02/01/16 01:00
>>195
すでにある線分を延長できるということでしょう。
201:１３２人目の素数さん
02/01/16 03:28
>>191
答えではないが、
直径r(cm)の円を50個、全ての円の中心が70(cm)四方の正方形の中にあり、
円同士は互いに重ならないように配置することができるものとするとき、
rの取り得る値の最大値を求めよ
ってのと、同じですね。
で、さらに言い替えると
直径1の円を50個、平面上に互いに重ならないように配置するとき、
全ての円が完全に内側に含まれるような正方形を書き、その一辺をＬとする。
配置及び正方形の書き方を工夫してＬはどこまで小さくできるか
という問題の答えをＸとすると、
もとの問題の答えは70/(Ｘ-1)(cm)となるはず。
結局は、円の最密配置の問題に帰結しますね。
202:１３２人目の素数さん
02/01/16 03:37
>>191
この問題って確かいつぞやの数学オリンピックだっけ？
203:１３２人目の素数さん
02/01/16 03:48
>>191
とりあえず14.2cm以下になる
204:201
02/01/16 04:22
>>191、>>201
で、201の後の問題で、
正方形の中は、全平面にわたり最密配置をしたときほど密ではないことと、
ヨコ7、タテ7√3/2+1の長方形中に直径1の円を52個置ける
（7-6-7-6-7-6-7-6と並べる）ことから
7√3/2+1≧Ｘ＞5*3^(1/4)
11.547＜70/(Ｘ-1)＜12.544
これより、もとの問題は、
少なくとも12.544(cm)よりは小さいが、11.547(cm)を超えることは
ありうる、ということがわかる。
205:１３２人目の素数さん
02/01/16 04:24
>186
>181はただの馬鹿です。放置してください。
206:１３２人目の素数さん
02/01/16 05:26
>>197
１．は証明できる。
１個ずつ点を増やしていきながら、三角形を作っていくことを考えると
数学的帰納法が使える。
２．は、問題の意味がいまいちわからないが、紙のフチ以外の三角形の辺
のみを通る、という意味なら、簡単に反例は作れる。
正方形ABCDで、三角形ABD内に点Pをとり、BD,AP,BP,DPを結ぶ。
AからCにふちを通らずたどり着くことはできない。
・正方形の対角線を直接結んではいけない
・辺の途中に最初に書いた点があるような三角形があってはいけない
という条件を加えるなら、証明できる。
作った三角形のうち、Bを頂点にもつものはDを頂点に持たないので、
Bを頂点に持つ三角形を全てつなげた図形の周のうち、AB、BC以外の部分が
AからCへのルートとなる。
３．正方形ABCDは赤い線で２つの領域に分けられ、片方にBが、片方にDが
ふくまれる。DからBにいくには、途中で必ず２つの領域の境界を
またがないといけない。
207:にゃ＝ん？
02/01/16 06:27
>>189 こういうのはどうですか？（問題が、確かに余りよくは理解できないが・・・。）
ＡからＡＰ(1)＝１０cmとなる点Ｐ(1)をＢの方に取る。
ＢからＢＰ(2)＝１０cmとなる点Ｐ(2)をＡＢに対してＰ(1)と同じ側になるように取る。
Ｐ(2)からＰ(2)Ｐ(3)＝１０cmとなる点Ｐ(3)を線分ＡＰ(1)上に取る。
ＡからＡＰ(4)＝１０cmとなる点Ｐ(4)を線分Ｐ(2)Ｐ(3)上に取る。
Ｐ(4)からＰ(4)Ｐ(5)＝１０cmとなる点Ｐ(5)を線分ＢＰ(2)上に取る。
ＢからＢＰ(6)＝１０cmとなる点Ｐ(6)を線分Ｐ(4)Ｐ(5)上に取る。
Ｐ(6)からＰ(6)Ｐ(7)＝１０cmとなる点Ｐ(7)を線分ＡＰ(4)上に取る。
ＡからＡＰ(8)＝１０cmとなる点Ｐ(8)を線分Ｐ(6)Ｐ(7)上に取る。
Ｐ(8)からＰ(8)Ｐ(9)＝１０cmとなる点Ｐ(9)を線分ＢＰ(6)上に取る。
ＢからＢＰ(10)＝１０cmとなる点Ｐ(10)を線分Ｐ(8)Ｐ(9)上に取る。
Ｐ(10)からＰ(10)Ｐ(11)＝１０cmとなる点Ｐ(11)を線分ＡＰ(8)上に取る。
・
・
・
ＡからＡＰ(n+2)＝１０cmとなる点Ｐ(n+2)を線分Ｐ(n)Ｐ(n+1)上に取る。
Ｐ(n+2)からＰ(n+2)Ｐ(n+3)＝１０cmとなる点Ｐ(n+3)を線分ＢＰ(n)上に取る。
ＢからＢＰ(n+4)＝１０cmとなる点Ｐ(n+4)を線分Ｐ(n+2)Ｐ(n+3)上に取る。
Ｐ(n+4)からＰ(n+4)Ｐ(n+5)＝１０cmとなる点Ｐ(n+5)を線分ＡＰ(n+2)上に取る。
・
・
・
こんな感じでＡＢの中点lim(n→∞)Ｐ(n)がもとまれば、書けると思うのですが・・・どうか？
208:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/16 07:55
>>201
鉄砲で空いた穴の大きさは無視してOKです。言い忘れてすみません。
>>202
秋山センセから聞いたような気がするので、オリンピックに出ているかも
知れません。
>>203
私が聞いた答えも、その数値だったと思います。が
>>204
更に絞り込んだのかな？ｽｺﾞｰ！
209:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/16 08:04
>>206
> 正方形ABCDで、三角形ABD内に点Pをとり、BD,AP,BP,DPを結ぶ。
> AからCにふちを通らずたどり着くことはできない。
いえ、AからCに行く赤い道のりの途中にBやDが含まれてもかまいません。
3.の証明なんですが、視覚的には明らかっぽいんですが、
きちんと証明せよってな感じだったと思います。
210:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/16 08:17
年末年始のTV番組でもやっていたようですが、昔それを勘違いして苦労した問題をひとつ。
2つの惑星XとYがあり、今、惑星XにA,B,C,Dの4つの宇宙船があります。
宇宙船AはXからYまで1時間でたどり着くことができます。Bのそれは2時間、Cは4時間、
Dは8時間かかります。宇宙飛行士が操縦しないといけないのですが、2人しか居ません。
どの宇宙船も2人乗ることができます。
この4機の宇宙船すべてを惑星Yに運びたいのです。最短時間を求めてください。
牽引は出来ません。また、XとYの間の任意の宇宙空間で同じ位置にある2つの宇宙船間を
時間0で乗り換えることが可能です。（これがミソ）
211:
02/01/16 14:51
三角形の並び替えでスペースが一個だけ空いてしまう問題…
というかGIF、どこにあるか分かる人いませんか？
212:１３２人目の素数さん
02/01/16 15:08
>>211
質問系スレの過去ログさかのぼれば見つかる
213:１３２人目の素数さん
02/01/16 15:14
さくらスレ１６でﾊｹｰﾝ
URLﾘﾝｸ(www.sougetu.com)
214:ゴルゴ
02/01/16 16:07
>>191
０センチ
215:１３２人目の素数さん
02/01/16 22:52
【問１】 ゆきひろ君のお母さんは午後４時半に帰ってきて、妹のさやかちゃんに おつかいを頼みました。さやかちゃんはゆきひろ君といっしょに 大根と玉ねぎ１つずつ、
ニンジン１本を買いに行こうとしたら さやかちゃんの友達のあやねちゃんから午後４時45分に電話が かかってきて出掛けてしまいました。
【問２】 さつきちゃんは、飼い犬のポチといっしょに、 自分の家から駅に向かって朝の9:00に出発しました。 駅までは歩いて50分の距離です。 でも、途中で定期券を忘れたことに気づき、
ポチにおかあさんへの手紙を持たせて 定期券をとってきてもらおうと思いました。 さつきちゃんは時速 5km、ポチは時速 15kmで移動します。 そして空はまぶしいほどの秋晴れでした。
216:201
02/01/16 23:04
>>208
だれも、穴の大きさの話なんかしてないですが。
ある試行における弾の跡同士の距離の最小値をrとしたとき
それぞれの弾の跡を中心として半径r/2の円を書いたら、
円同士が重なり合わないことから、rの最大値を求める問題は
円の直径の最大値を求める問題と等しい、という話をしている。
ところで、
>>203
14.2cmはどこから出てきたんすか？
217:１３２人目の素数さん
02/01/16 23:16
>>215の答え
「この問題のおかしいところを指摘せよ」という１文が抜けていること。
218:１３２人目の素数さん
02/01/16 23:39
＞そして空はまぶしいほどの秋晴れでした。
なぜか爽やかな気分になってしまった。
219:１３２人目の素数さん
02/01/16 23:41
>>216
49個の正方形に分ければ鳩の巣原理よりどっか一つの正方形には
2つ以上の弾丸が含まれてその距離は大きくても√20だからじゃない？
220:201
02/01/17 02:05
>>219
なるほど。70cmってのがヒントになってたのですね。
考えもしなかった．．．。
まあでも、√20より70/(5*3^(1/4)-1)のほうが小さかったので
よしとしよう。
221:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/17 10:07
>>216
ありゃ、ほんとだ。失礼しました。おっしゃる通りです。
222:１３２人目の素数さん
02/01/17 11:01
>>189
・定規に一箇所だけ印を付けられる。結構端っこの方、大体2,3cmの所に。
・平面上に点A,B,Cがあり、AとBを通る直線が描かれてなくても
点Cが直線ABに対してどっちの側か分かる。
・2点A,Bがあった時、直線ABとの成す角が45度以下になってAを通るような
直線が描ける。
以上の3つさえ出来れば与えられた2点を通る直線を10cmの定規を使って描ける。
まず、A,Bそれぞれ2点を通る直線を描いて、2つの交点をCとした時に
∠CAB,∠CBAが45度以下になるようにする。
次に、ある直線lと点Aが与えられた時にAを通りlに平行な直線を引く事が出来るから(>>223前半)
Bを通りACに平行な直線、Aを通るBCに平行な直線が描ける。
この2つの直線の交点をDとすると、CD＜ABでABとCDは互いにそれぞれの線分の2等分点で交わる。
次に新たに出来た2点CDに対し同じ操作をして、さらにCDより短くて
ABとそれぞれの線分の2等分点で交わるような2点が求められる。
このような事を繰り返すと、最後には10cm以下でなおかつABと互いに
2等分点で交わる2点E,Fが求められる。
E,Fの間が10cm以下よりE,Fの中点Gが求められる。(>>223後半)
このとき点GはA,Bの中点でもある。
こうしてA,Bの中点Gが求められたから今度はA,Gの中点、B,Gの中点とどんどん細かく求めていくと
いずれ隣り合った2つの間の距離が10cm以下になるのでそれらを全部結ぶとA,Bを結ぶ事が出来る。
223:１３２人目の素数さん
02/01/17 11:01
最初に10cmの定規の0cmの所から2,3cmの所に印を付ける（ここでは2cmとしよう）
こうすると2cmの距離も計れるようになる。
・ある直線lと点Aが与えられた時にAを通りlに平行な直線を引く方法
まずlに対して点Aの側にあり、なおかつlに近い所に点Bを打つ。
次にl上に点Cを打つ。このとき点Cは点Bに近い所に打つ。
そしてl上で点Cから2cm離れた2点に点を打つ。このとき右側を点D、左側を点Eとおく。
次にBDを通る直線を描き、直線BDにおいてDから見てBよりちょっと遠い所に点Fを打つ。
次にEF,CF,BEを通る直線を描き、BEとCFの交点を点Gとおく。
そしてDGを通る直線を描き、EFとの交点をHとするとチェバの定理よりBHとlは平行。
こうしてlに平行な直線BHを点Aの側に描く事が出来た。
これを繰り返してどんどん点Aに近い所にlに平行な直線を描いていくと
最終的に点Aを通りlに平行な直線が描けるようになる。
・間の距離が10cm以下である2点ABの中点を求める方法。
まずABを通る直線を描く。次にAを通る直線lを描き、lと平行でBを通る直線mを描く。
次にl上にAC=AE=2cmとなる点C,Eをおく。m上にも同じように点D,Fをおく。
（この時CとDはABの上側、EとFはABの下側ね）
そしてADとBCの交点をG、AFとBEの交点をHとおくとGHとABの交点は2点A,Bの中点である。
随分と回りくどいやり方だけど10cm以下の2点しか結べない、
直線を描く事も出来るけど10cmの線分を伸ばしていくわけだから方向は特定出来ない、
この2つの制約があるからこうなってしまった。
224:222-223
02/01/17 11:18
…ふと見直してみて思った
普通の定規って1mm単位で目盛りふってあるし、問題文は
20cmだから、もっと簡単なやりかたあるかも。
まぁいいや。>>222-223は20cmより長くても出来る、ということでよしとしてage
225:＞＞210
02/01/17 22:16
普通は、
A----
B----
C----
D----
2h
----A
----B
C----
D----
3h
A----
----B
C----
D----
7h
A----
----B
----C
--D--
9h
A----
B----
----C
---D-
11h
----A
B----
----C
----D
12h
A----
B----
----C
----D
14h
----A
----B
----C
----D
？
226:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/18 12:43
>>225
おいらは後30分短く出来た記憶があるけど、確認できなくなっちゃった（汗
ちょっと待ってください。ｽﾏｿ
227:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/18 18:00
>>225
13時間38分(13+71/112)まで出来た。まだ短く出来そう。
228:１３２人目の素数さん
02/01/19 02:19
>210
すごいアホな質問だったらごめん、
これってXY間の任意の宇宙空間に、宇宙船を放置できるって事だよね？
229:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/19 08:15
>>228
そっす。んで、放置Aと同じ場所に別の宇宙船が来たらAに乗り換え時間を
考慮せず、乗り換えてOKっす。
