10/02/17 01:34:15 QLGWSIYb0
行列（とベクトル)の積の結合法則で説明できるんで、名前なんかない。
一般にA,Bが(1次変換を表す)行列、v↑がベクトル(が表す点)であれば
(AB)v↑=A（Bv↑)は認めるでしょ? (積が定義されるような次数であるとして。)
では、Rがθの回転を表す行列、v↑が動かされる点であるときも
(R^2)v↑= R(Rv↑)
左辺はR^2の演算を先に行ってそれにv↑を掛けることになるが、その結果は
RにRv↑の結果を掛けるのと同じ、
これはv↑をθだけ回転した点であるRv↑をさらにθだけ回転することになるから、
結局(R^2)ｖ↑はv↑を2θだけ回転した点になる。これはR^2が2θを回転する
変換を表す行列であることを示す。
637:大学への名無しさん
10/02/17 01:51:39 4j1FCbp7P
>>636さま
すばやいレスに感謝いたします。
特に名前は無いんですねー。確かにやってることは単純ですし・・・。
丁寧に説明するしかないですね＾＾；
結合法則で説明するのは盲点でした。ありがとうございました。
638:大学への名無しさん
10/02/17 13:59:54 y1bOePas0
僕は数ⅡBⅢCを未履修なんですが、理転したいのでⅢCもやろうと思います。
そこで質問なんですが、ⅢCを０から旧帝大レベルまで持って行くのに最速でもどの位期間がかかるものなんですか？
理系の先輩は、「ⅡBを理解できたら、ⅢCはそんなに時間かからないよ」的な事を言ってたんですが・・・
639:大学への名無しさん
10/02/17 14:40:51 77XSsVCW0
>>638
全く０からだと人によるだろうけれど毎日3時間以上やってれば1年はかからないんじゃないかな。
普通に旧帝理系行く人は１日１～２時間数学の授業があるとして、ⅡB開始から入試まで、だいたい600時間、それと自学で300時間以上の時間をかけて
って感じでやるだろうからね。
まぁ、本人次第で増えたり減ったりじゃないかな。
640:大学への名無しさん
10/02/17 23:37:33 5HcUX7q20
そんくらいかもね
俺は一日５時間で５ヶ月とちょっとだった。
ただ、１０月からセンターの勉強して３Cやらなくなってたら１月のセンター後にはほとんど
忘れてた。そこから一日６時間づつやって思い出したら、急激に伸びた（気がした）。
一回忘れて・・・ってのが必要な気がする。
641:大学への名無しさん
10/02/17 23:40:03 Ekkwa0U+0
全く０からそれだけで入試レベルまでいくんかいな。すごいな。
＞一回忘れて・・・
ああ、よくわかる。俺はそれを「超回復」って言ってる。
642:大学への名無しさん
10/02/18 00:11:10 P3aPldUU0
新課程版青茶3C P182 基本例題109(4)についてです。
部分分数分解をして、(∫(1/(1-t)+1/(1+t))dt)/2 = (log(abs((1+t)/(1-t))))/2+C (C:積分定数)とあるのですが、どうしたらこのような変形ができるのか分かりません。
どなたかご教授願います。
643:大学への名無しさん
10/02/18 00:16:13 kfMxlxOp0
>>642 それが分からないのは1/xの積分や置換積分がしっかりつかめてないってこと。
分母の2はあとでくっつけりゃいいので、要するに
∫(1/(1-t))dt と ∫(1/(1+t))dｔ が計算できりゃいい(or計算できなきゃならない)わけでしょ?
それぞれ何になる?
分からなければ1-t=u、1+t=vとしてそれぞれ置換して積分してから置き戻してみなされ。
644:大学への名無しさん
10/02/18 00:18:56 1MIrWM8x0
{log(ax+b)}' =(ax+b)'/(ax+b)より
∫{(ax+b)'/(ax+b)}dx=log|ax+b|+c
を使っているのでは?
∫(1/(1-t))dt=-log|1-t|
∫(1/(1+t))dt=log|1+t|
logの引き算は中身の割り算
645:大学への名無しさん
10/02/18 00:23:52 P3aPldUU0
>>643-644
ありがとうございます。解決しました。
-log(abs(1-t))の先頭のマイナスを失念していました。
646:大学への名無しさん
10/02/18 15:41:14 ufI18v1SO
因数分解の問題で、最後の解答なんですが…
（b－c）（a－b）（a－c）＝－（a－b）（b－c）（c－a）
とあるんですが、どうして－を先頭に付けると（a－c）だけが都合良く（c－a）に変わるんですか？他の（）の中は何で変わらないんですか？
多分、かなり初歩的な事なんでしょうけど調べても理由が見つからないんです。どなたか教えてください。
647:大学への名無しさん
10/02/18 15:47:15 16iOFJZ30
>>646
-(c-a)=a-cだから。
648:大学への名無しさん
10/02/18 16:14:31 ufI18v1SO
>>647
ありがとうございます！
という事はもしもう一つ他の（）の中の符号を変えたいと思った場合は、
先頭にマイナスが二つ付く事になる＝符号をいじっていない最初の式の符号と同じということですよね？
【同じ意味で、符号を変えたい（）の数だけ先頭にマイナスを付ければ良いわけですよね？】
649:大学への名無しさん
10/02/18 16:18:12 16iOFJZ30
>>648
そうだよ。
650:大学への名無しさん
10/02/18 16:57:18 ufI18v1SO
>>649
本当、本当ににありがとうございます！
651:大学への名無しさん
10/02/18 21:31:20 g0Zgeph50
(1-sinθ/θ)^(2/3)
の増減の調べ方を教えてください。θは0以上2π以下です。
652:大学への名無しさん
10/02/18 21:35:52 zzOV2zNM0
f(θ)={(θ-sinθ)/θ}^(2/3)
f'(θ)=(2/3){(θ-sinθ)/θ}^(-1/3)
0≦θより、符号変化部分はθ-sinθの部分なので
y=θとy=sinθのグラフの上下を考えればいいが
y=sinθのθ=0での接線が・・・・(ry
653:大学への名無しさん
10/02/18 21:36:32 zzOV2zNM0
とかいてて、まちがえた。
合成関数微分だから中も微分しないといかんな
ごめんね。
654:大学への名無しさん
10/02/18 22:40:23 kfMxlxOp0
>>651
定義域においてt=(1-sinθ)/θは正または0
y=t^(2/3) (t≧0) を考えるとｔは単調増加
ってことはt=(1-sinθ)/θ とf(θ)の増減は一致するからｔの増減だけ調べればおけ
dt/dθの増減を、これ(の分子)をもう一度微分した関数で調べれば答えは出ると思われ。
θ=π/2を境に減少から増加に転じる、と出た。
655:大学への名無しさん
10/02/18 22:49:12 g0Zgeph50
>>654
すみません。
θは全体にかかるのではなくサインにだけかかっています。
1-(sinθ/θ)です。
わかりにくくてすみません
656:大学への名無しさん
10/02/18 23:22:00 kfMxlxOp0
>>655
あ、あなたは悪くない。最初から (1-sinθ/θ)^(2/3) と書いてたのだから。
>>652だけ見て誤読したこっちが悪い。ただ、定義域にθ=0が入るのは
おかしくない? θ→0の極限値は存在するけど、0で本当に割る形の
式を作っちゃおかしいでしょう。これは誤読したときにも言えることだが。
で、方針は同じで、1-sinθ/θ = tと置けばｔは常に正だから、t＾(2/3)の
増減とｔの増減は一致。あと、一応θ→0でｔ→0(極限を考えれば)。
0<θ≦2πにおいて
dt/dθ = (1/θ)^2{-θcosθ+sinθ}、この分子が0<θ≦2πで常に非負であることが
言えればおけ。分子は定義域で常に正だから、
s=-θcosθ+sinθの増減を調べて、0≦θ≦2πで負にならないことを確かめれば
(こっちは0に=をつけてもいい)dt/dθが0<θ≦2πで非負であることが言えて、
結局単調増加であることが分かる。
657:大学への名無しさん
10/02/18 23:45:08 g0Zgeph50
>>656
ありがとうございます。
ところどころまだわからないところもありますがもう一度考えてみることにします。
658:大学への名無しさん
10/02/18 23:47:17 dK1A2GoN0
x,yを実数とする。
x=0であることはx^2+y^2=0であるための「 」
この答えが、解答では
「必要条件であるが十分条件でない」
となっているのですが納得できないのです。
x^2+y^2=0のときx=0,y=0より必要条件となることはわかります。
ですが、x=0のとき、x^2+y^2=0にx=0を代入するとy^2=0であるから、
y=0で成り立ちますよね？何故十分条件とならないのでしょうか？
解答には"x=0,y=1のときに成り立たないので"と書いてありましたが、
0^2+1^2=0は成り立たないのでおかしくないですか？
日本語おかしくて申し訳ありません。是非ご教示頂ければと思います。
659:大学への名無しさん
10/02/18 23:53:29 ioP2bLEh0
>>658
x=0のとき「絶対に」x^2+y^2=0が成り立って初めて十分条件になるんじゃないか
つまり反例が１個でもあればダメっていうこと。
だからその解答であってるとおもう。
わかりにくかったらすいません
おやすみ
660:大学への名無しさん
10/02/18 23:54:32 AcULgqEA0
>>658
成り立たないから十分条件じゃないんじゃん。
661:名無し募集中。。。
10/02/18 23:57:32 gAaWSm/mO
>>658
x^2+y^2=0ってことはx､yが共に実数ってことからx=0って分かる
x=0
なら
x^2+y^2=0
が成り立つか
つまりxが0のときyに何を代入しようとも
x^2+y^2=0が
成り立つかどうかってことだよね
その答えにもある通りy=1代入すれば
当たり前だけど不成立だよね？
必要条件十分条件をちょっと勘違いしてる感じがありそうですね(´・ω・｀)
解説に書いてあることは正しいですよ
662:大学への名無しさん
10/02/19 00:00:28 9ry+6fFh0
>>656
てか>>652は通分しただけだろ。
663:大学への名無しさん
10/02/19 00:04:26 Hf7E4LqX0
>>657
y=(1-sinx/x)^2/3, z=1-sinx/xとするとy=z^2/3
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)とでもすると計算し易かろう。
計算省略。dy/dxの正負はsinx-xcosxに一致。
この式の正負を考える。x=pi/2,3pi/2を代入して1,-1に
なることから分かる通り、常に正というわけではない。
sinx-xcosx=cosx(tanx-x)で、pi<a<3pi/2, tana-a=0
となるx=aが存在し(y=tanx, y=xのグラフから)cosxの正負にも
気をつけると、dy/dx>0(0<x<a),dy/dx<0(a<x<2pi)
ちなみにグラフではy=tanxはx=0で接線y=xをもつことに留意。
664:大学への名無しさん
10/02/19 00:28:01 z2XUJyPv0
>>662
そだね。
さらに>>663で指摘を受けたが、定義域の上限がπまでだと勘違いもしてたorz
自爆しまくりで申し訳ないことをしました。ゴメン>>651
665:大学への名無しさん
10/02/19 02:52:54 UNtLaPdd0
数IIIですがe^log2=2になるみたいですがなぜでしょうか？
666:大学への名無しさん
10/02/19 04:20:48 QCRvYqalO
>>665
実数ｔを用いて
log２=ｔ
とおく。両辺対数を外して
２=ｅ^ｔ
ｔ=log２を代入して
∴ｅ^(log２)=２
667:大学への名無しさん
10/02/19 04:25:44 UNtLaPdd0
>>666
分かりました。ありがとう
668:大学への名無しさん
10/02/19 12:41:16 OmIiVioQ0
ある個数のお菓子を７個ずつ袋に入れていくと、３個余ってしまった。
８個ずつ袋に入れていくと、４個余ってしまった。
では、これを１４個ずつ袋に入れていくと何個余ることになるか。
答えは１０個になりますが、解説を教えてもらえませんか？
669:大学への名無しさん
10/02/19 12:47:19 p9unAkSx0
