09/12/19 21:44:44 D1LLXVM60
f(x)=x^2+ax+b(-1≦x≦1)の絶対値の最大値をg(a,b)とすると,g(a,b)≧1/2であることを示せ.
という問題の解答が
f(x)の最大値(最小値)の絶対値を最小に出来るのはx=0のときである。(xの定義域の中心なので)よってf(x)=x^2+b
次に、g(x)＜1/2にするには、f(x)の頂点のy座標が-1/2から1/2の間になくてはならない。よって-1/2＜b＜1/2である。しかしここで、y=x^2のグラフは,x=1(x=-1)のとき必ずその値に１が足される。つまり、-1/2＜b＜1/2の範囲では最大値が必ず1/2以上になってしまう。
したがって、g(x)＜1/2はあり得ない。
∴g(x)≧1/2となり、これにより題意は満たされた
というものなのですが，1行目の意味がよくわからないので，解説をお願いしたいです．
42:大学への名無しさん
09/12/19 21:45:16 5VH8lzpz0
>>24
>(sinθ,cosθ)とベクトル(a,b), (-b,a)の内積の話だと思えば見通しが良いが
やってみたらわかりやすすぎワロタ
43:21
09/12/19 22:52:01 Ya8Tw95B0
ちょっとまってくれ。
ベクトルで考えたって、結局,（a,ｂ）としてその角度で考えるんだろ？
結局sin cosで考えるのと一緒なんじゃないんですか？
あとa,b同時に0でないことを、不等号であらわすのが非常にややこしいので
(a,b)が第一象限のときとかいう、場合分けはダメなのですか？
44:大学への名無しさん
09/12/19 22:52:17 EYZJW2Gw0
>>40
以下、BCへの垂線の長さについて。
Pからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍で（PBがABの(1-k)倍だから）、
Uからの垂線はPからの垂線のk倍なので、
Uからの垂線はAからの垂線の(1-k)倍のk倍だからk(1-k)倍。
Sからの垂線はk倍の(1-k)倍だからやっぱりk(1-k)倍。
従って等しい。
45:大学への名無しさん
09/12/19 23:15:40 gfvOfuqC0
>>43
(a,b)そのものじゃなく、ベクトル(a,b)の向きだけが問題。
a,bが同時に0でないというのは、(a,b)が0ベクトルじゃない、
つまり向きが定まるって事。
ベクトルでやるなら、内積≧0というのはどう言う事かを考えれば
(sinθ,cosθ)が(a,b),(-b,a)の間を向いてるということがわかるから
(a,b)を回してみれば3つの場合があるのはすぐわかる
図を書いて考えてみて ヒント：(a,b)と(-b,a)は垂直
46:大学への名無しさん
09/12/20 00:02:20 quvPxRKe0
>>41
-1≦x≦1は定義域の幅が2である
y=x^2+で定義域の幅が2のとき
y=x^2の値域の幅が最小になるのは-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときであり
そのときの値域の幅の最小値は1
(もし少しずれて-2≦x≦0のときは値域の幅が1より大きくなる)
y=x^2+axで定義域の幅が2のとき
y=g(x)の値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたとき
y=f(x)=x^2+ax+bで定義域の幅が2のとき
値域の幅が最小になるのは,軸がx=0で
そのとき-1≦x≦1の範囲で値域の幅を数えたときでその最小値は1
このとき最大値-最小値=1をみたしながら最大値と最小値は変動していく
y=x^2+ax+bの最大値と最小値をどんどん小さくしていくと、絶対値をつけたときに値がでかくなって折り返される
結局、bをうまくとって、y=x^2+ax+bの最大値1/2,最小値-1/2のときに絶対値をつければ
このときに最大値が最小、ここから少しでもずれると最小値の絶対値が増えるので不可
って感じなんじゃないですかね。。。多分
47:大学への名無しさん
09/12/20 00:05:47 quvPxRKe0
>>44
昨日のID:PTXyOlaR0ですが、ありがとうございます。
平行線を利用して垂線の比は斜めの比、斜めの比は垂線の比
っていうのを使ったのですね。自分ではまったく気がつきませんでした・・・
48:大学への名無しさん
09/12/20 00:07:27 5PbcQnSM0
①黄チャ→1対1→新スタ演習
②青or赤チャ→新スタ演習
どちらがいいでしょうか？
49:大学への名無しさん
09/12/20 02:23:24 n4p6wihcO
xy平面上の半円x^2+y^2=1（ただしy≧0）
およびx軸に接する円の中心の軌跡の方程式は
x<□,□<xのときy=(□/□)x^2-□/□
という問題で、□に当て嵌まるものがわからず･･･
というか問題の意味がよくわからないのですが
誰か解説お願いします
50:大学への名無しさん
09/12/20 02:55:34 9XLShSMw0
>>49
軌跡の意味はわかってるんだよね？
軌跡の方程式を求める問題はやったことある？
51:大学への名無しさん
09/12/20 09:13:04 6UUX0qKkO
相加相乗の使い時が全くわかりません…。
いつ使えばいいんですか?
52:大学への名無しさん
09/12/20 09:38:57 n4p6wihcO
>>50
軌跡の問題は大分やってないから結構忘れていたり･･･
問題の半円の線上を円の中心点が動くって解釈でいいんですか？
53:大学への名無しさん
09/12/20 18:18:54 9XLShSMw0
>>52
半円とx軸の両方に接するような円をたくさん描いたときに
その中心がどのような放物線(実際放物線になるかはわかりませんが)を描くか という問題です。
x軸に接する円の方程式は
(x-X)^2+(y-Y)^2=Y^2 と置けます(半径=中心のy座標)
半円は中心(0,0),半径1なので、
中心間の距離＝円の半径 + 半円の半径 となれば半円と円が接することから
X^2+Y^2 = (Y+1)^2
整理すると
Y=(1/2)X^2 - 1/2
あとはY>0からXの範囲を出せばいいと思いますが、
問題の通り解釈するならば、半円に内接する場合も考えなければいけません。
内接する場合は答えなくていいようなので割愛しますが、
内接の場合も 中心間の距離と半径の関係を用いれば求められると思います。
54:大学への名無しさん
09/12/20 21:30:59 ecoVf5w0O
２円の共通接線を求める方法は、公式もしくはパターンがありますか？
あれば求め方も教えて下さい。
よろしくお願いします。
55:大学への名無しさん
09/12/21 09:54:49 9q+j7BokO
この計算ができません・・・誰か途中の計算過程を解りやすくかいて貰えないでしょうか？
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
ちなみに左のΣは上が2n下がa=1
右のΣは上が3n下がa=2n+1です。見にくくてすみません。
56:大学への名無しさん
09/12/21 10:01:28 HTVYKQ9s0
2番目のΣは
(1/2)(初項＋末項)×項数
を使う
これ以上の説明が必要なら基本問題から復讐してください
57:大学への名無しさん
09/12/21 10:47:14 9q+j7BokO
>>56
理解しました。
ありがとうございます。
58:大学への名無しさん
09/12/21 11:48:16 rpjJ4USg0
AB=３ OA＝１ AOB＝９０°の直角三角形OABを０回りに回転させたとき、Aの移動した点をA' Bの移動した点をB'、A'B'とOBの交点をCと置くとき。
A'がAB上にあるとき、sinAOA'とsinA'OBを求め、OCの長さを求めよ。
なぜか意味が分からず解けないでいます。
誰か解説お願いします。
59:大学への名無しさん
09/12/21 13:09:13 gH9hxBNy0
>>58
どの部分がわからんの？
60:大学への名無しさん
09/12/21 14:43:03 9QEVU+sGO
>>58 OC=18√2/23
61:大学への名無しさん
09/12/21 17:45:26 PoyteXEZ0
主旨からずれた質問かも知れませんが、
空間図形を空間図形と認識できません。
実線も点線も、全部平面に見えてしまって頭が混乱します。
参考書売買スレッド Part8
ｽﾚﾘﾝｸ(jsaloon板:651番)
URLﾘﾝｸ(tlz.doooda.com)
URLﾘﾝｸ(libletmarket.web.fc2.com)
62:大学への名無しさん
09/12/21 20:58:44 4mw13BNxP
質問させてください
URLﾘﾝｸ(up3.viploader.net)
という問題で（2）の解説で
URLﾘﾝｸ(viploader.net)
a[n]=の式がどうしたがって出てくるのかがわかりません
よろしくお願いします
63:大学への名無しさん
09/12/21 21:04:54 VLvTKRpZ0
等差数列の和じゃないので?
