10/03/09 10:33:26 NptZl8g/0
すみません>>799の者ですが、 ３行目の定数は整数の間違えでした。
801:大学への名無しさん
10/03/09 11:01:09 2yx3T8QK0
>>799
条件の不等式は＜や＞なんだろ？４つにならないんじゃ？
802:大学への名無しさん
10/03/09 12:49:12 NptZl8g/0
>>801
ありがとうございます。よく考えたら４つになりませんでした
803:質問
10/03/10 15:28:40 nEDi2BnI0
３個のさいころを同時に投げる。出た目の積が４で割り切れる事象をＡとする。
１．事象Ａが起こる確率を求めよ。
答え
Ａバーを考えて、そこから１を引けば良いので、
(1)３個とも奇数の目→ 3/6の3乗＝1/8
(2)３個中２個は奇数の目、残り１個は２、６の目→ 3C2(3/6)の2乗×(2/6)の1乗＝1/4
以上より、1-(1/8＋1/4)＝5/8が答え
(2)の、残り１個は２、６と書いてありますが、
４を入れると割り切れてしまうから４は省いたのでしょうか？
804:大学への名無しさん
10/03/10 15:32:07 xLje/OwJ0
そう
805:大学への名無しさん
10/03/10 18:16:54 nEDi2BnI0
>>804
独学なので不安でしたので・・・。
ありがとうございます。
806:質問
10/03/10 19:49:16 nEDi2BnI0
Ｘ2乗＋2Ｘ3乗＋Ｘ2乗＋4Ｘ＋4=0 （全て積ではなくエックスです）
Ｘの一次式を求めよ。
Ｘを求めたい時は両辺をＸ2乗で割って、なんやかんやしてtに置き換えて・・・
って流れは理解できたのですが、
初めの 両辺をＸ2乗で割るって行為は
右辺の０に対してそんな事をしてもなぜ大丈夫なのでしょうか？
左辺はＸ2乗できっちり割れるから良いけど、右辺のＸ2乗で０を割るってなると・・・。
今までの問題は、暗記してしまっている点もあって疑問には思わなかったのですが、
ふと疑問に思ってしまって。
807:大学への名無しさん
10/03/10 19:52:27 rPhqaPlei
問題の意味が不明です
808:大学への名無しさん
10/03/10 20:19:34 R5frNh7k0
>>806
相反方程式でググレカス。
そもそもまず大前提としてx≠0を確認してからx^2で割るんだろ？
何も理解せず手段だけ覚えるからそうなる。
809:大学への名無しさん
10/03/12 18:07:24 pHnIsXYH0
ｘ＞０ ｙ＞０ ｘ＋ｙ=1 の時、1/x＋4/yの最小値を求めよ。
1/x＋4/y=(1/x＋4/y)・(x＋y)
=y/x＋4x/y＋5
ここから相加相乗を使い、＋5をすれば最小値がでる。
なぜ一番初めにｘ＋ｙ(=1)を1/x＋4/yの式にかけてから相加相乗を使うのでしょうか？
810:大学への名無しさん
10/03/12 18:12:35 Bidw+y/XP
>>809
そうすれば相加相乗が使えるから
811:大学への名無しさん
10/03/12 18:14:25 oId6cBm80
y/xとx/yの形が出来るから
812:大学への名無しさん
10/03/12 18:52:09 pHnIsXYH0
>>810 >>811 ありがとうございます。
x＞0 y＞0の時にx＋y=√xyが使えますが、
>>809の問題の1/xと4/yからいきなり相加相乗の式は使えないのでしょうか？
なぜy/xとx/yの式に直す必要があるのですか？
813:大学への名無しさん
10/03/12 18:59:34 lrt4yBi40
>>812
やろうとしてみれば何かわかるんじゃないか？
814:大学への名無しさん
10/03/12 18:59:54 9CU9fp8m0
1/xと4/yについて相加相乗平均の関係を用いると
1/x + 4/y ≧ 2√(4/xy)
となり、xyの最小値は限定することができない。
なので、相加相乗の関係を用いるためには
普通、掛け合わせると√の中の文字が消えたり、根号がはずせる二つの正の数で用いる。
815:大学への名無しさん
10/03/12 19:01:23 pHnIsXYH0
>>813
そのまま直接代入して間違えたのはよいのですが、
なぜそこでy/xとx/yを作ったのか理由が知りたいのです・・・。
816:大学への名無しさん
10/03/12 20:25:52 jditG7NKP
そうか相乗を使ったら定数になる形に変形するため
817:大学への名無しさん
10/03/12 20:34:08 oId6cBm80
"A+1/A"という形で相加相乗を使うとうまくAが消えて定数で抑えられる
っていう定石があるので、この形を目指してx+y=1を分子分母に乗じただけ
別に微分とかが使えるなら
1/x+4/(1-x)のグラフを書くイメージで微分するとか
遠回りだけど2√(4/x(1-x))の最小値を求めて等号成立条件が重なることを確認するとか
やり方は沢山ある。
818:大学への名無しさん
10/03/12 22:50:25 pHnIsXYH0
>>816 >>817
√の中身の分数の分子にxとy 分母にもxとyがある事によって
同士で打ち消しあってくれて定数がでるという事ですね！
納得できました～ ありがとうございます！
819:大学への名無しさん
10/03/13 11:13:30 N1kgAowj0
>>815
> そのまま直接代入して間違えたのはよいのですが、
なぜ出来なかったのかを考えたら、
>>818
> 打ち消しあってくれて定数がでる
こうなっていないからだと気づくと思ったんだけど。
820:大学への名無しさん
10/03/13 18:17:40 EJlRvPY30
「8^44について、最高位の数字を求めよ。
ただし,log_{10}(2)=0.3010 log_{10}(3)=0.4771とする。」
という問題なのですが、8^44が40桁の整数であると求めた後、
8^44の最高位の数字をaとすると a*10^39≦8^44≦(a+1)*10^39
となる理由が分かりません！どなたか教えてください
821:大学への名無しさん
10/03/13 18:20:51 3x3GZIVl0
325は3桁の数で最高位の数を3とすると
3*10^2≦325≦4*10^2
これと同じことだよ
822:大学への名無しさん
10/03/13 18:24:04 EJlRvPY30
>>821
納得できました！！