全部書くと長くなっちゃうんで、キモの部分だけを書くと、
7+1/14h
----+----+A---+----乗船(4/7)
----+----B----+----
----+----C----+----
----+----+D---+----乗船(4/7)
って言う途中経過を経ると、13+71/112hで移動できました。
関数化して、ミニマを狙おうと思ったのですが、複雑すぎて断念。
感覚として、多分13時間は切れないと推測・・・
230:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/20 17:10
13時間30分に成功。しつこいので、sage。
キモ部分。
10+17/28h
----+----+----+A---(6/7)乗船
----+----+----B----(3/4)
----+----+----C----(3/4)
----+----+----+D---(6/7)乗船
231:
02/01/24 00:28
232:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/25 22:30
はい、これからコインを投げます。えぇえぇ、何回でも。
最初に裏が出たらあなたの負け。これでおしまい。
でも表が出たら2円差し上げます。しかも、次にまた表が出たら4円差し上げ
ましょう。その次は8円、16円・・・。
裏が出るまでいつまででも続けますよ。この勝負、一回たったの10万円。
え？高い？お客さん、ちゃんと期待値を計算してくださいよ。
1/2 * 2円 + 1/4 * 4円 + 1/8 * 8円 ・・・・
＝1+1+1+1+・・・
＝無限大
そう！期待値は無限大なんですよ！
これがたったの10万円！
ささ、おかしくないと思ったあなたは、すぐに10万円払ってゲームを
始めましょう！
何が変？
233:１３２人目の素数さん
02/01/25 23:55
ここにある３桁の数があります。
この数にある２桁の数をかけあわせたところ、
元の数の左右に同じ数字を書きたした数になりました。
例えば元の数が123だとして、２桁の数をかけあわせた結果が
41234になったということです。
さらに、この３ケタの数に別の３桁の数をかけあわせたところ、
今度は789789のように、３桁を２回続けた形の数になりました。
元の３桁の数はいったいいくつだったのでしょう？
234:１３２人目の素数さん
02/01/26 01:28
>>232
期待値＝(1/2*2-10万)+(1/4*4-10万)+(1/8*8-10万)+…
＝(1-10万)+(1-10万)+(1-10万)…
＝-99999-99999-99999…
＝－∞
235:猪熊柔
02/01/26 01:29
>>232
それ昔聞いたことあるんですけど
いまだに答えしらないんですよ。
いろいろ考えたけど、分からないし・・・
あと、１回いくらにすれば
平等な賭けになるんでしょうね？
236:１３２人目の素数さん
02/01/26 01:53
>>230宇宙船
これ難しいですね。
この問題の基本的なテクニックはなんでしょうか？
私が思いついたのは、２人が最前線にいるときは速い方の船で後戻りする、
くらいです…。
237:234
02/01/26 02:01
>>235
一回１円でしょうか
238:234
02/01/26 02:10
問題読み間違えました。すいません
239:１３２人目の素数さん
02/01/26 14:04
明らかに胴元の支払能力に依存。
２０連勝の約１００万円（トータルで約２００万）の支払能力がないなら
参加料に２０円支払うのも馬鹿らしいし、
３０連勝の約１０億（トータルで約２０億）払える保証があるなら
３０円払うのは問題ないってこと。
240:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/26 14:38
>>236
ええ、とても難しいんです。わたしも「これ以下には出来ない」って
証明は出来ませんが、１３時間３０分までは出来ました。
基本的なテクニックは、二人のパイロットが戻るとき、出来るだけ高速のA
で戻れるようにすることでしょうか。あと、待ち時間が短くなるように
すればいいんだと思いますが、なかなか思うように行きません。
>>235
これ、実は昔々のマイコン雑誌、RAMに掲載されていました。20年以上
前でしょうか（笑
4KByteストーリーとかなんとか、そんなの。あ、この雑誌、まだ持っているかも。
241:ねこばす参加者
02/01/26 18:32
>>225の9Hから。
9H
A------+------+------+------+(0/1)→
B------+------+------+------+(0/1)
+------+------+------+------C(1/1)
+------+------+------D------+(3/4)→
9+6/7H
+------+------+------+--A---+(6/7)←←
B------+------+------+------+(0/1)
+------+------+------+------C(1/1)
+------+------+------+--D---+(6/7)
10+5/7H
A------+------+------+------+(0/1)→
B------+------+------+------+(0/1)→
+------+------+------+------C(1/1)
+------+------+------+--D---+(6/7)
11+4/7H
+------+------+------+--A---+(6/7)
+------+----B-+------+------+(3/7)→
+------+------+------+------C(1/1)
+------+------+------+--D---+(6/7)→
12+3/7H
+------+------+------+--A---+(6/7)乗船
+------+------+------+--B---+(6/7)
+------+------+------+------C(1/1)
+------+------+------+-----D+(27/28)乗船
ここで12+3/7Hと9Hを比較すると、
全船ゴールまでの距離が1/7になっているだけ。
これを無限回繰り返すと13Hで到着します。
242:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/26 21:34
>>241
うおっ！すごいかも！ちと検証します！
243:石風
02/01/26 21:51
命題：世界中の人間はすべて同一人物である
証明：世界の人口ｎについてのinductionによる：
(1)１人のときは、自分は自分自身に同一だから成立
(2)ｎ人のときに成り立つと仮定する
(3)（ｎ＋１）人のとき、(2)から簡単な推論により成立。
よって命題は証明された。
（でも、なんか変だぞ）
244:１３２人目の素数さん
02/01/26 21:58
>>243
「簡単な推論」ってなんじゃい？
245:１３２人目の素数さん
02/01/26 22:26
>>241
この行程にかかる時間は24L/7時間(L=ABとCの距離)
一回行なうとLは1/7になるから、
全時間=9+24/7+24/49+…
=9+24/7(1-1/7)=9+24/8=12h
12時間じゃない？
246:１３２人目の素数さん
02/01/26 22:29
すまぬ。計算間違い13時間じゃった
247:１３２人目の素数さん
02/01/26 23:31
>>233
A（三桁）*B（二桁）=C（一桁）*10001+A*10
A*(B-10)=C*10001で10001=73*137だからB=83 A=C*137
次にA（三桁）*D（三桁）=E（三桁）*1001=E*7*11*13
11と13はAの約数になりえないからDは11と13で割れてAは7で割れる。
よってAは7*137=959で割れるけどAは三桁だから求めるAは959となる。
248:１３２人目の素数さん
02/01/27 00:31
>>241
なるほど！
10+5/7Hが理論の出発点でしょうか。
Bがアキレス、Dが亀となっているのですね。
249:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/27 11:58
>>241
確認しました。すごい！最短記録ですね！
9hまでの工程が最短と仮定すれば、これ以下は無理かな？
250:１３２人目の素数さん
02/01/27 13:40
>>241
この場合Cは既にゴールしていますが、同じ原理を使えないものでしょうか。
またC,Dに対して同時に適応させ、
A
B
-C
--D
を初期状態として一人はA→C→D、もう一人はB→Aと移動し、
ADがであった所で２人ともAでBのところに戻る、など。
相似形を与えるような初期位置というものが導けないのですが…。
251:１３２人目の素数さん
02/01/27 15:43
わからない問題スレから転載
お前らコレ解けるか？
URLﾘﾝｸ(annex.vis.ne.jp)
β－αが６０度の場合、右下の角度を求めよ。
右下、左下はそれぞれ二等分線である。
また、図で平行っぽく書かれている線が、平行であるかどうかは知らない。
252:１３２人目の素数さん
02/01/27 16:30
>251
まだ証明が出来ないけど、答えはたぶん解った。
しかし証明できる気がしない……。
＃これ、左下の角度とα、βは不定だな。
253:１３２人目の素数さん
02/01/28 19:23
激しく板ちがい、もしくはスレ違いｋと思いますが、
Ｔ＝１ Ｄ＝１
Ｆ＝２ Ｋ＝□
□にあてはまる数はなんでしょう？
誰か答え教えてください。
254:１３２人目の素数さん
02/01/28 20:22
>>251
全然わからん
誰か教えて
255:１３２人目の素数さん
02/01/28 20:44
>>253
いいともでやってたのですね。答えはメール欄参照。
256:１３２人目の素数さん
02/01/28 23:11
>>251
解けるのコレ？
もう６時間は考えたんだが……\
257:１３２人目の素数さん
02/01/29 02:04
>>251
できた。
つうかこれ不可能図形ではないか？
258:１３２人目の素数さん
02/01/29 09:26
>>257
答えは120度だろ？
右下が120度の場合は、左下を何度に設定しても、
必ずβ－α＝６０度になるぞ。図を書いて確認した。
問題は、なんでそうなるのかが証明できないことだ。
259:１３２人目の素数さん
02/01/29 11:33
ああああああもおおおおGENGENわからん
260:１３２人目の素数さん
02/01/29 22:34
>>>256
僕なんか昨日暇だったので一日中考えてましたよ。
ぜんぜん分からない。
もぉだれか教えて。＞β-α=60°
261:はなう ◆hanauAiU
02/01/30 00:16
>>257さんに一票。わしもそう思いますじゃ。照明はめんど。
262:はなう ◆hanauAiU
02/01/30 00:18
うん、証明もできそう。
263:260
02/01/30 01:05
・・＝60°、・＝x°として全部の角をxで表してみようとしたのですが、
α、βとその隣の角の４つの角だけどうしても出ません…
264:はなう ◆hanauAiU
02/01/30 01:26
>>263
そりゃそうですの。だって三角形じゃ・・・（藁
265:260
02/01/30 01:44
そろそろ人少ないころ…
ヒント下さい…>>263
266:１３２人目の素数さん
02/01/30 02:14
>>257>>261
不可能図形になるのは左下が60ﾟ以上じゃないかな？
(左下,右下)=(40ﾟ,120ﾟ),(20ﾟ,120ﾟ)などで試してみれ。
267:266
02/01/30 02:30
↓のように内心を考えて一般化できそう
URLﾘﾝｸ(www.mitene.or.jp)
268:266
02/01/30 03:29
叩き台に図を書いてみた。
URLﾘﾝｸ(mizuki.sakura.ne.jp)
∠ABE=∠CBE=a
∠ACD=∠BCD=b
Fは△BCDの内心
0ﾟ＜a＜b
(a+b)＜90ﾟ
>>267を参考にしてb=60ﾟ⇒∠AED-∠ADE=(β-α)=60ﾟは容易。
肝心の逆はどうだろう？寝る。
269:260
02/01/30 09:35
>>268
おはようございます。
内心のアイデアでぐっと進歩しました。
しかし本題の「逆」は朝まで考えましたが分かりませんでした。
ええ。分かりませんでしたとも。俺も寝とけばよかった…
270:１３２人目の素数さん
02/01/30 17:01
>>251だが、壮絶なる計算により120°になることが証明できた模様。
但し、あまりにも壮絶な式変形をやってたので、只今整理中。（藁
しばし待たれい。
271:270
02/01/30 21:08
△ABCで∠Bの２等分線とACの交点をD、∠Cの２等分線とABの交点をEとし
∠AED＝α、∠ADE＝β、β－α＝60°
以下、BCの長さを1とおく。
Cを原点とし、B(-1,0)、A(X,Y)（Y＞0）となるように座標系を取る。
最終目標はX,Yの関係式を導くこと。
AC＝b, AB＝c, AE＝d, AD＝e, DE＝fとおく。
b＝√(X^2+Y^2)
c＝√((X+1)^2+Y^2)
∴ X^2+Y^2＝b^2
X＝(c^2-b^2-1)/2
AD：DC＝AB：BCより
e＝bc/(c+1)
D( X/(c+1), Y/(c+1) )
AE：EB＝AC：BCより
d＝bc/(b+1)
E( (X+1)/(b+1)-1, Y/(b+1) )
ここで、β＞αよりd＞e
∴ b＜c
余弦定理より
cosα＝(d^2+f^2-e^2)/(2df)
cosβ＝(e^2+f^2-d^2)/(2ef)
(sinα)^2＝1-(cosα)^2
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*f^2*d^2)
(sinβ)^2＝1-(cosβ)^2
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*e^2*f^2)
sinα*sinβ＝√((sinα)^2*(sinβ)^2)
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4de*f^2)
