19/09/07 08:37:11.22 8WzaZQff.net
>>785
つづき
点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω1]に順序から定まる位相を入れた空間がある。
ここで ω1は最小の非可算順序数である。実際この集合においてω1は明らかに[0,ω1)の閉包に属しているにも関わらず、[0,ω1)内のいかなる点列もω1に収束しない。
なぜなら ω1の非可算性と「可算集合の可算和はまた可算集合になる」という事実により、 [0,ω1)内の任意の点列に対し、点列に属する点のいずれよりも大きい順序数α<ω1が存在するので、 ω1の開近傍(α,ω1]には点列の点が存在しえないからである。
点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。
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