ありがとうございます
823:大学への名無しさん
10/03/14 17:13:47 xNrz/9kq0
数列の質問なのですが、（nと-1と１は小文字？です。）
Bn=Tn-Tn-1は、Tn-1があるから、このBnはn≧2でしか定義できない。
どうしてn≧1ではないのでしょうか？
824:大学への名無しさん
10/03/14 17:26:57 nBkVcVMq0
>>823
T[1]までしか無いんじゃないの、そこが書いて無いから判断しようがない。
825:大学への名無しさん
10/03/16 20:27:33 bGPrD1yl0
今日の新聞に載ってた神戸大の後期の代ゼミの解答速報についてなんですが
5 立方体 ABCDEFGHの各頂点に白または赤を塗る。ただし立方体の面を構成する六つの正方形それぞれについてその四つの頂点を全て同じ色で塗ってはならないとする。
（1）赤で塗られる頂点の個数が二個の時、塗り方は何通りあるか。
（2）赤で塗られる頂点の個数が三個の時、塗り方は何通りあるか。
（3）・・・
（4）・・・
代ゼミ解答
（1）赤で塗られる頂点が対角線上にあるときより4とおり。
（2）赤で塗られる3つの頂点のうち、2つが対角線上にあり、残り1点は、他の6つの頂点から一つを選べばよい。
4×6＝24とおり
となってます・・が
（2）について、
解答の他に、立方体の面の対角線を結ぶように3点を取っても条件を満たすと思うのですが。。。
その場合は立方体の角の個数より、8とおりあると思います。
24＋8＝32とおり
になると思います。
どうでしょうか？
826:大学への名無しさん
10/03/16 20:45:06 Z58dyZ4M0
なるとおもいます
827:大学への名無しさん
10/03/17 02:25:26 SKS0lD1z0
代ゼミやっちまったなー
828:大学への名無しさん
10/03/17 14:41:50 zUyTrn0r0
aを実数の定数とし、xの2次関数
y=(1/4)x^2 +(a/2)x +(3/4)a^2 -2a -2/5
の表す放物線を C とする。C は x軸と異なる2点 P、Q で交わっている
点Pの座標を ( p , 0 ) 、点Qの座標を ( q , 0 ) とするとき
p<1<q となるような a の値の範囲と、-2<p<1<q となるような a の値の範囲を求めよ
という問題の道筋がよく分かりません
グラフを描いてその条件から式を立てていけばいいのでしょうか・・・？
ヒントを頂きたいです、よろしくお願いします
829:大学への名無しさん
10/03/17 15:03:04 eJgVlaK40
>>828
グラフを描いてその条件から式を立てればいい
と思うよ。
y= の右辺 = f(x) とおいてやると
f(1)=･･･
f(-2)=･･･
など。
当然、f(p)=f(q)=0
830:828
10/03/17 15:50:08 IER+PnzR0
>>829
例として f(x) にどんな数字を当てはめていけばいいのかよく分からないんです
p<1<q の場合、p=0 と p=-1 ではどうも違ってくるような気がして・・・
831:大学への名無しさん
10/03/17 16:11:19 eJgVlaK40
>>830
いまいち質問の意味が不明だが、
二次の係数が正だから、二次関数のグラフは下に凸。
ってことは、
p<x<q ではf(x)<0、x<pではf(x)>0
になるよね？
832:大学への名無しさん
10/03/17 16:15:10 xG905tY+0
f(p)=f(q)=0
とか
p=0 と p=-1
とか全く関係ない
二次関数をかけば一発でわかるが
f(1)<0 ⇔ x<1 の範囲と x>1 の範囲に一つずつ f(x) = 0 となる x が存在
今はたまたま x<1 の範囲の解を p とかで表してるだけ
もう一つも -2<x<1 と 1<x の範囲でx軸と交わるように二次関数を書けば条件は自然と見える
833:大学への名無しさん
10/03/17 16:22:42 WCqvaMkr0
東大の問題の一部です。
ｘｙ平面上の曲線 ｙ＝sinxにそって左から右へ進む動点Pがある。
Pの速さが一定V（V＞０）である時。 Pの速度をベクトルをｖ・・・
解説では ｌｖｌ=V（一定）より、ｖ＝（Vcosθ、Vsinθ）とおけるとありますが、
それがどうしてもわかりません。 Pの速度ベクトルの方向がどうして
そうなるとか教えてください。 お願いします。
834:大学への名無しさん
10/03/17 16:49:42 hgaEKlqn0
速度ベクトル↑v=(a,b)の大きさ|↑v|は、√(a^2+b^2)
これがVにひとしく一定なので、√(a^2+b^2)=V
つまり、a^2+b^2=V^2
つまり、(a/V)^2+(b/V)^2=1
よって、a/V=cos(θ(t)), b/V=sin(θ(t)) とおける。
つまり、a=Vcos(θ(t)), b=Vsin(θ(t)) とおける。
835:大学への名無しさん
10/03/17 17:02:08 WCqvaMkr0
>>834
よーくわかりました。 本当に助かりました。 ありがとうございます。
836:大学への名無しさん
10/03/17 17:34:49 j7V7wAuB0
>>831-832
なるほど、最初の条件だったら f(1)<0 だけで大丈夫でした
次の条件では f(-2) で作ればOKそうです
どうも有難うございました！！
837:大学への名無しさん
10/03/18 01:01:07 UXak2R/W0
「毎年度初めにa円ずつ積み立てると、n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利率をr,１年ごとの複利で計算せよ。」
解説には、「各年度初めの元金は、１年ごとに利息がついて(1+r）倍となる。
そこで、第1年度初めのa円は第n年度末にはa（1+r)^n円、
第2年度初めのa円は第n年度末にはa(1+r)^(n-1)円……となる。」
と書いてあったのですが、どうしても分かりません。
お願いします。教えてください。
838:大学への名無しさん
10/03/18 01:19:02 VG/bz9rX0
>>837
利息、複利ってなんだかわかってるか?
それがわかってるとしたら、利率1％の複利で１万円を丸10年預けたら
(積み立てではない)
1年、2年、…10年後の元利合計がいくらになる?
