17/10/01 18:59:57.87 iaPDYqur.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:703番)
> １．まず、拡張自然数N~ における”可算無限数列のしっぽでの同値類”は、ラベル∞の箱に入る実数r_∞で決まる
> ２．一方、通常自然数N における”可算無限数列のしっぽでの同値類”は、ラベル∞の箱に相当するものが存在しないから、しっぽは開であり、終わりが存在しないと理解すべし
1.は∞より前までの可算無限数列(R^Nの部分)を決める方法がない
= 可算無限個の箱に「どんな実数を入れるかはまったく自由」を実現することができない
2.は同値類を使えば終わりが存在しないので可算無限個の数列の値anの後者suc(an)を定義できる
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:710番)
> R^Nの元をsnとしsnが属する類の代表元をrnとする
> 出題者は任意のR^Nの元をsn = a1+r1, a2+r2, ... , ak+rk, r(k+1), r(k+2), ... の形で
> 自由に選ぶことが可能になる
> このときの決定番号は最初に出題者が選んだ有限数列の長さkの後者suc(k)であるのでk+1である
a1+r1, a2+r2, ... , ak+rkの部分はa1, a2, ... , akを含むので数学的帰納法は使えない
ただし有限個であればa1+r1, a2+r2, ... , ak+rkの部分は自由に選ぶことが可能
「可算無限数列(R^N)のしっぽでの同値類」を使えば任意のR^Nの元snのk+1番目以降はsnの後者を
suc(s(n))=r(n+1) (n > k)と定義することで数学的帰納法を使って
可算無限個の箱に「どんな実数を入れるかはまったく自由」を実現できる