>>688
お菓子の個数は7の倍数にも8の倍数にも4足りない数
(もう4個あれば余りと合わせて、7個ずつでも8個ずつでも、ちょうどもう1袋作れる)
すなわち 56の倍数-4 の形の数。
56の倍数は自動的に14の倍数だから、個数は14の倍数に4足りない。
ってことは14で割ったとき余りは10。
670:大学への名無しさん
10/02/19 22:42:27 OmIiVioQ0
>>669
解説ありがとうございます。とても分かりやすかったです。
671:大学への名無しさん
10/02/20 07:53:29 p62KFgSg0
組み合わせの問題です。
８個のお菓子を４つの箱に入れて分けようとする場合、何通りの分け方があるか。
ただし、どの箱にも少なくとも１個のお菓子が入っており、箱には区別がないものとする。
答えは1701通りですが、式が分かりません。
解説お願いします。
672:大学への名無しさん
10/02/20 09:44:01 ff65gpEe0
まずお菓子の数だけ考えると
５１１１
４２１１
３３１１
３２１１
２２２２
の５とうり
５１１１になるのは
８Ｃ５とうり
以下略
673:大学への名無しさん
10/02/20 10:44:50 wfA1J5n60
n>=mのとき、n個のお菓子をm個の箱に入れる入れ方の総数をS(n,m)とする。
S(n,m)の値は、n=mまたはm=1のとき1、それ以外のときm*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)に一致する。
S(n,m)の一般項を求めるには煩雑な計算が必要。手計算でn=8,m=4程度なら一般項求めるより>>672の方法のほうが早い。
674:大学への名無しさん
10/02/20 15:56:22 9iYPgJbl0
和積の公式の導き方で
sinA＋sinBを A＝α＋β、B＝α－βとおけば出せるようですが
そもそもなんでA＝α＋β、B＝α－βとおけるんですか？
675:大学への名無しさん
10/02/20 16:12:06 z2N0QcRMO
逆におけない例をあげてくれ
というか
A＝α＋β、B＝α－β
とおいて計算するんでなくて、加法定理で
sin(α＋β)＋sin(α－β)
を先に計算したうえで
α＋β=Ａ、α－β=Ｂ
を代入してるんだから、なぜおけるかとかじゃない
自分でそうおいてるの
676:大学への名無しさん
10/02/20 16:13:43 3HVuOskC0
>>674
A,Bがどんな数字であっても
α=(A+B)/2
β=(A-B)/2
とすれば、A＝α＋β、B＝α－βを成り立たせることができるから。
質問の意図していることと違うことを答えてたらごめん。
677:大学への名無しさん
10/02/20 16:37:32 SnP3fsGpO
必要十分条件を求める問題では、題意から求めた条件が十分条件であることを最後に必ず確認しないといけないはずですよね？
青チャートのⅢＣ、行列の基本例題18で必要条件を求めたところで終わっているようなので、気になって質問してみました
問題を書かなくてすみません・・・
678:大学への名無しさん
10/02/20 17:15:18 qcpe8v6fO
相変わらず馬鹿ばっかりで質問者が気の毒だな。
対称と反対称、パリティーなどを無視して、
「置けば答えが出るから覚えとけ。論理的には問題無し」
というような馬鹿な回答だな。
置き換えの代数構造をきちんと説明しろよ。馬鹿だから出来ないのか。
679:大学への名無しさん
10/02/20 17:36:19 kqVtc3G30
pedanticな馬鹿もいるけどな
680:大学への名無しさん
10/02/20 20:26:46 YlnmWqqN0
青チャートⅡBの基本例題90（1）なのですが、
次の直線の方程式を求めよ
(1)2直線4x+3y-8=0、5y+3=0の成す角の二等分線
答えに、「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
とあるのですが、何故ここでPは(x,y)だと言い切れてしまうんですか？
直線の式に代入するxの値が、二等分線上の点のx座標の値であると決めているわけですよね？
何を根拠にしているのでしょうか。変な質問なのかもしれませんが納得できないのでお願いします。
681:大学への名無しさん
10/02/20 20:28:06 w8xmu74e0
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを平面上の相異なる４点とする。
（１）同じ平面上の点Ｐが
（＊）｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑＋ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
＝｜ＰＡ↑＋ＰＢ↑｜＾２＋｜ＰＣ↑＋ＰＤ↑｜＾２
を満たすとき、ＰＡ↑＋ＰＢ↑とＰＣ↑＋ＰＤ↑の内積を求めよ。
（２）（＊）を満たす点Ｐはどのような図形か。
（３）（２）で求めた図形が１点のみからなるとき、四角形ＡＣＢDは
平行四辺形であることを示せ。
答えは（１）０（２）線分ＡＢの中点をＭ、線分ＣＤの中点をＮとすると、ＭとＮが異なるとき、点Ｍと点Ｎを直径の両端とする円、ＭとＮが一致するとき、点Ｍ
なのですが・・・
どなたかお願いします ちなみにメジアンの３２３番です
682:大学への名無しさん
10/02/20 20:43:25 tbt2Wee/0
>>680
＞「求める二等分線上の点P（x,y）は、2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」
「求める二等分線上の点Pの座標を（x,y）として、
Pは2直線4x+3y-8=0、5y+3=0から等距離にある。」の意。
直線の式のxやyとは関係ない。
いやなら(p,q)にでもしたらよい、手間が増えるだけだけど。
683:大学への名無しさん
10/02/20 20:46:39 YlnmWqqN0
>>682
関係ないのですか。スッキリしました。
ありがとうございました！
684:大学への名無しさん
10/02/20 22:43:11 M4/r88GBO
>>681
(1)|PA↑+PB↑+PC↑+PD↑|^2
=(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)*(PA↑+PB↑+PC↑+PD↑)
=|PA↑+PB↑|^2+2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)+|PC↑+PD↑|^2
=|PA↑+PB↑|^2+|PC↑+PD↑|^2(∵(＊))
よって
2(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
∴(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=0
(2)PA↑+PB↑=AB↑-2AP↑
=2{(1/2)AB↑-AP↑}
PC↑+PD↑=AC↑+AD↑-2AP↑ =2{(1/2)(AC↑+AD↑)-AP↑}
よって線分AB、CDの中点をそれぞれ点M、Nとすると
PA↑+PB↑=2(AM↑-AP↑)
PC↑+PD↑=2(AN↑-AP↑)
(PA↑+PB↑)*(PC↑+PD↑)=4(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
∴(AM↑-AP↑)*(AN↑-AP↑)=0
よって点Pの奇跡は点M、Nを直径の両端とする円。
点M、Nが一致するときは点M
(3)点M、Nが一致するとき
(1/2)AB↑=(1/2)(AC↑+AD↑)
AB↑-AC↑=AD↑
∴CB↑=AD↑
よって四角形ACBDは平行四辺形
685:大学への名無しさん
10/02/21 01:56:06 F0tWifmP0
>>672
解説ありがとうございます。
５１１１の場合は８Ｃ５で
４２１１の場合だとどういう式になるのでしょうか？
686:大学への名無しさん
10/02/21 04:32:42 /P7RJb2m0
>>673
かっけー
>>685
４２１１は8C4*4C2
３３１１は８Ｃ３＊５Ｃ３÷２
÷２は同じ入れ方を２回数えてるのを修正するためです
687:大学への名無しさん
10/02/21 12:20:00 nTBaDlP2O
∫(1/cosx)dx、∫(1/sinx)dx
の定積分を計算してみたのですが、
ｰlog{1/(cosx)^2}となり、微分すると答えが合いません。
見た目は簡単なのですが、公式のようなものはあるのでしょうか？
688:大学への名無しさん
10/02/21 12:33:24 t90AEp260
＞＞６８４
解説ありがとうございます
689:大学への名無しさん
10/02/21 12:34:22 PhMzD3g80
>>687
ぐぐれば幾らでも出てくると思うけど…。
1/cosx＝cosx/(cosx)^2＝cosx/(1-(sinx)^2)
あとは部分分数分解すればlog～の形に積分できる。
sinの方も同様。
あとどうでもいいけどそりゃ定積分ではなくて不定積分ではなくて。
690:大学への名無しさん
10/02/21 12:36:48 /P7RJb2m0
三角関数の奇数乗なので
∫（sinx）^3dx を∫（sinx）^２＊(-cosx)'dx
∫（1-cosx*cosx）＊(-cosx)'dxと変形していくようにやれば解けるよ
分子分母にcosx or sinxを掛けて部分分数分解
691:大学への名無しさん
10/02/21 12:38:58 OeHcZpUs0
>>687
なんかいろいろ間違ってるぞ。
まず∫dx/cosxは定積分ではなく不定積分。
計算は
sinx=tとく
dt/dx=cosx
∫dx/cosx
=∫(1/cosx)(dt/cosx)
=∫dt/{1-(sinx)^2}
=∫dt/(1-t^2)
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=(1/2)(-log|1-t|+log|1+t|)+C(Cは積分定数)
=(1/2)log|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
692:大学への名無しさん
10/02/21 13:36:15 UHx/S4DIP
簡単な問題になるととたんに‥
693:大学への名無しさん
10/02/21 15:21:07 BgQqep680
微積分の極意 p9 3-(2)の解説において
n乗の式を割り算していますが、どうやったらその計算ができるのでしょうか？
計算の仕方を教えてください。
x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=
a^n-b^n/a-b= のところです。
よろしくお願いします。
694:大学への名無しさん
10/02/21 15:30:54 NswkLS9sO
「-1<t<1のすべてのtに対して|4t^2+2t|≦k」
⇔6≦k
にすごく違和感を感じるんですがどういうことですか？
絶対値の中身が6になることはないのにイコール付きの不等号って。
695:大学への名無しさん
10/02/21 15:53:51 l05+QviIO
>>693
もう少し詳しく書いたら考えてみる
>>694
|4t^2+2t|=Aとおく
-1＜t＜1より
0≦A＜6
であるから
A≦k
をみたす最小のkはk=6
k≧6はAが6を含むって意味じゃなくてkが6を含むって意味
696:大学への名無しさん
10/02/21 16:44:07 0PMlvang0
回答者を罵倒ばかりしている奴がいつもｽﾙｰされてて笑える。
697:大学への名無しさん
10/02/21 19:25:43 BgQqep680
>>695
今回の問題の方を書きます
lim(x→1) x^n-x^-n/x-x^-1 〈nは正の整数〉
です
解答ではこれについて、「x＾ｎ-x^-n/x-x^-1=を x=a、x^-1=bとおいて a^n-b^n/a-b=と求めると見やすい」
と書いています。
698:大学への名無しさん
10/02/21 21:34:14 hkwrvNljO
相変わらず馬鹿が回答してるな。
k≧6に「6を含む」なんて意味はねーよ。
馬鹿は自分の勉強をしてから教えろよ。
教える奴が馬鹿だと、教わる方の馬鹿が可哀想だな。
699:大学への名無しさん
10/02/21 22:52:44 lxVWtayW0
y=|e^x-ax| (0≦x≦1)における最大値が2となるように
aの値を求めよ
という問題なんですがこれはどうしたらいいですか?
