14/12/31 23:10:36.43 FXxY0MXpH
宿題２
証明したい不等式は、Ｘｎ、Ｘｎ－１、・・・Ｘ２、Ｘ１
について対称式であるから、Ｘｎ≧Ｘｎ－１≧・・・≧Ｘ１＞０
の場合を証明できれば、問も証明できたことになる。
(右辺)－(左辺)＝Σ(ｉ＝１～ｎ)｛ｓＸｉ＾２－ＴＸｉ／（Ｔ－Ｘｉ＾２）（Ｓ－Ｘｉ）
＝Ｘｎ{Ｘ１(Ｘｎ-Ｘ１)+Ｘ２(Ｘｎ-Ｘ２)+・・・+Ｘｎ-１(Ｘｎ-Ｘｎ－１)｝(１/(Ｔ－Ｘｎ＾２)(Ｓ-Ｘｎ))
+Ｘｎ-１{Ｘ１(ｘｎ－１-Ｘ１)+Ｘ２(Ｘｎ－１-Ｘ２)+・・・+Ｘｎ-１(Ｘｎ－１-Ｘｎ)｝)(１/(Ｔ－Ｘｎ－１＾２)(Ｓ-Ｘｎー１))
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+Ｘ１｛Ｘ２(Ｘ１-Ｘ２)+Ｘ３(Ｘ１-Ｘ３)+・・・+Ｘｎ(Ｘ１-Ｘｎ)｝)(１/(Ｔ－Ｘ１＾２)(Ｓ-Ｘ１))
=Σ(ｉ=１～ｎ－１)[ＸｎＸｉ(Ｘｎ－Ｘｉ){ １/(Ｔ－Ｘｎ＾２)(Ｓ-Ｘｎ)－１/(Ｔ－Ｘｉ＾２)(Ｓ-Ｘｉ)}]
+Σ(ｉ=１～ｎ－２)[Ｘｎ－１Ｘｉ(Ｘｎ－１－Ｘｉ){ １/(Ｔ－Ｘｎ－１＾２)(Ｓ-Ｘｎ－１)－１/(Ｔ－Ｘｉ＾２)(Ｓ-Ｘｉ)}]・・・①
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+Ｘ２Ｘ１(Ｘ２－Ｘ１){ １/(Ｔ－Ｘ２＾２)(Ｓ-Ｘ２－１)－１/(Ｔ－Ｘ１＾２)(Ｓ-Ｘ１)}
ここでＸｎ≧・・・≧Ｘ１＞０より
Σ(ｉ=１～ｎ－１)[ＸｎＸｉ(Ｘｎ－Ｘｉ){ １/(Ｔ－Ｘｎ＾２)(Ｓ-Ｘｎ)－１/(Ｔ－Ｘｉ＾２)(Ｓ-Ｘｉ)}]≧０
Σ(ｉ=１～ｎ－２)[Ｘｎ－１Ｘｉ(Ｘｎ－１－Ｘｉ){ １/(Ｔ－Ｘｎ－１＾２)(Ｓ-Ｘｎ－１)－１/(Ｔ－Ｘｉ＾２)(Ｓ-Ｘｉ)}]≧０
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Ｘ２Ｘ１(Ｘ２－Ｘ１){ １/(Ｔ－Ｘ２＾２)(Ｓ-Ｘ２－１)－１/(Ｔ－Ｘ１＾２)(Ｓ-Ｘ１)}≧０
より①≧０となる(ＱＥＤ)