これもわかったとしたら、毎年1万円ずつの積み立てで10年を考えれ。
最初に預けた1万円は10年間預けたことになる。
1年経過時に預けた1万円は9年間預けたことになる。
これもわかったら、最後に積み立て額をa円、利率をrと一般化すれ。
839:大学への名無しさん
10/03/18 01:39:05 UXak2R/W0
>>838 どうして利息が(1+r）倍になるんですか？
840:大学への名無しさん
10/03/18 02:05:27 ErrbvdMA0
まず解説の日本語を落ち着いて読め
841:大学への名無しさん
10/03/18 02:11:42 VG/bz9rX0
>>839
複利と元利合計とか言葉の意味がわかってないだろ。
預金では例外なく「元金に対して利息がどのくらいの割合で付くか」を%で表示する。
年利1%だったら元金の1%が利息として付く。利息と元金を合わせたのが元利合計。
長く預けると、利息として付いた金にも利息が付くのが複利。
では、1万円を利率1%の複利で預けたら、
(1)1年後の利息
(2)1年後の元利合計
(3)2年後の元利合計
はそれぞれいくらになるのか。
842:大学への名無しさん
10/03/18 09:43:24 fcWiJwLr0
お邪魔します。
添削をお願いいたします。
・赤チャ１＋A p.70 練習78 (1)より
aは定数とする。次の連立方程式を解け。
{3x-y=4, ax-2y=8}
方程式を順に①、②とし、①*2-②より
6x-ax=0
x(6-a)=0
よって x=0 または 6-a=0
[1]x=0のとき
①より
y=-4
[2]6-a=0 すなわち a=6 のとき
②より
3x-y=4
これは①と同じ。
よってx=t(tは実数)とすると、y=3t-4
よろしくお願いします。
843:大学への名無しさん
10/03/18 11:06:08 bkxylj6R0
そこで解答を終えると「x=0のときとa=6のとき」で解を場合分けしているように見えるけれども
問題文でaは定数だと指定されてるのだから定数aの値によって解が異なるということを明確に書けばより良くなると思った。
自分なら同値変形使って次のように書く。
①かつ②
⇔①かつx(6-a)=0
⇔①かつ(x=0またはa=6)
⇔(x,y)=(0,-4)または(①かつa=6)
従って連立方程式の解は
a≠6のとき(x,y)=(0,-4)
a=6のとき(x,y)=(t,3t-4) (t:任意の実数)
844:大学への名無しさん
10/03/18 11:07:55 tv4CkodK0
>>842
赤ちゃの解答もってないんか？
845:大学への名無しさん
10/03/18 11:28:04 Ir5ottAO0
>>842
理系だったら文字を含む二元一次連立方程式は行列で解くのが普通
ていうか多分これから何らかの機会にそう指導されるはず。
1]-6+a=0のとき i.e.a=6のとき
行列([3,-1][a.-2])が逆行列を持たないので
(x.y)=(t.3t-4) (t∈R)
2]-6+a≠0のとき
行列([3,-1][a.-2])の逆行列を左から掛けて
(x.y)=(0.-4)
文系だったら同値性が崩れない限り好きに解いていいかと。
846:大学への名無しさん
10/03/18 12:03:20 fcWiJwLr0
>>843-845
ﾚｽありがとうございます。
>>844
付属の解答持っています。
しかしその解答では場合分けが
[1]a≠6
[2]a＝6
とされており、>>843さんが触れられているように、僕の解答の
[1]x＝0
[2]a＝6
では駄目なのか（試験で減点対象になるか）と
疑問だったので質問させていただきました。
やはり満点は難しいでしょうか？
>>843同値変形や >>845行列を使用しての解答は今まだ理解出来ないので、
ﾁｬｰﾄ２周目時参照用に保存させていただきます。
ありがとうございました。
847:大学への名無しさん
10/03/18 12:13:50 bkxylj6R0
>>846
減点されるか許容されるかは採点基準次第。
定数の値で正しく場合分けして損は無いし、そうすることを勧める。
848:大学への名無しさん
10/03/18 12:15:29 fcWiJwLr0
>>847
わかりました。
ありがとうございました。
849:大学への名無しさん
10/03/18 14:01:56 UXak2R/W0
>>841
(1)100円
(2)10100円
(3)10101円 ですか？
850:質問
10/03/18 17:53:24 ogCP1EG90
問題:y=e^xと、この接線のうち(2,-2)を通るもの、及びx軸y軸で囲まれる面積を求めよ
解答:
接点の座標を(p,e^p)とする
接線の式はy=e^p(x-p)+e^pであり
これが(2,-2)を通るので
-2=e^p(2-p)+e^p
ここまで考えたのですが
このあとp=にうまく変形出来ずに困っています
根本的に解法がおかしいのかと思い、y=e^xをx軸方向に-2移動して考えてみましたがどうもうまくいかず…
おそらく初歩的なミスがあるのだと思いますがよくわかりません
よろしくお願いします
851:大学への名無しさん
10/03/18 17:57:15 rl5KL1jo0
点O を中心とする 半径1 の 円S に内接する 三角形ABC において
AB=AC、cosBAC= 3/5 とする
OA と BC の交点を D とするとき OD の長さと sinOBC を求めよ
という問題で、AB と BD の長さまでは出せたからあとは AD を出せれば半径を引くことで OD を出せると思っているのですが
その AD の長さが導き出せず困っています
ヒントを頂きたいです
852:大学への名無しさん
10/03/18 18:34:23 J/43emyU0
円周角&cosだけで直接ODでるんじゃない
853:851
10/03/18 18:37:35 YAd6+2lt0
>>852
よければ詳しく教えていただけないでしょうか？
854:大学への名無しさん
10/03/18 18:39:58 J/43emyU0
ADは垂直二等分線なんじゃよ
855:851
10/03/18 19:19:08 rkrFTgnS0
>>854
それでBDを出したんですけど、そんなことせずにそのままODが出せるってことですよね・・・？
まったく気付かないです申し訳ない
856:大学への名無しさん
10/03/18 19:39:36 J/43emyU0
∠BOD = (1/2)∠BOC = ∠BAC
使った
857:大学への名無しさん
10/03/18 19:54:31 TPpPTWoki
>>850
取り敢えず、p使って面積出してみたら？
858:大学への名無しさん
10/03/18 19:58:59 zLocCztti
実は使えなかったりしてw
859:大学への名無しさん
10/03/18 21:09:12 VG/bz9rX0
>>849
それでOK。ってことは、最初に預けた分については、元利合計は1年で1.01^1倍、
2年で1.01^2倍になってるわけでしょ。10年だったら1.01^10倍。
積み立てだと毎年一定額を加算することになる。1年経過して預けた金は満期までに
9年経過するから、この分は最初に預けてから10年目の満期時には1.01＾9倍になる。
2年目に預けた金は1.01^8倍、以下同様に9年目まで。
じゃあ全体での元利合計は、(1回に預ける金額)*（1.01＾10 + 1.01＾9 + … + 1.01^1） って
額になるじゃん。あとはここで利率を1%としているのをrとして一般化すればいい。
860:大学への名無しさん
10/03/18 21:10:23 VG/bz9rX0
>>859 >>849を見直してみたら(3)が間違ってた。
10100円が1.01倍になるんだから 当然10201円。
861:大学への名無しさん
10/03/18 21:34:03 UXak2R/W0
>>860 10100＊0,01じゃないんですか？
862:大学への名無しさん
10/03/18 21:38:27 VG/bz9rX0
>>861
最初10100円あって、それに10100*.0.01の利息が付くんだよ。
合計でいくらになるのさ。そしてそれは、掛け算1回で計算するにはどうするのよ。
863:大学への名無しさん
10/03/18 21:39:25 VG/bz9rX0
>>862 勢いで「最初」と描いたが、
「2年目の利息を計算する元になる金が(1年目終了時点での元利合計で)」ってことね。
864:大学への名無しさん
10/03/18 21:44:43 UXak2R/W0
>>863 やっと分かりました！
お付き合いいただきありがとうございます。
865:大学への名無しさん
10/03/18 22:20:35 4hj6GY0i0
>>856
やっと気がつきました！！
どうも有り難うございます！！
866:850
10/03/18 22:27:40 OmL83c/30
>>857
(1/2)e^p-1となりました
(2,-2)を通る条件の使いどころがわかりません