64:大学への名無しさん
09/12/21 21:22:58 4mw13BNxP
初項（n+1）末項１で
n/2(a+l）の式に当てはめてるってことですか？
nの部分が(n/3)+1となる理由がわからないです･･･
65:大学への名無しさん
09/12/21 22:03:07 VLvTKRpZ0
項数がz=0からz=n/3までの1+n/3項あり
初項がn+1,末項が1の等差数列になっているように思うのです
66:大学への名無しさん
09/12/21 22:11:43 4mw13BNxP
>>65
ものすごくわかりやすい解説ありがとうございました！
67:大学への名無しさん
09/12/21 23:29:50 kfiaNdRDO
2次不等式において解の公式で2つの解を求めた後の、
文字との大小関係が分かりません。判断の仕方を教えてください。
例えば
2a^2-8a+4<0 から 2±√2 を求めたあと、
2-√2<a<2+√2 なのか
a<2-√2, 2+√2<a なのか 分かりません。
68:大学への名無しさん
09/12/22 00:47:47 x+5+gTZl0
>>67
因数分解した形を考える。
掛け合わせたものが負になるのは、どちらかが正でどちらかが負。
掛け合わせたものが正になるのは、両方負か両方正。
あるいは、グラフで考える。こっちの方が簡単か？
その問題で言えば、y=2a^2-8a+4は下に凸のグラフ。
y<0になるのはy=0の解、つまり、x軸との交点の間。
69:大学への名無しさん
09/12/22 00:51:22 EBviJBAeO
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
この下の問題なのですが
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
どうしてこのような式になるのかわかりません、分数のほうです
あと1:5に内分するってのはどこからきたのでしょうか？
どなたかご教授下さい
70:大学への名無しさん
09/12/22 01:21:35 DtQkmHRu0
>どうしてこのような式になるのかわかりません、分数のほうです
「係数の和が1」の形を無理やりつくっています
5a↑+b↑=6{(5a↑/6)+(b↑/6)}
>あと1:5に内分する
分点の公式を逆に読んでいます
線分ABを1:5に内分する点をXとしたときそのベクトルは
OX↑=(5OA↑/6)+(OB↑/6)
逆に
{(5OA↑/6)+(OB↑/6)}が与えられれば
線分ABを1:5に内分する点を表していると考えます
71:大学への名無しさん
09/12/22 01:25:02 ptQ47RevP
首が折れるだろうが
72:67
09/12/22 01:42:56 0+azSH/eO
>>68
グラフで考えたら式の意味を含めすっと理解できました！
ありがとうございます。
73:大学への名無しさん
09/12/22 08:25:08 x+5+gTZl0
>>69
解説に書いてあるように見えるけど。
線分ABをx：yに内分する点は、OA↑+x/(x+y)AB↑。
ただ、これだと計算しづらいので、例えば3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
そのように上の式を書き換えると、
線分ABをk：1-kに内分する点はOA↑+kAB↑となる。
AB↑=OB↑-OA↑だから、
OA↑+kAB↑=OA↑+k(OB↑-OA↑)=(1-k)OA↑+kOB↑。
上の
> 3：2なら3/5：2/5として、x+y=1となるようにする。
この部分をやっているのが、その解答例にある分数の変形。
例えば、5a↑+b↑の部分は6*((5/6)a↑+(1/6)b↑)と変形している。最初の6はつじつま合わせるためのもの。
(5/6)a↑+(1/6)b↑はABを1/6：5/6=1：5に内分する点を表す。
74:大学への名無しさん
09/12/22 10:58:35 XzEpDSdpO
赤、黄、青のカードが３枚ずつあって、それぞれに１、２、３の数字がひとつずつ書いてあります。
この９枚のカードの中から２枚を無作為に取り出したとき、２枚の色か数字が同じならその２枚を除外します。
この試行を繰り返したとき、除外できずに残るカードの枚数の期待値はいくらになりますか？
75:大学への名無しさん
09/12/22 11:42:47 OC9UOJab0
>>74
繰り返す→無限回、消せなくなるまで繰り返すと考えると、
６枚までは確実に消せて結果的には６枚か８枚消えるから、一枚か三枚残ることしかありえない。
Ⅰ、残るのが１枚のとき
残ったのが赤１、赤２、赤３、黄・・・青・・・
で９通り
Ⅱ、残るのが３枚のとき
一つを固定すると（例として赤１）青と黄の番号の組み合わせは
（青、黄）＝（２、３）（３、２）の二通りが考えれる
赤では２と３もあり赤１の時と同じようになるので２×３＝６
青か黄で仮に固定した際も同じ結果の６通りが出る
Ⅰ、Ⅱから全体の場合の数は９＋６＝１５なので
求める期待値は（１×９+３×６）/１５＝９/５（答）
76:大学への名無しさん
09/12/22 11:48:25 kIkpThMP0
>>74
59/55になってしまった。合っている気がしない。
>>75
例えば、「赤1」が残る場合と「赤1、黄2、青3」が残る場合って同じ確率で起きる？
77:大学への名無しさん
09/12/22 13:42:06 OC9UOJab0
>>76
確かに赤１の時で一枚だけ余る時、黄と青で１１、２２、３３の３通りと赤が２３の両方の可能性があるから４通り
３枚余るのは赤黄青で１２３、１３２の２通りだから確率で考えると明らかに違うな・・・
これは自分のが間違ってる、申し訳ないけれども>>75はスルーしてくれるとありがたいです
78:大学への名無しさん
09/12/22 17:32:30 kIkpThMP0
ちょっと間違えていた。63/55になった。全く自信なし。
79:大学への名無しさん
09/12/23 14:16:14 lKpEeOtLO
かなり初歩的な質問なんですが
0≦X≦1、-1≦y＜1の時、X-Y≧-1と書いてあるんですが何故ですか？m(_ _)m
80:大学への名無しさん
09/12/23 14:27:48 TCO1KbdP0
>>79
X-Yを最も大きくしようと思ったら、Xを最も大きく、Yを最も小さくすればいい。
X-Yをもっとも小さくしようと思ったら、その逆。
だから、-1≦X-Y≦2。
-1≦Y≦1だよね？ -1≦Y＜1だと、X-Yは-1にはなれないよ。
81:大学への名無しさん
09/12/23 16:39:22 lKpEeOtLO
>>80さんありがとう御座います。
>>80さんの考え方で、解決しました。
どもですm(_ _)m
82:大学への名無しさん
09/12/23 17:31:43 YXJy/kjc0
xyz空間内の領域｜ｘ｜≦１の範囲に立体Sがある。
z=0でのSの切り口は、x^2+y^2=1の円となり、x=k(|k|≦1)での切り口は、頂点の一つが(k、0、2)である正方形の周上および内部である。
この時、Sの体積を求めよ。
この問題なんですが、どんな立体になるのか予想もつきません。
どういう考え方で解けばいいのか教えてください。
83:大学への名無しさん
09/12/23 17:32:33 TCO1KbdP0
>>82
積分しろってことじゃないのか？
84:大学への名無しさん
09/12/23 17:36:09 YXJy/kjc0
>>83
積分の立式が分からないのです。
85:大学への名無しさん
09/12/23 17:45:14 xVwrcjj8O
>>82
x=kでの断面は(k,0,2)を1頂点とする正方形で
またその辺上には2点(k,±√(1-k^2),0)がある(z=0の断面がx^2+y^2=1だから)
86:大学への名無しさん
09/12/23 18:05:39 YXJy/kjc0
>>85
すいません、空間図形すごく苦手でその解説でもよくわかりません。
87:大学への名無しさん
09/12/23 18:15:01 xVwrcjj8O
円を垂直な平面で切るとその切り口は２つの点になるってこと(端なら１つだけど)
88:大学への名無しさん
09/12/23 18:24:40 YXJy/kjc0
>>87
すいません、円じゃなくて円板です
89:大学への名無しさん
09/12/23 18:32:35 b0jxRqOKO
式だけじゃ立体図形が直感的に把握できないから、平面に還元して(しかも積分するなら、断面だけ分かればいい)るのに、この質問者は…。
90:大学への名無しさん
09/12/23 18:36:08 xVwrcjj8O
じゃあ２点を結んだ線分L(k)になる
→これは断面である正方形の一部
今正方形の頂点の１つがわかってて、
しかもそれはL(k)の垂直二等分線上にあるから…
って感じで考えればできる
91:大学への名無しさん
09/12/23 23:11:46 BIj6+WAQ0
>>74
>>78が合ってるのかどうか知りたいのだが、答えないの？
92:大学への名無しさん
09/12/24 02:30:51 MYmsZqHjO
lim(n→∞)1／nΣ(1≦k≦n)cos(sin1／k)＝1
どなたか証明お願いします。
93:大学への名無しさん
09/12/24 03:13:19 MR/IFCOiO
どなたかお願いします。河合の数１のマーク模試の問題で、
絶対値を含む方程式についてです。
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
で、解を求める問題なんですが、
解答では
1/√5(x+3)+3＝±x
となって解を求めていました。(ちなみに答えは-3と9/2+3√5/2です)
自分は、|x|^2＝x^2という性質を利用して両辺を2乗して解こうとしたのですが、答えが合いません。このやり方ではだめなんですか？どこが間違えてるのでしょうか？
94:大学への名無しさん
09/12/24 04:35:59 UhpFqu240
a≧0、b≧0のとき a=b ⇔ a^2=b^2
95:大学への名無しさん
09/12/24 04:52:13 rxYRbcZ9O
>>93の左辺はもしかして直線なの？
96:大学への名無しさん
09/12/24 05:07:04 MR/IFCOiO
直線ってどういう意味ですか？
97:大学への名無しさん
09/12/24 06:19:17 MIFbZTth0
>>93
>>94も言ってるけど、必要性と十分性ってことじゃないかな？
98:大学への名無しさん
09/12/24 06:38:06 MR/IFCOiO
申し訳ないですが数学が究極に苦手なんで、
十分性とかいわれてもわかりません。
自分の考え方(両辺を2乗する)はなぜだめなんでしょうか？
超苦手人にもわかるような説明してもらえると非常にありがたいです。
99:大学への名無しさん
09/12/24 07:06:42 d5qR13z60
>>98
君がやっているのは、
a=2
a^2=4
a=±2
とやっているようなもの。
左辺1/√5(x+3)+3が負の場合も含まれてしまう。
100:大学への名無しさん
09/12/24 11:00:35 rxYRbcZ9O
>>96
>>95の話だけど まぁ答えに-3があるから 左辺は1/√5(X+3)(曲線)ではなく、もしかして(X+3)/√5(直線)なのか？ と聞いた
つまりはその表記で間違いないのかを聞きたいわけなんだけど
101:大学への名無しさん
09/12/24 11:31:43 rxYRbcZ9O
すまん、面倒だから計算しなかったんだけど 待つのも面倒だから計算した
結論から言えばそれは普通に二乗していい方程式だけど 出来ればその回答のように答えられるようになっておけ
で、二乗して計算したけどその答えと同じになったから単に>>93の計算ミスなのか計算力無いのか
方程式の両辺に√5をかけて、左辺をX+3aとおいて(a=1+√5)、あとは二乗して二次方程式の解の公式を使って計算できなくなるまで式を整理してからaを代入すればたぶん計算ミスしないからやってみ
蛇足だけど
>>99
|X|=2 両辺二乗して
X^2=4 これを解いて
X=±2
今回の場合は何もおかしくないぞ
102:大学への名無しさん
09/12/24 11:56:15 d5qR13z60
>>101
おかしくなるのは左辺だって。
103:大学への名無しさん
09/12/24 12:09:02 0iPpCM3JO
必要条件は絶対値のほうじゃなくて
1/√5(x+3)+3 ≧ 0
104:大学への名無しさん
09/12/24 12:10:13 0iPpCM3JO
絶対値のほうだけみればxに正負とかの条件はない
105:大学への名無しさん
09/12/24 13:19:00 SXJDqSXv0
すべての実数xにたいして,cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosxが一定となるようなa.bをもとめよ
ただし0a<2π,0<b<2πとする
(答え:(a.b)=(3π/4,7π/4),(5π/4,5π/4))
この問題の解き方を教えてください
とりあえず次のように考えました
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=k・・・(1) とおきxで微分して-1倍すると
sin(x+a)-cos(x+b)+√2sinx=0・・・(2) さらにxで微分すると
cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=0・・・(3)
よってk=0になる このとき
A(cos(x+a), sin(x+a)), B(sin(x+b), -cos(x+b)), C(√2cosx, √2sinx)
とおくと⊿ABCの重心は原点と一致する
というところまで考えられましたがここからどのように答えを出していいか困ってます
おねがいします
106:大学への名無しさん
09/12/24 13:27:46 0iPpCM3JO
>>105
加法低利でばらしてコスxとｻｲﾝxでそれぞれくくる
107:大学への名無しさん
09/12/24 13:41:56 SXJDqSXv0
>>106
それはちょっと計算一辺倒な帰来がするので最終手段としています。。。
同様に必要性で絞っていく解法も見栄えが悪いため取りたくありません。
よろしければ>>105の方針から上手に工夫して導く方法を教えていただけないでしょうか?