cos(β-α)＝cosα*cosβ+sinα*sinβ
＝((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)
（続く）
272:270
02/01/30 21:10
>>271の続き
β-α＝60°よりcos(β-α)＝1/2
∴ ((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)＝1/2
(d^2-de+e^2)*f^2＝(d^2-e^2)^2
d^2-de+e^2＝b^2*c^2*(b^2-bc+c^2+b+c+1)/((b+1)^2*(c+1)^2)
d^2-e^2＝b^2*c^2*(c-b)(b+c+2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
D,Eの座標より
f^2＝(X/(c+1)-(X+1)/(b+1)+1)^2+(Y/(b+1)-Y/(c+1))^2
＝((c-b)^2*(X^2+Y^2)-2b(c+1)(c-b)X+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝((c-b)^2*b^2-b(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝b*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
代入して整理すると
(b^2-bc+c^2+b+c+1)*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)
＝b*c^2*(c-b)^2*(b+c+2)^2
-c(b+1)(c+1)(b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1)＝0
b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1＝0
(c^2-b^2)^2+(c-b)(c^2-b^2)-(b+1)(c+1)＝0
(c^2-b^2-b-1)(c^2-b^2+c+1)＝0
c^2-b^2＝2X+1を代入すると
(2X-b)(2X+c+1)＝0
∴X＝b/2またはX＝-(c+1)/2
ここで、c＞bより、点Aのx座標はBCの中点より大きいのでX＞1/2
よって、X≠-(c+1)/2となり、
X＝b/2が言える。
b＝√(X^2+Y^2)より
4X^2＝X^2+Y^2
Y^2＝3X^2
X＝b/2＞0、Y＞0より
Y＝√3X
これは、とりもなおさず∠ACB＝120°を意味する。
273:１３２人目の素数さん
02/01/30 21:31
>>270-272
good job
274:１３２人目の素数さん
02/01/30 22:26
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
275:１３２人目の素数さん
02/01/30 22:41
マジかよっ！！
276:270
02/01/30 23:21
あ、タイプミス発見
最後から９行目あたり
X＞1/2じゃなくてX＞-1/2ね。
277:
02/01/31 00:10
>>234
今更ですまんが、期待値の計算間違ってるぞ！
期待値＝
{(1/2*(2-10万)}+{(1/4*(4-10万)}+{(1/8*(8-10万)｝+……
+｛1/131072*（131072-100000)}+｛1/262144*（262144-100000)}+……
↑この項から値がプラスになる！！
＝？
計算は任せる
278:260
02/01/31 00:31
ううわあああぁぁ………ぁぁあああぁぁぁ…。．．
すごいねこれ。お疲れさまです。>>271
今から読み始む。
279:
02/01/31 00:33
>>277
期待値＝
{(1/2)*(2-10万)}+{(1/4)*(4-10万)}+{(1/8)*(8-10万)｝+……
+｛(1/131072)*（131072-100000)}+｛(1/262144)*（262144-100000)}+……
=-49999-24999-12499+……+0.237060547+0.618530273+0.809265137+……
この級数は、17項目からは正になり、かつ値は単調増加なので、やがては
部分級数の和が正になり、さらに行くと無限大に発散する。
結論
期待値は無限大。よって、10万円では得する！！
ちなみに、掛け金は任意の代金でも期待値は無限大になるので、
主催者は必ず損をする！！
あってる？
280:260
02/01/31 00:41
読みました。ここまでいくともう官能小説ですね（謎）
全て直交座標に変換して解く…
281:
02/01/31 02:37
コインの出方 確率 期待値
２円もらえる時 ○● 1/4 1/2
４円もらえる時 ○○● 1/8 1/2
８円もらえる時 ○○○● 1/16 1/2
・・・
・・・
ｎ円もらえる時 （○がｎ個）● 1/２の(n+1乗) 1/2
全部足すとやはり∞
282:そろそろ種明かししてもいいよね？
02/01/31 07:27
１６回連続で表が出た時、初めてプラスになって31070円の得。
１回だけチャレンジした時の勝つ確率は1/(2~15)かな？
何度もチャレンジすれば胴元を潰せるけど
勝てる確率50％を超えるには…さて、元手はいくら必要だろう？
283:１３２人目の素数さん
02/01/31 08:03
>>282
え？これ勝てるの？無限に勝負すると負ける金額も無限になりそうな気が。
284:１３２人目の素数さん
02/01/31 08:05
逆に言うと掛け金はいくらなら均衡するのだろうか？
つーか、支払い金額の上限が無限である限り計算不能なの？
285:270
02/01/31 12:25
結論には影響ないが、>>272にまた細かい間違い発見
根性のある人は探してみるべし
で、そろそろエレガントな解答もだれか．．．
「こんなの補助線一本でとけんだよ！」
って言って頂かないと、「官能小説」が完結しないので（藁
＃それとも、放置プレイか？
286:１３２人目の素数さん
02/01/31 13:08
ところで>>232の問題って
「裏が出るまで何回もコインを投げる」というゲーム全体で１回と数えて
１回10万円とも読めるのだけど。
>>277さんや>>279さんの解釈は１回コイン投げる毎に10万円取られる
ってことですよね。
私の解釈では、１０万円しか持ってなくても一応期待値は∞。
もとの出題者の方は、どっちのつもりだったのでしょう？
287:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/31 16:29
>>286 一勝負10万円です。
一勝負は、裏が出るまで。
1.10万支払う
2.コインを投げる
3.表だったら2.へ
4.裏だったら、2の（表が連続で出た回数）乗の金額がもらえる。ただし、0回は0円。
計算が面倒だったら、0回で1円あげてもよし（笑
ごめん、漏れ答え知らない（ｗ
288:
02/01/31 18:23
>>286
277、279さんの解釈は正しいと思います。
期待値の各項とは、いってみれば場合わけであって、
１回目で裏が出た人はもらえる金額が（2-100000）円で、
これが起こる確立が1/2なのだから、その場合の期待値は（1/2）*（2-100000）
２回目で裏が出た人は同様に（1/4）*（4-100000）。
ここで大事なのは、1と2は両立できないということ。結果がそれぞれの場合に最終的に
100000を引くので、毎回100000円を引くわけではない。
289:１３２人目の素数さん
02/01/31 21:15
問題出してイイデスカー
2種類以上で有限個の種類のアルファベットがある。（a,b,cって感じで）
そしてそれらから生成される単語を並べていく。（acabとかbaとか）
ただし、後に出た単語からいくつかの文字を抜いて、前に出た単語と
同じになるような事が無いようにするってこと。
例）a,bの2つから出来る単語を並べる場合
aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時、
５つ目の単語「abba」は１つ目の単語「aba」を含むからダメ。
abbab,abab,aab,abbba,bbaaは後に出た単語が前の単語を含んでいる
ような事が無いのでOK
この時いつまでも単語を並べていくような事は可能か？
290:289
02/01/31 21:18
去年の5月くらいにこの問題についてのスレッドがあったような気がするんですよ。
そして250くらいのレスがついてたような気がしたのですよ。
しかし、当時も確か単発質問スレは削除される運命だった気がするし、
それに実際数学板の過去ログを全部見ても該当スレッドが無い…
自分の妄想が考え付くような問題じゃないんですけどねぇ…一体どうしてそんな記憶があるのやら
291:289
02/01/31 21:19
289で
「するってこと」→「すること」
「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時」→「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと５つ並べた時」
ですね。すいません
292:１３２人目の素数さん
02/01/31 21:56
>>289
文字を無限に続けたものを単語と認めるなら可能
a…aとaをn個並べる
a…aとaを(n-1)個並べる
と続けると、n個の単語を作成できる
nを無限大にもっていけば、いくらでも単語を並べることが可能
293:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/31 22:29
>>289
単純に考えると、ひとつひとつの「生成される単語」が有限であれば、
いつまでも続けることは不可能に思えるんだけど。
>>292 のおっしゃる通り、無限ならなんでもありだけど。
294:289
02/01/31 22:38
少し丁寧に書いてみます。
自然数nからそれぞれ有限な単語Anへの写像で次の条件を満たす様なのは存在するか？
※任意のi,j（i<j∈N）に対してAjからどのように文字を取り出してもAiにならない。
ちなみにただ単純にAiがAjに含まれないようにするって条件だけなら問題は易しいのですよ…
aba,abba,abbba,abbbba,…ってのならどの単語も有限個だし前の単語が
後ろの単語に含まれてないし…
295:１３２人目の素数さん
02/01/31 22:48
一つ目の単語の長さをn,アルファベットの種類をmとすると、
長さ1～nまでの単語の総数は
m+m^2+m^3+…m^n 個
この時任意の長さ(n+1)の単語を作成すると、それまでに必ず同型な単語が存在する（だってそれまでに全部の種類の単語並べてるしね）
よって上界が存在するので、いくらでも続けることは不可能
296:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/31 22:58
>>294 単語は有限なんですね？
すると、その上限の長さをNとするとき、Nから任意の文字を抜く操作に
よって生成される文字列もこれまた有限と。
長さN以下のある文字列mが現れた後、mから任意の文字を抜く操作に
よって生成される文字列が現れることが出来なくなることから、
単語はいくらでも並べることは出来ない、って結論になりはしないだろうか？
297:１３２人目の素数さん
02/01/31 23:19
>>294
たしかにその問題はかなり前に議論されていましたよ。
その時は誰かが長い証明を書いていたような気もするし、解決してなかった
気もするし、よく覚えてないなあ。
>>295,296
単語の長さに上限があるとは言いきれない
（幾らでも長い単語を作れるかもしれない）ので、その説明は正しくない。
298:ネット屋 ◆.t4dJfuU
02/01/31 23:23
>>297
「有限な単語Anへの」ってのは単語Anの長さが有限と言うことでは？
「単語の長さに上限があるとは言いきれない」と言うのは単語の
長さが有限であることまでを証明する必要があるってこと？
299:１３２人目の素数さん
02/01/31 23:58
要するに「いつまででも続けられる」ってことが重要なんでしょ。
最初に無限の長さの単語を持ってきてだんだん縮めていくのはダメ。
最初それなりの長さから始めてだんだん無限の長さに近づけてくのはアリ
ってことなんじゃないの？
300:289
02/01/31 23:59
>>295
どのように単語を並べたのか詳しく教えていただけないでしょうか？
>>296
なんか誤解を招いてしまったようです。もう少し補足させて下さい。
有限というのは、あくまで任意のnに対してn番目の単語の長さが有限で
あれば言いだけの事で、長さ自体に上限が存在しなくてもいいという事です。
aba,abba,abbba,abbbba,…ってのは条件を満たしませんけど、
この場合長さに上限はありませんしね。
ちなみにこの場合A1=aba、A2=abba、A3=abbba、A4=abbbbaとなっております。
>>297
良かった…やっぱり昔議論されてたんですね。この問題。
それにしても該当スレッドがないなんてどういうことなんでしょう…
301:289
02/01/31 23:59
>>299
そういうことです
302:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:09
>>298
一つ一つの単語が有限の長さであることと、長さに上限があることは別だと思う。
294の例を借りれば、
「aba,abba,abbba,abbbba,…ってのならどの単語も有限個だし前の単語が
後ろの単語に含まれてないし… 」
の説明で単語の長さは３、４、５、６・・・と増えていくでしょ。
もっともこの例は問題の条件をみてしてないけど。
303:302
02/02/01 00:13
思いっきりかぶった（W
多分かなり前だったと思う。一年以上前かも。
だから過去ログにも残っていないだろう。
304:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:15
初めの単語の長さをn,文字の種類をa1,a2,...,amのm個とする
長さnの単語の種類は以下のn^m通りである
a1,a1,...,a1
a1,a1,...,a2
.
