03/12/31 20:26
>>980
1000 にならなくてもある程度以上になったら 1000 を待たずにデータ落ちしますよ。
982:１３２人目の素数さん
03/12/31 21:31
Complex analytic and algebraic geometry という面白そうな
オンラインブックを見つけたたんだけど圧縮されていて解凍方法
がわからない。gunzipというプログラムで実行したらgzipの
フォーマットでないと言われた。誰か教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(www-fourier.ujf-grenoble.fr)
983:１３２人目の素数さん
03/12/31 21:58
>>982
直接開け。拡張子書き換えでも多分可能。
984:１３２人目の素数さん
03/12/31 21:59
>>982
ファイル壊れているんじゃない?
$ file agbook.ps.gz
agbook.ps.gz: PostScript document text conforming at level 2.0
とでるけど、 ps ビューアーだと見れないし、かといって、アーカイバでも解凍できない。
985:１３２人目の素数さん
03/12/31 22:19
>>982
実は圧縮されていない。
986:１３２人目の素数さん
03/12/31 23:27
>>985
なるほど、読めました。有難うございます。目次を見ただけ
だけどこの本よさそうですね。
987:１３２人目の素数さん
04/01/01 23:27
９８７。
988:１３２人目の素数さん
04/01/02 01:22
Hartshorne II Ex. 4.11 (a) で以下の事実を証明する
必要がある。
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
x_1, x_2, ..., x_n は m の極小基底をとればいいんだろう
けど、mB = (x_1)B はすぐ示せるが、(x_1)B ≠ B の証明方法
が分からない。(x_1)B = B とすると、ある整数 r >= 0 があって
(x_1)^r ∈ m^(r+1) となることは示せるが。これが成り立たない
ことの証明が分からない。因みに EGA II p140 でも宮西の
｢代数幾何学｣ p123 でも(x_1)B ≠ B を証明せずに使っている。
しかも、生成元 x_1, x_2, ..., x_n を極小と仮定も
していない。つまり両方とも証明として不十分ということ。
989:１３２人目の素数さん
04/01/02 01:50
>>988
自己解決出来そう。しばらく考えてみる。
990:１３２人目の素数さん
04/01/02 02:02
...,､ - ､
,､ ' ヾ 、 丶,､ -､
／ ヽ ヽ ＼＼:::::ゝ
／ヽ/ i i ヽ .__.ヽ ヽ::::ヽ
ヽ:::::l i. l ﾄ ヽ ヽ .___..ヽ 丶::ゝ
r:::::ｲ/ l l. i ヽ ＼ ＼/ﾉﾉﾊ ヽ
l:/ /l l. l i ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ', ',
'l. i ト l ﾚ'__ '"i:::::iﾞ〉l^ヾ |.i. l
. l l lミ l ／r'!:::ヽ '‐┘ .} / i l l ／￣￣￣￣￣￣￣
l l l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ , !'" i i/ i＜ 今年も数学がんばってね
iﾊ l (.´ヽ _ .／ ,' ,' ' |
|l. l ｀ ''丶 .. __ イ ＼＿＿＿＿＿＿＿
ヾ! l. ├ｧ ､
／ﾉ! / ｀ ‐- 、
／ ヾ_ / ,,;'' /:i
/,, ',. ｀ / ,,;'''／:.:.i
991:１３２人目の素数さん
04/01/02 02:49
補題
Kを体、v をその離散付値、L を K の有限次拡大体とする。
L の付値で v の拡大になっているものは離散付値である。
証明はたとえば、Bourbaki, Commutative Algebra VI §8.1
を参照。特に Proposition 1 とその Corollary 3。
992:１３２人目の素数さん
04/01/02 02:50
補題
Kを体、v をその離散付値、L を K の有限生成拡大体とする。
L の離散付値で v の拡張になっているものが存在する。
証明
A を K の付値環、m を A の極大イデアルとし、πをその生成元
とする。L の K 上の超越基を x_1, x_2, ..., x_n とする。
B = A[x_1, ...,x_n] とおく。
A は UFD だから B も UFDである(Gaussの定理)。
よってπは B の既約元であるから、πB は B の素イデアルで
あり、B の πB による局所化 B_πB は離散付値環である。
B の商体を M とすると、B_πB は M の離散付値 w を
引き起こす。w は v の拡張である。
L は M の有限次拡大体だから補題より w は L の
離散付値に拡張される。
993:１３２人目の素数さん
04/01/02 02:51
補題
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
証明
m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。
Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する
ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と
する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と
する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。
よって、x_i/x_k ∈ R であり、
A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。
必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と
仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから
R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。
i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから
mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。
逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。
994:１３２人目の素数さん
04/01/02 03:05
補題(Krull-Akizuki)
A を１次元のネーター整域、K をその商体とする。
L を K の有限次拡大体とする。A の L における整閉包は
Dedekind整域である。
証明は例えば、Bourbaki VII §2.5 を参照。
995:１３２人目の素数さん
04/01/02 03:38
Hartshorne Ex.4.11 (a) の解答
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。L を K の有限生成拡大体とする。
補題(>>993)よりm の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
(x_1)B の極小素イデアルを p とする。
Harsthorne I Th.1.11A(Krullの単項イデアル定理)より B_p の
次元は１である。m ⊆ p であるから B_p は A を支配する。
補題(>>994)より B_p の K における整閉包 B~ は
Dedekind整域である。B~ の任意の極大イデアルを M とする。
B~_M は離散付値環である。B_p ∩ M は B_p の極大イデアル
である(Cohen-Seidenberg)から B~_M は B_p を支配する。
補題(>>992)より L の離散付値環で B~_M を支配、即ち A
を支配するものが存在する。
996:１３２人目の素数さん
04/01/02 03:44
Hartshorne Ex.4.11 (b) の解答
Ex.4.11 (a) と本文の Th.4.3 と Th.4.7 の証明から
明らか。
997:１３２人目の素数さん
04/01/02 03:51
これでこのスレでのHartshorneの問題の解答は終わりだな。
後で参照したい人はこのスレを保存しておいたほうがいいよ。
因みに私のやり方は、｢全部読む｣をクリックしてから
編集メニューの｢すべて選択｣を選び、コピーしてから
空のテキストファイルに貼り付ける。
998:１３２人目の素数さん
04/01/02 04:06
埋め
999:１３２人目の素数さん
04/01/02 04:08
生め
1000:１３２人目の素数さん
04/01/02 04:08
1000GET!
1001:１００１
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