108:大学への名無しさん
09/12/24 14:41:08 VzRAYWZ6O
(b~m-a~m)/(b-a)=Σb~(m-1-k)・a~k (k=0～m-1)
これどうやったら導出できるか教えて下さい
プラチカの43番の一行目です
109:大学への名無しさん
09/12/24 14:47:37 d5qR13z60
>>108
よく確認してないけど、右辺に(b-a)/(b-a)を掛けるとどうなる？
110:大学への名無しさん
09/12/24 14:48:44 d5qR13z60
>>108
~じゃなくて^を使ってね。Shift押さずに~のキーを押してみて。
111:大学への名無しさん
09/12/24 14:59:48 VzRAYWZ6O
>>109
Σを展開したらできました
ありがとうございます
112:大学への名無しさん
09/12/24 15:07:06 p3LmWluYi
>>105
＞B(sin(x+b), -cos(x+b))
sin(x+b)=cos(x+b-π/2)
-cos(x+b)=sin(x+b-π/2)
113:大学への名無しさん
09/12/24 15:34:36 KKKdSgKYO
積分で面積がマイナスになることってあるんですか？それっておかしくないですか？
114:大学への名無しさん
09/12/24 16:01:10 Fo8ZQpQ8O
積分≠面積
面積…マイナスにならない
積分…マイナスになるかもね
それ聞くのは演習が足りない証拠だよ
115:大学への名無しさん
09/12/24 16:28:56 KKKdSgKYO
イコールじゃないんですか
ありがとうございました
116:大学への名無しさん
09/12/24 17:05:11 SXJDqSXv0
>>112
それはわかりますが・・・その後はいったいどうしたら・・・
117:大学への名無しさん
09/12/24 18:47:51 gLtcBCQbi
和積？
118:大学への名無しさん
09/12/24 19:01:22 q7Cfu8Vu0
整数問題です
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
119:大学への名無しさん
09/12/24 19:55:21 d5qR13z60
>>118
出題されても。
120:大学への名無しさん
09/12/24 20:35:36 SzysPwhOO
二項定理が何故成り立つかいまいちわかりません。簡単な説明お願いしますm(_ _)m
121:大学への名無しさん
09/12/24 22:14:57 d5qR13z60
>>120
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2のように愚直に展開してから、同類項をまとめようとしたとき、
同類項の数を求めるにはどうしたらいいのかを考える。
122:大学への名無しさん
09/12/24 22:29:14 SzysPwhOO
>>121ありがとうございます。
んーいまいちわからないんですが…
123:大学への名無しさん
09/12/24 22:44:15 d5qR13z60
>>122
(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からaを持ってくるとa^2が出来る。
1つ目の(a+b)からa、2つ目の(a+b)からbを持ってくるとabが出来る。
・
・
・
abというのはaを1個、bを1個持ってくれば出来るから、abという同類項の個数は、
aを持ってくる(a+b)を1個選ぶ選び方に等しい。つまり2C1。
bは残りの(a+b)全てから持ってくるので、あえて言うなら1C1。
n乗で考えた場合、
a^p*b^(n-p)という同類項は、ｎ個の(a+b)からp個選んでaを持ってきて、
残りのn-p個の(a+b)からbを持ってくることで出来るから、その個数は、
nCp*(n-p)C(n-p)=nCp。
124:大学への名無しさん
09/12/25 01:13:11 Z4jckjj+0
>>117
それなら最初から和積かな？
125:大学への名無しさん
09/12/25 07:02:21 GiAqVfLfO
>>93です。
レスくれたみなさんありがとう。
>>101の置き換えるやり方がいまいちわからなかったので、もう一度、自分がやった二乗するやりかたでやり直してみましたが、解がひとつ(-3)しかでませんでした･･･
以下が自分の途中式です。間違いを指摘してもらえれば幸いです
問))
1/√5(x+3)+3＝|x|
の解を求めよ。
式) 両辺2乗して
(x+3)^2/5+9=x^2
左辺を展開して
x^2+6x+9+45/5=x^2
両辺に5かけて
x^2+6x+9+45=5x^2
移項して
4x^2-6x-54=0
2で割って
2x^2-3x-27=0
たすきがけして
(2x-9)(x+3)=0
x=-3,9/2とでました。
126:大学への名無しさん
09/12/25 08:38:22 Z4jckjj+0
>>125
＞式) 両辺2乗して
＞(x+3)^2/5+9=x^2
これおかしくないか？
2*3*(1/√5)*(x+3)
が抜けてるような気がするが？
元の式は
(1/√5)*(x+3)+3=|x|
だよね？
127:大学への名無しさん
09/12/25 09:16:49 mfSg7Epy0
>>125
それは単なる計算間違いだが、指摘されていることを無視しているぞ。
-2=2は成り立たないが、両辺を二乗すると4=4となって成り立つ。
両辺を二乗した等式を成り立たせるxでも、元の式を成り立たせるとは限らない。
成り立つとすると、f(x)=|x|という等式でも、-f(x)=|x|という等式でも同じ解を持つことになってしまう。
二乗した等式から得られる解が元の等式の解でもある場合もあり得るが、それはたまたまそうであるだけ。
128:大学への名無しさん
09/12/25 10:15:33 C41nGX2NO
黄チャ（Ⅲ+C）エクササイズA‐150
「原点Ｏを中心とする半径1の円周Cがxy平面にある。この平面上の点P（≠Ｏ）からx軸に下ろした垂線とx軸の交点をQ、直線ＯPとCとの交点のうち、Pに近い方の点をRとする。
（1）点Pの極座標を（r,θ）として、線分PQ、PRの長さを、それぞれr、θを用いて表せ。
（2）2線分PQ、PRの長さが等しくなる点Pの奇跡Dの極方程式を求めよ。
（3）直交座標に関するDの方程式を求めよ。」
（1）はPQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰなんですが、“θ≠nπ”がわかりません。
これが、（2）の答えr=1／（1±sinθ） （θ≠nπ）にも効いてくるんですが、θは、θ≠π／2+nπになるんじゃないかなと思ったり、（3）の答えy=±（1／2）（x^2‐1）（x≠±1）のxの範囲は違うんじゃないかと思ったりしてしまいます。
129:大学への名無しさん
09/12/25 10:23:42 9fEhxSPO0
詳しく計算してないけど、それ以前に
>PQ=ⅠrsinθⅠ（θ≠nπ,nは整数）PR=ⅠⅠrⅠ‐1
この式は何? Iってどこから出てきた文字なの?