f(x)=e^x-ax (e^x>ax)、g(x)=ax-e^x (e^x<ax)となるから
x=α、x=βでf(x).g(x)が最大となるとき
e^α-aαとaβ-e^βの大小を比較して
大きいほうが2であることまではわかりますが・・・
具体的にどう計算したらいいのかがわかりません。
700:大学への名無しさん
10/02/22 01:19:14 JpAOqrYy0
>>694
-1<t<1で|4t^2+2t|は0≦|4t^2+2t|<6
全てのt(-1<t<1)で|4t^2+2t|<k⇔全てのs(0≦s<6)でs<k
これを満たすkは6以上であることが必要十分。答えは6
仮に、全てのs(0≦s≦6)に対しs<kを満たすkの範囲なら6<kになる
また、全てのs(0≦s<6)に対しs≦k⇔6≦k
更に、全てのs(0≦s≦6)に対しs≦k⇔6≦k
6≦k⇔k=6または6<k
6≦k⇔k=6∧6<k なんて書かれたりする。
701:大学への名無しさん
10/02/22 02:02:37 JpAOqrYy0
>>699
以下、愚劣な解き方だが。expx=e^xである。以下どの関数も定義域は[0,1]。
0<aで考えれば十分。
exp(p)=apとなるp∈Rはy=expx/x, y=aのグラフを考えて
a<eのとき0個、e≦aのとき1個
i)a<eのとき
y=expx-ax, dy/dx=expx-a
y=expx, y=aのグラフを考えてx=0または1でyは最大値をとるが、
y=1(x=0)なのでx=1でy=2となる場合を考えればよくa=e-2のとき
yはx=1で最大値2をとる
ii)e≦a
y=expx-ax[0,p],-expx+ax[p,1]
x=pを除く点で微分してyは連続性も考慮してx=0または1で最大値をとる。
i)と同様にしてa=e+2のときでyはx=1で最大値2をとる。
以上からa=e-2,e+2
702:大学への名無しさん
10/02/22 02:16:31 F91ybUq70
文系で数学は2Bまでなのですが、分数の微分を使って解いても点はもらえますか？
703:大学への名無しさん
10/02/22 02:17:02 rhW0Jyfz0
うん
704:大学への名無しさん
10/02/22 02:17:56 JpAOqrYy0
>>697
公式のうち
705:大学への名無しさん
10/02/22 02:35:28 ipQHhQAYO
馬鹿は消えないな。
間違った事を平気で教えるふてぶてしさには、ある意味感心する
論理記号を頑張って使ってみたものの、
使い方が分からず矛盾したことを書いてるし。
∧ってどういう意味だっけ？
本当に馬鹿は治らないんだな、と。
706:大学への名無しさん
10/02/22 02:40:30 JpAOqrYy0
ほんとだ∧じゃなくて∨だった。ご指摘感謝。
707:大学への名無しさん
10/02/22 08:23:48 vYt0Ii/mO
参考書に高校数学範囲外だけど超重要定理だからしっておいた方がいいとして乗ってた定理があるんですけど名前がわかりますか？
行列の公式です
Δ＝行列式
①Δ（Ａ）Δ（Ｂ）＝Δ（ＡＢ）
②Δ（Ａ）^n＝Δ（Ａ^n）
708:大学への名無しさん
10/02/22 09:27:54 E6402V4ZO
>>698
ぅおおすまない｢kの取り得る値の範囲に6が含まれている｣
ということがいいたかったんだが全然違う意味になってたな
しかし間違いの指摘は有り難いが正しく訂正してくれても良いのに
709:大学への名無しさん
10/02/22 10:29:22 4JWa6CHg0
>>707
名前なんてないだろ。
710:大学への名無しさん
10/02/22 12:29:04 GdpfEn4l0
A≧B → A>B 成り立つ
A≧B ← A>B 成り立たない
A≧BはA>Bであるための十分条件
711:大学への名無しさん
10/02/22 13:00:18 sWfEgLli0
逆でしょ
A≧B ⇔ A>BまたはA=B から
A≧B → A>B 偽
A≧B ← A>B 真
A≧BはA>Bであるための必要条件
712:大学への名無しさん
10/02/22 16:36:14 gXSCzh+P0
１～９から３つ同時に選ぶ
3つの積が6の倍数になる選び方は何通りか
・６と他の2つ
8C2=28
・３と６以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８，９）｝
3・6=18
・９と（６，３）以外の｛偶数（２，４，８）と１つ（例：１，４，５，７，８）｝
3・5=15
以上で６１通り
解答は５５通りです
どこで重複してますか？
713:大学への名無しさん
10/02/22 17:17:02 Z3tNqypB0
>>712
二番目と三番目の場合分けで例えば
(3,2,4)と(3,4,2)をそれぞれ一通りとして数えてる
そのやり方よりは
A(1,5,7) B(2,4,8) C(3,9) D(6)
とわけて
・Dと他から2つ
8C2=28
・A,B,Cから１つずつ
3C1*3C1*2C1=18
・Bから2つ、Cから1つ
3C2*2C1=6
・Bから1つ、Cから2つ
3C1*2C2=3
合計55
のほうがいいかも
714:大学への名無しさん
10/02/22 20:09:11 gXSCzh+P0
すっきりしました
ありがとう！
715:479
10/02/22 23:53:45 3mj+o+Cj0
基本対称式についてご質問します。
２つの実数、３つの実数についての基本対称式は教科書等に掲載されていますが、
４つの実数、５つの実数…について記載がありません。
ｎ個の実数における基本対称式はどのように表されるのでしょうか。
716:大学への名無しさん
10/02/23 01:45:45 5WjLbTwv0
a+b+c+d, ab+bc+cd+ac+bd+ad, bcd+acd+abd+abc, abcd
k(k=1,2,...,n)個の積のnCk通りの和
717:479
10/02/23 02:18:26 F+gG23fb0
ありがとうございます。
718:大学への名無しさん
10/02/23 20:52:28 Y3eOJ9+K0
>>701
遅ればせながら、ありがとうございました。
参考になりました。
719:大学への名無しさん
10/02/23 20:59:18 kwN3/01x0
文系プラチカ34番より、本の回答ではnが0以上に絞られていたのですが……
1/xの小数部分がx/2に等しくなるような正の数xをすべて求めよ。
【自分の解答】
小数部分が等しいので2数の差は整数になる。
ゆえに、nを整数とおくと
x/2-1/x=n
⇔ x^2/2-nx-1=0
⇔ x^2-2nx-2=0
⇔ x=n+√(n^2+2) (x>0よりx=n-√(n^2+2)は不適)
プラチカに載ってるのだと、1/xをn+αと置いて進めた結果
x=√(n^2+2)-n （nは0以上の整数）となっていました。
自分のも合っている気がして腑に落ちないのですが、どこが間違っているのでしょうか。
720:大学への名無しさん
10/02/23 21:34:54 tMgNY2j/0
nを整数とおくとx/2-1/x=n とあるがここが問題。
x/2＝2.5 x/2＝1.5 は条件を満たさないが
x/2-1/x=nは満たす。
721:大学への名無しさん
10/02/23 21:46:26 O2wOD8rWP
問題の意味は、｢それぞれの小数部分が一致する｣じゃなくて、｢1/x の小数部分が 2/x そのものに一致する｣
722:大学への名無しさん
10/02/24 03:40:33 kEE3Bpdt0
xcosθ+ysinθ=x+y-1/2
でθが実数全体で変化する時の通過範囲。
解答プロセスをお願いします
723:大学への名無しさん
10/02/24 04:19:51 yKWyJ9JT0
>>722
「θが実数全体で変化するときのxcosθ+ysinθ=x+y-1/2通過領域」
＝「xcosθ+ysinθ=x+y-1/2をみたすθが存在するためのx, yの条件」
＝「ax+by=x+y-1/2, a^2+b^2=1をみたす実数a, bが存在するためのx, yの条件」
→ab平面で円と直線が交わる条件を考える。
724:大学への名無しさん
10/02/24 05:15:10 3ruG50DN0
(x,y)=( tcosθ+(2sinθ)/t , tsinθ-(2cosθ)/t )
からtを消して
(xcosθ+ysinθ)(xsinθ-ycosθ)=2
にしたいのですが計算ができません、どういう風にすれば出るのでしょうか？
725:大学への名無しさん
10/02/24 09:34:08 PEq3igquP
>>724
素直に左辺を計算してみれば
どういう意図でその左辺が出てきたか分かるだろうに‥
726:大学への名無しさん
10/02/24 15:53:30 tNSztp5c0
∫[2,1] 1/(x+√x) dx のアプローチって
t=√x
t^2=x
2t=dx/dt
x 1 → 2:
t: 1 → √2
∫[√2,1] (1/t - 1/(t+1)) 2t dt
=∫[√2,1] ( 2 - 2t/(t+1)) dt
ここまであってますか？
これから行き詰まりました＞＜ 教えてください
727:726
10/02/24 16:35:13 tNSztp5c0
積分範囲は逆でした＞＜；
違うアプローチ試してみました＞＜
1/(x+√x) =1/{√x (√x +1)} = 1/√x - 1/(√x+1)
∫[1,2]1/√x dx
=[-2/3x^(-3/2)][x=1,2]
=-1/3√2 + 2/3 ・・・①
t=√x+1
x=t^2-2t+1
dx/dt=2(t-1)
x: 1 -> 2
t: 2 -> √2 + 1
∫[1,2]1/(√x+1)dx = ∫[2,√2 + 1]2(t-1)/t dt
= 2∫[2,√2 + 1] (1 - 1/t) dt = 2 [ t - logt] [x = 2, √2 + 1]
という方針でよかったですか？
728:大学への名無しさん
10/02/24 18:00:34 EwAxPUh60
新スタ演9.13「四面体ABCD、面ABC上の点PとBCD上の点Q、
AP↑＝xAB↑ + yBC↑、AQ↑= sAB↑ + tAC↑ +uAD↑とおく時
x:y = s:t ならば線分AQとＤＰが交わることを示せ」
C**のレーティングで、解答では いろいろやって結局
「A,D,P,Qが同一平面上だから」線分AQとDPが交わる、としてるのだけれど（x=y=0 または s=t=0 の場合は除外している）
これって「x:y=s:tだからs=kx,t=kyと実数を使って書けるから
AQ↑=k（xAB↑+ yAC↑)+uAD↑
=kAP↑+uAD↑」
で即完了じゃないか?
729:大学への名無しさん
10/02/24 18:22:30 gbastiQZ0
∫[3,0]|4-2x|dxを解いたら、－５になったのですが、答えは５になっています。
みなさんはどうなりますか？本の答えが間違ってるような気がするのですが。
730:大学への名無しさん
10/02/24 18:24:48 Umi8iTcmi
そうだね
731:大学への名無しさん
10/02/24 18:25:38 Umi8iTcmi
絶対値
732:大学への名無しさん
10/02/24 18:26:54 8uyZhC3a0
>>729
お前、そもそも面積がマイナスになる訳ないだろ
区間内でずっと正の関数の積分は面積と同じと言えるが
733:大学への名無しさん
10/02/24 18:31:39 Umi8iTcmi
積分区間が反対かも
734:大学への名無しさん
10/02/24 18:33:33 8uyZhC3a0
おお、そうだｗ
[3,0]なら解くまでもなく－だな
735:大学への名無しさん
10/02/24 19:20:53 yKWyJ9JT0
>>726
2t/(t+1)は(2(t+1)-2)/(t+1)=2-2/(t+1)と変形すれば積分可能。
>>727
1/(√x-1)はわざわざ置換するほどでもないだろ？
>>729
積分区間を[0, 2]と[2, 3]に分ける。
736:大学への名無しさん
10/02/24 20:17:31 Fd/XelPE0
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-np.co.jp)
都立高校入試にまさかのパップスギュルダン降臨でワロタ。
737:大学への名無しさん
10/02/25 00:33:13 bPul88yX0
-1/9の三乗根の求め方を教えてください
738:大学への名無しさん
10/02/25 04:03:48 aWtz/Hqq0
y=x^sinx を微分せよ という問題で、
両辺に自然対数をとる方法ではできるのですが、
合成関数の微分法でできないですか？
dy/dx=dx^sinx/dsinx * dsinx/dx
y'=x^sinx*logx*conx
となるんですが、答えと一致しません。
何処がダメなんでしょうか。
739:大学への名無しさん
10/02/25 05:47:28 SP8uIkJ00
>>738
da^t/dt=a^t*logaの公式を使うならaは定数でなければならない
よってdx^sinx/dsinx=x^sinx*logxの部分が誤り
740:大学への名無しさん
10/02/25 13:38:54 4f/WmTED0
>>738
どうしても対数とるのがイヤだったら、x^(sinx)=(e^(logx))^(sinx)=e^((logx)(sinx))って
変形して微分してみな。
741:大学への名無しさん
10/02/26 04:24:58 dr0n7sCk0
>>739
なるほど。定数じゃないとダメなんですか。
でもそうすると、dx^sinx/dsinx ってどの公式に当てはめれば
いいんでしょうか。(sinx)x^{(sinx)-1} かなと思ったんですが
それでも上手くいかず・・・
>>740
x^(sinx)=(e^(logx))^(sinx)の変形が分かりません。
sinx=log_{e}(x^(sinx))となって、どうするんでしょう。
742:大学への名無しさん
10/02/26 09:56:03 iDtXWWkJ0
>>741
x=e^(logx)となるのは対数の定義から。
二行目は質問の意味がわからない。sinx=log_{e}(x^(sinx))ではないぞ。
743:大学への名無しさん
10/02/26 23:31:59 dDPfZg6Y0
これって計算できますか？
√の中に√はダメなのに、うまく二重根号を外せません
r^2=-6+50√2
r=?
744:大学への名無しさん
10/02/26 23:44:57 iDtXWWkJ0
>>743
√の中に√はダメって誰が決めた？
745:大学への名無しさん
10/02/27 00:00:48 dDPfZg6Y0
ありがとうございます。
√の中に√はダメと勝手に思いこんでいました。
746:大学への名無しさん
10/02/27 01:18:38 hr31qaRw0
2重根号って、√の中に√が入ってるやつの計算だったような・・・
だから√の中に√が入ってる数式は高校生なら見ると思う
747:大学への名無しさん
10/02/27 06:33:26 /u3oIkR10
>>745
てかさ、>>746が言ってるとおりだけど、二重根号を外すって操作がある時点で、
二重根号が認められてるわけだと思わないか？ たとえば√(4+2√3)=√3+1なわけ
だけど、こういうことを高校生がやってるってことは、すでに「√の中に√」が
認められてるわけだよな？
ひょっとして、√iとか√(1+i)みたいに√の中が虚数ってのと混同してないか？
748:大学への名無しさん
10/02/27 12:13:32 QJuBgWKL0
>>723
ありがとうございました。
749:大学への名無しさん
10/02/27 22:54:59 3qaxZ1+h0
I(n)=∫[0.π/2]|sinx-sint|dxの最小値とそのときのtの値を求めよ
ただし0≦t≦π/2
という問題で次のように途中まで解きました
0≦sint≦1なので、sint=sinxとなるxをαととると
I(n)=∫[0.α](sint-sinx)dx+∫[α.π/2](sinx-sint)dx
=2cosα+(2sint)α-(π/2)sint+1
で、αを消去してtだけの式にしようと思い
sinα=sintからα消せないなぁ・・・
と考えそこで挫折しました。
よろしくお願いします。
750:大学への名無しさん
10/02/27 23:49:32 uk7V/MEh0
I(n)=∫[0,t](sint-sinx)dx+∫[t,π/2](sinx-sint)dx
としてみたらいかがでしょうか
751:大学への名無しさん
10/02/27 23:54:41 1/r0ULFQ0
URLﾘﾝｸ(livetube.cc)
国立の数学解説配信あるが
752:大学への名無しさん
10/02/28 06:54:53 3prSqqbw0
>>749
「sint=sinxとなるx」は[0, π/2]にはtしかないから>>750の書いてるとおり。
753:大学への名無しさん
10/02/28 20:48:43 RCK7TFjx0
αβ=12,α^3+β^3=91を満たす実数の組(α,β)をすべて求めよっていう問題がわかりません
教えてください
754:大学への名無しさん
10/02/28 20:59:15 RCK7TFjx0
すみません自己解決いたしました
755:大学への名無しさん
10/03/04 01:58:09 r9kyqax/0
原点Oとする座標空間において、点A(1,0,-1)と点B(2,2,1)をとる
二点A、Bを通る直線 L 上の点Pが、OP⊥L をみたすとき、点Pの座標は?
