03/10/02 00:41
Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。
2:１３２人目の素数さん
03/10/02 00:46
そもそも座標環って考え方がうまいよね
3:１３２人目の素数さん
03/10/02 01:05
代数幾何は、何代もの数学者のエネルギーを吸い尽くしてきたんだね。
何代吸う気か、代数幾何？
4:１３２人目の素数さん
03/10/02 01:30
代数多様体上の点と座標環の極大イデアルが一対一に対応するんだもん
そりゃ代数多様体と極大イデアル全体の集合を同一視したくなるよね
だって多様体を有限生成ｋ代数として扱えるようになるもの
5:１３２人目の素数さん
03/10/02 17:50
代数幾何の下に何人の有能な数学者が眠っているんでしょうか？
人柱みたいなものなんですかね。
6:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:23
極大イデアルっていうのもなんか中途半端だから
素イデアルまで拡張したくなるよね普通
そうすると代数多様体の点が増えて解析の方法が増えるけど
もはや代数多様体じゃなくなってるからスキームなんて対象が出てきたんだ
でもまだスキームを幾何学的な対象として扱うには不十分だったんだね
7:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:29
>>1=>>2=>>3=>>4=>>5=>>6?
8:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:34
代数幾何が専門と言っている日本人研究者の半分は可換環の研究者なんだ
間違いない
9:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:35
代数幾何の最も基本的かつ重要な対象は、代数体上定義された
非特異射影多様体だろう。
10:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:36
良スレ保守
11:i
03/10/02 23:39
>>7
1=2=4=6=i
12:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:40
あれだな、まるでブルーバックだね。
13:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:44
NT系だと比較的見る回数の少ないBSODのこと？
14:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:48
>>9
言い換えると、代数体係数（有理数係数としてもいい）の同次多項式達
の零点集合のことだ。素朴かつ具体的な対象である。
この定義自体は、何も抽象的訓練を必要としないで理解出来るもの。
15:１３２人目の素数さん
03/10/02 23:50
>>8
ワラタ
>>1=>>11
面白いからもっと書け。
16:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:07
代数幾何をやるには代数的方法、コホモロジー的方法だけなく
位相幾何的および複素解析的方法の知識が必須だろう。
17:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:07
.l''',! .r-、 .,､〟 .l''',! ./ｰ､,,,_ .r-，
.广''''″.¨ﾞﾞ! .,,,丿 {,,､､， .ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､ 广''''″.¨ﾞﾞ! .!､, lﾞ | .｝ ,〟
.ﾞl---， ぃ" .| .| .| _,,{ﾞl .ヽ ヽ--i､ .ぃ" .,,,,,,,,二ｉ" .,..-" .ヽl、ﾞl
r---┘.―'i､ "',! ./ﾆﾆﾆ、 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､ .| :,! | .l .|、
|＿＿ ._,,,,｝ ﾉ .| | lﾞ .／ ﾞ'i､ .|＿＿ ._,,,,｝ "''''ﾂ ./ "''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl
.,―-" | .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'" ,i´,〟lﾞﾞ^'i､ | .,―-" | ../ `i､ lﾞ ,lﾞ | |.ﾞl.,ﾉ
.lﾞ .,,,,,, .＼ .lﾞ .lﾞ ,， .lﾞ .|.｝ | | .| / .,,,,,, .＼ ../ .,.i､ | lﾞ .lﾞ .| .,! .゛
| し,,lﾞ .、 ﾞ,! ,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"! ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,! ,/｀／ .| ."'ﾞﾞl ./ .lﾞr┘,lﾞ
.ﾞl, .,/｀∪ ﾞ〃 .`ｰ--丿 .ﾞ'--ヽ{,,,.／ .ﾞl,, _/｀∪ .ﾞl.,i´ .!,_,,,／ .lﾞ../ | .,i´
18:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:09
>>1さん面白いのでもっと書いてください。
19:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:09
＿＿＿
. |（･∀･）|
. |￣￣￣ ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
20:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:24
>>19.
|（･∀･）|
. |￣￣￣ ｶﾝﾁｶﾞｲ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
21:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:30
>>1
とても面白いです。
続編ｷﾎﾞﾝ。
22:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:37
名スレの予感
23:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:43
グロタンディークはホモロジー代数と位相空間論しか知らなかったんだ
間違いない
24:１３２人目の素数さん
03/10/03 00:49
＞＞１を頃しにきますた。
25:i
03/10/03 00:54
もうネタ切れ
26:１３２人目の素数さん
03/10/03 01:08
>>1
彼との間がおかしくなってから彼に連絡を取りたくてずっと電話をしていたのに全然
連絡が取れなくて悩んでいました。
そしてこのスレを読みました。最初は半信半疑でしたが、読んでから一週間後に
なんと彼の方から電話をくれました。
本当に神様とこのスレのおかげです。
これからも信じて今までみたいに付き合っていけるようお願いしていこうと思います。
もちろん私も復活できるよう頑張りたいです。
とにかく今は感謝の気持ちでいっぱいです。
有難うございました。
27:１３２人目の素数さん
03/10/03 02:30
>>1さん、楽しく読ませてもらいました。
次が楽しみです。
28:i
03/10/03 23:20
specAを幾何学的な対象と捉えるにはどうしても位相空間じゃなきゃならない
だからspecAに位相を定義しようと考えてみたんだね
代数多様体にはザリスキ位相が入ってるから
これがそのまま極大イデアル全体の集合の位相になる訳だ
するとイデアルを元とする位相が定義できたからこれをそのままspecAにもってく
そしたらうまいことちゃんとspecAにも位相が定義できたんだね
これでspecAが位相空間になって幾何学的な対象っぽくなってきたよ
29:１３２人目の素数さん
03/10/03 23:51
数学者の９割は環を輪っかの意味だと思ってるんだ
間違いない
30:コピペ
03/10/03 23:55
環ってringでしょ
ringって輪って意味じゃなくてプロレスリングと同じ意味でのring
リングに～稲妻はしり～ってあったでしょ？そのring 競技場ね
つまりfieldみたいに野原で自由な感じじゃなくて
戦いとかがあって熱いんだよ ringは
わかった？環に輪なんて意味ないからね
ただの誤訳 簡単にだまされちゃだめだよ
31:１３２人目の素数さん
03/10/04 00:02
>>1さんへの絶賛が続々と寄せられています。
●
1世代前のＣＰＵでも快適になりました。
（埼玉県／鎌田 信彦さん）[1]
●
自動設定機能が充実している。使い安さと、効果から多く のユーザーに幅広く受け入れられる。
（滋賀県／松本 淳さん）[2]
●
すべての動きが速くなったと体感しています。
（大阪府／西垣 猛さん）[3]
●
速い！！の一言。
（北海道／児玉 勝彦さん）[4]
●
驚速98から使っていますが、バージョンアップするたび にパソコンの速度が速くなっているような気がします。
（神奈川県／加藤 照美さん）[5]
●
パソコンがとても速くなり、大変満足しています
（静岡県／出口 幸治さん）[6]
●
大変満足しています。パソコン初心者から、上級者まで。 ユーザを選ばないところがｇｏｏｄです。驚速シリーズ、 これからも期待大です。
（広島県／世良 篤さん）[7]
●
驚速95から使用していますが，アクセスが早くなりいら いら感も少なく最初はＣＰＵクロック133Mhzを使用してい ましたがその時は快調でした。900mhzに
変更してからは少 しの間使用していませんでしたが，色々ソフトの数などが 増え，アクセスが遅くなり出し思い出し今回も購入しまし た。これでまた，少
し楽が出来ます。
（愛知県／梅田 友昭さん）[8]
32:１３２人目の素数さん
03/10/04 11:04
>>30
君こそ間違ってるよ。もともと、代数のringは輪の意味から
名付けられたんだよ。ぐるっと回って元に戻るという意味。
ヒルベルトが名付けたじゃないかな。
代数的整数の環Z[α]を数環と名付けた。
何故そう名付けたか簡単に想像出来るだろ。
33:１３２人目の素数さん
03/10/04 12:06
ｺﾋﾟﾍﾟにﾏｼﾞﾚｽ（ｒ
34:１３２人目の素数さん
03/10/04 12:15
>>33
くやしまぎれ。ｗ
35:１３２人目の素数さん
03/10/04 12:43
kを体。Aをk上有限生成の可換代数。
P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。
Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体,
Hom(Spec(A), P^n)を決定したいんですが。
わかる人、教えてくれませんか。
36:１３２人目の素数さん
03/10/04 18:53
誰か>>35に答えてやってくれ。
37:１３２人目の素数さん
03/10/04 21:23
>>35
Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で
階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって
いるもの全体と1対１に対応する。
38:i
03/10/05 02:28
位相空間specAをどうやれば多様体と見なせるか
そのために多様体をより厳密に空間として定義する必要があったのかなあ
環付き空間なんて考え方が出てきたんです
それを可能にしたのが層みたい
39:１３２人目の素数さん
03/10/05 04:23
哲厨の香りが漂っています。
40:１３２人目の素数さん
03/10/05 05:41
ここは>>35にすぐ答えられないような人が、代数幾何を語る
スレですか？
41:１３２人目の素数さん
03/10/05 05:43
そうですが何か？
42:１３２人目の素数さん
03/10/05 06:15
>>41
>>35に答えられないということは、代数幾何がよく分かってないと
いうことになる。よく分からないものを語って何が面白い？
43:１３２人目の素数さん
03/10/05 07:51
X=Spec(A)というのは、任意の環BにX(B) = Hom(A, B)を対応
させる関手としてとらえるのが本質的な見方だろうな。
44:１３２人目の素数さん
03/10/05 08:15
>>43
何が言いたいの？
それ以外の捉え方ってある？
45:１３２人目の素数さん
03/10/05 08:28
>>44
それが分かってるんなら何故>>35に答えられないんだ？
46:１３２人目の素数さん
03/10/05 09:59
>>38
環付き空間はGrothendieckの抽象代数幾何で
最初に出てきたわけじゃない。
多変数複素関数論でのカルタンが最初だろう。
47:１３２人目の素数さん