PQ=|rsinθ|, PR=|1-r| かと思ったけど
>θ≠nπ”がわかりません。
θがここの角度にあると垂線がそもそも下ろせないのでは
130:大学への名無しさん
09/12/25 10:48:23 C41nGX2NO
PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰの“Ⅰ”は絶対値として使いました。
θ＝nπだと垂線が下ろせないから、点ということで考えるのはダメでしょうか？
131:大学への名無しさん
09/12/25 10:53:56 C41nGX2NO
PR=ⅠⅠrⅠ‐1Ⅰは解答でもそうなってます。
（2）で分母が0になるnがなぜ除外されてないのかがわかりません。
132:大学への名無しさん
09/12/25 11:05:27 mfSg7Epy0
>>128
問題が不備なのではないかと思う。
θ≠nπなら、極座標（r,θ）はx軸上の点を表せないことになるが、
問題文では原点しか除いていない。
問題文からは、原点以外のx軸上の点も含むと読め、
その場合、垂線の長さは0と考えよと言っているように読める。
つまり、nπを除く必要がないのではないかと思う。
133:大学への名無しさん
09/12/25 11:12:23 9fEhxSPO0
通常極座標では、r≧0で考えるんだけど
その回答はrを実数として考えてるからPR=||r|-1|にしてるんだね
θ≠nπで考えてるのは、さっきも書いたとおりQの存在条件で
そのことを意識してnπ≠0として解答してるんだとおもうけど
(ただしθ=nπのとき点Pと点Qが重なりPQ=0とする)
とでも添えておけば除外しなくても問題ないと思うよ。
r=1／（1±sinθ）でθ≠π／2+nπにしないのは
θ=π／2+nπのときを特別に考えれば、r=1/2になるけど
r=1/1+sinθにθ=π/2をいれればでてくるし
同様にr=1/(1-sinθ)にθ=3π/2をいれればr=1/2がててくるので
結局まとめてr=1／（1±sinθ）としてるんだと。
134:大学への名無しさん
09/12/25 11:27:01 C41nGX2NO
>>132
僕もP≠Ｏが気になってました。
僕のは平成18年10月発行の第11刷ですが、今のはどうなんでしょうね。
>>133
チャートには、極方程式ではr＜Oのときも考えると注がついています。
その上で、（r,θ）と（‐r,θ+π）は同じ点としています。
受験本番でr＞0のみで考えたら楽だし大分速く終わると思いますが、その場合、r＜0の場合も考えた受験生と採点時に差がでる気がして、どうしてもr＜Oの場合も考えてしまいます。
他の参考書ではr＞0になってるんですか？
135:大学への名無しさん
09/12/25 11:30:02 C41nGX2NO
「r≧0になってるんですか？」
ですね。 「 = 」が抜けてました。
136:大学への名無しさん
09/12/25 11:47:45 9fEhxSPO0
>他の参考書ではr＞0になってるんですか？
うん。普通はr≧0で考えるね。
ただでさえ(r.θ)=(r.θ+2nπ)で、不定性があるのにr<0を考えると
（r,θ）=（‐r,θ+π）だから同一点を表す表現が多くなりすぎてうざいし。
無論r<0を考えたほうが問題によっては都合がいい場合もあるけど。
この問題でrを任意の実数とする意味はあまり無いと思う
137:大学への名無しさん
09/12/25 11:59:18 C41nGX2NO
r≧0かr＜Oも含むかは、問題によって判断したほうがよさそうですね。
ありがとうございました。
138:大学への名無しさん
09/12/25 14:00:53 9XeyUkjMO
直線x=1に関する対称移動を表す1次変換を教えてください
2点の移動から考えると、点の取り方によって行列が変わってしまいます
139:大学への名無しさん
09/12/25 14:34:45 LMFbwYAcO
>>138
原点を通らない直線についての対称移動は行列では書けない
140:大学への名無しさん
09/12/25 17:10:34 9XeyUkjMO
>>139
なるほど！
今まで「～の移動は1次変換である」とかの表現に違和感がありましたが、
やっと理解できました
ありがとうございました
141:大学への名無しさん
09/12/25 18:45:50 ZAQtQ1S+0
数Ｂです。
各項が実数で公比がｒの等比数列{bn}がある。b1×b2×b3=27であるときのb2の値を求めよ。
初項をaとおいてb1×b2×b3=27に代入してやってみたのですがこたえがじっすうになりません。
142:大学への名無しさん
09/12/25 18:51:13 9fEhxSPO0
(b2/r)*(b2)*(rb2)=27
⇔(b2)^3=27
でこれ解けば普通に実数になるのでは?
143:大学への名無しさん
09/12/25 18:57:51 mfSg7Epy0
>>141
実際にやってみた計算を書いてみて。
144:大学への名無しさん
09/12/25 22:33:20 SASOrDzeP
>>91 規制で亀になったが多分正解？
１.まず、３×３の桝目に石を置く
２.ランダムに2個選んで、縦または横に同じ列
（数学ではよく列と行という言い方をする）なら取り去る
という事を繰り返す
って事と同じだよね
取り去るときは一度に2個取るから残るのは奇数個
また4個以上ならまだ取り去れる余地があるから
最後まで残るのは1個か3個
3個残るには各行と列に1個づつになるしかない
例えばはじめに縦に取り去ったら次も縦に、しかもずれた形で
取らないといけない等と考えていくと
2回目を上手く取る確率が4/11、このときさらに3回目を
上手く取る条件付確率が1/5で、
結局3個残る確率は4/11・1/5=4/55
よって求める期待値は1+(3-1)・4/55=63/55
145:78
09/12/25 22:38:16 mfSg7Epy0
>>144
マス目で考えるところ（単に考えやすいからってだけだけど）までも同じだった。
146:大学への名無しさん
09/12/26 12:34:42 UaR1kyfZ0
ご質問させていただきます。赤チャートⅠ+A 72ページ 練習80（４） についてです。
【問題本文】
次の方程式を満たす整数x, yの組を全て求めよ。
1/x + 1/y = 1/2 , x>0, y>0
【問題本文終わり】
方程式の整数解に関するchartとして、
①不等式に持ち込め ②( )( )=整数 を導く
とありまして、当問に対する模範解答は、②を使用したものでした。
与式の両辺に 2xy をかけて因数分解に導きます。
答えは
（x, y）=(3, 6), (4, 4), (6, 3)
私は①を利用し解こうと考えまして、以下のような式展開を行いました。
【式展開】
x, y は整数なので、
x≧1, y≧1
よって、
1/y ≦ 1 ― [１]
また、与式より
1/y = 1/2 - 1/x ― [２]
[１], [２]より
1/2 - 1/x ≦ 1
- 1/x ≦1/2
x ≦ -2
条件 x>0 より、x>0, x≦-2を満たす x はない。
よって解なし。
【式展開終わり】
このように、答えが模範解答と異なりました。どこにｹｱﾚｽﾐｽが御座いますでしょうか。
もしくは、この問いには、①は利用できないのでしょうか。ご教授願います。
147:大学への名無しさん
09/12/26 12:44:57 gPg48bPr0
>>146
> - 1/x ≦1/2
> x ≦ -2
ここ、おかしくない？
148:146
09/12/26 12:51:15 UaR1kyfZ0
>>147
丁寧に書くと
- 1/x ≦1/2
-x ≧ 2
x ≦ -2
かと思います。
149:大学への名無しさん
09/12/26 12:56:34 gPg48bPr0
>>148
> - 1/x ≦1/2
> -x ≧ 2
ここ、おかしいと思う。
150:大学への名無しさん
09/12/26 12:58:53 gPg48bPr0
>>148
そもそも、xは正だから、
- 1/x ≦1/2
の左辺は負で右辺は正。つまり、常に成り立つ。
151:146
09/12/26 14:00:50 bgqOMqHM0
逆数をとった場合、不等号は反転するのではないでしょうか。
152:大学への名無しさん
09/12/26 14:03:09 T4NRNgE6P
>>151
xに具体的な数代入してみ
153:大学への名無しさん
09/12/26 14:04:29 gPg48bPr0
>>151
正負が関係してくる。
-2<2
これの逆数をとった場合、逆転する？
154:146
09/12/26 14:14:20 bgqOMqHM0
>>153
しませんね。反転しません。
つまり、>>151は、両辺が同符号だったときに成立するということでしょうか。
155:大学への名無しさん
09/12/26 14:52:27 tlSbBIK7O
>>126
おっしゃるとおり、
もとの式は
(1/√5)*(x+3)+3＝|x|
です
>2*3*1√5*(x+3)が抜けてる
この式はどのようにだしたんですか？計算まちがえにつきあってもらって申し訳ないですが、自分ではどうしても間違いを見いだせません。
156:大学への名無しさん
09/12/26 15:34:50 gPg48bPr0
>>155
(a+b)^2を展開してみて。
157:大学への名無しさん
09/12/26 18:36:20 wmY8adbV0
URLﾘﾝｸ(u.upup.be)
これの③なんですけど、中学生レベルの解法はどうなりますか？
中心角と円周角の関係は使えませんか？
158:大学への名無しさん
09/12/26 19:08:51 gPg48bPr0
>>157
・をa°、×をb°とすると、
41+2a=71+2b
41+a=x+b
a、bは消去できるので、x=56
159:大学への名無しさん
09/12/26 19:19:04 eDNZU2yLO
y=x＾2/(x-1)
条件がx>1
教えてください。
160:大学への名無しさん
09/12/26 19:23:42 TBBf5JsmO
>>159 どうしたというか
161:大学への名無しさん
09/12/26 19:30:30 eDNZU2yLO
>>160
こんな基本みたいなの聞いちゃだめですか？
いまいち分かんないんですよね。
162:大学への名無しさん
09/12/26 19:32:21 eDNZU2yLO
すみません!！
>>159
は最小値を求める問題です。
163:大学への名無しさん
09/12/26 20:31:15 QPoDMj5o0
f(x)=x^2/(x-1)とおくとf'(x)=(((x^2)')(x-1)-(x^2)((x-1)'))/((x-1)^2)
増減表をかけばx=2で最小になるのがわかる
164:大学への名無しさん
09/12/26 20:39:45 eDNZU2yLO
>>163
すげぇ！
ありがとうございます！
165:大学への名無しさん
09/12/26 20:42:17 eDNZU2yLO
>>163
すみません！
1A2Bの範囲でお願い出来ないでしょうか？
166:大学への名無しさん
09/12/26 20:54:01 TBBf5JsmO
x^2/(x-1)は2点(x,x^2)、(1,0)を結ぶ直線の傾き
図からこの最小値はy=x^2の接線のうち(1、0)を通るものの傾き(y=0ではない方)
重解条件(接線をy=lとして)
x^2-l=(x-1)^2
167:大学への名無しさん
09/12/26 20:57:22 TBBf5JsmO
あっ重解条件ミスった
x^2-l=(x-a)^2にx=1から
1-0=(1-a)^2
a=2(0は不適)
あとはlのxの係数出して4
168:大学への名無しさん
09/12/26 21:04:16 3TrWyvOIO
スレ違いな質問かもしれないが
数学ってどれだけ生まれつき苦手な人でも
勉強すればできるようになるのかな。
自分は勉強しても伸びなさそうですごく怖いんだ。
169:大学への名無しさん
09/12/26 21:04:22 Q9rTmQ4W0
【問】
桜塚さんがコインを投げるゲームをし、表か裏かを順に記録する。表が４回出るか、または裏が２回出た時点でゲーム終了とするとき、３回でゲームが終了する確率を求めなさい。
これ答えが２/１５らしいんですけど。。
なりますか？
170:大学への名無しさん
09/12/26 21:08:05 y+++XnCt0
裏と表が出る確率が等確率でなければ
なりうるんじゃないですか?