よろしくお願いします
756:大学への名無しさん
10/03/04 02:02:17 1j1BtDhR0
>>755
OP↑=(1-t)(1,0,-1)+t(2,2,1)とでもおいて、OP↑・AB↑=0。
757:大学への名無しさん
10/03/04 02:03:46 r9kyqax/0
>>756
ありがとうございます
758:大学への名無しさん
10/03/04 08:36:39 r9kyqax/0
f(x) = -f(-x)
および
f(2x)=a・4^x+a-4/4^x+1
が成り立つとき a の値は？
759:大学への名無しさん
10/03/04 09:18:04 +DSMhsU+0
4^x+a-4/4^x+1 のxを2x/2に置き換える
f(x)の式を求める
f(１) = -f(-１)を解いてaの候補を探す
f(x)の式にaの値を代入してf(x) = -f(-x) が成り立つことを確かめる
760:大学への名無しさん
10/03/04 09:25:10 r9kyqax/0
ありがとうございます
761:大学への名無しさん
10/03/04 13:41:02 7KZ+cZHR0
aを任意の実数にするとき、２つの直線 ax+y=a, x-ay=-1 の交点はどんな図形をえがくか
という問題なのですが、答えがx^2+y^2=1 ただし、点（1,0)を除く
となっているのですが、点(1,0)を除くというのはどこからきたのでしょうか？求め方がわかりません。
どなたかお願いします。
762:大学への名無しさん
10/03/04 13:58:13 xcagQs6f0
ax+y=aは直線x=1にだけはなりえない
-x+ay=1も同様に直線y=0にだけはなれないから
763:大学への名無しさん
10/03/04 14:05:24 qSzTnglJ0
>>761
ax+y=a
をaについて解く（aをもうひとつの式に代入する）と、分子が x-1 となるので、場合わけがいる
x=1 とすると y=0 だけど、これはもうひとつの式を満たさないから不適
764:大学への名無しさん
10/03/04 14:11:06 ADwDFeZJP
>>762
ax+y=aはもともと直線x=kをあらわせないし
-x+ay=1もももともと直線y=lをあらわせないんだけど
765:大学への名無しさん
10/03/04 14:13:38 Zj6siFy60
>>761
数式処理時に機械的に処理しちゃう。
①ax+y=aからa=y/(x-1)を導いて、
②x-ay=-1に代入してaを消去する操作をするんだけど、
①のときに分母(x-1)≠0を確認しておかないと①の操作の正当性を主張できない。
で、x-1=0のときはax+y=aからy=0になるので、点(1,0)が除外される。
766:大学への名無しさん
10/03/04 14:17:07 m7ulwyqrP
易しい問題になるとすごい反応だな‥
767:大学への名無しさん
10/03/04 14:19:23 VgE9XZXd0
>x-1=0のときはax+y=aからy=0になるので、点(1,0)が除外される
こう書くと減点だろうね
分子=0 の点が必ず除外されるわけじゃないから
768:大学への名無しさん
10/03/04 14:22:14 1skdA9YY0
>>766
そもそも最近たいした問題ないじゃん
それに、レスが続いたのは、一人目がちんぷんかんぷんな回答したからだと思う
769:大学への名無しさん
10/03/04 14:34:23 Zj6siFy60
>>767
じゃあ続きを頼む
俺はここで討ち死にだｗ
770:大学への名無しさん
10/03/04 14:48:46 1skdA9YY0
>>769
それが>>763でしょ
たとえば
ax+y=a, x-ay=1
だと点(1,0)は除外されないし
答えの図形はわからんけど
771:大学への名無しさん
10/03/04 18:07:43 1j1BtDhR0
その前に>>761に、じゃあx^2+y^2=1はどこから導いたのかを
聞くべきじゃないのか？
772:大学への名無しさん
10/03/04 21:14:20 DBhYrx8W0
答え見ただけだろｗ
773:大学への名無しさん
10/03/05 19:22:50 6/cmDoQL0
x,y,z∈N x<y<z の時
（x+y）^z=（y+z）^x=（z+x）^y
を満たすx,y,zを求めよ
この問題教えてください
気になってさっきまで寝てました
774:大学への名無しさん
10/03/05 20:05:44 Vewu6zhF0
>>773
x<y<zより
（x+y）^z＞(2x)^z
||
（y+z）^x＜(2z)^x
∴(2x)^z＜(2z)^x⇔zlog2x＜xlog2z⇔(log2x)/x＜(log2z)/z(x<z、3≦z)…①
でなくてはならない
f(x)=(log2x)/xとおくと
f'(x)=(1-log2x)/x^2よりx=e/2＞1でf(x)は単調減少だから①に成り得ない
よって題意を満たすx,y,zは存在しない
間違っててもしらん
775:大学への名無しさん
10/03/05 22:15:34 R7BEx51YO
学校の宿題ですが分かりません…
どなたかお願いします
①∫[a→b](x-a)^m(b-x)^ndxをa,b,m,nを用いて表せ
②∫[s→t]√{(x-s)(t-x)}dxを計算し,(1/2)!を求めよ
776:大学への名無しさん
10/03/06 04:10:15 B7pvmAWF0
>>775
URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
777:大学への名無しさん
10/03/06 12:04:31 jEXrkgac0
ご質問します。
不等式の指揮範囲の計算についてなのですが、
A>x>B ―①, C>y>D ―②
という x, y において、x/2 + y/3 を求めよ
という問題があった場合、A, B, C, D に少数が含まれていても、少数-分数 を統一せず
①+②
としても、減点は無いのでしょうか。
ﾁｬｰﾄ模範解答において、それらが片方に統一しようとする流れが見られません。
ご指導お願いいたします。
778:大学への名無しさん
10/03/06 18:44:05 hT5f0Tby0
まあ小数を分数に直しやすい場合は分数で
分数のが小数に直しやすい場合は小数に直せばいいかと
ただ普通は小数点以下○位まで求めよって感じの問題でない限り
数学では既約分数で答える(分数をわざわざ小数になおして
答ってなってるケース殆どないでしょ)
ただ評価の問題(整数関連で多い)とかでは小数で攻めてったほうがいい
例えば3/2＜x＜11/3を満たす整数xを求めろみたいな問題だと
小数に直せば1.5＜x＜3.6666…ですぐx=2,3って分かるでしょ
779:大学への名無しさん
10/03/06 20:18:03 A73ncu6/0
ご質問します。
大学の二次入試験で、2√5 のところを √20 って書いてしまいました。
５点くらいの減点は覚悟した方がいいでしょうか？
ご回答何卒よろしくお願いいたします。
780:大学への名無しさん
10/03/06 20:21:56 t/qgiC4lP
そりゃ減点は覚悟したほうがいいんじゃね
満点かもしれないし、零点かもしれない
781:大学への名無しさん
10/03/06 20:39:02 bcc0qG9o0
ろくでもないクソ大学じゃ無ければ大した減点はしない
私立なら全般で怪しいが、まともな国立なら数点だろう
782:大学への名無しさん
10/03/06 23:18:57 jEXrkgac0
>>778
なるほど。混在させることはせず、状況に応じて使い分けるということですね。
ありがとうございました。
783:大学への名無しさん
10/03/07 18:00:34 j8LvPAg6O
こんにちは。突然ですみませんが、確率の分野で教えて頂きたい問題があります。
以下の問題なのですが、
解き方の出だし(方針)だけでも教えて頂けないでしょうか。
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1,A2,A3,A4のいずれかにある確率をPnとし、
点Ｃがn秒後に頂点B1,B2,B3,B4のいずれかにある確率をQnとする。
(1)3秒後に点Ｃが頂点B3にある確率は□である。
(2)P1=□,P2=□,P3=□である。
(3)Pn+1=□Pn＋□Qn である。
(4)(Qn+1－Qn+2)/(Pn+1－Pn)=□ である。
(5)Pn＋Qn=□,Pn－Qn=(□)^n である。
樹形図を書くことで3秒後までは確率を求めることができますが、確率を一般式で表すことができません。
どのように考えれば(場合分けをすれば)いいのでしょうか。
784:大学への名無しさん
10/03/07 18:03:05 j8LvPAg6O
続けてすみません。大学受験生で高校数学は全て履修しました。
785:大学への名無しさん
10/03/07 19:43:51 KZJZkIO80
>>783
8つの頂点それぞれについてn秒目にCがその点にある確立をn-1秒目の値を元に漸化式で書く
あとはてきとうに和をとるなりなんなり
786:大学への名無しさん
10/03/07 20:01:03 kC7cBTbHO
>>783
n+1秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあるのは、n秒後にA1,A2,A3,A4のいずれかにあって、そこからA1,A2,A3,A4のいずれかに移動する場合と、n秒後にB1,B2,B3,B4のいずれかにあって、そこからAに移動する場合
787:大学への名無しさん
10/03/07 21:27:14 j8LvPAg6O
解くことができました!この系統の問が苦手だったので、とても助かりました。類題探して練習してみます。ありがとうございました!
788:類題
10/03/07 21:39:39 2iS/82qL0
>>787
立方体 A1A2A3A4ーB1B2B3B4 の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う3つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
789:大学への名無しさん
10/03/07 21:59:50 2iS/82qL0
問題ひどすぎました。ごめんなさい
こっちに訂正
正八面体A1A2A3A4A5A6の辺上を動く点Ｃがある。
点Ｃは最初に頂点A1にあり、1秒ごとに立方体の頂点の1つから隣り合う4つの頂点のいずれかへそれぞれ確率1/4で動くものとする。
正の整数nに対して、点Ｃがn秒後に頂点A1にある確率をPnとする。Pnをｎの式で表してください。
790:大学への名無しさん
10/03/07 22:14:21 j8LvPAg6O
ＡとＢのグループ分けでは漸化式が立てられないと思ったので、
立方体をななめに切るように頂点を３つのグループに分けて漸化式を作ろうとしたのですがどう考えればいいのかわからなくなりました…
791:大学への名無しさん
10/03/07 22:40:26 j8LvPAg6O
先程訂正に気付かず、とんちんかんな事を書いてしまいすみませんでした。
訂正後の問を考えました。
八面体の両端それぞれと真ん中の4頂点との3グループに分け、各グループにいる確率を上からPn,Qn,Rnとし、
Pn+1
=1/4Qn
=1/4(Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋Rnｰ1)
=1/4{Pnｰ1＋1/2Qnｰ1＋(1－Pnｰ1－Qnｰ1)}
=1/4(1－1/2Qnｰ1)
とし変形してみたのですが、方針が見えないです…。
Pnだけの漸化式にし、その後漸化式を解く事が目標ですよね。
792:大学への名無しさん
10/03/07 22:59:38 kC7cBTbHO
Pn=1/4Qnｰ1
793:大学への名無しさん
10/03/07 23:32:58 2iS/82qL0
こちらこそとんちんかんですいませんでした
漸化式を書くと
①Pn+1=1/4Qn
②Qn+1=Pn + 1/2Qn + Rn
③Rn+1 = 1/4Qn
ここまで来たら①＋③を計算してPn+Rn=Tnと置けば
④Qn+1=Ｔn + 1/2Qn
⑤Tn+1=1/2Qn
⑤よりＴn+2=1/2Qn+1なので④に代入すると隣接三項間の漸化式になります
794:大学への名無しさん
10/03/07 23:39:33 kC7cBTbHO
そんなことしなくても>>791でPnの二項間になってる
795:大学への名無しさん
10/03/08 01:02:50 ckEGxZ9X0
ID: 2iS/82qL0
ID: j8LvPAg6O
お前らは二人で何をしてんだ？ 問題の出しっこだったら他所でやれ。
796:大学への名無しさん
10/03/08 08:18:06 PaLkOFkEO
>>794 2項間漸化式に見えないです…。
>>793 Tnあたりからの変形に感動しました。似たような問ではいつもこの変形でどんどん複雑にしてしまうのです。
各グループごとに確率を考え、必要な項をnをずらして作りながら足し引きして１つの漸化式を作ればいいのですね。
ありがとうございました!
