02/02/03 00:34
基礎論で恐縮ですが私が昔悩んだ問題
まず、Ｎ＝{0、1、2、3、、、}の部分集合全体は加算無限ではないという証明の復習から
ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とする。
Ａ＝{ｎ∈Ｎ：ｎ∈ｆ(n)ではない}∈Ｐ（Ｎ） だから、あるｍに対してＡ＝ｆ(ｍ)
あ）ｍ∈Ａ ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ)ではない ⇒ ｍ∈Ａではない
い）ｍ∈Ａではない ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ) ⇒ ｍ∈Ａ
で矛盾となるので、ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とすることはできない。
どれで、Ｐ（Ｎ）はＮの部分集合全体ということだけど、部分集合といっても具体的に表記できるものと出来ないものがある。
つまり,有限集合は元を書き出せば言いから表記できる。あと、素数全体とか偶数全体、なども有限個の論理記号を並べることで表記できる。
実はこうやって表記できるのは、有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない。
で、いま「部分集合」というのはこう言う具合に、有限個の論理記号の列で表記できるものに限定するとする。
その場合でも上の証明は何の変更もされない。つまり、Ｎから「部分集合」全体の集合への全射は存在しない。
「部分集合」全体の集合は可算個しかないにもかかわらず！？
これはどうしてでしょうか。