.
.
am,am,...,am
また、どのような長さ(n+s)の単語も必ず、s文字を取り出したとき長さnの単語と同系になる
よって、n^m個しか表すことができない
305:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:33
>>304
長さn以下の単語をn^m個より多く出さなければいいのでは？
（長さn“以下”であるからn^m個よりもう少し少なくなるだろうけど）
ってことは後の方の単語になるにつれてどんどん長くなってくわけだけど
それでも可能かどうか…
306:302
02/02/01 00:33
>>304
だからさ、長さｎの単語の列を全てを並べてから、長さｎ＋ｓの長さ
の単語を並べる必要はないわけ。だからそういう論法は成り立たない。
この問題の本質は文字の種類は余り関係ないとおもう。
ａとｂの2文字しか使わない場合を証明できれば十分だろう。
307:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:36
302また被ったー
308:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:37
>>294
もし可能だとすると、
アルファベットm種類では可能だが、m-1種類では不可能であるようなmが
存在する。
ここで、m種のアルファベットのうち特定のある１つを使用しない単語が
無限にあると仮定するなら、その単語だけ選んで単語列を作ると条件を
みたしてしまい、m-1種のアルファベットでは不可能であるということに
反するので矛盾。
したがって、m種のうちある一つを使用しない単語は有限個数しかないので、
これらをすべて単語列から除いても条件は成立する。
この操作をm回繰り返すことにより、全ての単語がm種のアルファベット全てを
使用している単語列が作れる。
以上より、この命題に
「全ての単語は、使用可能なアルファベットの全種類を含むものとする」
という条件を追加しても、その真偽はかわらない。
次に、n番目の単語がw(n)文字であったとすると、w(n)文字以下の単語は
有限個数しかないことから、単語列の無限性を損なわずに
n+1番目以降からw(n)文字以下の単語を取り除くことができる。
n＝1から順にこの操作を行うことにより、文字数が単調増加である
単語列を作ることができる。
したがって、この命題に
「n番目の単語の文字数をw(n)とすると、j＜k⇒w(j)＜w(k)」
という条件を追加しても、真偽は変わらない。
これで、少しは考えやすくなったかなあ．．．
309:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:37
㈱祭
310:302
02/02/01 00:37
またもやかぶった（ｗ
311:１３２人目の素数さん
02/02/01 00:40
＞どのような長さ(n+s)の単語も必ず、s文字を取り出したとき長さnの単語と同系になる
＞よって、n^m個しか表すことができない
ｓ文字取り出したときの長さｎの単語がかぶることはあり得ますよ。
だからｎ＾ｍ個しか表すことができない、とは必ずしも言えない思う。
312:３１１
02/02/01 00:42
ゆっくり書いてたらかぶりまくってる（ｗ
313:302
02/02/01 00:58
訂正
n^mではなくm^nっぽい
>>306
別に、順に並べると入っていない
文字数を増やせば増やすほど、より多く長さnの単語と同型になる
ここで、長さ(n+s)の単語を基準としても、今まででた同型の単語は並べられないので
一つの単語につき最大で(n+s)Cs通り少なくなる
だから、無限には繰り返せないってこと
ただ、あんまり自信はないので、試しに例挙げてみて
314:１３２人目の素数さん
02/02/01 01:04
えーと313さんは本当は誰なのか、
そして一体誰にレスをしているのかもう一度書いて下さい
315:308
02/02/01 01:47
>>308
もう一つ。
m種のアルファベットで、最初の単語がn文字では可能だがn-1文字では
不可能であるようなnが存在する。
ここで、あるn-1文字の単語Aを考え、単語列中にAを含まない単語が無限に
存在すると仮定すると、Aを先頭に、以降このAを含まない単語を選んで
並べることにより、先頭がn-1文字の条件を満たす単語列ができることになり
矛盾。
従って、Aが含まれない単語は単語列中に有限個数しかないので、
単語列の無限性を損なわずにこれらを全て列から除くことができる。
n-1文字の単語は有限個数しかないので、全てのn-1文字の単語について
同様の処理を行うことにより、２単語目以降はn-1文字の全てのパターンを
含む単語にすることができる。
従って、次の条件を追加しても命題の真偽は一緒。
「最初の単語の文字数をnとすると、２番目以降の単語は、
全てのn-1文字のパターン（m^(n-1)種ある）を1単語中に含む
ものとする。」
316:314
02/02/01 01:55
313=315ですか？わざとやってるんですかそれ…しまいには泣きますよｳﾜｰﾝ
317:302
02/02/01 01:56
313の書きこみは304さんのことでしょう。
313の説明であっているような気がする。
う～ん、こんなに簡単に解決できるはずはないんだが。
前にあった問題は少し条件が違っていたのだろうか。
記憶がはっきりしない。
318:１３２人目の素数さん
02/02/01 02:05
わからない問題スレに>>251を書き込んだ者だが……
直行座標系に設定すりゃ、そりゃ解けるわ。
そんなことしなくても、三角関数の加法定理等でもっとすっきり解ける。
が、しかし、この問題は初等幾何で解くべし。
補助線を使えば解けるぞ。
ま、悩め。
319:１３２人目の素数さん
02/02/01 02:08
>>318
あんたが答え書くの待つ。ｯﾀﾘｰ
320:318
02/02/01 02:15
俺は結局初等幾何では解けなかった。１２時間ほど格闘した。
気分転換で正弦定理使って解いたら結構あっさり解けたけど。
多分解ける小学生がいるんだと思うと
なんか切なくなってくるよな。
でさ、答えさらしていいの？頑張ってる人いるよな、多分。
321:308
02/02/01 02:34
>>316
313=315じゃないよ。
308=315=俺。（名前のとこよくみてね。）
で、>>308にも書いたが、文字数単調増加の条件を加えても問題の本質は
変わらないので、同じ文字数の単語は１回しか出現しないという条件で
考えた方が、変な方向で勘違いしなくてすむと思う。
（つまり、>>313は、成立しないかと。）
極端な話、n番目の単語の文字数w(n)が、
w(n+1)＝w(n)^w(n)（藁・あくまで例ね）なんてとんでもない
増え方をする数列であっても、w(n)の各項は有限な値を取ると言えるわけで。
322:Prof.Akiyama
02/02/01 03:01
>318
むずいな～(￣□￣;)
答えキボ～ン
323:１３２人目の素数さん
02/02/01 17:34
>322
あなたはもしやあの有名な数学者秋山仁JinAkiyama，
ご本人様でいらっしゃいますか？
324:１３２人目の素数さん
02/02/01 23:21
誰か文字列の奴の答え分かんない？
325:１３２人目の素数さん
02/02/01 23:38
>>324
漏れは308に激しく同意
326:302
02/02/01 23:45
では、実際に文字列を作っていきましょう。
Ａ，Ｂ，Ｃの３文字を使って、最初はＡＢＣからスタート。
では、だれか暇な人は、続きの文字列を書いていってください。
327:１３２人目の素数さん
02/02/01 23:50
次のように4桁の数字が8つある
6027
3813
4065
3099
5244
4056
2571
4632
仲間はずれはどれですか？
その理由を3つ書いてください。
328:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:13
3099
理由
・23662455126555904113611520を割り切れない
・切符の下でよく作る、あのパズルで１０が作れない。
・ばらばらにして足したら１５じゃない。
まちがっちゃいねぇぞ。
329:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:18
>328
ﾜﾗﾀ
全部３の倍数の文字で構成されている、というのも付け加えてくんろ
330:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:21
＞23662455126555904113611520を割り切れない
ﾜﾗﾀ
331:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:27
>>326
最初はaとbの２文字でやった方がいいと思う。
じゃあ俺から。
abab
332:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:27
千の位と十の位の差が６以上ある、というのはどうだ？
333:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:29
>328
9+(9+3)^0=10
冪使うの反則だっけ？
まあ取り敢えず329の理由と入れ換えで。
334:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:31
>333
反則だろ、普通。logとか累乗とかは。
入れ替えるなら、「ばらばらにして～」というのと、332とを入れ替えて欲しい
335:１３２人目の素数さん
02/02/02 00:34
>>328
最初の理由と２番目の理由をその短時間で思いついたことに、マジで感心する（藁
336:308
02/02/02 03:40
>>325
ただ、今のところまだできるともできないとも
言ってない（わかってない）ので．．．
簡単に「できない」とは言えないって言っただけで。（苦笑）
難しい問題だってことだけは、いやというほどわかった。
>>331
２種類じゃ無限に続けられないことは証明できる．．．のだけど、
一部その証明に感覚的には納得しづらいところがある。
（「無限に続けられる」という言葉の解釈の問題。）
最初がababの場合で考えると、２個目以降の単語は必ず
a...a, b...b, a...ab...b, b...ba...a, a...ab...ba...a, b...ba...ab...b, b...ba...ab...ba...a
の７種のどれかになるが、
a...a, b...bのパターンが、それぞれ有限回しか出現しえないのは明らか。
（１回出てきたら、あとは長さを短くしていくしかないもんね。）
で、他のパターンについてなんだけど
例えばb...ba...ab...ba...a（以降パターンＡと呼ぶ）で考えると、
パターンＡ中の同じ文字でできた４つのブロックそれぞれの文字数を
左から順にn(1),n(2),n(3),n(4)とすると、
最初に出現するパターンＡについて、n(k)＝n_0(k)（k＝1～4）
だったとすると、以降出現するパターンＡは
n(1)＜n_0(1)またはn(2)＜n_0(2)またはn(3)＜n_0(3)またはn(4)＜n_0(4)
でないといけない。
このうち、n(1)がn_0(1)より小さいある値NであるようなパターンＡが
有限個数しか存在しえないことが言えれば、n(1)＜n_0(1)の任意の値
であるようなパターンＡも有限個数しかないことが言え、
n(k)（k＝1～4）について同様の議論を繰り返すことにより、
パターンＡ全体が有限個数になる。
で、「n(1)がn_0(1)より小さいある値NであるようなパターンＡが
有限個数しか存在しえないこと」の証明だが、
n(1)＝NであるようなパターンＡ（以降パターンＡ_Nと呼ぶ）
が最初に出現したとき、n(k)＝N_0(k)（k＝2～4）だったとすると、
以降出現するパターンＡ_Nは
n(2)＜N_0(2)またはn(3)＜N_0(3)またはn(4)＜N_0(4)
でないといけない。
このうち、n(2)がN_0(2)より小さいある値NであるようなパターンＡ_Nが
有限個数しか存在しえないことが言えれば、n(2)＜N_0(2)の任意の値
であるようなパターンＡ_Nも有限個数しかないことが言え、
n(k)（k＝2～4）について同様の議論を繰り返すことにより、
パターンＡ_N全体が有限個数になる。
・・・
賢明な読者の方ならこのあとの流れはわかると思うので、ここでやめておくが、
「最初がababの場合」についてはこの調子で証明は書き下せるし、
一般の場合については、最初の単語がどんなものであっても、
２単語目以降は、同じ文字の並びを１ブロックとした時のブロック数が
必ずある数以下になることから、その可能なブロックの並びそれぞれに
