10/03/24 09:03:07 S9liy+iS0
>>944
さて命題は真偽がはっきりと定まる式や文，だった．
論理式の真偽ということを考えると，たとえば自然数では
「0=0」というのは常に真だし「0=1」は常に偽で，
これらはまぎれもなく命題と言える．
しかし「x=0」はどうかというと，
これはxの値によって真偽が変わってしまうように見える．
問題はこの論理式が自由変数xを含んでいることで，
これを束縛する為に「∀x(x=0)」としてやると，真偽ははっきりする．
つまりこれは「全てのxについてx=0」ということであり，偽．
より一般に自由変数を含まない論理式は真偽が定まり，
これによって命題の定義としては
"自由変数を含まない論理式"
を取ることになる．
では教科書で命題として書かれていた
「X^2=1 -> x=1」のような場合はどうするのか．
この論理式ではxが自由変数であって，
x=1ならば真，x=-1ならば偽と真偽が分かれてしまうのだけれども，
これを命題と言う場合，つまり真偽が定まっていると考えたいときには，
自由変数を全て「∀」で束縛する．すなわち，
「∀x(X^2=1 -> x=1)」が書かれているものと考える事になる．
これは基本的に便宜的なものであるけれども，
形式論理で一般に通用している事だし直感にもそれほど反しないので
高校の教科書でも暗に使われているのだろう．
まとめは次レス
950:大学への名無しさん
10/03/24 09:04:46 f8c41ZEk0
>>943 リンクされてる「参考図」を見た?
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑、これらのなす角をαとする。
a↑は固定されてるベクトル(参考図の赤)
p↑は終点が単位円上を動くベクトル(参考図の青)
長さはそれぞれ5,1で固定だから
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosα=5cosαで、cosαの最大最小を与えるαがそのまま
内積の最大最小を決める
cosなんだからなるべくなす角が小さいときに最大で、図から(同方向は向けないので)
0のとき最大、180°はとることができて逆向きのときが最小、
このときp↑は-a↑の向きになるからtanθ=-3/4のときということ。
951:大学への名無しさん
10/03/24 09:14:36 S9liy+iS0
>>944
まとめとして，高校の範囲で命題といって自由変数を含む表現が出てきたら，
ひとつひとつの自由変数?について「すべての?について」が枕詞として
付いているものと考えて良い．
補足
では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない．
形式論理の導入部にはいろいろな流儀があるので，
ちゃんとした本を読むと細かいところが異なって見える場合があると思う．
本質的には同じものができあがることにはなるのだけれど．
952:大学への名無しさん
10/03/24 12:44:50 tRH2PYlg0
>>939
10/3
6
かな
953:大学への名無しさん
10/03/24 13:51:01 drQupDwtP
>>950
なるほど、すっきりしました。ありがとうございます。
後、些細な疑問なんですがなぜ(-3,4)=a↑,(sinθ,cosθ）=p↑ではなく、
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑になるんでしょうか
元の式の形からすると前者になると思うんですが
954:大学への名無しさん
10/03/24 14:08:42 tRH2PYlg0
>>953
もとの式を4cos-3sinととらえればいいんじゃない。
足し算は入れ替えても式が成立する。
950のように捉えたほうがx座標をcosにしてるから分かりやすいと思うよ。
sinをxに捉えると逆関数になってわかりにくい気がする。
x=cos y=sin と考えたほうが三角関数ではわかりやすい。
955:大学への名無しさん
10/03/24 14:40:02 GjbGbb1f0
逆関数？？
956:大学への名無しさん
10/03/24 15:00:59 drQupDwtP
>>954
あーなるほど！完璧に理解できました。
ありがとうございます。
957:大学への名無しさん
10/03/24 15:23:23 tRH2PYlg0
>>955
パラメーターが入れ替わってるから（cosがsinに、sinがcosに）
y=xで対称な逆関数かと思ったんだけど・・・
オレは逆関数を勘違いしてるのかな？
結局、cos、sinで円だからy=xで対称な図形も円になるけど。
958:大学への名無しさん
10/03/24 16:05:28 5hSnOgGYi
何が何の関数と考えたんですか？
959:大学への名無しさん
10/03/24 17:09:10 8xrJy1CS0
数学的帰納法って実際に証明で使ってる部分は演繹法だよね？
960:大学への名無しさん
10/03/24 17:21:48 Cg5o2Du40
>>946
＞君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
＞この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
＞これは式の形の話とは別のものということ．
＞当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
＞この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
＞その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だということは、
（pが「x=0」、かつqが「x=1」）ならば「￢p⇔￢p∨q」、ということですよね。
これは、p,qにＦのどの元を代入しても常に真ですよ？
前件が偽となるＦの元を代入したとき、条件全体は真ですから。
961:大学への名無しさん
10/03/24 17:22:55 Cg5o2Du40
>>947
＞「p->q」という形の条件については無視されている
>>951
＞では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
＞これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない
高校数学においては、p,qが（論理記号を含まない）条件のとき、
「p→q」や「p⇔q」は∀で束縛された命題とされ、
「p∧q」や「p∨q」などは自由変数を含む条件であり、
あいまいさはないのではないでしょうか？
そして、「p→q」と「￢p∨q 」は、前者は命題、後者は条件とされるので、
この両者は同値でないのではないかというのが、当初の疑問です。
実は昔、なぜ前者だけ全称閉方したものとみなされるのかが疑問で、
大数の坪田さんに手紙で質問したら、要は定義だということで、
論理学と数学との違いだと解釈したのですが、どう思われますか？
962:大学への名無しさん
10/03/24 17:47:24 BubwC2b20
>>958
わいがえっくす
963:大学への名無しさん
10/03/24 18:17:55 wtb5aRwI0
>>962
確かに
y=(1-x^2)^(1/2) (-1=<x<=1)
と考えて、yはxの関数だけど
この全体についての逆関数は定義できないんじゃない？
少なくとも高校レベルでは
964:大学への名無しさん
10/03/24 18:36:33 BubwC2b20
>>963
そうなんすか・・・
y=±√1-x^2で符号で分けて定義すればいいってこと？
965:大学への名無しさん
10/03/24 19:07:19 215gsf7Ei
>>964
おまいさんは
y=x^2
の逆関数を求めよ
と言われたら、どんな解答をするんだい？
966:大学への名無しさん
10/03/24 19:10:07 Zxvu7mmo0
何故階差数列は
a(n)=a(1)+Σ_[k=1,n-1]b(k)
で求められるのですか？
967:大学への名無しさん
10/03/24 19:51:28 E2Xo02tv0
a(n)=a(n-1)+b(n-1)
a(n-1)=a(n-2)+b(n-2)
：
a(2)=a(1)+b(1)
を辺々たす
968:大学への名無しさん
10/03/24 20:25:59 j9Qhebwv0
>>966
日本語でおｋ
969:大学への名無しさん
10/03/24 20:41:44 BubwC2b20
>>965
x>0 y>0でx,yを入れ替えて
y=√x
x<0 y>0でx,yを入れ替えて(y<0 x>0)
y=-√x