03/10/05 16:44
>>37を誰か証明してください。
私には出来ません。
48:１３２人目の素数さん
03/10/05 20:08
昨日このスレを見つけました。
未熟ですが、代数幾何に興味を持つものです。
全部スレの内容も理解できていませんが、なんとなく感じが
つかめたような気になって大変嬉しいです。
>>1さん、その他の方々どうかこのスレを盛り立てていって
下さい。参加は出来るほど実力無いですが、楽しみに
読んでいますので。
49:１３２人目の素数さん
03/10/05 21:04
48の未来に幸あらんことを。
50:48
03/10/05 21:37
>>49
どうも、ありがとうございます。
51:１３２人目の素数さん
03/10/06 00:16
高2まではクラブ活動でのんびりしていたため、クラス35人中34位の成績でした。
高3になりK大学の農芸化学科への受験を決意しましたが、合格率ランクはD以下でした。
好きな数学をミミテックで学習したら問題がすんなり解け、他の科目にも取り組んだところ、
4ヶ月で全国統一模擬試験で偏差値15アップし先生もクラスメイトもびっくり。
ただ一人推薦で合格しました。
M・Aさん(高3女子)
母からすすめられ、初めは半信半疑でしたが、ミミテックを使ってみると不思議に頭に入る事が判り、
2週間、期末試験に向けて一生懸命学習したところ、いつも40点台、50点台だった私が英語87点
はじめ全ての科目80点台のクラス2位になりました。
S・Tさん(中3女子)
52:i
03/10/06 01:45
層というのはよくわからないが役に立つものらしい
というのが小平邦彦の層に対する最初の印象
確かに層というのは定義が天下りでいまいちピンとこないよね
でも実はとっても自然な考え方だったみたい
特に全体の構造がよくわからないものに対して局所的な写像を見てって
そこから全体を捉えようとするみたいな多様体の考え方には合致するんだろうね
層っていうのは全体にはとどいていない写像から全体の写像を構成できたりするんだね
局所的なものから大域的なものが得られる訳だ
局所的な情報から大域的な情報を得るってかっこいいよ
こんな感じで多様体上の写像を層として扱っていく感じになってきました
53:コピペ
03/10/06 01:58
位相空間Xの開集合U上の実数値連続関数全体をΓ(U)とする。
Γ(U)は自明に可換環（したがって加法に関してアーベル群）となる。
VをUに含まれる開集合とする。
制限写像: r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が自明に定義される。
r[U, V]は環の準同型になっている。
この制限写像はU ⊃ V ⊃ W のとき結合律を満たす。
この対応 U →Γ(U) と制限写像: r[U, V]の組を
X上の実数値連続関数のなす層という。
同様にXが微分可能多様体であれば微分可能関数のなす層が
定義される。さらにベクトル場や微分形式のなす層が定義される。
層はもっと一般的に定義されるが、ここで述べた例が最も典型的
な層の例である。もっと一般に開集合Uにたいしてアーベル群
Γ(U)が定義されて、さらに準同型r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が定義
され結合率が満たされるときこれを前層という。
これを層と言わないで前層というのは、上の例の層が満たす
局所性を必ずしも満たさないからである。局所性というのは、
各点の近傍における情報で大域的な情報が決まることを言う。
つまり：
U が開部分集合U_iの族の和集合となっていて、各U_iに
対してΓ(U_i)の元f_iが与えられていてるとする。
任意の添え字i, jに対して、制限写像Γ(U_i) → Γ(U_i ∩ U_ j)
とΓ(U_j) → Γ(U_i ∩ U_ j)が定義されているが、この写像
によるf_iとf_jの像が一致すると仮定する。
このときΓ(U)の元fが一意に存在して、fの Γ(U) → Γ(U_i)
による像がf_iとなる。
この性質を満たす前層を層と言う。
前層から自然に層が構成出来る。
もっと述べることは当然あるが、このへんでやめとこう。
54:１３２人目の素数さん
03/10/06 12:49
スレタイなぜ
「大好きか？★代数幾何」
にしなかったんだろ？
55:１３２人目の素数さん
03/10/06 21:39
>>53
それ俺(>>43, >>46その他)が書いた。我ながら良く書けてるな。
56:１３２人目の素数さん
03/10/06 21:43
道具ヲタと代数幾何の人の区別は可能ですか？
57:１３２人目の素数さん
03/10/06 23:03
特異点の解消って任意標数で解決したの？
石井志保子「特異点入門」に「最近解いたと主張する数学者が現れた」
みたいなこと書いてあったけど審査結果はどうだったの？
58:１３２人目の素数さん
03/10/07 20:50
誰か>>37を証明してやれ。あれは重要な結果だぞ。
いやしくも代数幾何をやる人間はあれを証明出来なきゃ駄目だ。
59:１３２人目の素数さん
03/10/07 22:21
使い古された煽りの手口ですね。
60:１３２人目の素数さん
03/10/07 22:56
>>59
あれを煽りと思うのか。悲しいやつだ。
あれは非常にいい問題だよ。問題の為の問題ではない。
豊富な内容を持っている。しかも、難問ではない。
61:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:07
>>60
コピペ用にいただきますた
62:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:22
>>58
代数幾何をやらない人間なので答えおしえてください。
63:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:30
>>62
問題自体の意味は分かるのか？
例えば、Spec(A)とかProj(k[X_0,...,X_n])の意味。
64:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:30
>>58
代数幾何をやるダメ人間なので答えおしえてください。
65:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:31
>>63
なんとか意味はわかります。
66:i
03/10/07 23:50
誰かが考えました。
誰かは知らないんだけど
位相空間と層があればそれから多様体が構成できるんじゃない？
幾何学的な空間のとらえ方が少しずつ実体よりもその存在のあり方にシフトしてきました
周りとの関係っていうかね、実体の存在より関係の存在が先っていうか
えっと、考える故に我有りだっけ？そんなのと似てるかも
似てないか
67:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:54
↑
詐欺に引っかかりやすいタイプ
68:１３２人目の素数さん
03/10/07 23:57
>>65
Spec(A)上の可逆層とA上の階数１の射影加群が本質的には
同じものというのは？
69:１３２人目の素数さん
03/10/08 00:01
>>68
ピカール群とかいうやつですか？なんとなく聞いたことはあるという程度です。
ステートメントはみたことありますが証明をおったことはありません。
70:１３２人目の素数さん
03/10/08 00:13
>>69
じゃあ基礎的なことからまったりと証明してやろう。
時間はかかるけどな。あせらず待て。
71:１３２人目の素数さん
03/10/08 00:16
>>70
よろしくおながいします。気長にまちます。
72:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:14
じゃあ証明開始といくか。
基礎からいくから、かなり長いぞ。
今後、特別に断わらない限り、環と言ったら単位元を持つ
可換環とする。環準同型は単位元を単位元に写すものとする。
命題１
Xを環付き空間。Aを環とする。
Γ(X)をX上の大域切断のなす環とする。
このとき、Hom(X, Spec(A))とHom(A, Γ(X))は標準的に同型である。
証明せよ。
73:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:18
↑同型というのはおかしいな。標準的な全単射が存在すると
置き換えてくれ。
74:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:38
>>72
これにだれかが答えないと先にすすんでくれないの？
75:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:43
>>74
原則として誰かが答えるまで先に進まない。
そうしないと、諸君が理解してるかどうか分からないから。
76:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:53
終了か(･∀･)、今後の展開はどっち？
77:珍々 ◆0OHTCmYTPk
03/10/08 20:55
たかが多項式 されど多項式
78:１３２人目の素数さん
03/10/08 20:56
>>72の訂正。スマン。
Xは局所環付き空間。Hom(X, Spec(A))は局所環付き空間としての射の集合。
79:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:06
>>78
やっぱり･･･めっちゃ考えたのに･･･
80:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:12
>>79
その考えは無駄じゃないよ。で答えは？
81:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:14
>>75
答えいきつくまでにあと何ステップぐらいあるの？この原則だと答えみたい場合
ずっと２ｃｈ見続けて設問にづっと答えつづけないとダメだけどそんなの不可能なんですが。
あと２、３ステップですむんなら可能だけどそうじゃないならヘタしたら２、３週間つづけて
２ｃｈ漬けになってしまう。もしそれぐらいかかるならもう答えわかんなくてもいいし。
せめて何ステップで終わるのかだけでも先におしえてもらえません？
82:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:23
>>81
そうだな、端折れば５ステップ、丁寧にやれば１０ステップくらいかな。
丁寧なほうがいいだろ？
83:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:24
>>80
答えは結構めんどいんですが･･･
あたえられた環の準同型φ:A→Γ(X)に対し連続写像fをp∈Xにたいし合成写像
A→Γ(X)=O_X(X)→O_{X,p}によるO_{X,p}の極大イデアルの引き戻しをf(p)とする
写像とさだめる。つぎにspecA上の環の層の準同型f^#:O_specA→O_Xを
f^#(specA):O_specA(A)=A→O_X(X)=Γ(X)がφになるようなものとする。
（そのようなf^#の存在の証明は略。）
逆の対応は与えられた(f,f^#):(X,O)→(SpecA,O_SpecA)に対し
A=O_(specA)(specA)→f_*(specA)=O_X(X)=Γ(X)で定められる環準同型であたえられる。
この程度でいいすか？
84:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:39
>>83
まあいいだろ。各自、詳細を詰めてくれ。
定義１
Xを環付き空間とする。O_X 加群の層 F が局所的に階数１の自由層であるとき
可逆層という。
85:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:51
後は明日の夜。期待して待ってくれ。
86:１３２人目の素数さん
03/10/08 21:55
乙です
87:１３２人目の素数さん
03/10/09 20:21
昨日の続きと行こう。
可逆層についての基本事項を述べる。
命題２(層の張り合わせ)
Xを位相空間とし{U_i}をXの開被覆とする。
各U_i上に層F_iが与えられており、任意のi,jに対して
同型ψ(i,j): F_i|U_i ∩ U_j → F_j|U_i ∩ U_j
が存在するとする。
さらに、任意のi,j,kに対してψ(j,k)ψ(i,j) = ψ(i,k)が
U_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つとする。
このとき、X上の層Fと同型η_i: F|U_i → F_iが存在し、
ψ(i,j) = η_j(η_i)^(-1)が成り立つ。
証明
開集合Uと各iに対して、U ∩ U_i上のF_iの切断s_i の列{s_i}で
s_j = ψ(i,j)(s_i) となるもの全体をF(U)とする。
対応 U → F(U) は層となり、これが求めるもの。
詳細は各自にまかす。
QED.