171:大学への名無しさん
09/12/26 21:12:47 vqi9pURH0
>>159
分母のx^2＝x^2-１+１
＝（x-1）（ｘ+1）＋１となるので（x-1）（ｘ+1）と１で分けると
y=x＾2/(x-1)＝１/(x-1)＋（x-1）（ｘ+1）/(x-1)
＝１/(x-1)＋ｘ＋１
＝１/(x-1)＋（ｘ－1）＋２
（相加平均）≧（相乗平均）より
１/(x-1)＋（ｘ－1）
172:大学への名無しさん
09/12/26 21:25:20 vqi9pURH0
途中送信すまんかった。
>>159
１/(x-1)＋（ｘ－1）≧２√［１/(x-1)＋（ｘ－1）]
＝２
等号が成り立つのは１/(x-1)＝（ｘ－1）、ｘ＞１から
ｘ＝２
元の式から最小値は４になる。
蛇足かもしれないけど、
ｘ＞（０以上）のような奇妙な不等号、
「最小値だけを求める問題」の問題は相加平均と相乗平均の関係を真っ先に疑っても良いと思う
173:大学への名無しさん
09/12/26 21:28:03 vqi9pURH0
訂正・・・度々すいません
［１/(x-1)＋（ｘ－1）]→［１/(x-1)×（ｘ－1）]＝［(x-1)＾（－１）×（ｘ－1）］
174:大学への名無しさん
09/12/26 22:22:57 mBD8QXmF0
>>170
>>169は中学生の問題なので表と裏は等確率なはずです
175:大学への名無しさん
09/12/26 22:51:39 nbuiigil0
>>174
じゃあ、ならない。
176:大学への名無しさん
09/12/27 01:45:25 Y0kriykWO
2,3,4,5,6から作った三桁の数がその残りで割り切れるのは何通りですか？
やり方も教えてもらえると助かります
177:大学への名無しさん
09/12/27 01:49:25 Y0kriykWO
補足
残りってのは二桁です
178:大学への名無しさん
09/12/27 02:15:50 1w9/Pyw80
1972年の京大過去問（PDF注意）
URLﾘﾝｸ(www.watana.be)
解答の以下の下りに疑問を抱いた。
OP の移動する図形は、半径1 内角u の扇形を、x 方向にa 倍、y 方向にb 倍したものに等しい。
したがって、
S = abu
S = (1/2)abu
とならないのは何故なのか分からないので誰かボスケテ…。
179:大学への名無しさん
09/12/27 04:06:10 SSV+I/xWO
>>166
>>172
ありがとうございます。
確かに相加相乗で解くっぽい問題だったんですが、歯がたちませんでした！
180:大学への名無しさん
09/12/27 08:04:09 sUjftJfY0
>>178
S=(1/2)abuです
181:大学への名無しさん
09/12/27 08:06:49 sUjftJfY0
>>176
しらみつぶししかないんじゃないでしょうか
182:大学への名無しさん
09/12/27 08:13:33 sUjftJfY0
>>169
3回で裏表裏か表裏裏の場合なので2/2^3=1/4
183:大学への名無しさん
09/12/27 08:34:16 sUjftJfY0
>>157
解があるならDがBE上にあるときを考えて
角をBに移し
z=(41+71)/2=56
中央の錯角がa°とすると
z+(180-41-a)/2+(180-71-a)/2+180+a=360
z=56
184:大学への名無しさん
09/12/27 11:29:11 va7zyb//O
>>178
ケプラーの法則の問題か。
185:大学への名無しさん
09/12/27 13:56:29 0g43ULnMO
6で割り切れる100以下の自然数について質問があります。
本には6 12 18……と書いてあったんですが、3や9も6で割り切れる100以下の自然数ではありませんか？
考えてるうちにこんがらがってしまいました…どなたか教えて下さい。
186:大学への名無しさん
09/12/27 14:00:46 +rEGlKrD0
>>185
どこがどう割り切れるんだよ。
ちょっと、9÷6を計算してみろ。
187:大学への名無しさん
09/12/27 14:03:55 0g43ULnMO
9÷6は1.5で割り切れるんじゃないでしょうか。
188:大学への名無しさん
09/12/27 14:07:30 rRcSjBpY0
３を６で割ると「０余り３」となる
９なら１余り３の要領で
割り切るとき、整数でないといけません（１、２、３・・・）
言い換えれば少数でると駄目
189:大学への名無しさん
09/12/27 14:09:28 +rEGlKrD0
>>187
それを割り切れるとは言わない。
何も言わずにただ割り切れると言ったら、
商が整数で余りがゼロってこと。
ようするに6で割り切れると言ったら、6の倍数であるってこと。
190:大学への名無しさん
09/12/27 14:18:02 0g43ULnMO
そういうことでしたか…集合の問題をやってるうちにど忘れしてしまいました。
ありがとうございました。
それからもう一つ質問なんですが、
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数なんでしょう？
本には2×3は6だから…と書いてあるんですが、いまいちよくわかりません。
191:大学への名無しさん
09/12/27 14:27:13 +rEGlKrD0
>>190
素因数分解まで戻れ。
192:大学への名無しさん
09/12/27 16:02:44 T50wQTbx0
e^(2x+y) = a とするとき
？ = a
の？をlogをつかって表したいのだけれど解る人いる？
193:大学への名無しさん
09/12/27 16:11:38 Faxu0ud90
log(e^(e^(2x+y)))
194:大学への名無しさん
09/12/27 16:15:38 T50wQTbx0
>>193
指数使わないでってのは無理？
195:大学への名無しさん
09/12/27 17:34:17 Wi/uNF6PO
1+1/√2+1/√3+…+1/√n>2(√(n+1)-1)
を数学的帰納法を用いて証明しなさい
どなたかお願いします
196:大学への名無しさん
09/12/27 18:02:35 Faxu0ud90
>>194
何がしたいのかわからん
>>195
n=kのとき成り立つと仮定すると
1+1/√2+1/√3+…+1/√k-2(√(k+1)-1)>0
次に
1+1/√2+1/√3+…+1/√(k+1)-2(√(k+2)-1)>0を示す
帰納法の仮定より
（左辺）>0+1/√(k+1)+2(√(k+1)-√(k+2))
=1/√(k+1)+2*(-1)/(√(k+1)+√(k+2))（分子の有理化）
>1/√(k+1))-2*1/(√(k+1)+√(k+1))（√(k+1)<√(k+2)で、分数で引き算だから）
=0
略
197:大学への名無しさん
09/12/27 21:39:15 OC+q7WmKO
>>192
問題文をちゃんと書きましょう。
e^x=s,e^y=tと置く、とかなんか前提があるんじゃないの？
198:大学への名無しさん
09/12/27 23:03:29 /3T4l6s50
>>195
理系なら積分による評価
199:大学への名無しさん
09/12/27 23:25:51 V3vEcYwzO
>>198
0点
200:大学への名無しさん
09/12/28 00:47:01 l65k3Hs80
>>180
回答の方に誤りがあるということでしか（`･ω･)ゞ了解ありがとう
>>184
そういえばケプラーだこれ…。
知的な面白さを仕掛けてくるから、ここの問題は好きだなぁ。
201:大学への名無しさん
09/12/28 03:24:12 +6mQHkFX0
>>198が正しい。帰納段階で証明が必要となる1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))は積分で評価可能。
202:大学への名無しさん
09/12/28 11:58:56 IkvUlVya0
>>201
この問題では正しくないし、０点にされても文句は言えないだろ
帰納法で示せってわざわざ問題で指定してるんだから
俺も積分による評価のほうがいいと思うけど、196で問題あるわけでもない
203:大学への名無しさん
09/12/28 12:03:57 IkvUlVya0
連投すまん、勘違いしてた
与不等式をいきなり積分で示すんじゃなくて1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))だけを積分で示すのか
それなら減点はされないだろうけど、何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
与不等式も同様に示せちゃうから、なんか遠回りな解答じゃないかと思う
204:大学への名無しさん
09/12/28 12:40:43 FG1EtG3wO
>>203
あんたあほじゃないの？
205:大学への名無しさん
09/12/28 13:49:03 Cid9AaSH0
任意の自然数kについて√(k+1)+√k＞2√kが成立。
変形して1/√k＞2(√(k+1)-√k)。
k=1,2,...,nとして辺々足しあわせてΣ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を得る。
上のような書き方ができるから、>>203の価値観なら>>196も遠回りとなるはず・・・と言われて反論できるのか？
＞何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
それ出題者からのヒント。
206:大学への名無しさん
09/12/28 14:04:21 Cid9AaSH0
あと、「>>198が正しい」は>>198への反論である>>199が誤りという以上の意味は無い。
「>>196に問題がある」と言われたと思ってｶﾁﾝと来たならそれは誤解だと言っておく。
207:大学への名無しさん
09/12/28 14:11:13 7D9XDLUeO
どうでもいい
208:大学への名無しさん
09/12/28 14:33:54 IkvUlVya0
>>205
その方法はその方法でいいだろと思う
