18/02/05 22:18:26.46 Jw5S+t/R.net
ここで、お前の上記の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
定理C：
f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。
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スレ主： 2つの命題 P, Q を以下のように定義する。
P： f は原点で微分可能。
Q： f は原点で連続。
このとき、定理Cは「 P → Q 」という形になっている。
さて、以下では定理Cを証明することにする。fは原点で微分可能とする。
証明すべきは、「 fは原点で連続」である。
次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続である。 (2) f は原点で不連続である。
(1) の場合は、定理C の命題は「 P∧Q → Q 」なので、、証明可
(2) の場合は、定理C の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
つまり、(2)の場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能。
この議論は背理法以前であるから、背理法を免罪符にすることも不可能で、(2)は本当に証明不可能。
すなわち、我々が定理Cについて実際に証明できるのは、
「 f：R→R が原点で微分可能かつ(1)が成り立つなら、f は原点で連続である」
という主張のみ。すなわち、
定理C' 「 f：R→R が原点で微分可能かつ f が原点で連続なら、f は原点で連続である」
という主張のみが証明可能であり、定理C全体は証明できない。
あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。
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