接線の式に代入しても2=e^p(p-3)となるだけですし…この式からp求めるんでしょうか
orz
867:大学への名無しさん
10/03/18 23:43:02 gEluIQkm0
1 と書かれたカードが 3枚、2と書かれたカードが 2枚、3と書かれたカードが 1枚の合計 6枚から
3枚取り出す通りは重複組み合わせと考えていいんでしょうか？
3H3 = 3+3-1C3 = 10
で合っていますでしょうか・・・？
868:大学への名無しさん
10/03/19 00:01:33 uAFmcWxgi
>>866
俺も計算したらそうなったわw
同じ計算ミスが無いなら
それを満たすpを用いてそう書ける
ってことでいいんじゃない？
気持ち悪いけど
869:大学への名無しさん
10/03/19 10:06:58 YAAOloAC0
一応そのpが 3<p<5 の範囲で唯一定まるとか書いておくともう少しいいのかも
870:大学への名無しさん
10/03/19 10:44:46 3KLwfqlC0
ご質問します。
2xy-2y-5x=0
などの式はxyについて2次の項を含んでいるので、
2元2次方程式と言えますか？
それとも2次方程式と呼びたい場合は、
あくまで１つの文字について2次である項を含んでいる必要があるのでしょうか。
ご教授よろしくお願いいたします。
871:大学への名無しさん
10/03/19 12:08:17 YAAOloAC0
普通はxyを２次の項として扱う。
が、そうじゃないこともあるというか、呼び方なんてその場の定義次第なので、
その式の書いてある前後の文脈から判断してくださいとしか言えない。
872:大学への名無しさん
10/03/19 13:59:10 2xtTtMpW0
実数を定義域とする、2回微分可能な関数g(x)が、任意の実数xに対して、
g'(x)＞g''(x)
g(x)＞0
をみたすとき、
g(x)＞g'(x)＞0
が成り立つことを示せ。
どこかの大学入試問題なんですけど、難しくてよくわからないです。
教えてください。
873:大学への名無しさん
10/03/19 17:55:40 JXnTHpiG0
問題をスキャンしてjpgでうｐしちゃやっぱり駄目かな？
874:大学への名無しさん
10/03/20 07:25:19 O7TpGghp0
>>872
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
やってみたものの高校数学の範囲に落とし込むことができなかった
どこの入試問題ですか
875:大学への名無しさん
10/03/20 07:25:33 diXrQYNl0
ご質問します。
【問題】
1/L+1/m+1/n=1 L<=m<=n
を満たす自然数の組をすべて求めよ
【模範解答】
0<L<=m<=n であるから 1/L>=1/m>=1/n ―①
よって、1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L ―②
したがって1<=3/L
ゆえにL<=3
Lは自然数であるから、L=1, 2, 3
【質問内容】
模範解答がこのように続くのですが、①→②が感覚的にしか理解できません。
数学的な式展開を教えてくださいませんでしょうか？
よろしくお願いいたします
876:大学への名無しさん
10/03/20 07:40:08 O7TpGghp0
>>875
(1)からでてくる3本の式
1/L = 1/L
1/L >= 1/m
1/L >= 1/n
を両辺全部足しているだけのことです
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
(1)->(2)が同値変形ではないことに注意するとわかりやすいかも
877:大学への名無しさん
10/03/20 07:41:06 O7TpGghp0
あ、
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
ではなくて
3 ・ 1/L >= 1/L + 1/m + 1/n
ですね。もちろん。失礼しました
878:大学への名無しさん
10/03/20 07:46:45 Sm2aVtZTi
1/L<=1/L
1/m<=1/L
1/n<=1/L
全部足すと
1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L
879:大学への名無しさん
10/03/20 08:21:46 O7TpGghp0
>>872
>>874
見直したら酷い間違いがあったので直しました
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
880:大学への名無しさん
10/03/20 08:28:40 O7TpGghp0
度々恥ずかしいですが2枚目の"正数α"を"非負数α"に訂正
881:大学への名無しさん
10/03/20 17:26:50 diXrQYNl0
>>876-878
なるほど。同値変形ではないんですね。
このような細かい部分でわからないことが度々あるので苦労します。
ありがとうございました！
882:大学への名無しさん
10/03/20 18:06:31 lxcnIikR0
質問させてください。
１/3－√5 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、次の値を求めよ。
という問題なんですが、
まず、分母を有理化して 3＋√5/4
次に 2<√5<3 だから5/4<3＋√5/4<3/2
したがて、整数部分は 1 だから a＝1
ってなってるんですが、何故整数部分が 1 になるのかがわかりません。
2<√5<3 となるから、整数部分は 2 じゃないんですか？
そして 1 はどこから出てきたのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。
883:大学への名無しさん
10/03/20 18:15:00 0p4chNCC0
2<√5<3 となるから、√5の整数部分は2です。
884:大学への名無しさん
10/03/20 18:53:10 0gTwmmjI0
>>867を教えて頂きたいです
885:大学への名無しさん
10/03/20 19:00:12 L0Y3ivjT0
1-1-1
1-1-2
1-1-3
1-2-2
1-2-3
2-2-3
886:大学への名無しさん
10/03/20 19:02:29 F2YOqRk20
>>882
> 5/4<3＋√5/4<3/2
この式の5/4と3/2を小数で書いてみればわかる。
887:大学への名無しさん
10/03/20 19:04:15 F2YOqRk20
>>867
重複組合せの意味が分かってないだろ。
その条件で、3と書かれたカードを3枚取り出すことは可能か？
888:大学への名無しさん
10/03/20 20:53:21 GP9a/oKl0
>>885>>887
有難うございます
確かにその通りでした
こういう場合書き出していくしかないのでしょうか？
考え方がよく分からないんです
889:大学への名無しさん
10/03/20 21:55:28 lxcnIikR0
>>886
ありがとうございます！！
ただ、もし
○<□<△ の式で、 ○＝1.何チャラ、△＝２.何チャラ だった場合、□の整数部分は 1 も 2 も有り得るわけですよね？
その場合はどうやって□の整数部分を判断すれば良いですか？
890:大学への名無しさん
10/03/20 22:06:05 oP61cT4S0
>>888
母関数使ってできるとき「も」あるけど、牛刀はなはだしい。
ごちゃごちゃ考えずに、手動かすのが咲き
891:大学への名無しさん
10/03/21 00:13:02 gX0G71w50
>>889
そうならないように頑張る。
たとえば2<√5<3じゃうまくいかないなら2.2<√5<2.3を使うとか。
892:大学への名無しさん
10/03/21 00:20:57 QixXOkTs0
>>868>>869
ありがとうございました
参考にさせてもらいます^^
893:大学への名無しさん
10/03/21 16:17:58 PawSe8Np0
>>891
なるほどです！ありがとうございます。
ところで>>882の問題で、
2<√5<3 だから 5/4<3＋√5/4<3/2 ってなるのは分かるのですが、どうして √5 の整数部分が 1 だからといって、
3＋√5/4 の整数部分も 1 だと言えるんでしょうか？何度も申し訳ありません。
894:大学への名無しさん
10/03/21 17:08:03 96SCk4h+0
>>893
いい加減分子や分母をカッコでちゃんとまとめてくれ。
>√5 の整数部分が 1 だからといって
誰一人そんなことは言ってない。
2<√5<3
4で割って 2/4 < (√5)/4 < 3/4
3/4を足して (3+2）/4 < (3+√5)/4 < (3+3）/4
つまり 5/4 < (3+√5)/4 < 6/4
ここで(1=)4/4<5/4、6/4<8/4(=2)だから
1< (3+√5)/4 < 2
って(だけの)こと。
895:大学への名無しさん