>>795 ご迷惑をおかけしました。。
797:大学への名無しさん
10/03/08 09:46:17 02l4Guq5O
Pn+1=1/4(1－1/2Qnｰ1)
に
Pn=1/4Qnｰ1
を代入してみろ
798:大学への名無しさん
10/03/08 16:32:57 XVQVj8p10
>>796
私が問題だしたせいで怒られてしまいましたね ごめんなさい
私は２ｃｈのおかげで満足のいく大学に受かったので少しでも恩返しがしたかっただけなののですが
まあでも少しはお役に立てたようなので嬉しいです
799:大学への名無しさん
10/03/09 10:30:58 NptZl8g/0
質問です。
x＾２－(a＋１)x＋a＜０
３x＾２＋２x－１＞０ を同時に満たす整数がちょうど３つ存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
答えは－５≦a＜－４ 、 ４＜a≦５ となっているのですが、aが－５のときxの整数解が－５、－４、－３、－２
また、aが５のときxの整数解が５，４，３，２ のようになり解が４つになってしまうので、
－５＜a＜－４ ４＜a＜５ が答えだとおもうのですが、ちがうのでしょうか。
よろしくお願いします。
800:大学への名無しさん
10/03/09 10:33:26 NptZl8g/0
すみません>>799の者ですが、 ３行目の定数は整数の間違えでした。
801:大学への名無しさん
10/03/09 11:01:09 2yx3T8QK0
>>799
条件の不等式は＜や＞なんだろ？４つにならないんじゃ？
802:大学への名無しさん
10/03/09 12:49:12 NptZl8g/0
>>801
ありがとうございます。よく考えたら４つになりませんでした
803:質問
10/03/10 15:28:40 nEDi2BnI0
３個のさいころを同時に投げる。出た目の積が４で割り切れる事象をＡとする。
１．事象Ａが起こる確率を求めよ。
答え
Ａバーを考えて、そこから１を引けば良いので、
(1)３個とも奇数の目→ 3/6の3乗＝1/8
(2)３個中２個は奇数の目、残り１個は２、６の目→ 3C2(3/6)の2乗×(2/6)の1乗＝1/4
以上より、1-(1/8＋1/4)＝5/8が答え
(2)の、残り１個は２、６と書いてありますが、
４を入れると割り切れてしまうから４は省いたのでしょうか？
804:大学への名無しさん
10/03/10 15:32:07 xLje/OwJ0
そう
805:大学への名無しさん
10/03/10 18:16:54 nEDi2BnI0
>>804
独学なので不安でしたので・・・。
ありがとうございます。
806:質問
10/03/10 19:49:16 nEDi2BnI0
Ｘ2乗＋2Ｘ3乗＋Ｘ2乗＋4Ｘ＋4=0 （全て積ではなくエックスです）
Ｘの一次式を求めよ。
Ｘを求めたい時は両辺をＸ2乗で割って、なんやかんやしてtに置き換えて・・・
って流れは理解できたのですが、
初めの 両辺をＸ2乗で割るって行為は
右辺の０に対してそんな事をしてもなぜ大丈夫なのでしょうか？
左辺はＸ2乗できっちり割れるから良いけど、右辺のＸ2乗で０を割るってなると・・・。
今までの問題は、暗記してしまっている点もあって疑問には思わなかったのですが、
ふと疑問に思ってしまって。
807:大学への名無しさん
10/03/10 19:52:27 rPhqaPlei
問題の意味が不明です
808:大学への名無しさん
10/03/10 20:19:34 R5frNh7k0
>>806
相反方程式でググレカス。
そもそもまず大前提としてx≠0を確認してからx^2で割るんだろ？
何も理解せず手段だけ覚えるからそうなる。
809:大学への名無しさん
10/03/12 18:07:24 pHnIsXYH0
ｘ＞０ ｙ＞０ ｘ＋ｙ=1 の時、1/x＋4/yの最小値を求めよ。
1/x＋4/y=(1/x＋4/y)・(x＋y)
=y/x＋4x/y＋5
ここから相加相乗を使い、＋5をすれば最小値がでる。
なぜ一番初めにｘ＋ｙ(=1)を1/x＋4/yの式にかけてから相加相乗を使うのでしょうか？
810:大学への名無しさん
10/03/12 18:12:35 Bidw+y/XP
>>809
そうすれば相加相乗が使えるから
811:大学への名無しさん
10/03/12 18:14:25 oId6cBm80
y/xとx/yの形が出来るから
812:大学への名無しさん
10/03/12 18:52:09 pHnIsXYH0
>>810 >>811 ありがとうございます。
x＞0 y＞0の時にx＋y=√xyが使えますが、
>>809の問題の1/xと4/yからいきなり相加相乗の式は使えないのでしょうか？
なぜy/xとx/yの式に直す必要があるのですか？
813:大学への名無しさん
10/03/12 18:59:34 lrt4yBi40
>>812
やろうとしてみれば何かわかるんじゃないか？
814:大学への名無しさん
10/03/12 18:59:54 9CU9fp8m0
1/xと4/yについて相加相乗平均の関係を用いると
1/x + 4/y ≧ 2√(4/xy)
となり、xyの最小値は限定することができない。
なので、相加相乗の関係を用いるためには
普通、掛け合わせると√の中の文字が消えたり、根号がはずせる二つの正の数で用いる。
815:大学への名無しさん
10/03/12 19:01:23 pHnIsXYH0
>>813
そのまま直接代入して間違えたのはよいのですが、
なぜそこでy/xとx/yを作ったのか理由が知りたいのです・・・。
816:大学への名無しさん
10/03/12 20:25:52 jditG7NKP
そうか相乗を使ったら定数になる形に変形するため
817:大学への名無しさん
10/03/12 20:34:08 oId6cBm80
"A+1/A"という形で相加相乗を使うとうまくAが消えて定数で抑えられる
っていう定石があるので、この形を目指してx+y=1を分子分母に乗じただけ
別に微分とかが使えるなら
1/x+4/(1-x)のグラフを書くイメージで微分するとか
遠回りだけど2√(4/x(1-x))の最小値を求めて等号成立条件が重なることを確認するとか
やり方は沢山ある。
818:大学への名無しさん
10/03/12 22:50:25 pHnIsXYH0
>>816 >>817
√の中身の分数の分子にxとy 分母にもxとyがある事によって
同士で打ち消しあってくれて定数がでるという事ですね！
納得できました～ ありがとうございます！
819:大学への名無しさん
10/03/13 11:13:30 N1kgAowj0
>>815
> そのまま直接代入して間違えたのはよいのですが、
なぜ出来なかったのかを考えたら、
>>818
> 打ち消しあってくれて定数がでる
こうなっていないからだと気づくと思ったんだけど。
820:大学への名無しさん
10/03/13 18:17:40 EJlRvPY30
「8^44について、最高位の数字を求めよ。
ただし,log_{10}(2)=0.3010 log_{10}(3)=0.4771とする。」
という問題なのですが、8^44が40桁の整数であると求めた後、
8^44の最高位の数字をaとすると a*10^39≦8^44≦(a+1)*10^39
となる理由が分かりません！どなたか教えてください
821:大学への名無しさん
10/03/13 18:20:51 3x3GZIVl0
325は3桁の数で最高位の数を3とすると
3*10^2≦325≦4*10^2
これと同じことだよ
822:大学への名無しさん
10/03/13 18:24:04 EJlRvPY30
>>821
納得できました！！
ありがとうございます
823:大学への名無しさん
10/03/14 17:13:47 xNrz/9kq0
数列の質問なのですが、（nと-1と１は小文字？です。）
Bn=Tn-Tn-1は、Tn-1があるから、このBnはn≧2でしか定義できない。
どうしてn≧1ではないのでしょうか？
824:大学への名無しさん
10/03/14 17:26:57 nBkVcVMq0
>>823
T[1]までしか無いんじゃないの、そこが書いて無いから判断しようがない。
825:大学への名無しさん
10/03/16 20:27:33 bGPrD1yl0
今日の新聞に載ってた神戸大の後期の代ゼミの解答速報についてなんですが
5 立方体 ABCDEFGHの各頂点に白または赤を塗る。ただし立方体の面を構成する六つの正方形それぞれについてその四つの頂点を全て同じ色で塗ってはならないとする。
（1）赤で塗られる頂点の個数が二個の時、塗り方は何通りあるか。
（2）赤で塗られる頂点の個数が三個の時、塗り方は何通りあるか。
（3）・・・
（4）・・・
代ゼミ解答
（1）赤で塗られる頂点が対角線上にあるときより4とおり。
（2）赤で塗られる3つの頂点のうち、2つが対角線上にあり、残り1点は、他の6つの頂点から一つを選べばよい。
4×6＝24とおり
となってます・・が
（2）について、
解答の他に、立方体の面の対角線を結ぶように3点を取っても条件を満たすと思うのですが。。。
その場合は立方体の角の個数より、8とおりあると思います。
24＋8＝32とおり
になると思います。
どうでしょうか？
826:大学への名無しさん
10/03/16 20:45:06 Z58dyZ4M0
なるとおもいます
827:大学への名無しさん
10/03/17 02:25:26 SKS0lD1z0
代ゼミやっちまったなー
828:大学への名無しさん
10/03/17 14:41:50 zUyTrn0r0
aを実数の定数とし、xの2次関数
y=(1/4)x^2 +(a/2)x +(3/4)a^2 -2a -2/5
の表す放物線を C とする。C は x軸と異なる2点 P、Q で交わっている
点Pの座標を ( p , 0 ) 、点Qの座標を ( q , 0 ) とするとき
p<1<q となるような a の値の範囲と、-2<p<1<q となるような a の値の範囲を求めよ
という問題の道筋がよく分かりません
グラフを描いてその条件から式を立てていけばいいのでしょうか・・・？
ヒントを頂きたいです、よろしくお願いします
829:大学への名無しさん
10/03/17 15:03:04 eJgVlaK40
>>828
グラフを描いてその条件から式を立てればいい
と思うよ。
y= の右辺 = f(x) とおいてやると
f(1)=･･･
f(-2)=･･･
など。
当然、f(p)=f(q)=0
830:828
10/03/17 15:50:08 IER+PnzR0
>>829
例として f(x) にどんな数字を当てはめていけばいいのかよく分からないんです
p<1<q の場合、p=0 と p=-1 ではどうも違ってくるような気がして・・・
831:大学への名無しさん
10/03/17 16:11:19 eJgVlaK40
>>830
いまいち質問の意味が不明だが、
二次の係数が正だから、二次関数のグラフは下に凸。
ってことは、
p<x<q ではf(x)<0、x<pではf(x)>0
になるよね？
832:大学への名無しさん
10/03/17 16:15:10 xG905tY+0
f(p)=f(q)=0
とか
p=0 と p=-1
とか全く関係ない
二次関数をかけば一発でわかるが
f(1)<0 ⇔ x<1 の範囲と x>1 の範囲に一つずつ f(x) = 0 となる x が存在
今はたまたま x<1 の範囲の解を p とかで表してるだけ
もう一つも -2<x<1 と 1<x の範囲でx軸と交わるように二次関数を書けば条件は自然と見える
833:大学への名無しさん
10/03/17 16:22:42 WCqvaMkr0
東大の問題の一部です。
ｘｙ平面上の曲線 ｙ＝sinxにそって左から右へ進む動点Pがある。
Pの速さが一定V（V＞０）である時。 Pの速度をベクトルをｖ・・・
解説では ｌｖｌ=V（一定）より、ｖ＝（Vcosθ、Vsinθ）とおけるとありますが、
それがどうしてもわかりません。 Pの速度ベクトルの方向がどうして
そうなるとか教えてください。 お願いします。
834:大学への名無しさん
10/03/17 16:49:42 hgaEKlqn0
速度ベクトル↑v=(a,b)の大きさ|↑v|は、√(a^2+b^2)
これがVにひとしく一定なので、√(a^2+b^2)=V
つまり、a^2+b^2=V^2
つまり、(a/V)^2+(b/V)^2=1
よって、a/V=cos(θ(t)), b/V=sin(θ(t)) とおける。
つまり、a=Vcos(θ(t)), b=Vsin(θ(t)) とおける。
835:大学への名無しさん
10/03/17 17:02:08 WCqvaMkr0
>>834
よーくわかりました。 本当に助かりました。 ありがとうございます。
836:大学への名無しさん
10/03/17 17:34:49 j7V7wAuB0
>>831-832
なるほど、最初の条件だったら f(1)<0 だけで大丈夫でした
次の条件では f(-2) で作ればOKそうです
どうも有難うございました！！
837:大学への名無しさん
10/03/18 01:01:07 UXak2R/W0
「毎年度初めにa円ずつ積み立てると、n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利率をr,１年ごとの複利で計算せよ。」
解説には、「各年度初めの元金は、１年ごとに利息がついて(1+r）倍となる。
そこで、第1年度初めのa円は第n年度末にはa（1+r)^n円、
第2年度初めのa円は第n年度末にはa(1+r)^(n-1)円……となる。」
と書いてあったのですが、どうしても分かりません。
お願いします。教えてください。
838:大学への名無しさん
10/03/18 01:19:02 VG/bz9rX0
>>837
利息、複利ってなんだかわかってるか?
それがわかってるとしたら、利率1％の複利で１万円を丸10年預けたら
(積み立てではない)
1年、2年、…10年後の元利合計がいくらになる?