ついて出現する数が有限であることが、あらゆるパターンについて
言えることを数学的帰納法で証明すればよい。
337:308
02/02/02 03:44
>>336の続き
感覚的に納得いかないのは、例えばb...ba...ab...ba...aのパターンを並べる場合、
最初にbbbaaabbbaaaなんてのを持ってきたとしても、
次にbba...(１億個)...ab...(１億個)...ba..(１億個)...aとかやってしまうと、
いきなり未来がひらけてしまい、その遥か未来にようやく最初のbが2個の
パターンが尽きたと思ったら、ba...(１兆個)...ab...(１兆個)...ba..(１兆個)...a
とやってしまえば、またまた未来がひらける。
つまり、有限回数で終ると言われても、初期の段階では可能な最大回数が
全く決まっていないこと、さらに悪いことには、いつになったらその
最大回数がはっきりするかすら決まっていないところが、感覚的に
納得できない理由。
そこでちょっとみなさんに質問なのだけど、このゲームが
「無限に続けられる」ってのは、数学的にどう表現すればいいんでしょう？
たとえば、数列a(n)が無限大に発散する、であれば、
「任意の実数xについて、
n＞n_0であればa(n)＞xであるようなn_0が存在する
ということが言える」
というのが厳密な表現でしょ。
338:308
02/02/02 04:20
>>337
しまった、
》このゲームが「無限に続けられる」ってのは、
》数学的にどう表現すればいいんでしょう？
なんて書いてしまったが、
「『この単語列が無限に続く』というのは」ってことです。
たとえば、
「任意の自然数nについて、n個以上の単語列を作ることができる」
であれば、当然成立するし、
「ある単語Ａが存在し、任意の自然数nについてＡから始まるn個以上の
単語列を作ることができる」
であっても成立してしまいます。
実は、
「任意の単語Ａと任意の自然数nについてＡから始まるn個以上の
単語列を作ることができる」
ですら、成立しちゃいます。
（最初が１文字の「a」であっても、２個目にbをたくさん並べれば
いいのですから。）
文字２種類では不可能だと証明できた、と思っても、
なんだか被疑者不定で起訴してるみたいでヤだ（藁
この証明が妥当であるような、問題の厳密な定義をだれか下さい。
ちなみに、この「２種類では不可能」という証明の考え方は
３種類以上には拡張できません。（言うまでもないか。）
「文字がaでない⇔文字がbである」という事実が、最初の
パターンの限定のところで使われるので。
339:308
02/02/02 07:44
>>338（自己レス）
よくみたら、
>>294に書いてあるような問題の定義のしかた（「自然数から単語への
写像で条件を満たすものは存在するか」）で
全然問題なかったいですね。（ハズカシー）
なんだか勝手に頭の中で「無限に並べられる」という言葉が回ってて
混乱してました。
それで．．．
２種類のときの証明から思いついたのは
同じ文字の連続を１グループとみなしたときのグループ数がある値以下の
ものは有限個数しか並べられないことから、このグループ数も単調増加という
条件をつけてしまっても問題としてはよさそうですね。
というわけで、2種類ではダメというのがわかったので
>>308と>>315と上の条件を採用した上で
こっちを攻めてみる。
>>326
ABCから出発して、全ての単語が
A→B,B→A,A→C,C→A,B→C,C→Bの６通りの位置関係を含むようにする。
以下XYZがABCと1対1対応するものとすると、
必ずX～Y～Z～Y～X、X～Z～Y～X～Z、X～Y～Z～X～Y～Zの
いずれかの形となる。（～の部分はなんでも入る）
ABCを含まないという条件も考えると
B～A～C～A～B、B～C～A～C～B、
B～A～C～B～A、C～B～A～C～B、
C～B～A～C～B～A の５通りのいずれかとなる。
さらに詳しく、同一文字グループの並び（小文字で書く）を調べると
(bとcを交互に0個以上)b(aとcを交互に3つ以上)b(aとbを交互に0個以上)
(bとcを交互に0個以上)cbacb(aとbを交互に0個以上)
(bとcを交互に0個以上)bacba(aとbを交互に0個以上)
のいずれかとなる。
．．．う、ここから考えが進まないので、一旦投稿。
340:１３２人目の素数さん
02/02/02 19:31
なんか分かりにくいからこれから先は
単独の文字→小文字
同一文字のグループ→大文字（いくつ並んでるか示す必要があるならそれは括弧内に示す）
ってことにしようぜ。
例１：Ａ（５）Ｂ（３）Ｃ（４）Ａ（２）＝ａａａａａｂｂｂｃｃｃｃａａ
例２：ＡＢＢＡなんてパターンは存在しなく、これはＡＢＡと書く。
で、いま分かったのは、この大文字の数（例１では４）が単調増加してくってことだな。
う～ん、もうすぐ解けそうだ♪
341:１３２人目の素数さん
02/02/03 00:34
基礎論で恐縮ですが私が昔悩んだ問題
まず、Ｎ＝{0、1、2、3、、、}の部分集合全体は加算無限ではないという証明の復習から
ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とする。
Ａ＝{ｎ∈Ｎ：ｎ∈ｆ(n)ではない}∈Ｐ（Ｎ） だから、あるｍに対してＡ＝ｆ(ｍ)
あ）ｍ∈Ａ ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ)ではない ⇒ ｍ∈Ａではない
い）ｍ∈Ａではない ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ) ⇒ ｍ∈Ａ
で矛盾となるので、ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とすることはできない。
どれで、Ｐ（Ｎ）はＮの部分集合全体ということだけど、部分集合といっても具体的に表記できるものと出来ないものがある。
つまり,有限集合は元を書き出せば言いから表記できる。あと、素数全体とか偶数全体、なども有限個の論理記号を並べることで表記できる。
実はこうやって表記できるのは、有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない。
で、いま「部分集合」というのはこう言う具合に、有限個の論理記号の列で表記できるものに限定するとする。
その場合でも上の証明は何の変更もされない。つまり、Ｎから「部分集合」全体の集合への全射は存在しない。
「部分集合」全体の集合は可算個しかないにもかかわらず！？
これはどうしてでしょうか。
342:>341
02/02/03 01:02
>>1より引用
・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
343:１３２人目の素数さん
02/02/03 02:12
>>341
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
こっちで振ればいいんじゃないでしょうか？
344:１３２人目の素数さん
02/02/03 02:38
半径１の球を分解してもう一度もう一度組み直して半径２の球を作れることを証明せよ。
345:１３２人目の素数さん
02/02/03 03:18
>>1より引用
・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
346:１３２人目の素数さん
02/02/03 13:34
＞半径１の球を分解してもう一度もう一度組み直して半径２の球を作れることを証明せよ。
不可能（∵体積が違う）
347:１３２人目の素数さん
02/02/03 15:16
>>344
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
このスレでネタを完結させてから来て下さい。
348:１３２人目の素数さん
02/02/03 15:24
age
349:１３２人目の素数さん
02/02/03 16:32
私より賢い方どうかお願いします。
トランプをもとにバートンが押すべき電子ロックのボタン
のパターンを下記の選択肢から選んでお答えください。
URLﾘﾝｸ(www.adventurespace.net)
350:１３２人目の素数さん
02/02/04 17:38
誰か>>289の文字列の奴分かった？
351:１３２人目の素数さん
02/02/04 21:52
>>350
わかんにゃい（涙
a..b..a..b..a..等の繰り返しの数かとも思ったんだが全然違うようだし・・・
352:341
02/02/04 22:26
>>343
そう思ったんだけど議論の流れからちょっと唐突過ぎると思った次第。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
だとまたややこしくなりそうだし、消去法でここに書いたけど忘れてください
>>344
選択公理があれば可能、と聞いたが
353:１３２人目の素数さん
02/02/04 22:50
>>341
「有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない」
このことの根拠は？ｷｿ論はよく知らないけど自明なのか？
また、部分集合P(N)をこのように限定した時も、
A∈P(N)はいえるのか？そこが疑問。
354:341
02/02/04 23:23
>>353
＞また、部分集合P(N)をこのように限定した時も、
＞A∈P(N)はいえるのか？そこが疑問。
これはｆ：Ｎ→Ｐ(N) の存在を仮定しての議論だから構わないと思います。
＞「有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない」
＞このことの根拠は？
これがおっしゃる通り間違いです。仮に有限個の記号が４つあってこれを有限個並べたものに番号を振ることを考えてみる。
４つの記号に１、２、３、４とでも数次を対応させれば、ｎ個の記号を並べたらｎ桁の自然数が対応するので
これらを小さい順に並べれば確かに自然数と一対一の対応が出来る。
しかし、このような対応関係を最初に与えられた有限個の記号を有限個並べて表記することは出来ない。
つまり部分集合を制限することで、写像も制限される、つまり、ＡからＢへの写像はＡとＢの直積集合の部分集合だから、部分集合の制限は写像も制限することになる。
355:通りすがりオヤジ
02/02/05 00:40
>>289
可能。
単語を作る時、前に出た単語を含んじゃ駄目なら、一番長い単語から考えてみる。
例：a,bの場合。（説明する為に、まず「10文字まで」にします）
abbbbbbbb
aabbbbbb
aaabbbb
aaaabb
aaaab
（他にaaaaab,aaaaaab,aaaaaaab…もある）
上は同じものを含んでいません。
そして、文字を無限に繋げられるのなら、最初の単語のbの数
abbbbbbbbを無限に増やせる（abbb……b）ので、
無限に単語を作ることが可能。
後はこの法則を、短い方から並べ直せばいい。
チラッと見てなんですが、設問に適した答えになってるか不安。
（間違ってたらｽﾏｿ）
356:通りすがりオヤジ
02/02/05 00:46
>>355
ミスった。
「例」の上から５つ目
aaaab
は無しにして。
357:１３２人目の素数さん
02/02/05 00:51
全然だめ
358:１３２人目の素数さん
02/02/05 02:15
>>355
悪気はないんだろうけどもう少し過去ログ読んでね。
大したボリュームじゃないんだしさ。
359:１３２人目の素数さん
02/02/05 11:15
漏れも>>355 の誤りの部分がきっちりと理解できてない（頭悪し＞＞漏れ
>>294
> 自然数nからそれぞれ有限な単語Anへの写像で次の条件を満たす様なのは存在するか？
> ※任意のi,j（i<j∈N）に対してAjからどのように文字を取り出してもAiにならない。
i,jはnとは無関係で、（i<j∈N,n∈N）ってことだね？
まず、A1からAnまでの有限長の「文字列」列を何か用意して、
An+1以降は無限の長さでもいいから、とにかく生成する方法を指定して
いくらでも継続できる例をあげれば、YESで完了？違うよね？
うえ～ん、問題が理解できないＹＯ～、漏れはアホだぁ～
360:通りすがりオヤジ
02/02/05 12:13
>>358
361:通りすがりオヤジ
02/02/05 12:15
>>358
スミマセン。もっと修行します・・・・
362:ふえ～～
02/02/05 12:24
最近この問題出されて解けません。
もう問い一から難しいです。
URLﾘﾝｸ(www1.odn.ne.jp)
どなたかお願いします。
363:１３２人目の素数さん
02/02/05 16:00
>>362
問い1は対角線を引いて片側の面積を求めて２倍する。
片側の面積＝中心角が９０度の扇―正方形の半分
幾何の問題を図を使わずにことばだけで説明するのは面倒だな。