10/03/21 17:41:18 lrvHf1rt0
>>893
>>886に戻れ。
896:大学への名無しさん
10/03/21 17:57:10 PawSe8Np0
>>894
失礼しました。
ありがとうございます。
お騒がせして申し訳ありませんでした。
897:大学への名無しさん
10/03/21 18:07:23 uQSrqD+a0
ぼくちゃんアホなんで教えてください
この二項定理っぽい問題ができましぇん
Σ(k=1,n-3)k・n-kC3/nC4 (C:combination)
nC4は前に出せますよね。
そのあとに、k・n-kC3は、-(n-k+1)n-kC3+(n+1)C3なんで、
k・nCk=n・n-1Ck-1なんで、これは、-4・n-k+1C4+(n+1)n-kC3
になりましゅ。
この後の計算が不可能なんでしゅ。教えてくりゃさい
898:大学への名無しさん
10/03/21 21:42:50 /cD9tjnD0
>>890
やはり書くしかないっぽいですね
どうも有難うございました
899:大学への名無しさん
10/03/21 23:46:11 Gdi4P8nQ0
模試や入試で使っちゃいけない解法、テクニックを教えて下さい
積分の-1/6公式はダメだと以前この板で見た気がするんですが…まだあるんですかね？
-1/6公式がダメなら積分の次数が奇数の項は0とかもダメな感じがしますけど…
900:大学への名無しさん
10/03/21 23:55:42 LjjkfWre0
>>899
駄目だと思うならいちいち変形して使う
もしくは計算したふりをして使えばいいだけだろｗ
901:大学への名無しさん
10/03/22 00:00:11 djQotPK30
入試なら大学による。京大は対応するらしい。模試は学生が○付けやってるからだめ。
が、どこの試験で使うにしてもその公式とか定理のステートメントと
満たされている適用条件を正確に述べた上で、
出来れば出典も示したほうがいいだろう。結局論文で定理使うのと同じようなことになる。
902:大学への名無しさん
10/03/22 00:04:09 KdPiuHu30
>>897
(x-1)(x-2)(x-3) = (1/4){x(x-1)(x-2)(x-3) - (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}
使えん？
903:大学への名無しさん
10/03/22 00:14:48 KdPiuHu30
nCk = nC(k-1) + (n-1)Ck
と同じか、てかこれできん？
904:大学への名無しさん
10/03/22 10:26:00 2yz/qMoS0
奇関数を[-a,a]で定積分して消えるのは1/6公式よりはるかに自明だろ。
ちゃんと意味わかって使ってる？
905:大学への名無しさん
10/03/22 18:19:30 39LbZ8Tb0
4次曲線C:y=x^4-2ax (a>0) 上の動点P=(t , t^4-2at^2)が-√a≦t≦√aの範囲で動く.
PでのCの接線とCの交点をP , Q=(α,α^4-2aα^2) , (β,β^4-2aβ^2)とする.
ただしα≦βとする.
[1] α+β , αβ をaとtで表せ
[2] ３点PQRが接線上QPRの順になるための条件を答えよ
[3] 線分QRの長さをLとする. L^2をaとtで表せ
[4] a=7/12のときLの最大値を求めよ
[1]でPでの接線を求めてy=x^4-2ax^2と連立してyを消去したのですが、
xの４次式となり解と係数を使おうと思っていたのですがうまく使えず先へ進めませんでした
よろしくお願いします
906:大学への名無しさん
10/03/22 18:53:54 2yz/qMoS0
>>905
その4次式は作り方からtを重根として持つ。P,Qのx座標は残りの2根。
だから、その4次式を(x-t)^2で割って（必ず割り切れる）、その商に根と係数の関係を使う。
907:大学への名無しさん
10/03/22 22:11:36 pzjKGHNv0
>>899
大学入試懇談会でもそんなことは話されてあったな
東北大の教授は1/6公式すら許さないと言うが、
東大は教科書から逸脱しても、どの程度までか知らないが、許すらしいな
908:大学への名無しさん
10/03/22 22:19:11 vIUxitQd0
>>907
フェルマーの最終定理あたりも？
909:大学への名無しさん
10/03/22 22:21:16 cGcpXm9Q0
合同式って使ってもいいの？
910:大学への名無しさん
10/03/22 22:22:53 pzjKGHNv0
>>908
知らない
>>909
合同式の定義や説明は書いて欲しいがなくても減点しないと言っていた。
昨年の懇談会のレポートに書いてある筈だ。
911:大学への名無しさん
10/03/22 22:23:38 pzjKGHNv0
知らない、とは言ったものの、大学入試でフェルマーの最終定理が適用できる
問題に遭遇した試しがないな。小定理ならまだしも。
912:大学への名無しさん
10/03/22 22:24:27 hFlZZwwd0
つーか、合同式とか必要ないだろ
下手の横好き
913:大学への名無しさん
10/03/22 22:27:39 cGcpXm9Q0
合同式使えれば楽に答案書けることあるよ
知らんのか
914:大学への名無しさん
10/03/22 22:30:37 Dp2Dn6bZ0
合同式は答案書きやすくなるというメリットがある。
89年度か91年だったかの東大の整数と数列の問題は
合同式知ってることがほぼ前提で作られてる。
使わないと答案がものすごくまとまらなくなる。
逆に同じくらいの東工大の有名整数問題は合同式使うと
あっけなさすぎて、使うんだったら証明しないと原点お覚悟だろうね。
915:大学への名無しさん
10/03/22 22:34:55 djQotPK30
合同式通り越して環論ごりごり使って回答したら
むしろ減点なしで通りそうな気がするなｗ
916:大学への名無しさん
10/03/23 01:34:19 N/ljoInPP
合同式の定義も色んな公式も一行ぐらいで済むから、答案がスッキリしたり、解答の見通しが良くなるメリットを考えると、合同式使っちゃうな
917:大学への名無しさん
10/03/23 11:20:30 r5jEYLOz0
因数分解について質問させてください。
x^6 -1
という問題を
=(x^2)^3-1
=(x^2 -1)(x^4+x^2+1)
=(x+1)(X-1)(x^4+x^2+1) ―①
と解いたのですが、模範解答では
与式=(x^3)^2 -1
=(x^3+1)(x^3-1)
=(x+1)(x^2 -x+1)(x-1)(x^2+x+1) ―②
となっておりました。
①の３つ目の因数は平方完成を行えば②になりますが、
平方完成が出来る以上、行って、→②とすべきでしょうか。
採点方針にも因ると思いますが、
①の解答では完全な正解とはならないでしょうか？
ご教授お願いいたします。
918:大学への名無しさん
10/03/23 11:29:09 pL73v8KD0
うん。①じゃ因数分解したことにならない。
919:大学への名無しさん
10/03/23 11:29:54 r5jEYLOz0
>>917 つづき
また、解き始めについてなのですが、与式を
(x^2)^3 -1
(x^3)^2 -1
のどちらを選択するかの一般的な方針は
「高次の因数分解 (X^a)^b は a>bを心がける」
というもので間違いはありませんでしょうか？
920:大学への名無しさん
10/03/23 11:30:36 r5jEYLOz0
>>918
ありがとうございます！
921:大学への名無しさん
10/03/23 12:11:08 h0+Xp50d0
東京出版 新数学スタンダード演習2・10についての質問です。
実数a,bが0<a<1,0<b<1を満たすとき、
ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4
が成り立つことを証明せよ。
ですが、解答には不等式の「AまたはBである」を証明したいときは否定「AバーかつBバー」が偽であることを示せばよくて(この１文はおｋ)
本問では「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しないことを示せばよい(この１文が分かりません)
と書いてあります。
これはなぜなんでしょうか。
「0<a<1,0<b<1」ならば「ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4」
を証明するのだと自分は読んでます。したらその対偶を取って
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
になるのではないのでしょうか。結論部分を偽にしてそれを満たすa,bが存在しないことを示せばなぜいいんでしょうか。
それとも背理法で考えると
「0<a<1,0<b<1」かつ「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」で実数a,bが存在しないことを矛盾？としているのでしょうか。