これもわかったとしたら、毎年1万円ずつの積み立てで10年を考えれ。
最初に預けた1万円は10年間預けたことになる。
1年経過時に預けた1万円は9年間預けたことになる。
これもわかったら、最後に積み立て額をa円、利率をrと一般化すれ。
839:大学への名無しさん
10/03/18 01:39:05 UXak2R/W0
>>838 どうして利息が(1+r）倍になるんですか？
840:大学への名無しさん
10/03/18 02:05:27 ErrbvdMA0
まず解説の日本語を落ち着いて読め
841:大学への名無しさん
10/03/18 02:11:42 VG/bz9rX0
>>839
複利と元利合計とか言葉の意味がわかってないだろ。
預金では例外なく「元金に対して利息がどのくらいの割合で付くか」を%で表示する。
年利1%だったら元金の1%が利息として付く。利息と元金を合わせたのが元利合計。
長く預けると、利息として付いた金にも利息が付くのが複利。
では、1万円を利率1%の複利で預けたら、
(1)1年後の利息
(2)1年後の元利合計
(3)2年後の元利合計
はそれぞれいくらになるのか。
842:大学への名無しさん
10/03/18 09:43:24 fcWiJwLr0
お邪魔します。
添削をお願いいたします。
・赤チャ１＋A p.70 練習78 (1)より
aは定数とする。次の連立方程式を解け。
{3x-y=4, ax-2y=8}
方程式を順に①、②とし、①*2-②より
6x-ax=0
x(6-a)=0
よって x=0 または 6-a=0
[1]x=0のとき
①より
y=-4
[2]6-a=0 すなわち a=6 のとき
②より
3x-y=4
これは①と同じ。
よってx=t(tは実数)とすると、y=3t-4
よろしくお願いします。
843:大学への名無しさん
10/03/18 11:06:08 bkxylj6R0
そこで解答を終えると「x=0のときとa=6のとき」で解を場合分けしているように見えるけれども
問題文でaは定数だと指定されてるのだから定数aの値によって解が異なるということを明確に書けばより良くなると思った。
自分なら同値変形使って次のように書く。
①かつ②
⇔①かつx(6-a)=0
⇔①かつ(x=0またはa=6)
⇔(x,y)=(0,-4)または(①かつa=6)
従って連立方程式の解は
a≠6のとき(x,y)=(0,-4)
a=6のとき(x,y)=(t,3t-4) (t:任意の実数)
844:大学への名無しさん
10/03/18 11:07:55 tv4CkodK0
>>842
赤ちゃの解答もってないんか？
845:大学への名無しさん
10/03/18 11:28:04 Ir5ottAO0
>>842
理系だったら文字を含む二元一次連立方程式は行列で解くのが普通
ていうか多分これから何らかの機会にそう指導されるはず。
1]-6+a=0のとき i.e.a=6のとき
行列([3,-1][a.-2])が逆行列を持たないので
(x.y)=(t.3t-4) (t∈R)
2]-6+a≠0のとき
行列([3,-1][a.-2])の逆行列を左から掛けて
(x.y)=(0.-4)
文系だったら同値性が崩れない限り好きに解いていいかと。
846:大学への名無しさん
10/03/18 12:03:20 fcWiJwLr0
>>843-845
ﾚｽありがとうございます。
>>844
付属の解答持っています。
しかしその解答では場合分けが
[1]a≠6
[2]a＝6
とされており、>>843さんが触れられているように、僕の解答の
[1]x＝0
[2]a＝6
では駄目なのか（試験で減点対象になるか）と
疑問だったので質問させていただきました。
やはり満点は難しいでしょうか？
>>843同値変形や >>845行列を使用しての解答は今まだ理解出来ないので、
ﾁｬｰﾄ２周目時参照用に保存させていただきます。
ありがとうございました。
847:大学への名無しさん
10/03/18 12:13:50 bkxylj6R0
>>846
減点されるか許容されるかは採点基準次第。
定数の値で正しく場合分けして損は無いし、そうすることを勧める。
848:大学への名無しさん
10/03/18 12:15:29 fcWiJwLr0
>>847
わかりました。
ありがとうございました。
849:大学への名無しさん
10/03/18 14:01:56 UXak2R/W0
>>841
(1)100円
(2)10100円
(3)10101円 ですか？
850:質問
10/03/18 17:53:24 ogCP1EG90
問題:y=e^xと、この接線のうち(2,-2)を通るもの、及びx軸y軸で囲まれる面積を求めよ
解答:
接点の座標を(p,e^p)とする
接線の式はy=e^p(x-p)+e^pであり
これが(2,-2)を通るので
-2=e^p(2-p)+e^p
ここまで考えたのですが
このあとp=にうまく変形出来ずに困っています
根本的に解法がおかしいのかと思い、y=e^xをx軸方向に-2移動して考えてみましたがどうもうまくいかず…
おそらく初歩的なミスがあるのだと思いますがよくわかりません
よろしくお願いします
851:大学への名無しさん
10/03/18 17:57:15 rl5KL1jo0
点O を中心とする 半径1 の 円S に内接する 三角形ABC において
AB=AC、cosBAC= 3/5 とする
OA と BC の交点を D とするとき OD の長さと sinOBC を求めよ
という問題で、AB と BD の長さまでは出せたからあとは AD を出せれば半径を引くことで OD を出せると思っているのですが
その AD の長さが導き出せず困っています
ヒントを頂きたいです
852:大学への名無しさん
10/03/18 18:34:23 J/43emyU0
円周角&cosだけで直接ODでるんじゃない
853:851
10/03/18 18:37:35 YAd6+2lt0
>>852
よければ詳しく教えていただけないでしょうか？
854:大学への名無しさん
10/03/18 18:39:58 J/43emyU0
ADは垂直二等分線なんじゃよ
855:851
10/03/18 19:19:08 rkrFTgnS0
>>854
それでBDを出したんですけど、そんなことせずにそのままODが出せるってことですよね・・・？
まったく気付かないです申し訳ない
856:大学への名無しさん
10/03/18 19:39:36 J/43emyU0
∠BOD = (1/2)∠BOC = ∠BAC
使った
857:大学への名無しさん
10/03/18 19:54:31 TPpPTWoki
>>850
取り敢えず、p使って面積出してみたら？
858:大学への名無しさん
10/03/18 19:58:59 zLocCztti
実は使えなかったりしてw
859:大学への名無しさん
10/03/18 21:09:12 VG/bz9rX0
>>849
それでOK。ってことは、最初に預けた分については、元利合計は1年で1.01^1倍、
2年で1.01^2倍になってるわけでしょ。10年だったら1.01^10倍。
積み立てだと毎年一定額を加算することになる。1年経過して預けた金は満期までに
9年経過するから、この分は最初に預けてから10年目の満期時には1.01＾9倍になる。
2年目に預けた金は1.01^8倍、以下同様に9年目まで。
じゃあ全体での元利合計は、(1回に預ける金額)*（1.01＾10 + 1.01＾9 + … + 1.01^1） って
額になるじゃん。あとはここで利率を1%としているのをrとして一般化すればいい。
860:大学への名無しさん
10/03/18 21:10:23 VG/bz9rX0
>>859 >>849を見直してみたら(3)が間違ってた。
10100円が1.01倍になるんだから 当然10201円。
861:大学への名無しさん
10/03/18 21:34:03 UXak2R/W0
>>860 10100＊0,01じゃないんですか？
862:大学への名無しさん
10/03/18 21:38:27 VG/bz9rX0
>>861
最初10100円あって、それに10100*.0.01の利息が付くんだよ。
合計でいくらになるのさ。そしてそれは、掛け算1回で計算するにはどうするのよ。
863:大学への名無しさん
10/03/18 21:39:25 VG/bz9rX0
>>862 勢いで「最初」と描いたが、
「2年目の利息を計算する元になる金が(1年目終了時点での元利合計で)」ってことね。
864:大学への名無しさん
10/03/18 21:44:43 UXak2R/W0
>>863 やっと分かりました！
お付き合いいただきありがとうございます。
865:大学への名無しさん
10/03/18 22:20:35 4hj6GY0i0
>>856
やっと気がつきました！！
どうも有り難うございます！！
866:850
10/03/18 22:27:40 OmL83c/30
>>857
(1/2)e^p-1となりました
(2,-2)を通る条件の使いどころがわかりません
接線の式に代入しても2=e^p(p-3)となるだけですし…この式からp求めるんでしょうか
orz
867:大学への名無しさん
10/03/18 23:43:02 gEluIQkm0
1 と書かれたカードが 3枚、2と書かれたカードが 2枚、3と書かれたカードが 1枚の合計 6枚から
3枚取り出す通りは重複組み合わせと考えていいんでしょうか？
3H3 = 3+3-1C3 = 10
で合っていますでしょうか・・・？
868:大学への名無しさん
10/03/19 00:01:33 uAFmcWxgi
>>866
俺も計算したらそうなったわw
同じ計算ミスが無いなら
それを満たすpを用いてそう書ける
ってことでいいんじゃない？
気持ち悪いけど
869:大学への名無しさん
10/03/19 10:06:58 YAAOloAC0
一応そのpが 3<p<5 の範囲で唯一定まるとか書いておくともう少しいいのかも
870:大学への名無しさん
10/03/19 10:44:46 3KLwfqlC0
ご質問します。
2xy-2y-5x=0
などの式はxyについて2次の項を含んでいるので、
2元2次方程式と言えますか？
それとも2次方程式と呼びたい場合は、
あくまで１つの文字について2次である項を含んでいる必要があるのでしょうか。
ご教授よろしくお願いいたします。
871:大学への名無しさん
10/03/19 12:08:17 YAAOloAC0
普通はxyを２次の項として扱う。
が、そうじゃないこともあるというか、呼び方なんてその場の定義次第なので、
その式の書いてある前後の文脈から判断してくださいとしか言えない。
872:大学への名無しさん
10/03/19 13:59:10 2xtTtMpW0
実数を定義域とする、2回微分可能な関数g(x)が、任意の実数xに対して、
g'(x)＞g''(x)
g(x)＞0
をみたすとき、
g(x)＞g'(x)＞0
が成り立つことを示せ。
どこかの大学入試問題なんですけど、難しくてよくわからないです。
教えてください。
873:大学への名無しさん
10/03/19 17:55:40 JXnTHpiG0
問題をスキャンしてjpgでうｐしちゃやっぱり駄目かな？
874:大学への名無しさん
10/03/20 07:25:19 O7TpGghp0
>>872
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
やってみたものの高校数学の範囲に落とし込むことができなかった
どこの入試問題ですか
875:大学への名無しさん
10/03/20 07:25:33 diXrQYNl0
ご質問します。
【問題】
1/L+1/m+1/n=1 L<=m<=n
を満たす自然数の組をすべて求めよ
【模範解答】
0<L<=m<=n であるから 1/L>=1/m>=1/n ―①
よって、1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L ―②
したがって1<=3/L
ゆえにL<=3
Lは自然数であるから、L=1, 2, 3
【質問内容】
模範解答がこのように続くのですが、①→②が感覚的にしか理解できません。
数学的な式展開を教えてくださいませんでしょうか？
よろしくお願いいたします
876:大学への名無しさん
10/03/20 07:40:08 O7TpGghp0
>>875
(1)からでてくる3本の式
1/L = 1/L
1/L >= 1/m
1/L >= 1/n
を両辺全部足しているだけのことです
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
(1)->(2)が同値変形ではないことに注意するとわかりやすいかも
877:大学への名無しさん
10/03/20 07:41:06 O7TpGghp0
あ、
3 ・ 1/L = 1/L + 1/m + 1/n
ではなくて
3 ・ 1/L >= 1/L + 1/m + 1/n
ですね。もちろん。失礼しました
878:大学への名無しさん
10/03/20 07:46:45 Sm2aVtZTi
1/L<=1/L
1/m<=1/L
1/n<=1/L
全部足すと
1/L+1/m+1/n<=1/L+1/L+1/L
879:大学への名無しさん
10/03/20 08:21:46 O7TpGghp0
>>872
>>874
見直したら酷い間違いがあったので直しました
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
URLﾘﾝｸ(upload.jpn.ph)
880:大学への名無しさん
10/03/20 08:28:40 O7TpGghp0
度々恥ずかしいですが2枚目の"正数α"を"非負数α"に訂正
881:大学への名無しさん
10/03/20 17:26:50 diXrQYNl0
>>876-878
なるほど。同値変形ではないんですね。
このような細かい部分でわからないことが度々あるので苦労します。
ありがとうございました！
882:大学への名無しさん
10/03/20 18:06:31 lxcnIikR0
質問させてください。
１/3－√5 の整数部分をa、小数部分をbとするとき、次の値を求めよ。
という問題なんですが、
まず、分母を有理化して 3＋√5/4
次に 2<√5<3 だから5/4<3＋√5/4<3/2
したがて、整数部分は 1 だから a＝1
ってなってるんですが、何故整数部分が 1 になるのかがわかりません。
2<√5<3 となるから、整数部分は 2 じゃないんですか？
そして 1 はどこから出てきたのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。
883:大学への名無しさん
10/03/20 18:15:00 0p4chNCC0
2<√5<3 となるから、√5の整数部分は2です。
884:大学への名無しさん
10/03/20 18:53:10 0gTwmmjI0
>>867を教えて頂きたいです
885:大学への名無しさん