88:１３２人目の素数さん
03/10/09 20:33
命題３
Xを環付き空間とする。O_XのO_X加群としての自己同型群はΓ(X)の
可逆元全体のなす群Γ(X)^*と標準的に同型である。
証明は自明だろう。
Xを環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。
定義によりXの開被覆{U_i}が存在し、各U_iで
LはO_Xと同型である。
この同型ψ_iを固定しておく。
i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。
従って、命題３よりΓ(U_i ∩ U_j)^*の元が定まる。
これをθ(i,j)と書く。
i,j,kに対して、θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_k
で成り立つ。θ(i,i)はΓ(U_i) における単位元である。
命題４
逆に上の関係式を満たすθ(i,j)があると、X上の可逆層L
が定り、θ(i,j)は上記のように求めたものと一致する。
命題２から明らかだろう。
89:１３２人目の素数さん
03/10/09 20:38
命題５
Xを環付き空間とする。
1) L_1, L_2をX上の可逆層とする。
L_1とL_2のテンソル積L_1(x)L_2も可逆層である。
2)LをX上の可逆層とするとHom~(L, O_X)も可逆層である。
ここでHom~はHomの層。この層をL^と書く。
3) L(x)L^はO_Xと同型である。
これを証明せよ。
命題５からX上の可逆層の同型類はアーベル群をなすことが分る。
これをXのピカール(Picard)群といい、Pic(X)と書く。
90:１３２人目の素数さん
03/10/09 21:05
.>>89
以下前層Fの層化をF~と書く。
―補題―
位相空間X上の前層Fとその層化F→F~についてある開集合Uが存在しF|Uが層であるなら
任意のV⊂UについてF(V)→F~(V)は同型。
∵層化の具体的表示F~(V)={s∈Π[p∈V]F_p|∃V=∪V_λ∃s_λ∈F(V_λ)∀p∈V_λs_p=(s_λ)_p}
をみれば(F|U)~=(F~)|Uがわかる。仮定よりF|U=(F|U)~。これから主張が成立。□
―命題５の証明―
1),2)X=∪U_λ=∪V_μをL_1|U_λ、L_2|V_μが自明層になるようにとる。
W=W_λμ=U_λ∩V_μ上で前層L_1(x)L_2|_W、Hom(L_1,L_2)|Wは層である。
ゆえに(L_1(x)L_2)~|W=(L_1(x)L_2)|W、Hom(L_1,L_2)~|W=Hom(L_1,L_2)|WであるがこれらはともにO|Wにひとしい。
3)前層の射f:L(x)Hom(L,O)→Oをa(x)f→f(a)でさだめられるものとする。L|W、Hom(L,O)|Wが自明になる
W上でこれは同型写像。補題よりL(x)Hom(L,O)|WとL(x)Hom(L,O)~|Wは同型なので主張が成立。
こんなもんでいいすか？
91:１３２人目の素数さん
03/10/09 21:16
>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
92:１３２人目の素数さん
03/10/09 21:16
＿＿＿
. |（･∀･）|
. |￣￣￣ ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
93:１３２人目の素数さん
03/10/09 21:48
>>73
集合の圏の同型は全単射
94:１３２人目の素数さん
03/10/09 22:56
>>88
>i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
>Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。
O_XのU_i ∩ U_j における同型を与える、の間違いだった。
95:１３２人目の素数さん
03/10/09 22:58
>>93
普通は全単射と言うな。まあどうでもいいが。
96:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:12
>>90
なんか難しく考えてないかな。1) なんか、O_X(x)O_XがO_Xと同型
であることを使えば自明なんだが。
でもまあいいや。
97:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:16
>>93,>>95
（bifunctorとして）同型、と言う方が、
ただの全単射より内容が深い。
標準的な、だけでは意味が不明確。
98:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:49
いよいよ本題に入る。
kを体とし、S = k[x_0,...,x_r]をk上の多項式環とする。
Sは、n次同次多項式のなすk-部分加群S_nの直和であり、次数環と考えられる。
S+ = S_1 + S_2 + ...とおく。S+はSの同次イデアルである。
Sの同次素イデアルでS+を含まないもの全体をProj(S)と書く。
同時イデアルIを含むProj(S)の元全体をV+(I)と書く。
D+(I) = Proj(S) - V+(I) と書く。D+(I) の形の部分集合を
開集合としてProj(S)は位相空間となる。
fをSの同次元としたとき、局所化環 S_fは、次数環となる。
つまり、aを同次元としたとき、a/f^n の次数をdeg(a) - n deg(f)
で定義する。S_fの0次部分のなす環をS_(f)と書く。
D+(f)にS_(f)を対応させてProj(S)に前層が定義される。
これの層化をProj(S)の構造層 O と定義する。
pをProj(S)の元としたとき、O_p は S_p の0次部分のなす環S_(p)
と同型である。fをS+の同次元としたとき、D+(f)はProj(S)の開集合
の基となる。D+(f)は局所環付き空間として
Spec(S_(f))と同型である。したがって、Proj(S)はスキームである。
このスキームを体k上のr次射影空間と呼び、P^r_kまたは単にP^rと書く。
99:１３２人目の素数さん
03/10/09 23:57
>>97
百も承知してるんだが、それを言いだすと、随伴関手とか
言わなきゃならなくなる。今は面倒なのでさらっと流してる。
標準的全単射で間違いってことはない。
100:１３２人目の素数さん
03/10/10 05:13
>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
101:１３２人目の素数さん
03/10/10 20:12
昨夜の続き。
P^rを体k上の射影空間 Proj(k[x_0, ... x_r] とする。
U_i = D+(x_i)とおく。nを任意の整数とする（負の整数も可)。
θ(i,j) = (x_i/x_j)^nはΓ(U_i ∩ U_j)^*の元である。
θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つ。
従って、命題４よりX上の可逆層が定まる。この層をO(n)と書く。
さて、S上の次数付き加群Mがあると、S+の同次元fに対して、
D+(f)にM_fの次数0成分M_(f)を対応させることにより、
O加群の層M~が定まる。
S上の次数付き加群S(n)をそのp次成分を S(n)_p = S_(p + n)で定義する。
命題６
O(n) = S(n)~ である。
これを証明せよ。
102:１３２人目の素数さん
03/10/10 20:59
ごくろう。
103:１３２人目の素数さん
03/10/10 21:24
射影スキームとというのはアフィンでないスキームとしては
最も重要なものである。完備な非射影スキームというのは、
かなり例外的なものであり通常考える必要はない。
従って、代数幾何をやるものは射影スキームに親しむ必要がある。
104:１３２人目の素数さん
03/10/10 23:55
命題７
Γ(P^r, O(n)) は S_nとk-加群として同型である。
これを証明せよ。
105:１３２人目の素数さん
03/10/10 23:56
やだ。
106:１３２人目の素数さん
03/10/11 00:21
ここで環付き空間の射による加群の層の順像と逆像について述べる。
X, Yを位相空間とし、f:X→Yを連続写像とする。
GをX上のアーベル群の層とする。
Gのfによる順像f_*(G)を、
f_*(G)(U) = G(f^(-1)(U))で定義する。
これは、Y上のアーベル群の層である。
FをY上のアーベル群の層とする。
VをXの開集合とし、Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる写像ψで、
局所的にO_Yの切断から誘導されるもの全体をΓ(V)として
得られる層をFのfによる逆像といい、f^(-1)(F)と書く。
詳しく述べると、xのある開近傍Wに対して
f(W) を含むYの開集合Uと、U上のfの切断sが存在し、
ψ(p) = s_f(p) がWの全ての点pにおいて成り立つ。
命題８
Hom(f^(-1)(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。
これを証明せよ。
順像と逆像は環の層でも同様に定義され命題８が成り立つ。
107:１３２人目の素数さん
03/10/11 00:30
>>106
訂正：
Vの点xに対してO_f(x)の元を対応させる ⇒ Vの点xに対して
F_f(x)の元を対応させる
局所的にO_Yの切断から誘導 ⇒ 局所的にFの切断から誘導
108:１３２人目の素数さん
03/10/11 00:46
X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
定義から、射: O_Y → f_*(O_X) が存在する。
命題８より、随伴射: f^(-1)(O_Y) → O_X が存在する。
GをO_X-加群の層とする。f_*(G)はf_*(O_X)-加群の層となる。
射: O_Y → f_*(O_X) により、これはO_Y-加群の層となる。
これをO_X-加群 Gの f による順像と呼び、同じ記号f_*(G)で表す。
FをO_Y-加群の層とする。f^(-1)(F)はf^(-1)(O_Y)-加群の層となる。
射: f^(-1)(O_Y) → O_X により、O_X はf^(-1)(O_Y)-加群となり、
f^(-1)(O_Y)上のテンソル積f^(-1)(F) (x) O_X が定義される。
これをO_Y-加群 Fの f による逆像と呼び、f^*(F)と書く。
命題９
Hom(f^*(F), G) から Hom(F, f_*(G)) への全単射が存在する。
これを証明せよ。
109:１３２人目の素数さん
03/10/11 00:54
命題１０
X, Yを環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
LをY上の可逆層とすると、f^*(L)も可逆層である。
対応は、L → f^*(L) は 準同型 Pic(Y) → Pic(X) を与える。
これを証明せよ。
110:１３２人目の素数さん
03/10/11 01:26
ここで局所環についての基本事項を復習しておく。
命題１１(中山の補題)
Aを局所環、mをその極大イデアルとする。
Mを有限生成A-加群とする。
M = mM なら M = 0 である。
証明
M ≠ 0 と仮定する。
M は有限生成だからZornの補題より極大な部分加群 N が存在する。
L = M/N は 単純加群だから κ= A/m と同型である。
従って L ≠ mL 即ち L/mL = L (x) κ ≠ 0
M → L → 0 は完全だから、
M (x) κ→ L (x) κ → 0 も完全。
従って、M (x) κ ≠ 0
即ち、M ≠ mM
QED.
