん
03/07/23 20:14
>>472
ﾊﾟｲﾊﾟｿは零集合でちゅか?
475:１３２人目の素数さん
03/07/24 09:46
>>472
どうぞ
URLﾘﾝｸ(www.marumise.com)
476:１３２人目の素数さん
03/07/28 02:14
産業図書から出てるハイムブレジスの関数解析、色々と使えそうなことが書いてあって(･∀･)ｲｲ!感じなんだけど、訳がﾀﾞﾒﾎﾟな印象。 なんか、片言の不自然な日本語になってる。 既に注文しちまったけど
477:１３２人目の素数さん
03/07/28 04:47
↑あれは良いよ
478:１３２人目の素数さん
03/07/28 09:14
あれはいいものだ…
479:１３２人目の素数さん
03/07/29 03:05
俺のちんぽの被覆
480:１３２人目の素数さん
03/07/29 03:32
>>479 閉被覆
481:１３２人目の素数さん
03/07/29 14:07
>>479
３次元ルベーグ測度０の集合
482:ビッグバン宇宙論は間違いだった！！！！！！！！
03/07/29 15:58
科学者よ、恥を知れ！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想的な戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
『無』は科学的に証明できるものではなく、
そして、『無からの誕生』も科学では証明できるものではないのだ。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最大の例が、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、
新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
新時代へ行こう！！！！！！！！！！
483:１３２人目の素数さん
03/08/04 10:50
解析関数を勉強する上で微分方程式の知識って必要ですか？
484:math.1st ◆ViEu89Okng
03/08/04 15:54
Re:>483 You can study analytic function without knowledge of differential equation.
485:１３２人目の素数さん
03/08/04 16:42
僕はこんな皮肉、好きです。
486:１３２人目の素数さん
03/08/04 22:37
>>484
× You can study analytic function without knowledge of differential equation.
○ You can study functional analysis without knowing the theory of differential equations.
英語は正確に
487:１３２人目の素数さん
03/08/04 23:00
analytic function はわざとかと思った
488:１３２人目の素数さん
03/08/05 04:56
>>483
解析関数ではいらない。
関数解析でもなくてもある程度は大丈夫だが、あったほうが良い。
489:１３２人目の素数さん
03/08/05 21:26
>>488
ある程度っていうのはどの程度？
その際どんな教科書がお薦めですか？
良かったら教えてください。
490:１３２人目の素数さん
03/08/05 23:42
>>489
境界値問題と積分方程式。ポテンシャル論。などなど。
このへんの古典的な微分方程式を知らなくても関数解析は
勉強できるが、知らずに勉強してもしょうがない。
関数解析やるやらないに関係なく、クーラン・ヒルベルトは
解析やるものなら常識です。最近は大学の学部の講義では
省略されることも多いので、自分で補うべし。
491:１３２人目の素数さん
03/08/05 23:50
クーラン・ヒルベルトは絶版じゃないかな。英語版も第一巻を除いて
同じみたい。
492:１３２人目の素数さん
03/08/06 00:30
>>491
東京図書だからねえ・・・絶版だろうねえ・・・
今なら、代わりの読みやすい本が英語ならあると思うけど
（Diff eq and bdry val prob みたいな）、一冊じゃなくて
複数読まないといけないだろうな。
日本でいい本はなんだろうなあ。
493:１３２人目の素数さん
03/08/06 00:40
>>492
石村園子著「すぐわかる数理物理学の方法」が東京図書より近刊
刊行予定
石村貞夫著「よくわかる関数解析」
石村園子著「征服 ヒルベルト空間」
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-tosho.co.jp)
494:１３２人目の素数さん
03/08/06 09:51
>>490～492
ｻﾝｸｽ!!!
495:１３２人目の素数さん
03/08/07 21:51
結局入門用だと関数解析で一番いい本ってどれ？
496:１３２人目の素数さん
03/08/07 21:53
>>495
吉田耕作のFunctional Analysisがお勧め。
入門から応用まで、これ一冊で重要な点は概ね網羅されている。
497:１３２人目の素数さん
03/08/07 22:45
>>495
コルモゴロフ・フォーミンとかいいんじゃない？
>>496
あれってほんとに読んでる人いる?辞書代わりとか以外に。
498:１３２人目の素数さん
03/08/07 23:47
>>497
コルモゴロフ・フォーミンは、ゆったりすぎるかもしれないけど
いい入門書。関数解析への準備も書いてあるから、ルベーグを
習っていると飛ばせる。関数解析を専門にはしないが、とりあえず
簡単な話だけでも勉強しておくにはちょうどいいかも。
吉田耕作のFunctional Analysisは、東大で解析やるような学生なら
昔は普通に読んでいたらしい。代数幾何のハーツホーンとか、数論の
ヴェイユみたいなもので、その分野に進むなら（類書でもいいけど）必読。
最近は、関数解析じたいやる人が少ない。辞書って感じはしないなあ。
499:１３２人目の素数さん
03/08/08 00:30
辞書といったら>>468-469みたいのだと思う。
>>498の言うプロへの登竜門って代数とかだと誰の本なんでしょうか？
代数：？？？
幾何：ハーツホーン
解析：吉田耕作
数論：ヴェイユ
500:１３２人目の素数さん
03/08/08 07:59
代数といっても分野がいろいろあるので。
可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
俺は読んだことはないが。
501:１３２人目の素数さん
03/08/08 08:13
＞可換環論なら松村かな。有限群論なら鈴木かな。
洋書ならAtiyah-MacdonaldとAschbacherあたりが対応する。
他に
Weyl"The Classical Groups"
Chevalley"The Theory of Lie Groups"
とかも入るかな。古典だけど。
502:４９５
03/08/08 09:58
＞４９６、４９７
れすどうも。っていうかここレベル高すぎｗ
503:角の三等分を定規とコンパスだけでできる人
03/08/08 11:18
ぼく、数学は死ぬほど好きです。
誰かもっと教えてくれませんか？
504:１３２人目の素数さん
03/08/08 12:16
>>496
その本って今でも購入できますか？
505:１３２人目の素数さん
03/08/08 12:44
>>504
できるよ。ペーパーバック版で\4,000-ぐらいじゃなかったかな。
506:１３２人目の素数さん
03/08/08 14:02
>505
マジ？アマゾンとかで調べたけど無かった。。。
507:１３２人目の素数さん
03/08/08 14:23
YOSIDAで検索しる
508:１３２人目の素数さん
03/08/08 14:24
>>506
一応あったよ。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
しかし在庫切れ。kosauku になってる…。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.com)
本家のほうでは買えるみたい? kosaky って…。
URLﾘﾝｸ(www.springer.de)
Available だそうです。