16/01/28 21:12:38.57 PpRVtlBe9
>>169
151じゃないけど
S_n=Σ_[k=1,n](a_k)
a_1=1,Σ_[k=1,n]{(n+1-k)a_ka_(k+1)}=2S_(n+1)
(1)
n>=2のとき,次の計算ができる。
Σ_[k=1,n]{(n+1-k)a_ka_(k+1)}=2S_(n+1)
-)Σ_[k=1,n-1]{(n-k)a_ka_(k+1)}=2S_n
----------------------------------------
Σ_[k=1,n]{a_ka_(k+1)}=2a_(n+1) (n>=2) …①
さて、この式を利用すれば、
a_1=1,a_2=-2,a_3=-2/4,a_4=-2/5
a_5=-2/6,a_6=-2/7,a_7=-2/8,a_8=-2/9…となるので、
a_1=1,a_2=-2,a_n=-2/(n+1) (n>=3) …②と推定できる。
このことを、数学的帰納法で証明しよう。
(i)n=1,2,3のとき、②は成り立つ。
(ii)n=L(L>=3)のとき②が成り立つと仮定すると、
a_L=-2/(L+1)=(1/2)Σ_[k=1,L-1]{a_ka_(k+1)} (∵①でn>=3としたとき)
a_(L+1)=(1/2)Σ_[k=1,L]{a_ka_(k+1)}=(1/2)Σ_[k=1,L-1]{a_ka_(k+1)}+(1/2)a_La_(L+1)
=-2/(L+1)-{1/(L+1)}a_(L+1)
(最初の式へ{1/(L+1)}a_(L+1)を移項して)
{(L+2)/(L+1)}a_(L+1)=-2/(L+1)
∴a_(L+1)=-2/(L+2)
よって、n=L+1のときも②は成り立つ。
(i),(ii)より全ての自然数nについて②は成り立つ。