系１
NをM の部分加群とし、M = N + mM とする。
このとき、M = N となる。
これを証明せよ。
系２
M/mM = M (x) κ はκ上の有限次ベクトル空間である。
この基底の代表元x_1, ... ,x_n はM の生成元である。
これを証明せよ。
111:１３２人目の素数さん
03/10/11 01:42
>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
112:１３２人目の素数さん
03/10/11 01:45
命題１２
Xを局所環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。
Xの点xに対してm_xをO_xの極大イデアルとする。
sをLの大域切断とする。s_x のL_x/(m_x)L_x における像
をs(x)と書く。s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。
これを証明せよ。
113:１３２人目の素数さん
03/10/11 02:10
つか嫉妬してる人間がいるな。
114:１３２人目の素数さん
03/10/11 02:24
shit?
115:１３２人目の素数さん
03/10/11 07:54
X, Yを局所環付き空間とし、f:X→Yを射とする。
LをY上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。
sはf^(-1)(L)の大域切断tを誘導する。
t (x) 1 はf^*(L)の大域切断である。
これをf^(*)(s)と書く。
命題１３
xをXの点とする
s(f(x)) ≠ 0 なら f^(*)(s)(x) ≠ 0 である。
これを証明せよ。
116:１３２人目の素数さん
03/10/11 08:05
命題１４
X, Yを局所環付き空間とする。
{U_i}をXの開被覆とし、各i に対して射 f_i: U_i → Y
が与えられていて、任意のi, j に対して
f_i | U_i ∩ U_j と f_j | U_i ∩ U_j が一致するとする。
このとき、射 f: X → Y で f|U_i = f_i となるものが一意に
存在する。
証明は自明だろう。
117:１３２人目の素数さん
03/10/11 08:22
命題１５
Xを局所環付き空間とする。
LをX上の可逆層とする。sをLの大域切断とする。
命題１２より s(x) ≠ 0 となるx の全体は開集合である。
これをUと置く。t をLの任意の大域切断とする。
Γ(U)の元 f で t_x = f_x s_x が U の任意の点
で成り立つものが一意に存在する。
これを証明せよ。
上のfをt/s と書く。
118:１３２人目の素数さん
03/10/11 08:51
kを体。P^r = Proj(k[x_0, ... x_r]) をk上の射影空間とする。
命題７よりΓ(P^r, O(1)) は S_1とk-加群として同型である。
従って、x_0, ... x_r は、可逆層 O(1) の大域切断である。
x_i(p) ≠ 0 となる p の集合は D+(x_i) である。
このことから、P^rの各点pにおけるO(1)のストークO(1)_pは
x_0, ... x_r の像により生成されることがわかる。
この事実を、O(1)は大域切断 x_0, ... x_r で生成されると言う。
119:１３２人目の素数さん
03/10/11 09:03
Xをk上の局所環付き空間とする。すなわち、構造射 X → Spec(k)
が与えられているとする。
命題１からこれは、環準同型 k → Γ(X) が与えられていることと
同値である。
f: X → P^r をk上の局所環付き空間としての射とする。
命題１０より、f^*(O(1))は可逆層である。
U_i = f^(-1)(D+(x_i)) と置く。
命題１３より、U_i の任意の点 p で f^*(x_i)(p) ≠ 0 である。
即ち、f^*(x_0), ... , f^*(x_r) は f^*(O(1)) を生成する。
120:１３２人目の素数さん
03/10/11 09:25
命題１６
Xをk上の局所環付き空間とする。LをX上の可逆層とする。
s_0, ... , s_r を L の大域切断で L を生成するものとする。
k-射 f: X → P^r で L = f^*(O(1)),
s_0 = f^*(x_0), ..., s_r = f^*(x_r) となるものが一意に
存在する。
証明
s_i(p) ≠ 0 となる p の集合を X_i と書く。
命題１５よりこれは、開集合であり、
任意の j に対して s_j/s_i は Γ(X_i) の元である。
一方、U_i = D+(x_i) は P^r のアフィン開集合で
Γ(U_i) = Spec(k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i]) である。
従って、x_j/x_i → s_j/s_i により
準同型 k[x_0/x_i, ... , x_r/x_i] → Γ(X_i) が定まり、
命題１から射 X_i → U_i が定まる。
この射は、X_i ∩ X_j で一致する。従って命題１４より
射 X → P^r が定まる。残りは各自に負かす。
QED.
121:１３２人目の素数さん
03/10/11 09:45
Aをk-代数とする。X = Spec(A)上の可逆層 L は準連接である。
従って、A-加群 M が存在して、M~ = L (同型) となる。
そこで、M~が可逆層となるようなA-加群Mの性質を調べる。
122:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:03
命題１７
局所環 A 上の有限生成射影加群 M は自由である。
証明
κ= A/m とおく。M/mM = M (x) κ はκ上の有限生成加群だから、
その基底の代表元はM の生成元である
(命題１１(中山の補題)の系２)。
従って 有限自由な L と完全列 L → M → 0 が存在し、
L (x) κ→ M (x) κが同型となるものが存在する。
L → M の核をN とする。
0 → N → L → M → 0 は完全である。
Mは射影的だから、この完全列は分解する。
従って 0 → N (x) κ→ L (x) κ→ M (x) κ → 0 も分解する
完全列である。よって、N (x) κ = 0 となる。
NはLの直和因子だから、有限生成である。
中山の補題より、N = 0 となる。即ち、L と M は同型。
QED.
123:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:17
ところで、照明の最後についてるQED.って何？
124:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:24
命題１８
Aを環。MをA-加群とする。
任意の素イデアル p に対して, M_p = 0 なら、M = 0 である。
これを証明せよ。
125:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:28
命題１９
Aを環。f:M → N をA-加群の準同型とする。
f_p: M_p → N_p が任意の素イデアルに対して全射なら、
fも全射である。
これを証明せよ。
126:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:30
命題１９
有理数体上定義された楕円曲線はモジュラーである。
これを証明せよ。
127:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:32
>>126
訂正
命題１９⇒命題２０
128:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:34
>>123
証明終わりという意味。ラテン語の頭文字。
英語の辞書に載ってるよ。
そんなことより、証明、分かってるのか。
129:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:39
定義２
Aを環。MをA-加群とする。
有限自由なL_1, L_2で
L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在するとき、
Mを有限表示を持つ加群という。
130:１３２人目の素数さん
03/10/11 10:54
命題２０
Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。
NをA-加群、pをAの素イデアルとする。
Hom(M, N)_p = Hom(M_p, N_p) が成り立つ。
ここで、Hom(M_p, N_p)はA_p-加群としてのHom
証明
N, p を固定する。
F(M) = Hom(M, N)_p
G(M) = Hom(M_p, N_p)
とおく。
F, G は加法的関手である。
射: F → G が存在する。
即ち、Hom(M, N)_p → Hom(M_p, N_p)
これは、f:M → N に、f_p: M_p → N_p を対応させるもの。
M が有限自由のときは、これは同型である。
Mが有限表示を持つから、A_pによるテンソル積が完全列を保存すること
(A_pの平坦性)と可換図式により、命題が成り立つ。
詳細は各自にまかす。
QED.
131:１３２人目の素数さん
03/10/11 20:37
定義３
Aを環とし、MをA-加群とする。
任意のA-加群の列 N' → N → N'' に対して
これが完全であることと
N'(x)M → N(x)M → N''(x)M
が完全であることが同値となるとき、
Mを忠実平坦であるという。
命題２１
Aを環。MをA-加群とする。
以下は互いに同値である。
1) Mは忠実平坦である
2) Mは平坦で、N ≠ 0 なら N(x)M ≠ 0
3) Mは平坦で、M ≠ mM がAの任意の極大イデアルm
に対して成り立つ。
これを証明せよ。
132:１３２人目の素数さん
03/10/11 22:56
命題２２
Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。
0 → G → F → M → 0 が完全で、
Fが有限生成なら、Gも有限生成である。
証明
有限自由なL_1, L_2で
L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在する
従って以下の可換図式が成り立つ。
L_1 → L_2 → M → 0
↓ ↓ ↓
0 → G → F → M → 0
ここで、M → Mは恒等写像。
Snake lemma より Coker(L_1 → G) = Coker(L_2 → F) (同型)
よって、Coker(L_1 → G)は有限生成。
Im(L_1 → G)も有限生成だから、Gも有限生成である。
QED.
133:１３２人目の素数さん
03/10/11 23:18
命題２３
環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。
MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限表示を持てば、
MもA-加群として有限表示を持つ。
証明
M(x)B はがB-加群として有限生成だから、
Mの部分加群Nで有限生成で、N(x)B → M(x)B が同型と
なるものが存在する。BはA-加群として忠実平坦だから、
NはMと一致する。従ってMは有限生成。
よって有限自由なFと以下の完全列が存在する。
0 → G → F → M → 0
BはA-平坦だから、
0 → G(x)B → F(x)B → M(x)B → 0
は完全。M(x)BはB-加群として表示を持ち、
F(x)Bは有限生成だから、命題２２より
G(x)Bも有限生成である。BはA-加群として忠実平坦だから
最初に述べた方法と同様にGも有限生成である。
QED.
134:１３２人目の素数さん
03/10/11 23:32
命題２４
有限生成射影加群は、有限表示を持つ。
これを証明せよ。
135:１３２人目の素数さん
03/10/11 23:45
命題２５
BをA-代数で、BはA-加群として平坦とする。
Mを有限表示を持つA-加群とする。
NをA-加群とする。
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)が成り立つ。
ここで、Hom(M(x)B, N(x)B) はB-加群としてのHom
証明は、命題２０と同様。
136:１３２人目の素数さん
03/10/11 23:55
命題２６
環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。
MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限生成射影加群
なら、MもA-加群として有限生成射影加群である。
証明
命題２４より、M(x)B は有限表示を持つ。
従って命題２３より、M は有限表示を持つ。
従って命題２５より、任意のA-加群Nに対して
Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)となる。
任意の完全列 N → N' → 0 に対して、
N(x)B → N'(x)B → 0 も完全である。
M(x)Bは射影加群だから、
Hom(M(x)B, N(x)B) → Hom(M(x)B, N'(x)B) → 0 も完全。
従って、Hom(M, N)(x)B → Hom(M, N')(x)B → 0 も完全。
Bは忠実平坦だから、Hom(M, N) → Hom(M, N') → 0 も完全。
即ち、Mは射影加群である。
QED.