364:１３２人目の素数さん
02/02/08 01:50
問5は一つの三角形が1:√3：2だから(円が全ての辺に接しているから）一辺をＸと置くと、必然的に円の直径√3Ｘ／4が出てくる。
365:363
02/02/08 02:04
12.1以降の問題です。
366:364＝365
02/02/08 02:05
スイマセン、間違えました。
367:１３２人目の素数さん
02/02/08 23:17
弧の交点と正方形の一辺を結ぶ正三角形の面積を、
中心角60度の扇形からひいて細長いとこの面積が出る。
それを二倍して正三角形と足すと、
二つの弧と正方形のいっぺんでできる三角っぽい形の面積。
で、最初の問題で出た面積を引くと・・・。
って、記号も絵も使わずに書いてちゃかえってわかりづらいか…
368:１３２人目の素数さん
02/02/09 00:23
ていうか、マルチポストだったりして。
しかも答えが出てたりして。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:294-331番)n
369:１３２人目の素数さん
02/02/09 07:36
>>251 の問題、ようやく解けたよ。
補助線は＋３０度左上がりのと
：|：の延長線でいいんだよね？
370:１３２人目の素数さん
02/02/09 13:52
upup
371:１３２人目の素数さん
02/02/09 13:53
up
372:１３２人目の素数さん
02/02/09 13:59
それじゃコレを頼むよ
URLﾘﾝｸ(www.sougetu.com)
373:１３２人目の素数さん
02/02/09 14:12
>>372 既出
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14159265
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
374:１３２人目の素数さん
02/02/11 19:21
てすてす。2ch生きてるかー？
375:１３２人目の素数さん
02/02/11 20:13
40分前のレス出来てるよ。ｵｲ。とりあえずｳﾘﾅﾗ氏ね
376:１３２人目の素数さん
02/02/11 20:14
んじゃいきます
>>289>>294の問題、そろそろトドメ刺します。
自分でも確かめましたけど、間違いあるかもしれないのであったら指摘して下さい。
ちなみに部分列でも同じように命題が成り立つ、ってのは証明無しに使ってます。
後記号使いまくりなので分かりにく過ぎなのは勘弁して
(1)
まずn番目の単語をAnと表す。
次にA1以降の単語についてAnがA0の最初のx文字を含む最大のxをf(An)とする。
この時、A0の文字数をpとすると、f(An)<p
よってあるqに対してf(An)=qとなるnが無限に存在する。
このようなnをn_0,n_1,n_2,…と順に求めておくと
Bm=An_mとなるような単語列Bmでもこの命題は成り立つ。
（言い換えると単語A0の最初のq文字だけ含んでるような
Anの無限部分列をBnとする、ということ。）
(2)
Bnに対して次のような操作をして新たな単語列Cnを作る。
Bnの中にA0の最初のq文字が含まれているが、その文字ごとでBnを分ける
例.(五文字のアルファベットの単語の場合)
A0=acccbaadecedbでBn=bcaecddcaccdbbeadabcddeaceccdの時、(この時q=12)
Bnをbca ec ddc ac cdb bea da bcd de ac e ccdって感じで分ける。
そして分けられたそれぞれの組に対してその組の中の一番後ろの文字を
使えるアルファベットの中で一番最後ので表して(以後これをeで表す)
それ以外の文字を残りのアルファベットで表す。
例.
Bn=bca ec ddc ac cdb bea da bcd de ac e ccdなら
Cn=abe de cce ae bce ade ce bce de ae e cceと変換する。
377:１３２人目の素数さん
02/02/11 20:16
(3)
こうして出来る単語列Cnだが、何番目のeとその次のeが連続しているかで
2^(q-1)個のパターンがある。そしてその中の一つのパターンを持つCnは無限個ある。
それだけを抽出した無限部分列に対し連続するeを1つのeに置き換えた奴をDnとする。
（例えば*e*e*eee*e*ってパターンが無限個あったらそれを*e*e*e*e*とした
部分列をDnとする。）
(4)
Dnのeで分けられているそれぞれの組からeを取ったのをDn_mで表す。
例.
D4=abe de cce acde bce ade cの時、
D4_0=ab、D4_1=d、D4_2=cc、D4_3=acd、D4_4=bc、D4_5=ab、D4_6=c
Dnの中のeの数は全部同じなのでそれをpとするとp+1個の集合I_m={Dn_m;m∈N}が作れる。
そしてI_0～I_pの内一つはD0_mを含まない元が無限個存在するI_mがある。
そのようなI_mに対し(1)～(3)の作業をしていく。
(5)
このような作業をしていくと、最終的に全ての単語はaを取り除けば同じになるような単語となる。
（aってのは使えるアルファベットの中で最初の文字ね。）
こうして出来た単語列をEnとする。
a以外の文字の並びが全部同じになってるので、それを全部bとしても命題が成り立つ。
だが、a,bの2つしか使ってないこの単語列では無限に続けるのは>>336-339より不可能。
矛盾してるので、結局アルファベットの種類がいくらでも>>289>>294のように続けることは出来ない。
と5つのステップにより命題は否定したわけだけど、(4)と(5)の説明が不十分なのが心残り…
しかしこれ書き込むのに何度も失敗したよ。ｳﾘﾅﾗども氏ね
378:１３２人目の素数さん
02/02/11 20:16
そしてage。ｳﾘﾅﾗども死ね
379:374-378
02/02/11 20:37
訂正。
(4)
Dnの中のeの数は全部同じなのでそれをpとするとp+1個の集合I_m={Dn_m;m∈N}が作れる。
↓
Dnの中のeの数は全部同じなのでそれをpとするとp+1個の集合I_m={Dn_m;n∈N}が作れる。
380:374-378補足・訂正
02/02/11 21:26
>>376五行目
部分列でも同じように命題が成り立つ
↓
ある単語列において294の命題が成り立つのなら、その部分列においても
294の命題が成り立つ
(3)の
（例えば*e*e*eee*e*ってパターンが無限個あったらそれを*e*e*e*e*とした
部分列をDnとする。）
において"*"はeを含まない文字列を指します。
Windowsでいうワイルドカードって奴です。
(4)後半から(5)にかけて補足。
例えば(4)後半で全ての単語がAeBeCeDと表せて、
さらに最初の単語がaaebadcaeadaeaaとした時(この時A=aa、B=badca、C=ada、D=aaとなる)
例えばBの部分がbadcaを含まないような単語が無限個あるから、
全てのbadcaを含まないBに対してbadccの何文字目まで含めるか求める。
そしてbadcaの3文字目まで、つまりbadを含むけどbadcは含まないBが無限個あったとする。
Bがそうなる単語だけ抽出。これでも命題は成り立つ。
全ての単語においてBはEbFaGdHと表せるから、これをEdFdGdHと書き換える。
そして全ての単語がAeEdFdGdHeCeDと表せる。
そしたらA,E,F,G,H,C,Dの中のどれかは『最初の単語の中の同じ部分を含まないのが無限個ある』から、
↑のような作業をしてさらに分割。今度はAeEdFdGdHeCeIdJdKとなる。
その次はAeEdFdLcMdHeCeIdJdK。これを繰り返す。
常にこうやって分割出来るから最後には
*e*b*b*c*b*d*d*c*d*e*b*b*b*e*c*d*c*d*c*c*b*って形になるはず(*は何文字かのaで出来る文字列)
常にAとかKとかの間に挟まれた文字列のどれかは
『最初の単語の中の同じ部分を含まないのが無限個ある』
はずだから、（そうじゃないと無限個続けられない）いつまでも分割出来る。ってのが重要。
381:374-380補足・訂正
02/02/11 22:00
(5)補足
『a以外の文字の並びが全部同じになってるので、それを全部bとしても命題が成り立つ』
の証明。
aがn文字続いてる文字列をA(n)とする。それ以外の文字はB_nで表す。
すると全ての単語は
B_0 A(x1) B_1 A(x2) B_2 … A(xn) B_n という形になる。
ある単語が
B_0 A(x1) B_1 A(x2) B_2 … A(xn) B_n となっていて
その後の方から適当に選んだ単語が
B_0 A(y1) B_1 A(y2) B_2 … A(yn) B_n となっているとする。
この時あるiに対してxi>yi。
ここでB_kを全部bにしてみると
bA(x1)bA(x2)b…A(xn)b (この単語をw0とする)
bA(y1)bA(y2)b…A(yn)b (この単語をw1とする)
となってるけど、あるiに対してxi>yiなわけだからw1はw0を含まない。
(4)(5)及び380の後半補足
途中で、例えば
＞全ての単語においてBはEbFaGdHと表せるから、これをEdFdGdHと書き換える。
＞して全ての単語がAeEdFdGdHeCeDと表せる。
においてGが何も無いような単語、AeEdFddHeCeDってのがあるかもしれない。
その時は(3)にあるような操作をすればいい。
つまり、AeEdFddHeCeDとAeEdFdGdHeCeDの2つのパターンの内、
どちらかが無限個あるわけだからそっちだけを抽出すると言う事。
そしてAeEdFddHeCeDが無限個あった場合はAeEdFddHeCeDをAeEdFdHeCeDと書き換えればいい
382:374-381
02/02/11 22:01
一応これで補足・訂正は終わったと思う
383:卓ゲ板住人
02/02/16 18:09
>>349
マークはクラブ：数値ｘ４ スペード：ｘ３ ハート：ｘ２ ダイヤ：ｘ１
ボタンは４進法で上の行から４＾０、４＾１、４＾２
卓ゲ板トランプスレ住人より豆知識：
普通のマークの順序、いわゆるスペード（Ｓ）ハート（Ｈ）ダイヤ（Ｄ）クラブ（Ｃ）は
ブリッジというゲームの順序であり英語圏での順序。
この問題でのＣＳＨＤの順序は「スカート」「シープスヘッド」を始めとする
ドイツ生まれのゲームによく見かけるのである。となるとこの問題の元もドイツ製と思われ。
384:１３２人目の素数さん
02/02/22 11:54
あげちゃおう
385:１３２人目の素数さん
02/02/24 23:04
高校・大学でやる難しい事知らんから他スレの話題に入れない、実は賢い人たちへ。
その力をここで見せてやってくれ。
１．(1)
1つの頂点に正n角形がm個集まってできる正多面体は多くとも5つしかないことを
証明せよ。
２．(1)
ある整数の約数をすべて足すと168、約数の逆数をすべて足すと2.8になる。
この整数はいくらか。
３．(1)
2^(n+1)+3^(2n-1)は7で割り切れることを証明せよ。ただし帰納法は用いないこと。
４．(3)
頂点が格子点となる正五角形は存在するか？ただし三角比は用いないこと。
（格子点：座標値が全て整数の点）
５．(3)
命題：空間内のn個の格子点間を結ぶ線分をすべて考える。このとき、これらの線分
の中点の少なくとも１つは格子点である。
この命題が常に真となるような自然数nの条件を求めよ。
６．(5)
(999999999999999999999999999999)^5 の各桁の数を全て足した数をa、
aの各桁の数を全て足した数をb、b各桁の数を全て足した数をcとする。cを求めよ。
７．(1)
2つの平方数の和で表される整数の集合をFとする。
a∈F,b∈F ⇒ a*b∈F を証明せよ。（a∈F ： aはFに含まれる）
８．(4)
次の関係を満足する有理数aを求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数。
(4/3)*{(1/a)-[1/a]} = a , 0<a<1
９．(4)
1次以上の任意の整数係数多項式f(x)について、f(1),f(2),f(3), ... の中には
素数でないものが存在することを証明せよ。
１０．(6)
数列1,3,9,27,81,243,729,...から異なるいくつかの数をとって足してできる
数を小さい順に並べてできる数列1,3,4,9,10,12,13,...を考える。
この数列の100項目の数を求めよ。
「計算力よりアタマの良さを必要とする良問。中学から大学以上まで、幅広い層で
考えられるものばかり」らしい。某書より抜粋。一応()は点数。
ちなみに俺は1,2,3,7しか解けんかった…。
386:１３２人目の索敵さん
02/02/25 01:07
>>385
思いついたやつだけ。
1.