Σ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を示せという問題ならそれこそどんな解答の方法だろうとどうでもいいんだろうが、帰納法でって書いてあるなら･･･と思った
だがその記述がただ単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もないし、理系なら積分で評価が正しいだろうな
209:大学への名無しさん
09/12/28 14:41:55 eMit0uCpO
ｍ、ｎを自然数とする。
ｍｎを3で割った余りが2であるとき、ｍ＋ｎは3の倍数であることを示せ。
整数問題ですが、どのように入っていくのかもわかりません。
合同式を使うのでしょうか？
よろしくお願いします。
210:大学への名無しさん
09/12/28 14:58:43 IkvUlVya0
m=3a+p,n=3b+q(p,qは1または2)（p,qのどちらかが0ならmnは３の倍数となり余り０）
とおける
このとき、(p,q)=(1,1),(1,2),(2,2)の時を考えれば十分
i)(p,q)=(1,1)
のとき、mn=（具体的に計算）で、３で割ると＊余る
ii)略
iii)略
以上から
合同式使ってももちろん解ける
211:大学への名無しさん
09/12/28 15:05:12 lR3qv+8wO
tanxの積分の仕方を教えて下さい
212:大学への名無しさん
09/12/28 15:07:32 IkvUlVya0
tanx=sinx/cosx=-(cosx)'/cosx
213:大学への名無しさん
09/12/28 15:13:02 lR3qv+8wO
>>212
cosxで置換積分か…
盲点だった､ありがとう
214:大学への名無しさん
09/12/28 15:18:00 eMit0uCpO
>>210
わかりました！
ありがとうございます。
ちなみに合同式を使うやり方としては
mn≡2 （mod3）
として…その次はどのように処理していけばいいのでしょうか？
何度もすいません。
整数がどうも苦手で…
215:大学への名無しさん
09/12/28 15:23:54 cqTojpCK0
>>214
積が2だから、1*2か2*1。
1+2≡0。
216:大学への名無しさん
09/12/28 15:35:35 eMit0uCpO
>>215
なるほど…
ありがとうございます。
合同式使うと証明が、3行ぐらいで終わっちゃうんすね…。
217:大学への名無しさん
09/12/28 16:11:41 Cid9AaSH0
>>208
>>205は>>196と全く同等の式変形(√(k+1)+√k＞2√k ⇒ 1/√k＞2(√(k+1)-√k))を使って、君の言う「いきなり証明」をしたもの。
「積分評価を使っていきなり証明できるのだから、積分評価を使って帰納法で証明するのは遠回り」という価値観ならば、
「式変形を使えばいきなり証明できるのだから、式変形を使って帰納法で証明するのは遠回り」と感じないのは何故？というのが俺の疑問。
> 単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もない
補足すると、「数学的帰納法で示せ」と言われてるのに「いきなり証明」をしたら減点される可能性はあるよ。
ヒントというのは、端的に「示せ」と言われただけでは手も足も出ない人でも、
「数学的帰納法で示せ」と言われれば
「n=kのときに成立すると仮定してn=k+1のときにも成立することを示せばいいんだな」と気付き方針が立つかもしれず、
その分だけ難易度は下がるという意味。
> 理系なら積分で評価が正しいだろうな
積分評価と式変形のどちらを選んでも論理的に整合した数学的帰納法の証明を作成できる以上
この問題において両者の間に優劣をつけようという発想は間違いだと思う。
218:大学への名無しさん
09/12/28 16:30:38 Ld0pu+qzO
青チャートを見る限り、数学Ａの平面図形の問題は殆ど入試には出ていないみたいですが、
やはりあまり重要でないということでしょうか？
219:大学への名無しさん
09/12/28 16:34:26 Cid9AaSH0
>>218
参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
数学の勉強の仕方 Part137
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)
220:大学への名無しさん
09/12/28 18:25:18 Ld0pu+qzO
>>219
ごめんなさい。以後テンプレ確認を忘れないようにします
221:大学への名無しさん
09/12/29 16:31:26 mmoTbCzP0
kを正の実数とし、
x^2+y^2<k^2で表される点(x.y)全体の集合をA
y≧(x^2)/2-2kで表される(x.y)全体の集合をBとするとき
A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ
と言う問題を教えてください
AがBに接しているときが限界のkの値の範囲でまずそれを求めると
1)(0.-2k)でA.Bが接するとき→それ無理
2)2点でA.Bが接するとき
接点をT(t.(t^2)/2-2k)とおくと
|OT↑|=kかつOT↑//点TでのBの法線ベクトル
⇔t^2+{(t^2)/2-2k}-2=k^2 かつ (t^3)/2-t^2-(2k-1)t+4k=0
までは出せましたがここからどうしていいかわからなくなりました
よろしくお願いします
222:大学への名無しさん
09/12/29 17:29:33 ulIE6zuT0
集合が接する・・・？
C_k:x^2+y^2=k^2
D_k:y=(x^2)/2-2k
対称性からx≧0の範囲で考える.
とするとA⊂Bとなるためにはk≧0である必要がある.（k=0の時は明らかに成り立つのでk>0の時を考える）
かつその時C_kとD_kが共有点をもたない、または１点のみ持てば十分である.（k>0なのでx=0上の点を共有点の一つとして持つことはない）
D_kをx^2＝の形にしてC_kに代入して判別式≦0でおわり
223:大学への名無しさん
09/12/30 14:51:03 a8o6NErS0
正五角形ABCDEにおいて、a↑=AB↑、b↑=AE↑とする。
k=cos108(=正五角形の内角)とおけばAC↑をa↑b↑およびkを用いて表せ。
四角形ABCDに着目してA,BからECに垂線AH,BIを引けばEH=IC=ABcos72、AB=HI
よってAC↑=AE↑+EH↑+HI↑+IC↑となりますが、
EH↑(=IC↑)はどのように求めればいいのでしょうか？
ABcos72を使えばいいということは分かるのですが･･･
宜しくお願いします
224:大学への名無しさん
09/12/30 14:58:48 jwKiW3zf0
ABcos(72°)=-ABcos(108°)
三角関数の基本的性質
225:大学への名無しさん
09/12/30 15:00:40 jwKiW3zf0
三角関数計算の基礎
URLﾘﾝｸ(www.crossroad.jp)
> cos( 180°－x )=－cosx
226:大学への名無しさん
09/12/30 23:00:44 dUjIrMrG0
整数問題です
手も足も出ません…
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
227:大学への名無しさん
09/12/30 23:05:33 uwISb4pe0
>>226
URLﾘﾝｸ(www2.rocketbbs.com)
228:大学への名無しさん
09/12/30 23:09:09 tOVgdUxw0
>>226
まるちじゃねえか？
つい最近見たぞ。
229:大学への名無しさん
09/12/31 07:30:20 1P5uG7rr0
【東大】東京大学 理科総合スレPart39【理系】
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)l50
に貼られていた、センター数学追試の過去問です。
このスレッドに解法は書かれていません。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
自分で解いてみたのですが、a[5]=b[2] a[17]=b[3]から
連立方程式を導くまでが精一杯です。
スレッド内でも指摘されていましたが、m(n)の意味もわかりません。
m[n]のタイプミスだと思うのですが……。よろしくお願いします。
230:大学への名無しさん
09/12/31 07:46:10 pjh25z+Q0
>>229
何を堂々とマルチしてんだ？
231:大学への名無しさん
09/12/31 11:12:55 7Bqfv+cL0
>>229
問題書いて
232:大学への名無しさん
09/12/31 11:25:17 4SS3bZsI0
>>230
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
マルチポストの指摘はURLつきで。
マルチと言うなら>>227みたいにマルチ先を示せ
まさかｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:940番)とか言わないだろうな？
233:大学への名無しさん
09/12/31 13:55:00 vMdqpwF40
半径2の円Ｃ1は点(8/5、6/5)で円Ｃ2：ｘ^2+ｙ^2-8ｘ-6ｙ+16＝0に外接しているときの円Ｃ1の方程式をもとめよ。
お願いします。
234:大学への名無しさん
09/12/31 14:42:26 iDuqo3CH0
外接 中心間の距離＝半径の和
2円の中心と点(8/5、6/5)
について内分や外聞で考えれば良い
235:大学への名無しさん
09/12/31 18:11:26 1P5uG7rr0
>>230-232
申し訳ありませんでした。
時間を見つけて自分で考えます。
236:大学への名無しさん
09/12/31 18:54:51 4SS3bZsI0
>>235
赤本を探した方が早いんじゃないか。
ネタの可能性もある。
237:大学への名無しさん
09/12/31 21:32:30 XrDSn0ZE0
普段は対称性を活かせ活かせと教わると思うのですが
逆に対称性を崩したほうがいい場合ってどういうものがありますか?
