14/12/31 23:10:36.43 FXxY0MXpH
宿題2
証明したい不等式は、Xn、Xn-1、・・・X2、X1
について対称式であるから、Xn≧Xn-1≧・・・≧X1>0
の場合を証明できれば、問も証明できたことになる。
(右辺)-(左辺)=Σ(i=1~n){sXi^2-TXi/(T-Xi^2)(S-Xi)
=Xn{X1(Xn-X1)+X2(Xn-X2)+・・・+Xn-1(Xn-Xn-1)}(1/(T-Xn^2)(S-Xn))
+Xn-1{X1(xn-1-X1)+X2(Xn-1-X2)+・・・+Xn-1(Xn-1-Xn)})(1/(T-Xn-1^2)(S-Xnー1))
・
・
+X1{X2(X1-X2)+X3(X1-X3)+・・・+Xn(X1-Xn)})(1/(T-X1^2)(S-X1))
=Σ(i=1~n-1)[XnXi(Xn-Xi){ 1/(T-Xn^2)(S-Xn)-1/(T-Xi^2)(S-Xi)}]
+Σ(i=1~n-2)[Xn-1Xi(Xn-1-Xi){ 1/(T-Xn-1^2)(S-Xn-1)-1/(T-Xi^2)(S-Xi)}]・・・①
・
・
+X2X1(X2-X1){ 1/(T-X2^2)(S-X2-1)-1/(T-X1^2)(S-X1)}
ここでXn≧・・・≧X1>0より
Σ(i=1~n-1)[XnXi(Xn-Xi){ 1/(T-Xn^2)(S-Xn)-1/(T-Xi^2)(S-Xi)}]≧0
Σ(i=1~n-2)[Xn-1Xi(Xn-1-Xi){ 1/(T-Xn-1^2)(S-Xn-1)-1/(T-Xi^2)(S-Xi)}]≧0
・
・
X2X1(X2-X1){ 1/(T-X2^2)(S-X2-1)-1/(T-X1^2)(S-X1)}≧0
より①≧0となる(QED)