一つの頂点には三つ以上の正多角形が集まり、集まった内角の和は
360°を超えない。したがって
三角形・・・3、4、5個
四角形・・・3個
五角形・・・3個
の五種類。
2.
約数の逆数の和は約数の和をもとの整数で割った値。
168/2.8=60。
3.
2^(n+1)+3^(2n-1)=4*2^(n-1)+3*9^(n-1)≡4*2^(n-1)+3*2^(n-1)≡0
(mod 7)
4.
5次元で存在。
5.
線分の両端の座標の成分を比較してすべての偶奇が一致すれば
その中点が格子点。したがって2＾3+1=9つあればよい。
6.
9999・・・99は30桁あり、これを5乗した数は150桁。この数の各桁の和a
はたかだか150*9=1350。同様にbは高々27。したがってc=9。
7.
a,b∈Fなのである整数p,q,r,sによりa=p^2+q^2、b=r^2+s^2とかける。
a*b=(pr+qs)^2+(ps-qr)^2と書けるのでa*b∈F
8.
パス(考えてます)
9.
f(0)=pとすると、f(np)はすべてpの倍数。fは定数関数でないのでいずれ
pの倍数が現れる。
10.
3^k以下の項数が2^kになるので100(十)=1100100(二)を用いて
1100100(三)=981(十)。
387:１３２人目の索敵さん
02/02/25 01:34
>>385
8.
(いい方法思いつかん・・・)無理やり分母払って二次方程式を解くと
a=(2/3)*(-[1/a]+√([1/a]^2+3))となって2/3の自然数倍。従って2/3。
388:hypo
02/02/25 01:45
>>386
>>387
すばらしい。ほぼ完璧だが、4.は２次元で考えてくれまいか？
あと8.はもっと簡単になる。
高校生か？敬服する。
389:１３２人目の索敵さん
02/02/25 01:48
>>388
高校生でなくてｽﾏｿ。高校生に教えてる塾講です。
390:hypo
02/02/25 01:52
>>389
あ…そうなんか。まぁいいけど。
さぞいい先生なんだろうな。頑張って稼いでくれたまえ！
391:１３２人目の索敵さん
02/02/25 02:03
>>385
4.
格子点間の距離は√(自然数)の形になるが、正五角形は、一辺の長さ
と対角線の長さの比が2：1+√5になるのでこのような頂点を格子点上に
取り得ない。従って二次元では不可能。
>>390
しがないバイト講師です。
392:１３２人目の素数さん
02/02/25 02:20
>385
386さんすごいですね。
８はａ＝ｓ／ｒ ｓ＜ｒ(整数)とおくと、
（４／３）＊（ｒをｓで割ったあまり）＝ｓ／ｒ
４ｒ（ｒをｓで割ったあまり）＝３ｓ＾２
ｒ、ｒをｓで割ったあまりはｓ＾２で割り切れないから、
４はｓ＾２でわりきれる。よってｓ＝１、２
ｓ＝１だと右辺が奇数になるからだめ。よって２しかない。
左辺の残りの因子は３より、ｒ＝３しかない。これは条件を満たす。
で初等的にできます。
393:１３２人目の素数さん
02/02/25 02:22
（ｒをｓで割ったあまり）→（ｒをｓで割ったあまり）／ｓ
394:１３２人目の索敵さん
02/02/25 02:28
4.は5次元でも不可能か・・・
391で言ったことがそのまま適用できるやん。
395:名無し ◆TLe2H2No
02/02/25 09:43
>>385
1,2,3,4,5,7,10できた
5.は「５つの頂点がすべて格子点上にあると仮定すると、各頂点を結んでできる
正５角形の頂点もまた格子点上にある。これは､正五角形が無限に小さくで
きることを意味する。よってあり得ない。」
ってな感じの証明法もあるよね。
8.むずい。>>392さんの解法に納得
396:hypo
02/02/25 12:53
>>386
>>392
>>394
>>395
みんな賢いなぁ。
4.は395、8.は392の解答が一番すっきりしてるね。
お疲れ様。これにて終了。
397:１３２人目の索敵さん
02/02/25 12:59
>>395
ちょっとダウト。
「各頂点を結んでできる正5角形の頂点もまた格子点上」のところ。
398:１３２人目の素数さん
02/02/25 13:59
五次元で考えたら
(1,0,0,0,0)
(0,1,0,0,0)
(0,0,1,0,0)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)
で正五角形になるのでは？
399:１３２人目の索敵さん
02/02/25 14:09
>>398
正五角形になるのではなくって、正5胞体の頂点になる(とおもう)。
だってその五つをベクトルと思ったら全部一次独立で、同一「平面」
にはないことになっちゃうでしょ。
実際対角線の長さと一辺の長さが一致してるし。
400:１３２人目の素数さん
02/02/25 16:05
>>385
4.はより一般化されたやつが、ヤホーで随分前に出てたぞ
確か内角がすべて等しい多角形で、すべての頂点が格子点上にあるのは
長方形だけたった記憶がある
証明は忘れた
401:１３２人目の素数さん
02/02/25 20:41
例えば正五角形ABCDE。条件満たしたとする。（何次元でも構わないよん）
んで2倍の大きさにしたのをFGHIJとする。
GJの中点をK。HIの中点をLとする。
K､Lも格子点。んでGKとHLは平行。だからGK/HLは有理数じゃなきゃいけない…のだけど。
402:hypo
02/02/25 20:44
>>398
>>399
非常に興味深い話ですね。正多胞体って何ぞや？
>>400
マジ？それも興味深い。
遅れたが、今日国立二次試験だったのだな。受験生のみんな
本当にお疲れ。俺は数年前に前期落ちて、同じとこ後期で受かった。
だからできなかった人も後期あきらめんと頑張ってくれよ。
403:400
02/02/25 23:52
>>400
自己レス
確か内角がすべて等しい多角形で、すべての頂点が格子点上にあるのは
「長方形だけ」じゃなくて「四角形と八角形だけ」の間違い
また、この問題は次の命題が真ならOK
「a が 0＜a＜1/2 となる有理数のとき tan(aπ) が有理数となるのは a＝1/4 のみ」
404:１３２人目の索敵さん
02/02/26 00:15
>>402
正多胞体ってのは・・・
2次元には正多角形が、3次元には正多面体があるように4次元にある
同様の性質を持ったモノ。4次元だと6種の正多胞体があるとか。
分かりやすいのが、正四面体五つの正5胞体とか、正六面体8つの
正8胞体とか。
405:hypo
02/02/26 09:54
>>404
ほ～なるほど。これは4次元空間のみに適用される名称？
一般にn次元でもOKなのだろうか。
406:１３２人目の素数さん
02/02/26 10:37
>>386
6の回答がよくわかりません。
「同様にbは高々27。したがってc=9。」
ていうのはどうして？誰か親切なかた教えてください。
407:１３２人目の素数さん
02/02/26 10:58
>>386
6.
bが高々27ならｃは10以下、どうやってc=9にするの？
408:１３２人目の索敵さん
02/02/26 12:10
>>406
「9の倍数の各桁の和は9の倍数」を無条件に使ってます。
cは18にはなりえないので9です。
409:１３２人目の素数さん
02/02/26 20:35
この問題を解けるかな？
↓問題
基地に同じ飛行機が３機ある。一機だけ地球を一周させたい。
しかし、どの飛行機も燃料満タンで、地球を半周しかできない。
基地に戻ると燃料があり、飛行機同士飛びながら給油が可能。
どうしたら一機を地球一周させることができるでしょうか。
ただし、三機とも墜落させることなく基地にもどしてください。
どう？わかる？ちなみに自分は１日中考えてもわからなかった。ｗ
410:１３２人目の素数さん？
02/02/26 20:39
>>400
その命題は真だね。
411:１３２人目の素数さん
02/02/26 20:42
>>409
2機(A,Bとする)で 1/4 周の手前までいく。3機目が
何往復もして A B に給油. 十分給油したら
A B ２機 で 1/4周超えたとこまでいき Aが満タンになるまで
Bから給油. B は基地に帰り Aがそこから 3/4周の所までいく。
Aがそこから戻るのも同様にして できる
ってのはだめ?