10/03/20 19:00:12 L0Y3ivjT0
1-1-1
1-1-2
1-1-3
1-2-2
1-2-3
2-2-3
886:大学への名無しさん
10/03/20 19:02:29 F2YOqRk20
>>882
> 5/4<3＋√5/4<3/2
この式の5/4と3/2を小数で書いてみればわかる。
887:大学への名無しさん
10/03/20 19:04:15 F2YOqRk20
>>867
重複組合せの意味が分かってないだろ。
その条件で、3と書かれたカードを3枚取り出すことは可能か？
888:大学への名無しさん
10/03/20 20:53:21 GP9a/oKl0
>>885>>887
有難うございます
確かにその通りでした
こういう場合書き出していくしかないのでしょうか？
考え方がよく分からないんです
889:大学への名無しさん
10/03/20 21:55:28 lxcnIikR0
>>886
ありがとうございます！！
ただ、もし
○<□<△ の式で、 ○＝1.何チャラ、△＝２.何チャラ だった場合、□の整数部分は 1 も 2 も有り得るわけですよね？
その場合はどうやって□の整数部分を判断すれば良いですか？
890:大学への名無しさん
10/03/20 22:06:05 oP61cT4S0
>>888
母関数使ってできるとき「も」あるけど、牛刀はなはだしい。
ごちゃごちゃ考えずに、手動かすのが咲き
891:大学への名無しさん
10/03/21 00:13:02 gX0G71w50
>>889
そうならないように頑張る。
たとえば2<√5<3じゃうまくいかないなら2.2<√5<2.3を使うとか。
892:大学への名無しさん
10/03/21 00:20:57 QixXOkTs0
>>868>>869
ありがとうございました
参考にさせてもらいます^^
893:大学への名無しさん
10/03/21 16:17:58 PawSe8Np0
>>891
なるほどです！ありがとうございます。
ところで>>882の問題で、
2<√5<3 だから 5/4<3＋√5/4<3/2 ってなるのは分かるのですが、どうして √5 の整数部分が 1 だからといって、
3＋√5/4 の整数部分も 1 だと言えるんでしょうか？何度も申し訳ありません。
894:大学への名無しさん
10/03/21 17:08:03 96SCk4h+0
>>893
いい加減分子や分母をカッコでちゃんとまとめてくれ。
>√5 の整数部分が 1 だからといって
誰一人そんなことは言ってない。
2<√5<3
4で割って 2/4 < (√5)/4 < 3/4
3/4を足して (3+2）/4 < (3+√5)/4 < (3+3）/4
つまり 5/4 < (3+√5)/4 < 6/4
ここで(1=)4/4<5/4、6/4<8/4(=2)だから
1< (3+√5)/4 < 2
って(だけの)こと。
895:大学への名無しさん
10/03/21 17:41:18 lrvHf1rt0
>>893
>>886に戻れ。
896:大学への名無しさん
10/03/21 17:57:10 PawSe8Np0
>>894
失礼しました。
ありがとうございます。
お騒がせして申し訳ありませんでした。
897:大学への名無しさん
10/03/21 18:07:23 uQSrqD+a0
ぼくちゃんアホなんで教えてください
この二項定理っぽい問題ができましぇん
Σ(k=1,n-3)k・n-kC3/nC4 (C:combination)
nC4は前に出せますよね。
そのあとに、k・n-kC3は、-(n-k+1)n-kC3+(n+1)C3なんで、
k・nCk=n・n-1Ck-1なんで、これは、-4・n-k+1C4+(n+1)n-kC3
になりましゅ。
この後の計算が不可能なんでしゅ。教えてくりゃさい
898:大学への名無しさん
10/03/21 21:42:50 /cD9tjnD0
>>890
やはり書くしかないっぽいですね
どうも有難うございました
899:大学への名無しさん
10/03/21 23:46:11 Gdi4P8nQ0
模試や入試で使っちゃいけない解法、テクニックを教えて下さい
積分の-1/6公式はダメだと以前この板で見た気がするんですが…まだあるんですかね？
-1/6公式がダメなら積分の次数が奇数の項は0とかもダメな感じがしますけど…
900:大学への名無しさん
10/03/21 23:55:42 LjjkfWre0
>>899
駄目だと思うならいちいち変形して使う
もしくは計算したふりをして使えばいいだけだろｗ
901:大学への名無しさん
10/03/22 00:00:11 djQotPK30
入試なら大学による。京大は対応するらしい。模試は学生が○付けやってるからだめ。
が、どこの試験で使うにしてもその公式とか定理のステートメントと
満たされている適用条件を正確に述べた上で、
出来れば出典も示したほうがいいだろう。結局論文で定理使うのと同じようなことになる。
902:大学への名無しさん
10/03/22 00:04:09 KdPiuHu30
>>897
(x-1)(x-2)(x-3) = (1/4){x(x-1)(x-2)(x-3) - (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}
使えん？
903:大学への名無しさん
10/03/22 00:14:48 KdPiuHu30
nCk = nC(k-1) + (n-1)Ck
と同じか、てかこれできん？
904:大学への名無しさん
10/03/22 10:26:00 2yz/qMoS0
奇関数を[-a,a]で定積分して消えるのは1/6公式よりはるかに自明だろ。
ちゃんと意味わかって使ってる？
905:大学への名無しさん
10/03/22 18:19:30 39LbZ8Tb0
4次曲線C:y=x^4-2ax (a>0) 上の動点P=(t , t^4-2at^2)が-√a≦t≦√aの範囲で動く.
PでのCの接線とCの交点をP , Q=(α,α^4-2aα^2) , (β,β^4-2aβ^2)とする.
ただしα≦βとする.
[1] α+β , αβ をaとtで表せ
[2] ３点PQRが接線上QPRの順になるための条件を答えよ
[3] 線分QRの長さをLとする. L^2をaとtで表せ
[4] a=7/12のときLの最大値を求めよ
[1]でPでの接線を求めてy=x^4-2ax^2と連立してyを消去したのですが、
xの４次式となり解と係数を使おうと思っていたのですがうまく使えず先へ進めませんでした
よろしくお願いします
906:大学への名無しさん
10/03/22 18:53:54 2yz/qMoS0
>>905
その4次式は作り方からtを重根として持つ。P,Qのx座標は残りの2根。
だから、その4次式を(x-t)^2で割って（必ず割り切れる）、その商に根と係数の関係を使う。
907:大学への名無しさん
10/03/22 22:11:36 pzjKGHNv0
>>899
大学入試懇談会でもそんなことは話されてあったな
東北大の教授は1/6公式すら許さないと言うが、
東大は教科書から逸脱しても、どの程度までか知らないが、許すらしいな
908:大学への名無しさん
10/03/22 22:19:11 vIUxitQd0
>>907
フェルマーの最終定理あたりも？
909:大学への名無しさん
10/03/22 22:21:16 cGcpXm9Q0
合同式って使ってもいいの？
910:大学への名無しさん
10/03/22 22:22:53 pzjKGHNv0
>>908
知らない
>>909
合同式の定義や説明は書いて欲しいがなくても減点しないと言っていた。
昨年の懇談会のレポートに書いてある筈だ。
911:大学への名無しさん
10/03/22 22:23:38 pzjKGHNv0
知らない、とは言ったものの、大学入試でフェルマーの最終定理が適用できる
問題に遭遇した試しがないな。小定理ならまだしも。
912:大学への名無しさん
10/03/22 22:24:27 hFlZZwwd0
つーか、合同式とか必要ないだろ
下手の横好き
913:大学への名無しさん
10/03/22 22:27:39 cGcpXm9Q0
合同式使えれば楽に答案書けることあるよ
知らんのか
914:大学への名無しさん
10/03/22 22:30:37 Dp2Dn6bZ0
合同式は答案書きやすくなるというメリットがある。
89年度か91年だったかの東大の整数と数列の問題は
合同式知ってることがほぼ前提で作られてる。
使わないと答案がものすごくまとまらなくなる。
逆に同じくらいの東工大の有名整数問題は合同式使うと
あっけなさすぎて、使うんだったら証明しないと原点お覚悟だろうね。
915:大学への名無しさん
10/03/22 22:34:55 djQotPK30
合同式通り越して環論ごりごり使って回答したら
むしろ減点なしで通りそうな気がするなｗ
916:大学への名無しさん
10/03/23 01:34:19 N/ljoInPP
合同式の定義も色んな公式も一行ぐらいで済むから、答案がスッキリしたり、解答の見通しが良くなるメリットを考えると、合同式使っちゃうな
917:大学への名無しさん
10/03/23 11:20:30 r5jEYLOz0
因数分解について質問させてください。
x^6 -1
という問題を
=(x^2)^3-1
=(x^2 -1)(x^4+x^2+1)
=(x+1)(X-1)(x^4+x^2+1) ―①
と解いたのですが、模範解答では
与式=(x^3)^2 -1
=(x^3+1)(x^3-1)
=(x+1)(x^2 -x+1)(x-1)(x^2+x+1) ―②
となっておりました。
①の３つ目の因数は平方完成を行えば②になりますが、
平方完成が出来る以上、行って、→②とすべきでしょうか。
採点方針にも因ると思いますが、
①の解答では完全な正解とはならないでしょうか？
ご教授お願いいたします。
918:大学への名無しさん
10/03/23 11:29:09 pL73v8KD0
うん。①じゃ因数分解したことにならない。
919:大学への名無しさん
10/03/23 11:29:54 r5jEYLOz0
>>917 つづき
また、解き始めについてなのですが、与式を
(x^2)^3 -1
(x^3)^2 -1
のどちらを選択するかの一般的な方針は
「高次の因数分解 (X^a)^b は a>bを心がける」
というもので間違いはありませんでしょうか？
920:大学への名無しさん
10/03/23 11:30:36 r5jEYLOz0
>>918
ありがとうございます！
921:大学への名無しさん
10/03/23 12:11:08 h0+Xp50d0
東京出版 新数学スタンダード演習2・10についての質問です。
実数a,bが0<a<1,0<b<1を満たすとき、
ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4
が成り立つことを証明せよ。
ですが、解答には不等式の「AまたはBである」を証明したいときは否定「AバーかつBバー」が偽であることを示せばよくて(この１文はおｋ)
本問では「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しないことを示せばよい(この１文が分かりません)
と書いてあります。
これはなぜなんでしょうか。
「0<a<1,0<b<1」ならば「ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4」
を証明するのだと自分は読んでます。したらその対偶を取って
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
になるのではないのでしょうか。結論部分を偽にしてそれを満たすa,bが存在しないことを示せばなぜいいんでしょうか。
それとも背理法で考えると
「0<a<1,0<b<1」かつ「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」で実数a,bが存在しないことを矛盾？としているのでしょうか。
ならば がくっつくとどうなっているのかいまいち分からないんです。どなたかお願いいたします｡ﾟ（ﾉД｀）ﾟ｡
922:大学への名無しさん
10/03/23 12:55:34 yXVXZAyn0
>>921
「"文字の値がある範囲において" A⇒B」の対偶は、ふつう
「"文字の値がある範囲において" ￢B⇒￢A」 の形に書く。
｢実数a,bにおいてa^2+b^2=0ならばa=b=0」の対偶は
「実数a,bにおいてa≠0またはb≠0ならばa^2+b^2≠0」であって、
対偶側に「aとbが複素数の場合……」なんて書かないでしょ？
新スタ演の解答はこれを前提として、「0<a<1,0<b<1の範囲では」を省略しているだけ。
全部書けば、対偶として示された命題は、
【0<a<1,0<b<1を満たすとき、「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」をみたすa,bは存在しない】
であって別に問題はない。
923:大学への名無しさん
10/03/23 13:15:54 6xAApVIS0
>>922
p⇒qは￢p∨qと同値であることより
「p∧q」⇒r ⇔￢p∨￢q∨r
p⇒「q⇒r」 ⇔￢p∨￢q∨r
つま、前提条件を命題の外側に出して議論してもかまわない。
例えば
a.b≧0でa^2>b^2ならばa>b・・・(*)
という命題は以下の二つと同値
(*)⇔a≦bならば「a<0∨b<0∨a^2≦b^2」・・・・(1)
⇔a.b≧0のときa^2>b^2ならばa>b・・・・(2)
君の
>「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」ならば「aは０以下またはaが１以上またはbは０以下またはbが１以上」
というのは(1)のパターン。スタ演の回答は(2)を使っている。
924:大学への名無しさん
10/03/23 13:16:55 6xAApVIS0
アンカ間違えた。
>>922→>>921ね
あとついでだからこの辺のことは
"数学を決める論証力"に書いてあるんで
興味あるなら手元においておくといいよ。
925:大学への名無しさん
10/03/23 13:17:00 h0+Xp50d0
>>922
返信ありがとうございます。
というと単純に前提条件であっただけですね。
その上で不等式はその否定が偽であることを証明するのが良く
0<a<1,0<b<1を満たすとき
「ab>1/4かつ(1-a)(1-b)>1/4」が偽であること、偽であるとはそのようなa,bが存在しないこと
ということでしょうか。
926:大学への名無しさん
10/03/23 14:29:40 yXVXZAyn0
>>925
そう考えてもいい。
あと、ちょっとちゃぶ台返しになるけど、こんな理解もできる。
そもそも問題は(考えているa,bの範囲で)
＞ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4 が成り立つことを証明せよ。
