25/07/19 11:06:30.82 jT6bEcWg.net
>>221 つづき
＜決定番号の確率について＞
１）決定番号の確率について考えよう
まず、5列 s1，s2，s3 ，s4，s5
si ｜ i＝1～5 は、コイントスで {0,1}が入る
しっぽ同値
数列 s'1，s'2，s'3 ，s'4，s'5 で、しっぽ同値だと s'5＝s5 だ
だから、一つの同値類の場合の数は 2^4 で、全体Ωは 2^5
一つの同値類 2^4 で
決定番号1 とは、全ての列一致で つまり si=s'i ｜ i＝1～4 (s5=s'5 は仮定されているとして)
その確率 1/2^4
同様に 決定番号4以下 とは S4=s'4でさえ あれば良いので 1/2
よって、残り決定番号5の場合が、確率 1-1/2=1/2
２）列長さL（L>5）で、一つの同値類内で sL=s'L は満たされているとして
決定番号L-1以下 とは S4=s'4であれば良いので 1/2
よって、決定番号Lの場合が、確率 1-1/2=1/2
３）ここで、L→∞ を考えると 最後の箱は 無限の彼方に飛び去る
（全体Ωは 2^∞ で発散する）
つまり、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
即ち 1/2^∞ =0 の存在 （存在するが 測度0 つまり零集合の元）
４）いま、これを一般化して 2→m枚(1～m)のカードを シャッフルして入れるとする
上記同様に、有限長L で、一つの同値類の場合の数は m^L-1 で、全体Ωは m^L
L→∞ で、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
即ち 1/m^∞ =0 の存在 （確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元）
５）いよいよ、箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
区間[0,1]の一様分布でr∈[0,1]を取る
有限長L で、この場合 しっぽ同値では 決定番号d=Lが全て
L-1番目を含み それ以降の箱の一致確率は0
つまり、決定番号d<L が起きる確率0（∵ si=s'i となる確率0）
L→∞ でも、上記と同様で 有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元
６）ダメ押しで、付番に拡大実数で+∞を導入しよう
（はさみうちの原理）
この場合において しっぽ同値で 決定番号d=+∞ がとれる
箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
区間[0,1]の一様分布実数を入れる。決定番号d=+∞で終わり
決定番号dが有限の確率0（上記５）項と同じ）
はさみうちの原理により、有限長さLを大きくした極限の場合と
拡大実数で+∞を導入した場合において はさまれる 箱入り無数目において
有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元！■
よって、箱入り無数目は、確率0で 99/100を導き 結局 その確率は 0*99/100＝0
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
測度論
可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合 (null set) という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 －∞ の2つを加えた体系
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
はさみうちの原理
極限に関する定理の一つ