自分が経験した限り、整数問題で、対称式になっていて
不等式で絞込むときに自力で大小設定をつけて求める問題なんかと
2001年度の京都大学のベクトルにおける存在証明くらいなんですけど
どういうときに対称性を崩して解くべきなのかがいまいちわかりません。
238:大学への名無しさん
09/12/31 21:34:29 7Bqfv+cL0
処方は無いのではないでしょうか
239:大学への名無しさん
10/01/02 01:59:21 bEjRiNJb0
>>234
内分、外分の考え方がわからないのですが、
点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
もう少し詳しく教えていただけたらありがたいです。
ここの単元苦手なものでして・・・。
240:大学への名無しさん
10/01/02 19:01:27 uQncbEqi0
>>239
> 点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
円の中心から接点までの距離は半径でしょ？
241:大学への名無しさん
10/01/02 23:51:54 bEjRiNJb0
>>240
はい、それはわかったのですがそこからどうすればいいかわからないんです。
内分・外分の導き方がわからないんです。
242:大学への名無しさん
10/01/03 00:16:53 RdYfh7fl0
>>241
へっ？
内分とか外分って言葉に惑わされすぎ。
図を描いてみれ。
243:大学への名無しさん
10/01/03 01:26:51 AH/YZTV70
>>242
書いてみました。求める円の中心と半径の距離は2ということは図からもわかりました。
中心間の距離＝半径の和 で中心間の距離は5
あっているでしょうか？
244:大学への名無しさん
10/01/04 17:04:07 tyLKbgHY0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
(1)はたぶんだけどa>1ですよね？
(2)がわかりません。代入して計算するんでしょうか？
答えは0<a<4だと思うんですが違いますか？
245:大学への名無しさん
10/01/04 17:12:51 MooiMciE0
>>244
違わないか？
どういう計算をしてそうなったんだ？
246:大学への名無しさん
10/01/04 17:49:44 PsUVGkeO0
どうなったら0<a<4になったからですか？
a^2x(1-x){1-ax(1-x)}=xとしたんですよ
x{a^2(1-x)(1-ax(1-x))-1}=0
よって
a=1/ax(1-x)(1-ax(1-x))として
0<x<1と1>xにわけた。
とりあえず(1)も(2)も成り立つと仮定したらと
xの範囲からaを求めると思うのですが書き方難しいです。
教えてください
247:大学への名無しさん
10/01/04 23:16:52 l5zposVq0
(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6),(2,3)(2,4)(2.5)(2.6)
(3.4),(3.5),(3.6),(4.5),(4.6),(5.6)の15個の格子点から6個の格子点を選ぶとき
x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
となるときの組み合わせの数を求めたいのですがどうしたらいいですか?
248:大学への名無しさん
10/01/04 23:31:14 7W//Hurp0
実際に点を並べてみると
x座標がkまたはy座標がkのものはどのk(k=1.2.3.4.5.6)
に対しても5個あるから5C2×10C4じゃダメなの？
249:大学への名無しさん
10/01/04 23:46:29 l5zposVq0
そんなに多くは無いみたいです。
最初自分が130個と出したんですけど
数えすぎているといわれました。。
250:大学への名無しさん
10/01/05 00:22:35 Lm0zYO6Z0
＞x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
そうか、これはすべてのkに対して2個ずつ、と解釈すべきなんだな
上手く説明できないけど６角形のすべての
頂点を他の２頂点と結ぶ問題と同じ？
ループがいくつになるかで分類する。
ループは最低3個の頂点からなるから
3個と3個か、6個全部に限る
3個3個の場合、2組に分けてしまえば結び方は1通りしかないから6C3/2通り
6個の場合は数珠順列で(6-1)!/2通り
合計70通りかな？
251:大学への名無しさん
10/01/05 00:37:49 jsUMSt+l0
>６角形のすべての頂点を他の２頂点と結ぶ問題
これはかなり的を射た対応付けですね。。
数珠順列に帰着させられるところか良くわからないので
ちょっとこの方針で考えてみます
252:大学への名無しさん
10/01/05 01:14:52 jsUMSt+l0
しかし、6角形の頂点を選ぶ問題を連想できるのってすごいと思うんですけど
こういうことを思いつくのになにか秘訣とかあるんですか?
格子の最短経路に対応させるとか
仕切りと棒を並べるとかって奴なら
結構よくある話なので連想できると思うんですが。
253:大学への名無しさん
10/01/05 01:41:10 Lm0zYO6Z0
(x=k or y=k)っていう5点からなる図形をAkとする。
(k=1,2,...,6に応じてA1,A2,...,A6)
見辛いからそれぞれのkについて線で結んでおくと、
こいつらが丁度１回ずつ交わってることがわかる。
だから交点(i,j)がAiとAjの組を表していて、
しかもi<jに限定されてるから、これは順列じゃなくて
組み合わせだなと、6C2=15だし・・・
単に6点でもいいけど、イメージしやすく6角形と考えただけ
こんな感じ？
254:大学への名無しさん
10/01/05 10:28:01 3fK1R0Z/0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
やっぱり場合分けしたら
0<a<4になるんですが、答えはなんですか？
255:大学への名無しさん
10/01/05 23:18:37 qdm2mVlK0
>>246
よって
のあとが意味不明です？？
256:大学への名無しさん
10/01/06 15:51:26 1jmLEzVz0
初心者丸出しの質問スマソ
数学１Aのときに気をつけてることってある？？
たとえば俺は図形のときは90°が出てきたら60°とか30°を探したり
内接円なら半径になるなど
257:大学への名無しさん
10/01/06 20:20:36 ZXS3vzmx0
センター形式の問題です
Ａのカードが２枚、Ｂのカードが２枚、Ｃのカードが１枚、Ｄのカードが一枚の全部で６枚のカードがある
[1] ６枚のカードを横一列に並べる
(1) 並べ方は全部で（ ）通りある。・・・
[2] ６枚のカードをよく混ぜて横一列に並べるとき、２枚のカードの間にあるカードの枚数をＸとする。
(1) X=1である確率は（ )である。
[2]の(1)について、上の(1)は同じ標識のＡ、Ｂを区別せず数えるため重複順列にして計算しました。
ただ、下の問題は確率なので同じ文字を区別せずやればいいと考えたんですけど
解答の方は分母が[1](1)の１８０通りを用いていて
分子の方も (4!/2!)*4という風にＢを区別せず計算しています。
確率の原則は区別しない、という風に思っていたので今回の回答を見て疑問に思いました
この場合なぜ重複順列を用いて計算しているのかご教授お願いします。
258:大学への名無しさん
10/01/06 21:08:32 TUBRpkn20
∠C=90度である直角三角形ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD=3cm CD=2cmとなった、線分ADの長さを求めなさい。
この問題の解き方がわかりません。お願いします。
259:258
10/01/06 21:21:38 TUBRpkn20
すいません自己解決しました
260:大学への名無しさん
10/01/06 23:33:10 y5GJotUO0
x^3+4x^2+x-6=0とx^3-1=の解き方がわかりません。高２の範囲です。よろしくお願いします
261:大学への名無しさん
10/01/06 23:36:19 imk3ioTX0
>>260
因数定理
262:大学への名無しさん
10/01/07 00:01:45 FKu82X0u0
>>257
A*AB*B,B*BA*A,*ABAB*,*BABA*という風にブロックを作ったと
考えたらどうでしょう。
263:大学への名無しさん
10/01/07 04:58:20 rjeDaKNG0
二次関数
y=ax^2+bx+cがある
これは二点（－１，２）（４，２）を通る
b,cをaで示せという問題で
私はy=２を通る時、解が－１，４という事から
２＝a(x+1)(x-4) という式を立て
見比べて、b=ー3a c=ー4aー2
と解いたんですが
答えはb=ー3a c=ー4a＋２
とあります。 何故こうなるか教えて下さい。
264:大学への名無しさん
10/01/07 05:08:43 vtC+Ain90
>>263
y=a(x+1)(x-4)は(-1,0),(4,0)を通る二次関数
今回は(-1,2),(4,2)を通るから、これをy方向に+2平行移動したものになる
だから、関数の式はy=a(x+1)(x-4)+2
これと見比べて、b=-3a、c=-4a+2
265:大学への名無しさん
10/01/07 05:22:05 rjeDaKNG0
>y方向に+2平行移動
スマートな解説ありがとうございました！
２＝a(x+1)(x-4)とする場合
よく考えてみたら、各々のxを代入して
連立で解くことになりますね・・よく考えてみたら
連立は計算ミスするから避けて知恵を絞ったのに
間違えてたら元も子もないですね（汗
266:大学への名無しさん
10/01/07 05:38:30 WOHhg5750
連立というか、x=-1,4を代入すると右辺が0になって矛盾する
式の置き方が悪かったのだと思う
でも普通の人はx=-1,4をax^2+bx+cにそのまま代入するだろうから、考え方はすごくいいと思う
二次関数くらいならそのまま代入でもいいけど、次数が増えると面倒になるし
267:大学への名無しさん
10/01/07 06:36:13 1LEF/DVn0
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
この問題でa/cosθ^2+b/sinθ^2の最小値を出すときに
直接この式に相加平均相乗平均の不等式を使って
ab/sinθ^2cosθ^2が最小値となり等号が成り立つのは
a/cosθ^2=b/sinθ^2の時、すなわちcosθ^2=a/a+b sinθ^2=b/a+bを代入すると
最小値が2(a+b)になってしまいます
何か根本的な間違いがあるのでしょうか？
計算ミスも内容なので悩んでいます。
本番ではtanθに置き換えることが出来なそうで直接やったらどうなるかが気になっています。
268:大学への名無しさん
10/01/07 07:27:08 BwaX89P10
>>267
計算を具体的に書いてくれんと。
269:大学への名無しさん
10/01/07 07:47:10 BwaX89P10
>>267
ごめん、計算とか乃問題じゃなかった。
θが変動するから、相加相乗を使うには「≧定数」という式を導かないとダメってことじゃないか？
270:大学への名無しさん
10/01/07 07:47:27 1LEF/DVn0