これは「(a,b)が必ず書かれた二つの不等式のどっちかを満たす」
という命題。言っちまえば(a,b)はab≦1/4を満たす集合Pか、
(1-a)(1-b)≦1/4を満たす集合Qかのどっちかには属している、ということ。
これを言うにはPにもQにも属していない(a,b)という要素は存在しないことを
示せばいいわけで、それには
・Pに入らない条件 ab>1/4
・Qに入らない条件 (1-a)(1-b)>1/4
を同時に満たす(a,b)は存在しないことがいえればおっけー。
927:大学への名無しさん
10/03/23 16:02:16 o9H8fLV60
>>923
＞p⇒qは￢p∨qと同値であることより
pを条件「x=0」、qを条件「x=1」、とすれば、
p⇒qは偽の命題であり、
￢p∨qは条件「x=0でないまたはx=1」、つまり条件「x≠0」だから、
同値でないのではないですか？
928:大学への名無しさん
10/03/23 18:25:11 e7awnp400
>>927
pが「x=0」のとき
「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
それはともかく、
p→q と ￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話なので
（あるいは流儀によっては→の定義がそもそもこうなっていることもあるが）、疑う余地はないのだけれど、
形式論理に慣れてないうちはこれを気にしないほうが良いかもしれない。酷い混乱の元になる場合がある。
929:大学への名無しさん
10/03/23 19:00:10 5zp09qwR0
等比数列の和の求め方について教えて下さい。
Sn=a+ar••••••••••ar^n-1の両辺に公比rを掛けて
rSn=ar+ar^2+••••ar^n-1+ar^nになりますが、
rSn=の最後のar^nはどこから出て来たの分かりません。
930:大学への名無しさん
10/03/23 19:01:51 q/Gu9RLZ0
ar^n-1 * r
931:大学への名無しさん
10/03/23 19:07:16 5zp09qwR0
>>930
ありがとうごさいます。
932:大学への名無しさん
10/03/23 22:34:19 EBCCZXIT0
新一浪になるのですが
1A、2Bどっちもセンター3割ぐらいの私文が
一年で早慶レベルまで持っていくことは出来ますかね？
数学自体は嫌いではないのですが・・・
933:大学への名無しさん
10/03/23 23:31:10 lbsW7SH+0
総計レベルって、理系の話か？？
934:897
10/03/23 23:32:35 W8hEjuhJ0
>>903
それだよ＾＾
あり＾＾それ使って階差で消せるｗｗ＾＾
ちなみにそれと同じじゃないよー＾＾
僕が使ったのは、k・nCk=n・n-1Ck-1だ＾＾それを使って一つ変形しただけだよー＾＾
とにかくあり＾＾
935:大学への名無しさん
10/03/24 00:09:29 EBCCZXIT0
>>933
文系です！！
936:大学への名無しさん
10/03/24 00:12:55 Cg5o2Du40
>>928
＞「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞p→q と￢p∨q が同値ってのは形式的に証明（論理関係についてのメタ定理として）出来る話
p,qが命題のとき、同値なのは分かりますが、いまはp,qが条件のときの話ですよね。
p,qが条件のとき、p→q は命題であり、￢p∨qは条件である、
と認識していたのですが、間違いでしょうか？
937:大学への名無しさん
10/03/24 00:33:24 S9liy+iS0
>>936
後半部分について、まず一つ用語を導入する。
「→」は「∨」や「￢」と同じくただの論理結合子なので、p→qが命題で￢p∨qが条件ということはない。
この２つの論理式は同値なので、片方が命題ならもう片方も命題で、片方が条件ならもう片方も条件。
では条件（これは高校数学用語なのだけれども）とは何かというと、高校の教科書範囲では、
中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い。ただし変数との関連が重要なので、
「xについての条件」「x, yについての条件」などと変数名を明記する必要がある。
前半部分はレスを分けます
938:大学への名無しさん
10/03/24 00:34:11 S9liy+iS0
一つ用語を導入すると書いたけれども、編集ミスなので忘れて下さい
（「論理式」について書こうかと思った）
939:大学への名無しさん
10/03/24 00:49:18 b+YX3Fou0
xy平面上に3点A(-5,-1),B(2,13),C(6,1)がある
このとき次の問いに答えよ
(1)線分AB,BC,CAの長さ
(2)∠ABCの大きさ
(3)∠BACの2等分線と線分BCとの交点Dの座標
ABが7√5,BCが4√10,CAが5√5で、
∠ABCが45度というところまでは分かっています。
(3)を教えてください。
940:大学への名無しさん
10/03/24 00:50:40 S9liy+iS0
>>936
前半部分について、
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
同値、という語の使い方が問題であって、その主張は話のレベルが一段階ずれている。
ずれを理解するには論理のトレーニングが必要な気がするけれどもおおざっぱに解説すると、
まずFを高校数学に出てくる論理式全ての集合とする。
式そのものが要素であることに注意。つまり、
Fには「x=0」「x≠0」「(x≠0)∨(x=1)」「1=1」「1+1=2」「1+1=3」などの式が要素として含まれている。
（条件も命題も全て含む）
上のpやqというのは、このFの要素である論理式を値とする変数（文法変数とかメタ変数という）であって、
『p→q と￢p∨q が同値』が定理だというのは、
Fの元からどのようなものをもってきてpとqに入れてみても『p→q と￢p∨q が同値』が成り立つということ。
（定理としての証明は、根拠である公理を書き並べるのが嫌なので略）
一方で君の言う
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
で、結局同値の意味をどう捕らえればよいのかということになるけれども、
これは構文と意味の差という形式論理のめんどくさい（天才を除いて理解に訓練がいる）話になってくるので
これまた省略させて下さい。もし更に詳しくということなら書くけれども。
941:大学への名無しさん
10/03/24 00:58:28 S9liy+iS0
ああそっか、同値なんて語を避ければいいのか
『p→q と￢p∨q が同値』を、
『（p→qが証明できるならば、￢p∨qも証明できる） かつ （￢p∨qが証明できるならば、p→qも証明できる』
としてみたら分かりやすいだろうか。
942:大学への名無しさん
10/03/24 01:05:20 S9liy+iS0
もう一方
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが
についても同値という語を排除して言い換えると
『pが「x=0」かつqが「x=1」ならば、
｛ （￢pが真ならば ￢p∨qも真） かつ （￢pが偽ならば、￢p∨qも偽） ｝ 』
となる。
943:大学への名無しさん
10/03/24 02:00:01 drQupDwtP
URLﾘﾝｸ(tokyotech.net)
このページのヤマを張るなというところにある問題なんですが、
0≦θ≦πのとき、-3sinθ+4cosθの最大値、最小値とそのときのθを求めよ
をベクトルを用いて解くと
-3sinθ+4cosθはベクトル(4,-3)とベクトル(cosθ,sinθ）の内積と見ることができる。
よって、0≦θ≦πのとき最大値はθ=0のとき4で、最小値はtanθ=-3/4のとき-5である。
とありますけど、最大値の求め方はわかるのですが最大値はどのようにしてtanθ=-3/4が出てきたのでしょう？
944:大学への名無しさん
10/03/24 02:05:31 Cg5o2Du40
>>937
＞中に変数が書かれている論理式は全て条件ということで良い
p,qが条件のとき、p→q は、
pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
それは間違いということですかね？
>>940
＞＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、￢pと￢p∨qは同値だと思いますが？
＞というのは、p, qにそれぞれ「x=0」, 「x=1」を持ってきた場合のみ成り立つ話であって、
＞Fの要素一般について成り立つものではない。ここが違う。
Fの要素一般についての話はしていません。
pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
945:大学への名無しさん
10/03/24 02:42:01 uTKl72940
どうして微分をするのか、どうして積分をするのかイマイチ理解できていないのですが、
微分は何のためにするのですか？
積分は何のためにするのでしょうか？
946:大学への名無しさん
10/03/24 08:21:19 S9liy+iS0
>>944
また下の方から回答する．申し訳ない．
＞Fの要素一般についての話はしていません。
＞pが「x=0」、qが「x=1」のとき、前者は後者の必要十分条件ではないかということです。
＞
＞つまり、>>928の「x≠0」は￢pであって￢p∨qではない。は違うのではないかと。
>>928で述べたのは式としての，即ち構文としての等しさ．
「≠」という記号がどう定義されていたかというと，「=でない」であって，
これは論理式にすればそのまま，例えば「x≠0」については「￢(x=0)」と
*同じ式である*ことになる．>>928ではこの「x=0」をpととっていた．
そしてこれに「∨」の記号ともうひとつの論理式「q」を
付け加えた「￢(x=0)∨q」は別の式ということになる．
例えると，x^2 + 2x + 1 と (x+1)^2 は計算すれば等しいけれども，
式の形は違う，というのに似ていなくもない．
君の言うようにqに「x=1」を代入した場合など，限られた場合に
この2つの式の*真偽が同じ*になることもあるけれども，
これは式の形の話とは別のものということ．
当初の問題だったのは「p->q」と「￢p∨q」の同値性だったけれども，
この2つはp, qにどんな論理式（上の記号を使えばFのどんな要素）を代入しても
その真偽が等しいという，特定のp, qの取り方にはよらない同値性を持っている.
947:大学への名無しさん
10/03/24 08:31:28 S9liy+iS0
>>944
そして問題の前半部
＞p,qが条件のとき、p→q は、
＞pがqの十分条件であることを主張する命題と認識してましたが、
＞それは間違いということですかね？
命題と条件という言葉の定義の怪しさを除いて正しい．
ただその怪しさは高校の教科書の書き方に既にあいまいさがあるので，
君に責任はない．
教科書の定義だと
条件とはx=0などのように文字を含んだ文や式，
命題とは真偽がはっきり定まる文や式，
となっている．
その下に「p->q」の話があるけれども，
そこで述べられているのは「p->q」という形の命題についてであって，
「p->q」という形の条件については無視されている．これが問題の一つ目．
さらに偽である命題の例として挙げられる
「x^2=1 -> x=1」のような論理式があるけれども，
これが条件であってはいけない理由は無い．むしろ教科書の定義ではこの論理式は
条件なのだけれども，これを命題として扱っている以上，
教科書の命題の定義にはもう少し加筆が要る．これが問題の二つ目．
長くなったので次レスに移ります
948:大学への名無しさん
10/03/24 08:50:54 S9liy+iS0
>>944
なのでやはり命題の定義をしなおす必要があると思う．
まず教科書に乗っている命題や条件をひっくるめて
論理式と言うということは上の方に書いた．
本当は形式論理らしく人工言語で論理式を定義すべきだけれども，
あまりに煩雑なのでここではそれを避ける．
代わりに教科書の命題の定義の言い回しを真似て，
「正しいか正しくないかはともかく，数学的に何らかの主張をしている式や文」
を論理式の定義としておく．
次に高校数学には無い記法を論理式に加える．
xを変数，Pを論理式としたときに，記号「∀」を使って並べて
「∀xP」の形に書いたものも論理式であることにする．
読み方は「全てのxについてP」．
これが無いと命題の定義が正しくできない．
論理式Pのどこかに「∀xQ」の形が出てきたときに，
Qに変数xが書かれていれば，それは全て"束縛されている"という．
論理式Pのどこかに，変数xがまったく束縛されていない状態で書かれていれば，
それは"自由である"といい，xはPの自由変数であるという．
これは何をしたいかというと，自由変数を含んだ式は真偽が自明ではないということを
述べるための準備．
例を出すと，
「(∀x(x=5)) ∨ (x=7) ∨ (y=3) ∨ (∀z(z=4))」
という論理式で，「x=5」のxは束縛されている，
「x=7」のxは自由，「y=3」のyは自由，「z=4」のzは束縛されていて，
この論理式の自由変数はxとy，となる．
また長くなったので次レスへ行きます
949:大学への名無しさん
10/03/24 09:03:07 S9liy+iS0
>>944
さて命題は真偽がはっきりと定まる式や文，だった．
論理式の真偽ということを考えると，たとえば自然数では
「0=0」というのは常に真だし「0=1」は常に偽で，
これらはまぎれもなく命題と言える．
しかし「x=0」はどうかというと，
これはxの値によって真偽が変わってしまうように見える．
問題はこの論理式が自由変数xを含んでいることで，
これを束縛する為に「∀x(x=0)」としてやると，真偽ははっきりする．
つまりこれは「全てのxについてx=0」ということであり，偽．
より一般に自由変数を含まない論理式は真偽が定まり，
これによって命題の定義としては
"自由変数を含まない論理式"
を取ることになる．
では教科書で命題として書かれていた
「X^2=1 -> x=1」のような場合はどうするのか．
この論理式ではxが自由変数であって，
x=1ならば真，x=-1ならば偽と真偽が分かれてしまうのだけれども，
これを命題と言う場合，つまり真偽が定まっていると考えたいときには，
自由変数を全て「∀」で束縛する．すなわち，
「∀x(X^2=1 -> x=1)」が書かれているものと考える事になる．
これは基本的に便宜的なものであるけれども，
形式論理で一般に通用している事だし直感にもそれほど反しないので
高校の教科書でも暗に使われているのだろう．
まとめは次レス