08/07/14 00:02:13 rzpCRbA9O
では答えです～。
三角定規の鋭角側の倍角を一角とする直角三角形を書く が正解です。
［証明］
実際に作図して直角三角形の定理(a^2 + b^2 = c^2)を駆使すれば証明でき
ますが、テキスト化したら読みにくくなってしまったので、複素数で証明します。
直角を挟む二辺の倍角を一角に持つ直角三角形のニ辺の長さ比は
(m+ni)^2 = (m^2 - n^2) + (2mn)i
より (m^2 - n^2) : (2mn)
この比率の直角三角形の斜辺の長さは
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2
= (m^4 - 2(mn)^2 + n^4) + (4(mn)^2)
= m^4 + 2(mn)^2 + n^4
= (m^2 + n^2)^2
より m^2 + n^2
m
n が整数であれば (m^2 - n^2) : (2mn) : (m^2 + n^2) は整数比となるので
『直角を挟むニ辺が整数比である直角三角形ABCの一角を倍角にもつ
直角三角形DEFは三辺とも整数比である。』
以上です。
結構思いつきで作ったのですがいい感じに仕上がりましたので問題をださせていただきました
お後がよろしいようで