07/11/18 23:12:18 0
◆ わからない問題はここに書いてね ２３１ ◆
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
539 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2007/11/18(日) 14:57:48
アステロイド x=a*cos^3(t) y=a*sin^3(t) (0<=t<=2π)の面積を定積分で求める問題
なのですが、積分がうまくいきません。どのように考えて積分すればいいでしょうか
540 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/11/18(日) 16:01:06
>539
dS = (xdy-ydx)/2
= (3/2)a^2･{cos(t)}^4･{sin(t)}^2･dt + (3/2)a^2･{sin(t)}^4･{cos(t)}^2･dt
= (3/2)a^2･{cos(t)sin(t)}^2･dt
= (3/8)a^2･{sin(2t)}^2･dt
= (3/16)a^2･{1-cos(4t)}dt,
0≦t≦π/2 で積分すると sin(4t)の項は0になるので S/4 = (3π/32)a^2,
S = (3π/8)a^2,