137:１３２人目の素数さん
03/10/12 00:13
命題２７
Aを環。{f_i} をAの元の有限列で、単位イデアルAを
生成するとする。A_f_i の直和環をBとする。
BはA-加群として忠実平坦である。
証明
各A_f_iはA-平坦だから、BもA-平坦である。
仮定より、{D(f_i)} はSpec(A)の開被覆である。
従って、pをAの素イデアルとすると、
p はあるD(f_i) に含まれる。pA_f_i はA の素イデアル
である。これよりpB ≠ B が分かる。
命題２１より、BもA-忠実平坦である。
QED.
138:１３２人目の素数さん
03/10/12 00:38
命題２８
Aを環、MをA-加群とする。
X = Spec(A)とおき、O_X-加群 M~ を考える。
M~が可逆層なら、Mは有限生成射影加群である。
証明。
M~が可逆層であるから、Spec(A)の開被覆 {D(f_i)}
で各M_f_iがA_f_iとA_f_i加群として同型なものがある。
M_f_iの直和 T を考える。 T = M (x) B である。
TはBとB-加群として同型だから、B-加群として
有限生成射影加群である。
命題２７より、BはA-加群として忠実平坦である。
従って、命題２６よりMは有限生成射影加群である。
QED.
139:１３２人目の素数さん
03/10/12 00:45
>128
quantum electrodynamics.
電子をはじめ荷電粒子，電磁場からなるミクロな系を支配する力学体系を
量子電磁力学という.（中略）
しばしば英語の頭字をとってQEDと略称される(→･････).
［岩波 理化学辞典，第3版,岩波 (1971)］
量子電気力学 [文部省 学術用語集 物理学編(1954)]
140:１３２人目の素数さん
03/10/12 00:45
命題１７より、階数１の有限生成射影加群の層化がSpec(A)上の可逆層
となることは、明らかである。
これと、命題２８より、階数１の有限生成射影加群と可逆層は、
同型を除けば、同じものと考えることが出来る。
141:１３２人目の素数さん
03/10/12 00:56
命題１６と命題２８などから、我々の目的である
以下の定理が出ることは明らかだろう。
詳細は各自に任す。
主定理
kを体。Aをk上の(有限生成とは限らない)可換代数。
P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。
Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体,
Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で
階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって
いるもの全体と1対１に対応する。
142:１３２人目の素数さん
03/10/12 01:01
>>141
上の定理のkは体でなくても環であればいい。
今までの証明を見ればkが体であることを、どこにも使って
ないことが分かるはずだ。
143:１３２人目の素数さん
03/10/12 01:08
>>先生
乙！
TeX打ちでもするか
144:１３２人目の素数さん
03/10/12 01:47
すでに知ってる人もいるだろうが、俺の種本を教えてあげよう。
命題１６の証明などは、HartshorneのAlegebraic Geometry,
命題２８の証明などは、BourbakiのCommutative Algebra(1-7).
O(1)の解釈などは、SerreのFACを参考にした。
SerreのLocal Algebraも中山の補題の証明に使った。
命題１は、Hartshorneにも載っているが、局所環付き空間
でなくスキームを扱っていたと思う。局所環付き空間であの命題を
述べたのはEGAかな。よく覚えてない。
命題１６もXはスキームでなく局所環付き空間で成り立つが、
これに気づいたのは、今回の証明を書いているときだ。
あと主定理自体は、あるオンラインの代数幾何入門からヒントを得た。
今は著者名と題名を思い出せない。
145:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:07
スキームではない環付き空間で
代数幾何的に重要だったりおもしろそうな例ってどんなのがありますか？
146:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:16
門外漢でわからないけど、
「A上の階数１の射影加群で階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子と
なっているもの全体と1対１に対応する」
っていうのは、
「A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する」
って言う意味でいい？
「A上の階数１の射影加群の同型類でA^(n+1)の直和因子で
代表されるもの全体と1対１に対応する」
というようにも読めるけど、そういう意味ではないよね？
147:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:24
>>145
代数幾何的に重要かどうかは知らないが、
例えば代数的でない複素多様体。
148:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:29
>>146
｢A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する｣
という意味。
例えば、Aが体の場合を考えてみれば分かる。
この場合、階数１の直和因子とは、１次元の線形部分空間のことだ。
149:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:31
Milne先生のところ？＞オンラインの代数幾何講義
150:１３２人目の素数さん
03/10/12 02:52
>>149
違う。ロシアまたは東欧系の名前の数学者だった。
151:１３２人目の素数さん
03/10/12 03:38
命題１６により可逆層がなぜ代数幾何で重要かがわかるだろう。
非特異代数多様体では可逆層と因子とは線形同値を除けば同じ
ものと考えていい（証明せよ）。この見方からすると、O(1)には
射影空間の超平面が対応する。O(1)の逆像には、超平面の逆像が
対応するはずだが、超平面の逆像の定義は？ 一般に因子の逆像とは何か？
152:１３２人目の素数さん
03/10/12 10:42
命題１６でXをスキームでなく局所環付き空間として述べたのは、
そのほうが証明の本質がわかりやすいから。より一般化された問題の
ほうが、その本質がよく分かる場合が多い。問題が難しかったら、
その問題を一般化せよというのは、よく言われる。
153:１３２人目の素数さん
03/10/12 12:59
命題２８の証明って、Bourbakiでしか見たことない。
基本的な命題なのに。Bourbakiの可換代数は、非常にいい。
Atiyah-MacDonaldの本は、Bourbakiのエッセンスをまとめたものだろう。
154:１３２人目の素数さん
03/10/12 14:12
>>6 の続きって何なんでしょうか？
代数空間とか代数スタックのことですか？
155:１３２人目の素数さん
03/10/13 19:35
Hartshorneの本の演習問題をここで解かないか？
156:珍々 ◆0OHTCmYTPk
03/10/13 19:39
オンラインで、一章の解答を見た記憶がある。
157:１３２人目の素数さん
03/10/13 20:45
俺も見た。だから2章から行こう。
158:１３２人目の素数さん
03/10/13 21:22
>>156
リンク希望
159:１３２人目の素数さん
03/10/14 17:16
2ch発のHartshorne解答集ができたらおもしろいね。
160:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 05:21
大好きか？代数幾何
死ぬ前に１度は勉強してみたい。
161:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 20:51
今日は代数幾何な気分でつ。
162:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 20:56
２次曲線age
163:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 21:27
モジェライ理論age
164:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:07
シツモソです。Ｋを体とするときＫ上有限生成な代数群スキームのなす圏は
アーベル圏でしょうか？十分入射的でしょうか？もしＹＥＳなら何よめばわかるでしょうか？
ＮＯならどんな反例（Cokが有限生成代数群スキームにならない例とか）が
あるでしょう？しってるひといたら情報ください。
165:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:09
晒しあげ
166:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:12
>>164
おいおい、abelならadditiveだぞ。
二つの射をどうやって足すんだ？
167:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:14
>>166
おまい馬鹿？？
168:↑
03/10/15 22:16
馬鹿はオマエ
169:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:16
ｗｗｗｗｗｗｗ
170:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:21
根拠の無いレスを繰り返すのはお止めなさい
171:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/15 22:22
はい
172:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:28
>>166
ああ、すいません。有限生成な可換代数群スキームの圏のまちがいです。
こいつアーベル圏でしょうか？KernelについてはとじてるんですがCokernelが
よくわかりません。いくつかの特殊な場合に成立するのはわかったんですが
一般の場合成立するのかも反例があるのかもわかりまへん。おながいします。
173:１３２人目の素数さん
03/10/15 22:57
直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
フランス語だが。
174:１３２人目の素数さん
03/10/15 23:26
>>173
＞群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。
ダウンロードできるんですか･･･しかし膨大な量になりそうな･･･
＞直感的にはアーベル圏にはならないと思う。
＞詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に
＞書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。
連結成分が固有とかいう条件つけてもだめすか？
175:１３２人目の素数さん
03/10/16 07:43
>>174
SGAはダウンロードしなくてもオンラインで見れるよ。
176:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 08:11
いい加減SGAは卒業しろよ・・。
177:１３２人目の素数さん
03/10/16 14:53
ここのみんなで
URLﾘﾝｸ(www.math.leidenuniv.nl)
これに参加しないか？
178:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 17:49
スルー
179:１３２人目の素数さん
03/10/16 18:03
参加するーってことかな
180:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 19:01
代数幾何的素数判定
181:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:10
>>180
知ってる言葉並べただけだろ
182:１３２人目の素数さん
03/10/16 19:51
では、HartshorneのAlgebraic Geometry(Springer-Verlag, 1977)
の演習問題を解いてくれ。２章からいく。
ほとんど自明な問題は除く。
II.1.3.(b)
以下の条件を満たすX,F,G,と射F → G 及びXの開集合U の例を示せ。
F, G を位相空間X上の層。F → G を層としての全射とする。
開集合U があって、F(U) → G(U) は全射ではない。
183:１３２人目の素数さん
03/10/16 20:47
>>177
そのプロジェクトって少しは進展してるのかな？
全然、結果を見たことがないんだが。
184:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/16 21:09
プロジェクトSEX
185:１３２人目の素数さん
03/10/16 21:16
>>184
死ねアホ
186:１３２人目の素数さん
03/10/16 22:20
>> 182
X = C（複素数体）
F = G = 正則関数の層
φ：F → G：f → f'（導関数）
とする。
φは層として全射（ローカルには原始関数は必ず存在するから）。
だが、U = C - {0} とすると、φ(U)：F(U)→G(U) は全射でない。
たとえば f∈G、f(z) = 1/z を考えよ。
187:１３２人目の素数さん
03/10/16 22:54
>>186
偶然だな。俺は１日考えて同じ例を思いついた。
188:１３２人目の素数さん
03/10/16 23:01
II.1.11
{F_i} を ネーター空間X上での層のdirect system とする。
前層 U → lim F_i(U) は層であることを示せ。
189:186
03/10/17 01:46
>>188
これにもチャレンジしてみますた。
＜層の一意性条件＞
s、t ∈ dirlimit F_i(U)、U の開被覆を{U_α}とし、
∀α s|U_α = t|U_αと仮定する。
（以下、sやtの適当な代表元を「s_i」「t_i」等で表す）
この仮定は、正確に書くと
∀α ∃i(α) s_i(α)|U_α = t_i(α)|U_α （「i(α) 」はαに依存する添え字）。
今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α)の最大値をj と
おくと、この j に対して
∀α s_j|U_α = t_j|U_α。
よって、F_j が層であることから、結局グローバルにs = t。
190:186
03/10/17 01:47
（続き）
＜層の貼り合わせ条件＞
U の開被覆を{U_α}、{s(α)} ∈ Πdirlimit F_i(U_α)とし、
∀α, β s(α)|U_α∩U_β = s(β)|U_α∩U_βと仮定する。
この仮定は、正確に書くと
∀α, β ∃i(α, β) s(α)_i(α, β)|U_α∩U_β = s(β)_i(α, β)|U_α∩U_β。
今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。
添え字αとβをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α, β)の
最大値をj とおくと、この j に対して
∀α, β s(α)_j|U_α∩U_β = s(β)_j|U_α∩U_β。
よって、F_j が層であることから、s_j | U_α = s(α)_j をみたすグローバルな
貼り合わせ s_j ∈ F_j(U) が存在する。このs_j を代表元とする
s ∈ dirlimit F_i(U) が、明らかに最初の {s(α)} の貼り合わせとなる。
以上。間違いあったら指摘も求む。
しかし、なんか疲れた。こういう問題はちょっとつまんないかも...