ならば がくっつくとどうなっているのかいまいち分からないんです。どなたかお願いいたします｡ﾟ（ﾉД｀）ﾟ｡
922:大学への名無しさん
10/03/23 12:55:34 yXVXZAyn0
>>921
「"文字の値がある範囲において" A⇒B」の対偶は、ふつう
「"文字の値がある範囲において" ￢B⇒￢A」 の形に書く。
｢実数a,bにおいてa^2+b^2=0ならばa=b=0」の対偶は
「実数a,bにおいてa≠0またはb≠0ならばa^2+b^2≠0」であって、
対偶側に「aとbが複素数の場合……」なんて書かないでしょ？
新スタ演の解答はこれを前提として、「0<a<1,0<b<1の範囲では」を省略しているだけ。
全部書けば、対偶として示された命題は、
【0<a<1,0<b<1を満たすとき、「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しない】
であって別に問題はない。
923:大学への名無しさん
10/03/23 13:15:54 6xAApVIS0
>>922
p⇒qは￢p∨qと同値であることより
「p∧q」⇒r ⇔￢p∨￢q∨r
p⇒「q⇒r」 ⇔￢p∨￢q∨r
つま、前提条件を命題の外側に出して議論してもかまわない。
例えば
a.b≧0でa^2>b^2ならばa>b・・・(*)
という命題は以下の二つと同値
(*)⇔a≦bならば「a<0∨b<0∨a^2≦b^2」・・・・(1)
⇔a.b≧0のときa^2>b^2ならばa>b・・・・(2)
君の
>「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
というのは(1)のパターン。スタ演の回答は(2)を使っている。
924:大学への名無しさん
10/03/23 13:16:55 6xAApVIS0
アンカ間違えた。
>>922→>>921ね
あとついでだからこの辺のことは
"数学を決める論証力"に書いてあるんで
興味あるなら手元においておくといいよ。
925:大学への名無しさん
10/03/23 13:17:00 h0+Xp50d0
>>922
返信ありがとうございます。
というと単純に前提条件であっただけですね。
その上で不等式はその否定が偽であることを証明するのが良く
0<a<1,0<b<1を満たすとき
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」が偽であること、偽であるとはそのようなa,bが存在しないこと
ということでしょうか。
926:大学への名無しさん
10/03/23 14:29:40 yXVXZAyn0
>>925
そう考えてもいい。
あと、ちょっとちゃぶ台返しになるけど、こんな理解もできる。
そもそも問題は(考えているa,bの範囲で)
＞ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4 が成り立つことを証明せよ。
これは「(a,b)が必ず書かれた二つの不等式のどっちかを満たす」
という命題。言っちまえば(a,b)はab≦1/4を満たす集合Pか、
(1-a)(1-b)≦1/4を満たす集合Qかのどっちかには属している、ということ。
これを言うにはPにもQにも属していない(a,b)という要素は存在しないことを
示せばいいわけで、それには
・Pに入らない条件 ab>1/4
・Qに入らない条件 (1-a)(1-b)>1/4
を同時に満たす(a,b)は存在しないことがいえればおっけー。
927:大学への名無しさん
10/03/23 16:02:16 o9H8fLV60
>>923
＞p⇒qは￢p∨qと同値であることより
pを条件「x=0」、qを条件「x=1」、とすれば、
p⇒qは偽の命題であり、
￢p∨qは条件「x=0でないまたはx=1」、つまり条件「x≠0」だから、
同値でないのではないですか？
928:大学への名無しさん
10/03/23 18:25:11 e7awnp400
>>927
pが「x=0」のとき
「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
それはともかく、
p→q と ￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話なので
（あるいは流儀によっては→の定義がそもそもこうなっていることもあるが）、疑う余地はないのだけれど、
形式論理に慣れてないうちはこれを気にしないほうが良いかもしれない。酷い混乱の元になる場合がある。
929:大学への名無しさん
10/03/23 19:00:10 5zp09qwR0
等比数列の和の求め方について教えて下さい。
Sn=a+ar••••••••••ar^n-1の両辺に公比rを掛けて
rSn=ar+ar^2+••••ar^n-1+ar^nになりますが、
rSn=の最後のar^nはどこから出て来たの分かりません。
930:大学への名無しさん
10/03/23 19:01:51 q/Gu9RLZ0
ar^n-1 * r
931:大学への名無しさん
10/03/23 19:07:16 5zp09qwR0
>>930
ありがとうごさいます。
932:大学への名無しさん
10/03/23 22:34:19 EBCCZXIT0
新一浪になるのですが
1A、2Bどっちもセンター3割ぐらいの私文が
一年で早慶レベルまで持っていくことは出来ますかね？
数学自体は嫌いではないのですが・・・
933:大学への名無しさん
10/03/23 23:31:10 lbsW7SH+0
総計レベルって、理系の話か？？
934:897
10/03/23 23:32:35 W8hEjuhJ0
>>903
それだよ＾＾
あり＾＾それ使って階差で消せるｗｗ＾＾
ちなみにそれと同じじゃないよー＾＾
僕が使ったのは、k・nCk=n・n-1Ck-1だ＾＾それを使って一つ変形しただけだよー＾＾
とにかくあり＾＾
935:大学への名無しさん
10/03/24 00:09:29 EBCCZXIT0
>>933
文系です！！
936:大学への名無しさん
10/03/24 00:12:55 Cg5o2Du40
>>928
＞「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞p→q と￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話
p,qが命題のとき、同値なのは分かりますが、いまはp,qが条件のときの話ですよね。
p,qが条件のとき、p→q は命題であり、￢p∨qは条件である、
と認識していたのですが、間違いでしょうか？
937:大学への名無しさん
10/03/24 00:33:24 S9liy+iS0
>>936
後半部分について、まず一つ用語を導入する。
「→」は「∨」や「￢」と同じくただの論理結合子なので、p→qが命題で￢p∨qが条件ということはない。
この２つの論理式は同値なので、片方が命題ならもう片方も命題で、片方が条件ならもう片方も条件。
では条件（これは高校数学用語なのだけれども）とは何かというと、高校の教科書範囲では、
中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い。ただし変数との関連が重要なので、
「xについての条件」「x, yについての条件」などと変数名を明記する必要がある。
前半部分はレスを分けます
938:大学への名無しさん
10/03/24 00:34:11 S9liy+iS0
一つ用語を導入すると書いたけれども、編集ミスなので忘れて下さい
（「論理式」について書こうかと思った）
939:大学への名無しさん
10/03/24 00:49:18 b+YX3Fou0
xy平面上に3点A(-5,-1),B(2,13),C(6,1)がある
このとき次の問いに答えよ
(1)線分AB,BC,CAの長さ
(2)∠ABCの大きさ
(3)∠BACの2等分線と線分BCとの交点Dの座標
ABが7√5,BCが4√10,CAが5√5で、
∠ABCが45度というところまでは分かっています。
(3)を教えてください。
940:大学への名無しさん
10/03/24 00:50:40 S9liy+iS0
>>936
前半部分について、
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
同値、という語の使い方が問題であって、その主張は話のレベルが一段階ずれている。
ずれを理解するには論理のトレーニングが必要な気がするけれどもおおざっぱに解説すると、
まずFを高校数学に出てくる論理式全ての集合とする。
式そのものが要素であることに注意。つまり、
Fには「x=0」「x≠0」「(x≠0)∨(x=1)」「1=1」「1+1=2」「1+1=3」などの式が要素として含まれている。
（条件も命題も全て含む）
上のpやqというのは、このFの要素である論理式を値とする変数（文法変数とかメタ変数という）であって、
『p→q と￢p∨q が同値』が定理だというのは、