412:ワカメ
02/02/26 20:50
■問題
１２枚のコインがあります。その内１枚は偽のコイン。
外見などでは区別がつきません。
偽のコインは本物と比べて少し重さが違います。（重いか軽いかはわからない）
そこで、天秤を３回だけ使ってどのコインが偽者が見分けてください。
＞４１１さん
どんだけつめても半周しかできないです。
けど、おもしろい発想ですね。ｗ
答えは前の板で答えてくれました。
413:１３２人目の素数さん
02/02/26 20:58
>>412
>１２枚のコイン
数学板超ｶﾞｲｼｭﾂ問題の一つ
天秤野郎に死を
414:１３２人目の素数さん
02/02/26 21:08
>>411 飛行機は空中に止まっているときも燃料を消費するからダメかと
415:１３２人目の素数さん
02/02/26 21:47
>>414 ていうか飛行機は空中で静止できない。
416:１３２人目の素数さん
02/02/26 21:49
9 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/02/26 21:11
飛行機をA，B，Cとして，Aを１周させる
地球を１週させる燃料を１とする．また～地点というのは基地から地球１周分のどれだけの
距離が離れているかを示す．
まず，AとBとCを1/8まで飛ばし，1/8に達したらCからAとBに1/8の燃料を移す
で，Cは基地まで一度戻る．
AとBは2/8まで飛び，そこでBからAに燃料を1/8移す．
そしてBは基地まで戻る．
Aは6/8まで飛べるからそこまでいく．
また，BとCはその間にAと反対方向の1/6まで行き，そこでCからBに1/6の燃料を移す．
BはAと6/8地点で合い，燃料を分ける．
このときBは5/12持っているので，AとBは5/24ずつ持っていることになる．
また，一度Cは基地に戻り燃料を満タンにしてAと反対方向に向かい，1/24地点で出会う．
そこで燃料を３台でわけて，３台が11/72の燃料を持っていることになる．
残りの距離は1/24の為，３台が戻ってきて修了．と
しかし現実的には無理だろうな・・・
ワカメでてこいやぁぁぁっぁぁぁああああああああああああ！！！！！！！！！！
417:１３２人目の素数さん
02/02/26 21:51
1998の倍数のうち、各位の数が全て等しい最小の数を求めよ。
418:１３２人目の素数さん
02/02/26 23:03
1998=2*9*111
各位の数は2、4、6、8のいずれか。
2、4、8の場合、（9を因数に持つためには）9の倍数個並ばないといけない。
まず9個並ぶ場合を考えると
222222222=2*111*1001001
444444444=4*111*1001001
888888888=8*111*1001001
これらはいずれも（1001001が9で割り切れないので）1998の倍数でない。
6の場合、（9を因数に持つためには）3の倍数個並ばなければいけない。
666=6*111 明らかに不適
666666=6*111*1001 （1001は3で割り切れないから、全体として）9で割り切れないので不適
666666666=6*111*1001001 1001001は3で割り切れるので適
よって求める数は666666666
419:ワカメ
02/02/26 23:14
＞４１６
イヤ、別に自分が作った問題じゃないから？w
ワカメに当たられてもワカメ困っちゃ～う☆
420:１３２人目の素数さん
02/02/27 17:55
>>417-418
ひょっとして「0」ってのが答えとか言うなYO！（笑
421:１３２人目の素数さん
02/02/27 22:01
次のような自然数nの条件、求められます？
n次元空間の格子点上にn+1個の点A0～Anをとった時、
全てのi,j（0≦i＜j≦n）に対してAiとAjの距離が同じ正の数となるように出来る。
例えばn=2の時は3点とも格子点にあるような正三角形を作らなきゃいけないから不可能。
n=3の時は(0,0,0)(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)の4点をとればいいので条件を満たす
422: ◆s/Ve0CS2
02/02/27 22:13
>>420
「0」よりも小さいモノいくらでも作れるよ。
423: ◆s/Ve0CS2
02/02/27 22:39
実数nがn=-nを満たす確率をP(n)とする。
この時P(P(P(P(n))))の値を求めよ。
424:１３２人目の素数さん
02/02/28 11:24
>>423
n=0なら0
n≠0なら1
425:１３２人目の素数さん
02/03/12 21:21
捕手
426:１３２人目の素数さん
02/03/16 01:29
URLﾘﾝｸ(mathworld.pdox.net)
別のスレでも書いたことだが、この手の図形の作図っておもしろくない？？
一般的には無理だろうけど少しなら何とかなることがわかる。
ちなみに超面倒くさいので作図方法を頭の中で考えるだけでいいと思う。
427:１３２人目の素数さん
02/03/17 01:05
age
428:１３２人目の索敵さん
02/03/17 03:30
>>426
反転使えば楽なんじゃない？
429:１３２人目の素数さん
02/03/17 17:01
ハートの式
r=|2sin2φ・sin2θ+2cos2φ|,φ<1.2,z>|x-y|
430:１３２人目の素数さん
02/03/23 21:42
age
431:名無し ◆TLe2H2No
02/03/24 01:52
ひらめきを要する問題を一つ
「テーブルの上にタバコが六本あります。この６本がいずれも残りの５本と接するように
置けるでしょうか。また，４本と接する場合はどうでしょう。」
ひらめきっていうより試行錯誤で何とかなるかな？
432:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:13
＞４本
（￣￣￣￣￣￣￣◎ （￣￣￣￣￣￣￣◎◎
（￣￣￣￣￣￣￣◎ ◎ ←接続→ （￣￣￣￣￣￣￣◎
￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣
右の束が安定しないからダメか？
正四面体の辺なら安定するか？
433:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:16
ていうか左の束も安定しなさそう
434:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:31
>>431
４本は簡単だね。
３本で三角（△）を作り、残りの３本で上下逆の三角をつくり、二つの三角を重ねる。
５本の場合。
６本の辺に各５ヶ所の接点があり、各接点では２本が接している。
つまり６×５／２＝１５個の接点がある。
しかし、１５個の接点は６本で割れないので「いずれも残りの５本と接する」ことはできない。
よって、答は不可能。
あっているかどうか自信はない。
435:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:50
>>431
タバコってのがポイント。
紙巻なので破って・・・（以下略
436:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:53
>>432
気合で縦に積み上げれ（ｗ
437:１３２人目の素数さん
02/03/24 02:56
>>431
タバコってのがポイント。
湾曲するので・・・（以下略
438:１３２人目の素数さん
02/03/24 03:01
>>434
3重以上の接点が作れなくもないので・・・（以下略
439:１３２人目の素数さん
02/03/24 04:47
>>434
例えば6本の曲線では可能だけど？
440:１３２人目の素数さん
02/03/24 09:59
五本は、ぴったりと横並びに寝かせて置きます。五つ並んだフィルターに、側面を押し付ける様にして残り一本、そっと置きます。
441:１３２人目の素数さん
02/03/24 10:37
>>440
並べた５本は隣としか接してないよ。
端のタバコは２本としか接してない。
442:１３２人目の素数さん
02/03/24 14:35
>>431
テレビで見た。煙草じゃなくて鉛筆だったが。
443:１３２人目の素数さん
02/03/24 16:53
>>438
１点で３本以上が接するということですか？
>>439
それを教えて。
444:ゴンサク
02/03/26 23:50
>１２枚のコイン
１回目 ４枚ずつ天秤に乗せます。つまり４枚 ４枚
つり合った時＝残りの４枚が怪しいと判明
２回目 乗っている片方の４枚から１枚を取ります。
乗せていない４枚から１枚取り３枚をさっきの反対側と交換し、３枚 ３枚にします。
つり合った時＝まだ、乗っていない１枚が偽物と判明
傾いた時＝後から乗せた３枚が怪しいと判明 この時点で偽物が重いか軽いかわかります。
３回目 怪しい３枚の内２枚をそれぞれ１枚ずつ乗せて計ります。
つり合えば、残りの１枚が偽物、傾けば、さっきの段階で重い軽いがわかってるので、
どちらが偽物かわかります。
１回目で傾いた時
２回目＝乗っている片方の4枚から2枚を下ろします。もう片方の4枚から
1枚を取り片方の2枚の方に乗せて、3枚 3枚にします。
つり合った時 下ろした２枚が怪しいと判明
吊り合った時の３回目＝下ろした２枚の内１枚と本物の１枚をそれぞれ天秤に
吊り合えば、残りが偽物 傾けば、本物の反対側が偽物です。
２回目で傾きが変わらなかったとき＝２枚残した奴が怪しいと判明
後は、吊り合った時の３回目と一緒
傾きが変わった時＝移動した1枚が偽物
これで、わかるかな？
445:あちー
02/03/27 22:00
>>20 解
f(1)=2,f(2)=3 はすぐわかる。これを頭に帰納法で
f(3^k)=2*3^k f(2*3^k)=3^(k+1) (k=0,1,2,…)
を示せる（省略）。
fは狭義の増加関数なので
f(3^k) =2*3^k
f(3^k+3^k)=2*3^k+3^k より
f(3^k+j )=2*3^k+j (j=0,1,2,…,3^k)を得る。
この両辺にfを施して
3(3^k+j)=f(2*3^k+j)
1992=2*3^6+534 より
f(1992)=3(3^6+534)=3789
446:１３２人目の素数さん
02/04/09 19:33
■問題
１２枚のコインがあります。その内１枚は偽のコイン。
そして、てんびんが一つあります。
全部を足した数はいくつ？
447:１３２人目の素数さん
02/04/09 21:10
>>434
今更だが5本は
煙草3本で矢印を作る
それを二つ重ねて5個と接する
448:１３２人目の素数さん
02/04/09 21:11
>>446
全く意味がわからんす
449:１３２人目の素数さん
02/04/12 02:22
正の実数列A1,A2,A3…について
どのnに対してもΣ[k<n]Ak^2 < K*An^2となるKが存在する時、
どのnに対してもΣ[k<n]Ak < K'*AnとなるK'が存在する事を証明出来ますかな？
450:１３２人目の素数さん
02/04/12 13:35
>>449
できないと思います
451: ◆aeAEaeAE
02/04/12 15:16
理系のくだらない質問はここに書け５
ｽﾚﾘﾝｸ(rikei板)
からコピぺ。
741 Nanashi_et_al. 02/04/04 10:02
血液型に関して詳しい方教えて下さい。
ＸさんとＹさんの間に生まれた子供が血液型Ａ型で、
ＹさんとＺさんの間に生まれた子供が血液型Ｏ型だとします。
ＸさんとＺさんの間に生まれる子供は
Ａ型、Ｂ型、ＡＢ型、Ｏ型の４つのうち、
ありえるのはどの血液型ですか？
452:１３２人目の素数さん
02/04/12 15:19
じぇんぶ
453:１３２人目の素数さん
02/04/12 15:22
その仮定によると
XさんとZさんは同性なので子作りできない
454:１３２人目の素数さん
02/04/12 15:35
ｒｰ､
｣´￣｀ｌｰ) ＼
Ｔ¨Ｌ |_/⌒/ ← >453
｀レ￣｀ヽ〈
| i＿_1
_ゝ_／ ノ
Ｌ__jイ´_ ）
| ｲ
| ﾉ--､ ｒ'⌒ヽ_
ゝ､_＿_ﾉ二７ ／´￣l､＿,/}:＼
|ｰi | l_/ ／__ｨ::. ゝ~_ィ´:; ,ゝ
__〉 { (Ｔ´ |1:::. ＼_>､};;_｣
'ー‐┘ ! ｀￣''ｧ一 ､＼ ヽ｝ ← >452
〈｀￣￣＾｀￢ﾉ .::〔￣´
1 ヽ .:::レ ヽ、
|＿ｲｰ-､_;;j|_:. ゝ、
__,,,... -- |. ｛――‐ﾌゝ、 〉 -- ...,,,__
_,, -‐ ´ ,ｒ|__ﾄ, 1ﾆﾉ ー'´ ｀ ‐- ,,_
, ‐ ´ └―'´ ｀ ‐ ､
455:１３２人目の素数さん
02/04/12 16:06
>>452漏れもむこうでそう答えておっちょこちょいっていわれちゃったよ。
456:１３２人目の素数さん
02/04/12 17:08
男と女は非可換か。
457:１３２人目の素数さん
02/04/12 19:31
>>446
13か？偽のコインという情報にまどわされるな、
とでも諭したいのか？
458:１３２人目の素数さん
02/04/14 04:34
すーっごい今更だが>>86の問題，
>まず最初に1～nと書かれたカードが1枚ずつある。
>この時次の動作を繰り返す。
>
>・既にあるカードの中から適当に1枚選び、それと同じ数字が書かれた
>カードを追加する。
>
>このとき、1～ｎそれぞれ一回以上追加されるまでのカードの追加枚数の期待値は？
出題者がまだここにいるかどうかわからんけど，期待値は
Ｅ＝n(n-1)Σ[k=n～∞] { k(k-2)!(k-1)! }／{ (k-n)!(n+k-1)! }
とかでてきた．
確かにn=2のときは>>90でKARLさんが言ったΣ{2/(m+1)}に一致するが自信は全くない．発散するのは変わらんし．
・・・答えってどっかにでてないのかな？
459:１３２人目の素数さん
02/04/14 07:14
>>458
>>136の言うように全部の場合で発散しちゃいます。
n=2の場合で発散しちゃうんだからそれより期待値が大きい場合は発散する。
とりあえず思いつきで問題を出した86に死の制裁を
460:１３２人目の素数さん
02/04/18 01:57
あすか、かおり、さくら、たまき、ななみの５人姉妹がいます。
誰が誰の姉なのか妹なのか、ひとりひとりの年齢はいくつなのか、
を手がかりに基づいて推理してください。
ただし、５人の母親は同一人物で、早産したことはありません。
また、年齢は数えで表すことにします。
1.かおりはたまきの姉である。
2.さくらには同い年の妹がいる。
3.あすかはななみより年上で、かおりより年下である。
4.さくらとたまきの年齢差は、ななみと次女の年齢差に等しい。
5.あすかと五女の年齢差は、長女と三女よりも開いている。
6.四女と同い年の者はいない。
7.年齢差が２になるペアは、１通りしか作れない。
8.少なくとも２人は、はたちちょうどである。
9.ふたごが１組だけいる。
コピペなので、検索すればすぐに答えは見つかるけどね。