191:１３２人目の素数さん
03/10/17 02:03
乙
192:186
03/10/17 02:53
今読み直して気付いたが、i(α)とかの「最大値」ってのはヘンだな。
「上界の1つ」と読み替えてくれ。
193:１３２人目の素数さん
03/10/17 07:55
Hartshorneの演習問題
II.1.16(b)
Fを位相空間X上の層とする。任意の開集合 U ⊃ V
に対して、制限写像: F(U) → F(V) が全射のときFを軟弱(flasque)と言う。
0 → F' → F → F'' → 0 を層の完全列とする。
F' が軟弱なら、任意の開集合 U に対して、
0 → F'(U) → F(U) → F''(U) → 0 が完全であることを示せ。
194:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/17 08:03
とりびある
195:１３２人目の素数さん
03/10/17 12:16
>>194
そりゃ正しい命題はすべてトリビアルだ。
それじゃ演習問題にならん。
196:１３２人目の素数さん
03/10/17 19:15
>>193
ヒントをあげよう。F → F'' は全射だから、
局所的にF(V) → F''(V) は全射である。
従って F"(U) の任意の切断 s に対して、
Ｕの空でない開部分集合 V と、その上の F の切断 t が
存在して、t の像が s|V となる。V ≠ U なら、
F'が軟弱だから、t の定義域 V を真に拡大できることを示す。
次に、Zornの補題を使って V = U と出来ることを示せ。
197:186
03/10/18 00:28
>>193
またまたチャレンジ！ なんかクセになってきた。
本見ずに考えたら半日くらいかかってしまったが・・・。
>>196 のヒントのやりかたとはちょっと違うかも。
II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F'(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および c_ij が「チェインルール」 c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすこと
が容易にわかる。
今、{c_i} ∈ ΠF'(U_i) を次のように(超限)帰納的に定義する。
・「最初の元」0の値：
c_0 := 任意の元 ∈ F'(U_0)。
・ i の「1つ後の元」i'（= min{j | i <j})の値：
c_i + c_ii' ∈ F'(U_i∩U_i') の定義集合を U_i' に拡大したものを
c_i' ∈ F'(U_i')とする。F' が軟弱であることからこのような c_i' が
常にとれる。
この {c_i} が、∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たすことが容易に
わかる（チェインルールを使う）。
この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。
以上。
198:186
03/10/18 01:07
>>197の証明は取り下げる。
「(超限)帰納的に」という部分、あまり深く考えずに、超限帰納法からこういう
議論ができるかと思って書いたがいたが、やっぱヘンだ。I が可算なら
この証明でOKだが・・・。
199:186
03/10/18 02:48
>>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。
II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。
ここで、
∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*)
を超限帰納法で示す。
k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して
∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j')
が成り立つと仮定する。
今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、
制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。
F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。
この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、
j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、
j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。
よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、
結局 (*) が示された。
この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。
以上。
200:１３２人目の素数さん
03/10/18 15:33
>>198
可算の場合だけで実用上は十分だろうな。
可算基を持たない位相空間というのは、代数幾何（に限らず他の数学でも）
ではまず扱わない。
201:１３２人目の素数さん
03/10/18 18:49
話は変わるが、俺はHartshorneの講義を聞いたことがある。
コホモロジーがどうとか言ってた。講義の内容は
さっぱり解らなかったが。w
あれは、1973年頃だったと思う。
長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが
俺の印象だった。俺は修士課程のほやほやだった。
歳がばれるな。
202:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/18 21:18
グーグル的代数幾何学
203:sage
03/10/18 23:01
>>201
>長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが
「ヒッピーみたい」というより真性ヒッピーかもね。
バークレー（≒ヒッピー発祥の地？）の先生だし。
204:１３２人目の素数さん
03/10/18 23:44
>>203
Grothendieckに影響されたのかもしれない。
俺はあの当時、彼のことは知らなかった。 同僚に彼はヒッピーみたいだな
と言ったら、奴は、あの人はハートショーンといって有名な数学者
なんだよと教えてくれた。ｗ
ハーツホーンが正しいと知ったのはだいぶ後だ。
205:１３２人目の素数さん
03/10/18 23:53
うｙｆ
206:１３２人目の素数さん
03/10/19 01:05
HartshorneのAlgebraic Geometryを持っている奴って、このスレで
どのくらいいるんだ？ >>197は持ってるのかな？
207:１３２人目の素数さん
03/10/19 01:52
Grothendieckってその頃、糞真面目に数学やってたころなんですけど。
208:１３２人目の素数さん
03/10/19 02:16
>>207
あの頃はサバイバル運動なんかをしていて、数学から足を洗った頃
じゃないか？
それは別として、Grothendieckの考え方は、現役時代も今も変わって
ないと思うが。反戦論者で自然志向。裸足で講義していた。
209:197
03/10/19 03:20
>>206
持ってる
210:１３２人目の素数さん
03/10/19 04:30
>>209
じゃあ、II.1.21(Some examples of sheaves on varieties)を
解いてくれ。君だけでなく、誰でもいい。
ついでに本を持ってない人のために問題を翻訳してくれるとなおいい。
211:197
03/10/19 05:24
OK。じゃ、とりあえず問題翻訳するぞ。
II.1.21 (Some examples of sheaves on varieties)
Xを代数閉体k上の（第I章の意味での）代数多様体、O_X をX上の正則関数の
層（1.0.1）とする。
(a) Y を X の閉集合とする。各開集合 U⊆X について、Y∩U上のすべての点でゼロ
になる正則関数からなる、環O_X(U)のイデアルをI_Y(U)とする。UにI_Y(U)を対応
させる前層は層になることを示せ。この層をYのイデアル層と呼ぶ。この層は
環の層O_Xの部分層である。
(b) Yを部分多様体とすると、商層O_X/I_Yはi_*(O_Y)（訳注：iによるO_Yのpull-back）
と同型であることを示せ。ここでi: Y → X は包含写像、O_Y はY上の正則関数の層
とする。
---疲れたので残りはまた後で
212:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/19 06:37
とりびある
213:１３２人目の素数さん
03/10/19 10:55
>>211
有難う。
II.1.21 (a), (b) の両方を一挙に証明しよう。
開集合 U⊆X 上の正則関数 f に対して、f の U ∩ Y への
制限 f|U ∩ Y を対応させることにより
射 φ: O_X → i_*(O_Y) が得られる。
Xの各点での両者のストークにおいて、これは明らかに全射である。
従ってφは全射である。
φの核が I_Y であることは明らか。
従って、O_X/I_Yはi_*(O_Y) に同型である。
214:１３２人目の素数さん
03/10/19 11:02
>>211
問題を解いて悪かったかな。
II.1.21 (c),(d),(e)の翻訳と解答はまかせた。
215:１３２人目の素数さん
03/10/19 16:00
II.Ex.1.21
(c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします.
このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します.
ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です.
ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像
Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい.
これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます.
(それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ)
(d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします.
κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします.
自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい.
商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい.
ここで,
I_P は 群 K/O_P を,
i_P(I_P) で 点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を
表します.
(訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです)
(e) 最後に, (d) の場合の列
0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0
が完全であることを示しなさい.
(これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です.
GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.)
216:197
03/10/20 00:54
>>215
とりあえず (c) の解答。
まず、O_P と O_Q は k （定数層）と同型であることに注意する。
O_X → F を次で定義する。
X 上の開集合 U に対して、O_X(U) → F(U)：f → (f(P), f(Q))。
これの kernerl がI_Y(U)になることは明らか。あとは
∀x ∈ X について stalk 上の O_R → F_R が全射になることを示せばよい。
x = P（または Q）の場合、F_x = k (+) 0 (または 0 (+) k) = k（同型）であり、
O_x → F_x は正則関数 f にxでの値 f(x) を対応させる写像だから、明らかに全射。
x ≠P, Q の場合、F_x = 0 だからO_x → F_xは明らかに全射。これで
0→I_Y→O_X→F→0 が層としての完全列であることが示せた。
Γ(X, O_X)→Γ(X, F) が全射でないことは、Γ(X, O_X) = k、Γ(X, F) = k (+) k
に注意すれば明らか。 以上
217:197
03/10/20 00:57
>>216
スマソ。途中の「O_R → F_R」は「O_x → F_x」の間違い。
218:１３２人目の素数さん
03/10/20 00:58
●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●● URLﾘﾝｸ(natto.2ch.net)
84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R
>>78
たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴
したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに
ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」
をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。
87 名前： 86 投稿日： 02/01/31 04:04 ID:7TpZZIy4
>>84
調べ直したが、「恋のチカラ」はデザイナーの話だね。
その番組には俺のネタも多数含まれているよ。
主役の「藤子」も読みは「ふじこ」ではなく「とうこ」で、
去年のHNK大河ドラマ「北条時宗」の水軍の娘と同じ発音だね。
>>55
>人によっては「脅迫」すら感じとるようだ。
デザイナーの話の「恋のチカラ」が始まったのは2002年1月10日だが、
その次の日の1月11日に「グラフィックデザイン第一人者 田中一光氏死去」というニュースがあった。
死因は急性心不全で、死亡は偶然だろうけど、その日（2002/01/11）夜のＴＶ朝日「トリック２」は
「毎年1月11日になると誰かが死ぬ」という話だった。
219:１３２人目の素数さん
03/10/20 01:02
>101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
220:197
03/10/20 02:37
>>215
次に (d) の解答。
「自然な単射 O→κ が存在すること」は自明なので省略。
層準同型 κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) を次で定義する。
X の開集合 U に対して
κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
f → {f~}_P∈U（f~はf の K/O_P での類を表す）。
これが well-defined であること、つまり高々有限個の P∈U を除いて f~ = 0
になることは、有理関数 f が高々有限個の点を除いて正則であることからい
える。また、kernel がO(U)になることも定義から明らか。
さらにこの層準同型は、各点 P∈X の茎上でみると、
κ_P = K → Σ_{P∈X} i_P(I_P) = K/O_P
f → f~
となっており、これは明らかに全射なので、元の層準同型κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P)
も層として全射。以上からκ/O がΣ_{P∈X} i_P(I_P)と同型であることが示された。
221:197
03/10/20 06:16
>>215
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
m a_j
g(t) = Σ --- (a_j ∈ k)
j=1 t^k
かつ
f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）
222:197
03/10/20 06:20
スマソ。分数をかいたがヘンになった。修正版
---
最後に (e) の解答。
以下の補題を使う
【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、
R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき
∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t.