Fの元からどのようなものをもってきてpとqに入れてみても『p→q と￢p∨q が同値』が成り立つということ。
（定理としての証明は、根拠である公理を書き並べるのが嫌なので略）
一方で君の言う
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
で、結局同値の意味をどう捕らえればよいのかということになるけれども、
これは構文と意味の差という形式論理のめんどくさい（天才を除いて理解に訓練がいる）話になってくるので
これまた省略させて下さい。もし更に詳しくということなら書くけれども。
941:大学への名無しさん
10/03/24 00:58:28 S9liy+iS0
ああそっか、同値なんて語を避ければいいのか
『p→q と￢p∨q が同値』を、
『（p→qが証明できるならば、￢p∨qも証明できる） かつ （￢p∨qが証明できるならば、p→qも証明できる』
としてみたら分かりやすいだろうか。
942:大学への名無しさん
10/03/24 01:05:20 S9liy+iS0
もう一方
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが
についても同値という語を排除して言い換えると
『pが「x=0」かつqが「x=1」ならば、
｛ （￢pが真ならば ￢p∨qも真） かつ （￢pが偽ならば、￢p∨qも偽） ｝ 』
となる。
943:大学への名無しさん
10/03/24 02:00:01 drQupDwtP
URLﾘﾝｸ(tokyotech.net)
このページのヤマを張るなというところにある問題なんですが、
0≦θ≦πのとき、-3sinθ+4cosθの最大値、最小値とそのときのθを求めよ
をベクトルを用いて解くと
-3sinθ+4cosθはベクトル(4,-3)とベクトル(cosθ,sinθ）の内積と見ることができる。
よって、0≦θ≦πのとき最大値はθ=0のとき4で、最小値はtanθ=-3/4のとき-5である。
とありますけど、最大値の求め方はわかるのですが最大値はどのようにしてtanθ=-3/4が出てきたのでしょう？
944:大学への名無しさん
10/03/24 02:05:31 Cg5o2Du40
>>937
＞中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い
p,qが条件のとき、p→q は、
pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
それは間違いということですかね？
>>940
＞＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
＞Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
Fの要素一般についての話はしていません。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
945:大学への名無しさん
10/03/24 02:42:01 uTKl72940
どうして微分をするのか、どうして積分をするのかイマイチ理解できていないのですが、
微分は何のためにするのですか？
積分は何のためにするのでしょうか？
946:大学への名無しさん
10/03/24 08:21:19 S9liy+iS0
>>944
また下の方から回答する．申し訳ない．
＞Fの要素一般についての話はしていません。
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
＞
＞つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
>>928で述べたのは式としての，即ち構文としての等しさ．
「≠」という記号がどう定義されていたかというと，「=でない」であって，
これは論理式にすればそのまま，例えば「x≠0」については「￢(x=0)」と
*同じ式である*ことになる．>>928ではこの「x=0」をpととっていた．
そしてこれに「∨」の記号ともうひとつの論理式「q」を
付け加えた「￢(x=0)∨q」は別の式ということになる．
例えると，x^2 + 2x + 1 と (x+1)^2 は計算すれば等しいけれども，
式の形は違う，というのに似ていなくもない．
君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
これは式の形の話とは別のものということ．
当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
947:大学への名無しさん
10/03/24 08:31:28 S9liy+iS0
>>944
そして問題の前半部
＞p,qが条件のとき、p→q は、
＞pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
＞それは間違いということですかね？
命題と条件という言葉の定義の怪しさを除いて正しい．
ただその怪しさは高校の教科書の書き方に既にあいまいさがあるので，
君に責任はない．
教科書の定義だと
条件とはx=0などのように文字を含んだ文や式，
命題とは真偽がはっきり定まる文や式，
となっている．
その下に「p->q」の話があるけれども，
そこで述べられているのは「p->q」という形の命題についてであって，
「p->q」という形の条件については無視されている．これが問題の一つ目．
さらに偽である命題の例として挙げられる
「x^2=1 -> x=1」のような論理式があるけれども，
これが条件であってはいけない理由は無い．むしろ教科書の定義ではこの論理式は
条件なのだけれども，これを命題として扱っている以上，
教科書の命題の定義にはもう少し加筆が要る．これが問題の二つ目．
長くなったので次レスに移ります
948:大学への名無しさん
10/03/24 08:50:54 S9liy+iS0
>>944
なのでやはり命題の定義をしなおす必要があると思う．
まず教科書に乗っている命題や条件をひっくるめて
論理式と言うということは上の方に書いた．
本当は形式論理らしく人工言語で論理式を定義すべきだけれども，
あまりに煩雑なのでここではそれを避ける．
代わりに教科書の命題の定義の言い回しを真似て，
「正しいか正しくないかはともかく，数学的に何らかの主張をしている式や文」
を論理式の定義としておく．
次に高校数学には無い記法を論理式に加える．
xを変数，Pを論理式としたときに，記号「∀」を使って並べて
「∀xP」の形に書いたものも論理式であることにする．
読み方は「全てのxについてP」．
これが無いと命題の定義が正しくできない．
論理式Pのどこかに「∀xQ」の形が出てきたときに，
Qに変数xが書かれていれば，それは全て"束縛されている"という．
論理式Pのどこかに，変数xがまったく束縛されていない状態で書かれていれば，
それは"自由である"といい，xはPの自由変数であるという．
これは何をしたいかというと，自由変数を含んだ式は真偽が自明ではないということを
述べるための準備．
例を出すと，
「(∀x(x=5)) ∨ (x=7) ∨ (y=3) ∨ (∀z(z=4))」
という論理式で，「x=5」のxは束縛されている，
「x=7」のxは自由，「y=3」のyは自由，「z=4」のzは束縛されていて，
この論理式の自由変数はxとy，となる．
また長くなったので次レスへ行きます
949:大学への名無しさん
10/03/24 09:03:07 S9liy+iS0
>>944
さて命題は真偽がはっきりと定まる式や文，だった．
論理式の真偽ということを考えると，たとえば自然数では
「0=0」というのは常に真だし「0=1」は常に偽で，
これらはまぎれもなく命題と言える．
しかし「x=0」はどうかというと，
これはxの値によって真偽が変わってしまうように見える．
問題はこの論理式が自由変数xを含んでいることで，
これを束縛する為に「∀x(x=0)」としてやると，真偽ははっきりする．
つまりこれは「全てのxについてx=0」ということであり，偽．
より一般に自由変数を含まない論理式は真偽が定まり，
これによって命題の定義としては
"自由変数を含まない論理式"
を取ることになる．
では教科書で命題として書かれていた
「X^2=1 -> x=1」のような場合はどうするのか．
この論理式ではxが自由変数であって，
x=1ならば真，x=-1ならば偽と真偽が分かれてしまうのだけれども，
これを命題と言う場合，つまり真偽が定まっていると考えたいときには，
自由変数を全て「∀」で束縛する．すなわち，
「∀x(X^2=1 -> x=1)」が書かれているものと考える事になる．
これは基本的に便宜的なものであるけれども，
形式論理で一般に通用している事だし直感にもそれほど反しないので
高校の教科書でも暗に使われているのだろう．
まとめは次レス
950:大学への名無しさん
10/03/24 09:04:46 f8c41ZEk0
>>943 リンクされてる「参考図」を見た?
