02/01/30 21:10
>>271の続き
β-α＝60°よりcos(β-α)＝1/2
∴ ((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)＝1/2
(d^2-de+e^2)*f^2＝(d^2-e^2)^2
d^2-de+e^2＝b^2*c^2*(b^2-bc+c^2+b+c+1)/((b+1)^2*(c+1)^2)
d^2-e^2＝b^2*c^2*(c-b)(b+c+2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
D,Eの座標より
f^2＝(X/(c+1)-(X+1)/(b+1)+1)^2+(Y/(b+1)-Y/(c+1))^2
＝((c-b)^2*(X^2+Y^2)-2b(c+1)(c-b)X+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝((c-b)^2*b^2-b(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝b*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
代入して整理すると
(b^2-bc+c^2+b+c+1)*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)
＝b*c^2*(c-b)^2*(b+c+2)^2
-c(b+1)(c+1)(b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1)＝0
b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1＝0
(c^2-b^2)^2+(c-b)(c^2-b^2)-(b+1)(c+1)＝0
(c^2-b^2-b-1)(c^2-b^2+c+1)＝0
c^2-b^2＝2X+1を代入すると
(2X-b)(2X+c+1)＝0
∴X＝b/2またはX＝-(c+1)/2
ここで、c＞bより、点Aのx座標はBCの中点より大きいのでX＞1/2
よって、X≠-(c+1)/2となり、
X＝b/2が言える。
b＝√(X^2+Y^2)より
4X^2＝X^2+Y^2
Y^2＝3X^2
X＝b/2＞0、Y＞0より
Y＝√3X
これは、とりもなおさず∠ACB＝120°を意味する。