g(t) = Σ a_j/t^j (j = 1, ... m, a_j ∈ k)
かつ f ~ g mod R。
（証明は省略。難しくない）
223:197
03/10/20 06:24
（222の続き）(e) の証明：
Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O) が全射であることを示せばよい。
以下、(d)によりΓ(X,κ/O) = Σ_{P∈X} K/O_P とみなす。
{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P をとる（f_P∈K、(f_P)~ はK/O_Pにおけるその類）。
(f_P)~ ≠ 0 なる（つまりf_Pが正則でない）点を P_1, P_2, ... , P_nとする。
P_1, P_2, ... , P_n のいずれとも異なる点Qを勝手に1つとり、以下、
U= X - {Q} =~ A^1 (1次元affine空間）=~ k で考える。
また、O_P_i ⊂ K = k(t) （t：不定元）と見なし、P_1, P_2, ... , P_n に対応
する k の元を p_1, p_2, ... , p_nとする。
いま、補題から、各 f_P_i に対して、
g_i(t) = Σa_{i,j}/(t - p_i)^j (j = 1, ... m_i, a_{i,j} ∈ k)
f_P_i ~ g_i mod O_P_i
なる g_i が存在する。
h := g_1 + g_2 + ... + g_n とおけば、各 i について g_i 以外は P_i で正則だから、h ~ g_i ~ f_P_i mod O_P_i。したがって、この h ∈K は、
元の{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P の逆像となっている。
以上
224:１３２人目の素数さん
03/10/20 19:33
II.Ex.2.16はどうかな？
225:197
03/10/20 20:37
>>224
とりあえず翻訳。
II. Ex. 2.16
X をスキーム、f ∈ Γ(X, O_X) とし、X の部分集合 X_f を、f の x ∈ X での茎
f_x が局所環 O_x の極大イデアル m_x に含まれないような点 x ∈ X 全体とする。
(a) U = Spec B を X の開「アフィン」サブスキーム、f~ = B = Γ(U, O_X|U) を
f の制限とするとき、U ∩ X_f = D(f~) となることを示せ。また、これから X_f
が X の開集合であることを示せ。
(b) X が準コンパクト(quasi-comapct)であると仮定する。A = Γ(X, O_X) とし、
a∈AをそのX_fへの制限が0になるような元とする。ある n>0 が存在して
(f^n) a = 0 となることを示せ（ヒント：Xの開アフィン被覆を使え）。
(c)いま、各 U_i∩U_j が準コンパクトとなるような有限開アフィン被覆U_iを、
X が持つと仮定する（この仮定はたとえばsp(X)がネーター空間なら満たされる）。
b∈Γ(X_f, O_X_f) とする。ある n>0 が存在して (f^n)b が A のある元の制限と
なることを示せ。
(d) (c)の仮定の下で、Γ(X_f, O_X_f) =~ A_f となることを示せ。
226:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 20:47
とりびある
227:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:08
もちろん問題が解けるようになることは大事なことであるが、
それ以上に幾何学的な解釈が与えられるようになる方が重要。
228:197
03/10/20 21:09
スマソ。(a) の「f~ = B = ...」は 「f~ ∈ B = ...」の間違い。
まず(a)の解答。定義から、
U ∩ X_f = {p ∈ Spec B| f_p ≠ 0 mod pB_p}、
D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
だから、g ∈ B、p ∈ Spec B について g_p ∈ pB_p ⇔ g∈p であることを示せ
ばよい。定義に戻れば、g_p ∈ pB_p ⇔ ∃s∈B-p ∃h∈p sg = h であるが、
pが素イデアルであることから、これは g∈p と同値。
229:197
03/10/20 21:12
間違い多くてゴメン。
> D(f~) = {p ∈ Spec B| g が p の元でない}
は、正しくは
D(f~) = {p ∈ Spec B| f が p の元でない}
ね。
230:１３２人目の素数さん
03/10/20 21:19
>>225
(a)X_fが開集合であることは、Xが局所環付き空間でも成り立つな。
231:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:22
釣り師
232:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:38
一匹も釣れなかった>>231を晒し上げ
233:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:39
>>230の間違い・・ギャ～！
234:197
03/10/20 21:42
次に(b)の解答。
X が準コンパクトなのでXの有限開アフィン被覆U_i = Spec B_iをとれる。
a|U_i = b_i、f|U_i = f とおく。(a) および a|X_f = 0 より、
b_i = 0 in B_i_g。B_i_g の定義から ∃n_i>0 (g_i^n) b_i = 0。
よって、n := max{n_i} とすると各U_i上で((f^n) a)| U_i = 0。
よって、(f^n) a = 0 in A。以上
235:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:43
またナンセンスなことを・・。
236:197
03/10/20 21:43
ああ、また間違い...
「f|Ui = f」は「f|U_i = g_i」ね。
237:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/20 21:51
そんなことやっていたら、読了に半年以上かかっちゃうよ。
238:197
03/10/20 22:49
>>230
だね。証明はこれでよい？
x ∈ X_f とする。f_x ∈ O_x - m_x だから f_x は O_x で可逆。よって
∃g_x∈O_x - m_x s.t. f_x g_x = 1。これは x の近傍 V と g_x の代表元
g ∈ O_X(V) をとって (f|V) g = 1 とできることを意味する。
よって、∀y∈V f_y は可逆、つまりf_y ∈ O_y - m_y、つまり V ⊂ X_f。
よってX_fは開集合。
239:１３２人目の素数さん
03/10/20 22:58
>>238
OK
240:１３２人目の素数さん
03/10/20 23:12
定数層って何なんですか？
241:１３２人目の素数さん
03/10/20 23:23
>>240
Aをアーベル群とする。
Aに離散位相を入れる。
位相空間 X 上の A に値をとる連続関数のなす層を
Aに値をとる定数層という。
これは、A に値をとる関数で局所的に定数となるもののなす層と
言ってもいい。
242:197
03/10/20 23:41
>>240
任意の開集合 U に対して A を対応させる前層を作り、それを
層化するって考えてもいいね。結局241と同じものになるけど。
243:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 06:50
>>239の晒し上げ
244:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:30
大好きで～す！！代数幾何
245:１３２人目の素数さん
03/10/21 07:46
2ch は突発的に高度な話題が展開されるから、侮れない。
少し前の複素解析のような雰囲気だ。
246:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:49
このスレのどこが高度なんだ？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
247:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 07:49
さいと
248:Which不一致 ◆v.V7zKGUME
03/10/21 08:05
ネーター環って何？
249:240
03/10/21 09:20
>>241
ｻﾝｸｽです。Aに離散位相を入れるところがﾐｿですね。
あと、可逆層というのが解らないのですが･･･。
250:１３２人目の素数さん
03/10/21 19:44
>>249
>>84あたりから説明してある。
読んでみて、それでも解らないときは、どこがわからないか質問してくれ。
251:１３２人目の素数さん
03/10/21 22:29
シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(R→Hom(specR,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？
252:１３２人目の素数さん
03/10/21 22:31
訂正です
シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ
Fully-faithfull なうめこみ X→(A→Hom(specA,X)) があると習った記憶があるんですが
この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？
この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？
253:240
03/10/22 17:30
>>250
いろいろとすみません。可逆層はだいたい分かりました。
実は、以前から分からなくて困っていることがあります。
最近あまり読んでいないのですが、motivic cohomology
に関する論文などを見ておりますと、H(X,Z(n))やH(X,Q(n))
などの形のコホモロジーが頻繁に出てきます。
ここでXはscheme、Zは整数環、Qは有理数体です。
実は、この中のｎの意味が分かりません。どうやら、Z(n)やQ(n)
は、それぞれZ(1)、Q(1)をｎ回テンソル積したものらしいです。
Z(1)やQ(1)などはいったい何を表しているのでしょうか。
説明もなしにいきなり出てくるものですから･･･。
よろしければご教示よろしくお願いします。
254:１３２人目の素数さん
03/10/22 17:39
>>253
手元のフーズモラー「ファイバー束」によると（p.183）
> 成分が Ｆ にある n × n 行列からなる多元環に記号 Ｆ(n) を用いる。
とあるね。
要するに M_n(Ｆ) のことか。
255:240
03/10/22 21:02
>>254
ありがとうございます。
Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました。
(n)というのはTate Twistと呼ばれるもので、どうやらZ(k)=
(SpecZ,id,k)と表されるTate Objectのことらしいです。
URLﾘﾝｸ(www.mathematik.uni-bielefeld.de)
の中で定義が記されていますが、Chow Correspondenceによるもので
どうも分かりにくいです。もっと単純な説明はないものか･･･。
256:１３２人目の素数さん
03/10/22 21:07
>>252
EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
Mumfordの"Lectures on Curves on an Algebraic Surface"も
いいかもしれない。はずしてたらスマン。
因みに、それがFully-faithfullな埋め込みであることを誰か証明
してくれないかな。難しくないよ。
257:１３２人目の素数さん
03/10/22 21:46
>>252
もっといいのがあった。
URLﾘﾝｸ(www.refuter.com)
ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).
258:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/22 22:00
グラタンディックのディセントage
259:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:26
＞定数層って何なんですか？
＞可逆層というのが解らないのですが･･･。
＞motivic cohomology
＞に関する論文などを見ておりますと
＞Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました
ネタですか？なんかバランス悪すぎません？
260:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:34
>>259
ネタというより、probe かな？
ここのleader の知識を試すみたいな。
261:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:34
>>259
それおれもおもた。
262:１３２人目の素数さん
03/10/22 23:48
で II.Ex.2.16 (c) (d) の解答は？
197でなくても誰でもいいでしょ？
263:１３２人目の素数さん
03/10/23 00:08
>>260
当人ですか？わざとらしすぎて>>255にもマジレスしていいのやら
悪いのやら・・・
264:197
03/10/23 00:23
>>262
197だ。II. Ex.2.16 (c) の解答。
(a) より、各 U_i = Spec B_i 上で、
b|U_i∩X_f = c_i/(f|U_i∩X_f)^m_i, c_i∈B
とかける。よって、iによらない十分大きいmをとって
d_i := (f|U_i)^(m - m_i) * c_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(d_i - d_j)|U_i∩U_j∩X_f = 0。
ここで、U_i∩U_j を X と考えて (b) を適用すると、
(f^l_i_j) * (d_i - d_j)|U_i∩U_j = 0
となる l_i_j が各 (i, j)について存在する。
よってi, j によらない十分大きい l をとって
e_i := (f|U_i)^l * d_i ∈B_i
とおけば、任意の i, j について
(e_i - e_j)|U_i∩U_j = 0。
よって{e_i} はグローバルに貼り合わせることができ、
それを e∈Γ(X, O_X) = Aとし、さらにn := m + l とすれば
e | X_f = (f^n) * b
となる。以上
265:１３２人目の素数さん
03/10/23 00:24
まあ他人を試すようなマネするような香具師にろくな香具師はいないわけで･･･
266:197
03/10/23 00:54
>>262
最後、II. Ex.2.16 (d) の解答。
f|X_f は Γ(X_f, O_X) で可逆だから、A→A_f のuniversal property より
（適当な図式が可換になる）A_f → Γ(X_f, O_X) が存在する。
A_f → Γ(X_f, O_X) が単射であることが(b)より、全射であること
が(c)よりいえる。
以上
267:１３２人目の素数さん
03/10/23 07:50
有難う。
II. Ex.2.17 に行こうか。
268:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 10:17
勝手に行ってろ。
269:197
03/10/23 11:06
>>267
OK。とりあえず翻訳
II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件）
(a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、
各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。
このとき f は同型であることを示せ。
(b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が
存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成
する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。
270:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:09
>>269
真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
271:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:18
いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！
これからは位相空間の時代。
とくに整係数ホモロジ－なんかがヤバイ。
272:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:19
もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。
273:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:20
そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？
開集合ってなんだよ！！！
ぜんぜん開いてねーじゃん！！
晒しあげ
274:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:22
しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！
そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！
するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。
275:１３２人目の素数さん
03/10/23 11:26
離散位相
276:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:27
ロベ－グ積分はいい線いっていると思う。
しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。
そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。
277:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:30
>>275
何もかもが開いている香具師だろ？
それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。
たとえば良くある問題
（・∀・）は開集合であることを示せ。
[新理論による解答]
すべての集合は開集合である。
とくに（・∀・）も開集合である u.e.d
かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！
どこか問題ある？？
278:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:36
すると
開集合＝閉集合にならないか？
矛盾か？
279:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:45
明らかに矛盾だな。
ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。
だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。
少し分かってきた。
俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。
280:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 11:51
まだしっくり来ないな＞開集合
S田先生に質問してきまつ。
でも、この人滅多に見ないんだよな・・。
281:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 12:01
すべての図形は位相空間である。
↑は正しいの？
282:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 12:02
正確には「目に見える図形」だな・・。
トーラスとかは目に見えない図形だけど、
位相空間になるらしいからな。
283:１３２人目の素数さん
03/10/23 12:32
オマコンボール
284:１３２人目の素数さん
03/10/23 13:05
積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？
285:282さんへ
03/10/23 13:33
ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、
286:１３２人目の素数さん
03/10/23 17:47
>>256-257
＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。
＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の
＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI).
フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が
いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので
英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。
希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。
関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが
なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。
うるおぼえスマソ。
287:１３２人目の素数さん
03/10/23 19:43
>>286
残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に
やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は
いないだろう。
288:１３２人目の素数さん
03/10/23 19:58
>>287
＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。
そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。
で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。
289:W不 ◆v.V7zKGUME
03/10/23 20:12
ぜんぜん違う。
外に出て頭冷やして来い。
これこそ真の「外出」だな（爆笑）。
290:１３２人目の素数さん
03/10/23 20:18
>>289
pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？
291:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:05
>>288
保つと思う。自信は無い。ｗ
A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。
Fを問題の関手とすると、
F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。
ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。
一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは
知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ
292:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:14
難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。
遠くの美人より身近の女だ。
293:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:20
命題が偽なので解けません。
294:１３２人目の素数さん
03/10/23 21:33
>>293
どんな反例があるの？
295:１３２人目の素数さん
03/10/23 23:11
反例1
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹
反例2
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ
反例3
あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ
296:197
03/10/24 00:07
>>286
"The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197
のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。
漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか
が書いてあるぞ。
297:１３２人目の素数さん
03/10/24 00:11
>>296
ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。
と自分をあまやかしてみるてすと。
298:197
03/10/24 18:41
Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答：
仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。
付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。
... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？
299:197
03/10/24 18:49
続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答：
(b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、
φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に
{g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。
各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。
また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x
とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が
アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合
D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の
条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり
X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で
Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射
に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、
よってXはアフィン。以上。
300:１３２人目の素数さん
03/10/24 19:28
>>298
いいと思う。
301:１３２人目の素数さん
03/10/24 19:30
前に戻ってHartshorn II Ex. 2.8と行こう。
302:197
03/10/24 20:03
>>301
とりあえず翻訳
Hartshorn II Ex. 2.8.
Xをスキームとする。任意の点 x∈Xに対して、Xのxでの「ザリスキ接空間T_x」を、
k(x)-ベクトル空間 m_x/m_x^2の双対空間と定義する。今、Xがk上のスキームで
あるとし、k[ε]/ε^2を k 上"ring of dual numbers"とする。k-morphism
Spec k[ε]/ε^2 → X をひとつ与えることは、k上の「有理点」 x ∈X（つまり
k(x) = k なる点）をひとつとT_xの元をひとつ与えることと同等であることを示せ。
303:197
03/10/24 20:27
ところで以前>>199に書いた>>193の証明だが、超限帰納法とか鬱陶しいもん
使わずにもっと簡潔にできることに気付いた（もちろん選択公理は暗に使っ
てるが）。
>>193 Hartshorneの演習問題 II.1.16(b)の解答（再修正版）
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃U の開被覆 {U_i}(i∈I) ∃t_i∈F(U_i) s.t. t_i → s|U_i。
任意のi, j に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_ii = 0, c_ij = -c_ji, c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすことが容易にわかる。
いま、0∈Iをひとつとって固定する。F' が軟弱だから、各c_0i∈F'(U_0∩Ui)を
c_i∈F'(U_i)に延長することができる。この{c_i}は、
∀ i, j c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j)
を満たしていることが容易にわかる。
{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、
これが求めるs の逆像となる。
以上。
304:１３２人目の素数さん
03/10/24 21:44
このスレむちゃくちゃだな・・。
305:１３２人目の素数さん
03/10/25 00:46
ベクトルは大切に。
306:１３２人目の素数さん
03/10/25 14:18
>>304 このスレむちゃくちゃだな・・。
は、W不 ◆v.V7zKGUME。
語尾の「・・。」でわかる。
きちんと名乗るように。じゃないと無視できないんで。
307:１３２人目の素数さん
03/10/25 16:49
>>284
確かTamme" Introduction to etale cohomology" ( Springer) に載っていたはず。
発想法だけなら、永田らの「抽象代数幾何」でも得られる。
308:３０４
03/10/25 17:27
>>306
ハズレ
煽っているわけではない。ただ「激しい」という意味で言っただけ。
309:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:32
確かに、２ちゃんらしからぬ良スレですね。
310:教育課
03/10/25 17:41
W不君は数学の才能ないみたいだから諦めた方がいいな。
311:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:45
そもそもリアルでは数学をやっていない気がする。
312:１３２人目の素数さん
03/10/25 17:55
>>311
胴衣。すくなくともM2はありえない。
313:１３２人目の素数さん
03/10/25 18:54
>>288
>で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit
保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも
自信ないんですが。
pull backとprojective limitを保つのは、定義から明らか。
スキームのprojective limitが必ず存在するかどうかは、知らない。
314:１３２人目の素数さん
03/10/25 22:13
>>313
以下のようにしてsch/Rがprojective limitが構成できると思うんですが
どうでしょう？
Π=(Xi,πij)がprojective system、X=proj.limXi (ただし位相空間の圏におけるprojective limit)
とおく。πi:X→Xiを(位相空間の圏の)cannonical projectionとする。
πi^*(O_{X_i})はX上のR代数の層のinductive systemになる。このinductive systemの
inductive limitをO_Xとおく。(前層のinductive limitの層化が層のinductive limitになる。)
でたぶん(X,O_X)はΠのprojective limitになってると思うんですが。もひとつ自信がありません。
どうでしょう？
315:１３２人目の素数さん
03/10/25 23:52
どうでしょう？
316:１３２人目の素数さん
03/10/26 12:13
>>314
無条件では成り立たないと思う。
i ≦ j のとき X_j → X_i がアフィン射なら存在する(と思う)。
この場合、任意の添え字 0 を固定して S = X_0 とおく。
0 ≦ i のとき (f_i_0)*(O_X_i)を考える。
これは、f_i_0 がアフィン射だから、準連接なO_S-algebra の層である。
従って、(f_i_0)*(O_X_i) の帰納的極限 A~ も準連接な
O_S-algebra の層となる。
従って、スキーム X とアフィン射 X → S が存在して、
O_X = A~ (同型)となる。この X が proj.lim X_i である（と思う）。
詳しくはEGA IV (4) に書いてある。