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑、これらのなす角をαとする。
a↑は固定されてるベクトル(参考図の赤)
p↑は終点が単位円上を動くベクトル(参考図の青)
長さはそれぞれ5,1で固定だから
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosα=5cosαで、cosαの最大最小を与えるαがそのまま
内積の最大最小を決める
cosなんだからなるべくなす角が小さいときに最大で、図から(同方向は向けないので)
0のとき最大、180°はとることができて逆向きのときが最小、
このときp↑は-a↑の向きになるからtanθ=-3/4のときということ。
951:大学への名無しさん
10/03/24 09:14:36 S9liy+iS0
>>944
まとめとして，高校の範囲で命題といって自由変数を含む表現が出てきたら，
ひとつひとつの自由変数?について「すべての?について」が枕詞として
付いているものと考えて良い．
補足
では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない．
形式論理の導入部にはいろいろな流儀があるので，
ちゃんとした本を読むと細かいところが異なって見える場合があると思う．
本質的には同じものができあがることにはなるのだけれど．
952:大学への名無しさん
10/03/24 12:44:50 tRH2PYlg0
>>939
10/3
6
かな
953:大学への名無しさん
10/03/24 13:51:01 drQupDwtP
>>950
なるほど、すっきりしました。ありがとうございます。
後、些細な疑問なんですがなぜ(-3,4)=a↑,(sinθ,cosθ）=p↑ではなく、
(4,-3)=a↑、(cosθ,sinθ)=p↑になるんでしょうか
元の式の形からすると前者になると思うんですが
954:大学への名無しさん
10/03/24 14:08:42 tRH2PYlg0
>>953
もとの式を4cos-3sinととらえればいいんじゃない。
足し算は入れ替えても式が成立する。
950のように捉えたほうがx座標をcosにしてるから分かりやすいと思うよ。
sinをxに捉えると逆関数になってわかりにくい気がする。
x=cos y=sin と考えたほうが三角関数ではわかりやすい。
955:大学への名無しさん
10/03/24 14:40:02 GjbGbb1f0
逆関数？？
956:大学への名無しさん
10/03/24 15:00:59 drQupDwtP
>>954
あーなるほど！完璧に理解できました。
ありがとうございます。
957:大学への名無しさん
10/03/24 15:23:23 tRH2PYlg0
>>955
パラメーターが入れ替わってるから（cosがsinに、sinがcosに）
y=xで対称な逆関数かと思ったんだけど・・・
オレは逆関数を勘違いしてるのかな？
結局、cos、sinで円だからy=xで対称な図形も円になるけど。
958:大学への名無しさん
10/03/24 16:05:28 5hSnOgGYi
何が何の関数と考えたんですか？
959:大学への名無しさん
10/03/24 17:09:10 8xrJy1CS0
数学的帰納法って実際に証明で使ってる部分は演繹法だよね？
960:大学への名無しさん
10/03/24 17:21:48 Cg5o2Du40
>>946
＞君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
＞この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
＞これは式の形の話とは別のものということ．
＞当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
＞この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
＞その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だということは、
（pが「x=0」、かつqが「x=1」）ならば「￢p⇔￢p∨q」、ということですよね。
これは、p,qにＦのどの元を代入しても常に真ですよ？
前件が偽となるＦの元を代入したとき、条件全体は真ですから。
961:大学への名無しさん
10/03/24 17:22:55 Cg5o2Du40
>>947
＞「p->q」という形の条件については無視されている
>>951
＞では条件は何かというと，"自由変数を含む論理式"となるだろうか．
＞これは高校教科書のあいまいさゆえに定義しきれない
高校数学においては、p,qが（論理記号を含まない）条件のとき、
「p→q」や「p⇔q」は∀で束縛された命題とされ、
「p∧q」や「p∨q」などは自由変数を含む条件であり、
あいまいさはないのではないでしょうか？
そして、「p→q」と「￢p∨q 」は、前者は命題、後者は条件とされるので、
この両者は同値でないのではないかというのが、当初の疑問です。
実は昔、なぜ前者だけ全称閉方したものとみなされるのかが疑問で、
大数の坪田さんに手紙で質問したら、要は定義だということで、
論理学と数学との違いだと解釈したのですが、どう思われますか？
962:大学への名無しさん
10/03/24 17:47:24 BubwC2b20
>>958
わいがえっくす
963:大学への名無しさん
10/03/24 18:17:55 wtb5aRwI0
>>962
確かに
y=(1-x^2)^(1/2) (-1=<x<=1)
と考えて、yはxの関数だけど
この全体についての逆関数は定義できないんじゃない？
少なくとも高校レベルでは
964:大学への名無しさん
10/03/24 18:36:33 BubwC2b20
>>963
そうなんすか・・・
y=±√1-x^2で符号で分けて定義すればいいってこと？
965:大学への名無しさん
10/03/24 19:07:19 215gsf7Ei
>>964
おまいさんは
y=x^2
の逆関数を求めよ
と言われたら、どんな解答をするんだい？
966:大学への名無しさん
10/03/24 19:10:07 Zxvu7mmo0
何故階差数列は
a(n)=a(1)+Σ_[k=1,n-1]b(k)
で求められるのですか？
967:大学への名無しさん
10/03/24 19:51:28 E2Xo02tv0
a(n)=a(n-1)+b(n-1)
a(n-1)=a(n-2)+b(n-2)
：
a(2)=a(1)+b(1)
を辺々たす
968:大学への名無しさん
10/03/24 20:25:59 j9Qhebwv0
>>966
日本語でおｋ
969:大学への名無しさん
10/03/24 20:41:44 BubwC2b20
>>965
x>0 y>0でx,yを入れ替えて
y=√x
x<0 y>0でx,yを入れ替えて(y<0 x>0)
y=-√x