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与式を展開すると、
(1-n)^p-n^p-1
=1 + p*n + p*(p-1)/2*n^2+ … +p*n^(p-1) + n^p - n^p -1
=p*n + p*(p-1)/2*n^2+ … +p*n^(p-1)
よって、すべての項がpを含む。pは素数でありゼロでないので、これをpで割ると、
n + (p-1)/2*n^2+ … +n^(p-1)
nおよびpは自然数なので、与式はpで割り切れる。