a/cosθ^2=b/sinθ^2よりasinθ^2=bcosθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2を代入して
a(1-cosθ^2)=bcosθ^2
(a+b)cosθ^2=a
cosθ^2=a/a+b
先ほどの式に代入して
sinθ^2=1-a/a+b=b/a+b
となるのですがどうなのでしょうか
271:大学への名無しさん
10/01/07 08:11:58 89CxwSI90
>>270
余計なことをさせて済まなかったが、≧定数の形にならないと、
例えば、3=3となって等号成立するけど、他の値で2>1になってるかも知れない。
272:大学への名無しさん
10/01/07 08:27:18 89CxwSI90
ちょっと例えがわかりにくかったので。
例えば、a≧1の時、a+3≧2√(3a)は成立するし、a=3のとき等号が成立するけど、
そのときa+3の値は6で、明らかに最小値ではない。
273:大学への名無しさん
10/01/07 13:16:20 JlzkU4nl0
△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし 三点C A Dを通る円が辺ABと交わる点
をEとする。CD=2 BD=4 AE=5 BE=3 AC=4である。
点Bからこの円に引いた接線の接点をとすると BT=2√6。
点Aから直線BCに垂線AHを下ろすとAHはいくつか。
どのような方法を使えば解くことができるでしょうか？
274:大学への名無しさん
10/01/07 13:28:27 l69Q3TF30
√15になったけど、さすがにこれは違うのかな
275:大学への名無しさん
10/01/07 13:44:53 JlzkU4nl0
>>274 ありがとうございます。答えは√15みたいです。
どのような方法で解くのでしょうか？
276:大学への名無しさん
10/01/07 13:58:27 l69Q3TF30
方べきの定理か角の二等分線の定理よりAB=8だから
三角形ABCの辺BDをxとしてAHを三平方の定理で2通りに表すだけ
277:273
10/01/07 14:18:55 JlzkU4nl0
>>276
ありがとうございました！ 解くことができました。
278:244
10/01/07 16:40:14 rzja3oLP0
質問とりさげます
279:大学への名無しさん
10/01/07 19:18:27 NZIfKWSM0
>>262
それだとＡ、Ｂを区別しずに考えている、ということになりませんか？
２つのＡと２つのＢを区別して考えれば（例えばＡをA、a ＢをB,b)
Ａ*aB*b a*Ab*B A*ab*B a*AB*b という風に始めの「A*AB*B」というブロックも４つに分割できると思うのです
確かに解答もそのようにA,Bを区別しないことを前提としていますが
今まで「確率はすべてのものを区別して考える」と言う風に教わってきたのでこの解答は不思議に思えました
280:大学への名無しさん
10/01/07 19:33:03 89CxwSI90
>>257
> ２枚のカードの間にあるカード
この意味がわからないんだけど、2枚のカードってなんのこと？
281:大学への名無しさん
10/01/07 19:38:53 NZIfKWSM0
あー・・・すみません
２枚の"Ａ"のカードです
見直しが足りませんでした、精進します。。。
282:大学への名無しさん
10/01/07 19:58:08 89CxwSI90
>>279
どの組み合わせも同じ確率で出るなら、組み合わせで計算してもかまわない。
白玉2個、赤玉2個から2個を取り出すとき2個とも赤玉である確率っていうのを組み合わせでやっちゃダメだけど、
その問題では全部取り出して並べるので、区別した並べ方と区別しない並べ方を比べると、
どの並べ方も必ず同じ数だけダブっているので、組み合わせで確率を計算してもかまわない。
実際に確率を計算する式を立ててみれば、2!が約分されて同じ式になることが確認出来るはず。
283:282
10/01/07 19:59:53 89CxwSI90
よく確認せずに書き込んでしまって、文章をつなげすぎてておかしな日本語になってるけど、勘弁して。
284:大学への名無しさん
10/01/07 20:09:24 dcvJhaAR0
若干被ってるけど・・・
このタイプの確率の問題のやりかたは
全体を同様に確からしい事象に分けて、（OKなものの個数）/(全体の個数）と考える
ってだけ。同様に確からしくなってさえいれば都合の良い様に分ければいい。
但し、分母と分子は同じ分け方で数えないと行けない、当たり前だけど。
その解答では[1]をそのまま使おうとしてるようだから、
分子も同じ分け方で、つまりA,A,B,B,C,Dの並べ方で考えないといけないというだけ。
[1]に拘らなければ、もっと簡単に、6個所のうち2枚のAが何処に来るかだけ考えれば
4/6C2でOKだね
285:大学への名無しさん
10/01/07 20:15:30 NZIfKWSM0
えーっと多分分かりました
例えば>>282さんが出してくれた白球２個、赤球２個という４個の玉から二個の玉を取り出す場合
赤球、白球両方が一つずつ取り出される事象と同色の玉が二つ取り出される事象と言うのは
後者の方がおこる確率が２倍で同様に確からしくない
けれども今回の場合は、組み合わせで考えても
各々"すべて"の事象はカードをそれぞれ区別して考えた場合の2!2!倍（=A,Bのそれぞれの順列分)の確率で起こるので同様に確からしい
日本語おかしかったらすみません
286:大学への名無しさん
10/01/07 20:41:38 NZIfKWSM0
やっぱり意味不明な文章だったですかね・・・
でも自分の頭の中では大体の整理が付けれました
>>262,283,284のお三方、ありがとうございました
287:大学への名無しさん
10/01/10 22:03:50 0FzkfCqL0
確率で…
赤球３個と白球４個が入ってる袋がある。
そのうち３個の赤球にはそれぞれ１，２，３の数字が一つずつ書かれている。
この袋から６個の球を取り出して横一列に並べる
っていう設定の問題があったんですが…
この場合、赤球はもちろん区別して考えるけど、
答え見たら白球まで区別してるんですよ。
なんで白球には番号書いてないのに区別できるんですか？
288:大学への名無しさん
10/01/10 22:13:21 qhaZ35pF0
>>287
問題が全て書いてないから、具体的には回答のしようがないが、
確率を計算する場合には、区別して考えないとおかしなことになる。
例えば、赤玉が1個、白玉が99個入っている袋から1個を取り出す場合を考えると、
白玉に番号がついていようがいまいが赤玉を引く確率は1/100。
番号がついていないと1/2になったりはしない。
区別というのは、目で見てわかるかどうかではない。
白玉に傷でもあって、その傷を知っている人と、知らずに全部同じに見える人がいたとすると、
見る人によって確率が変わってしまうなどというおかしなことが起きるはずはない。
あるいは、途中から傷に気づいて見分けがつくようになったとたんに出方が変わるわけがない。
289:大学への名無しさん
10/01/10 22:13:23 uV5NecjOP
>>287
番号が書いてあるか書いてないかで確率が変わるとでも言うんか？
290:288
10/01/10 22:14:56 qhaZ35pF0
確率でも、組み合わせで計算しても良い場合もある。
いずれの組み合わせも同じ確率で起きる場合や、
組み合わせによって確率が違ってもそれを勘案して計算することが出来る場合など。
後者は区別して考えてるのと同じようなことだけど。
291:288
10/01/10 22:16:01 qhaZ35pF0
ちょっと文章がおかしかった。
× 全部同じに見える人がいたとすると、
○ 全部同じに見える人がいたとしても、
292:大学への名無しさん
10/01/10 22:20:25 0FzkfCqL0
>>288
なるほど・・そう言われれば納得した気にもなりますが
この問題である２つの白球が入れ替わったらそれは別の並び方とみなすんですか？
そこがどうも納得できなくて・・。
293:大学への名無しさん
10/01/10 22:23:33 0FzkfCqL0
じゃあどういう場合に区別して、どういう場合に区別しないのか
っていうのが分からんくなってくるorz
やべーどないしよ。
294:大学への名無しさん
10/01/10 22:30:31 fG7Lqtzz0
こいつアホやナ。
295:大学への名無しさん
10/01/10 22:44:28 qhaZ35pF0
>>292
そうだよ。勝手に白玉A、白玉Bとでも名付けりゃいい。
だって、別々の玉なんだもの。
296:大学への名無しさん
10/01/10 23:44:49 8UECFdXc0
「確率ではすべてのものを区別して解く」
最初のうちはそう"覚えて"問題といておけばいいよ。
ある程度慣れてきたら、同様に確からしいことを保証してるのならば
分子と分母を同じ基準で考えて、区別の有無を調整しても良い
ってことに自然と気がつくから。
仮に気がつかなかったとしてもなんら問題無い。
現に大数の一部の執筆者(雲氏とか)は区別はずして考えられる問題であっても
一貫してすべてを区別して解くべきだと指導されるし。
297:大学への名無しさん
10/01/11 00:01:08 S6/LClF50
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ2－４ｘｙ＋ｙ2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ2－２（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ
――＝（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
４
という設定の問題があるのですが、手が止まってしまいました。
心優しい方、お手数ですが解答おねがいします。
ちなみに半角の2は二乗を表しています。
298:大学への名無しさん
10/01/11 00:02:24 qhaZ35pF0
>>297
まずは、>>1とリンク先を読んでくれ
299:大学への名無しさん
10/01/11 00:14:44 Dkd63Hdf0
>>298
ご指摘ありがとうございます。
書き直しました。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
300:大学への名無しさん
10/01/11 00:17:12 vwUVW3Go0
>ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
この時点でもうおかしい。
x^2の項が-13x^2になってるし。
元の式はz=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５なのに。
301:大学への名無しさん
10/01/11 00:30:00 Dkd63Hdf0
たびたび申し訳ありません。
問題を写し間違えてしまいました。
書き込みは初めてなので慣れていなくて。
本当に申し訳ありません。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
302:大学への名無しさん
10/01/11 00:30:20 EYPv3+VT0
>>299
数式は半角で書いてくれ。
303:大学への名無しさん
10/01/11 00:32:13 EYPv3+VT0
>>301
とりあえず、ばらせよ。やれることやれよ。
例えダメでも手を動かせ。近道なんかない。
半角で書けよ。他の人たちがどういうふうに書いているかとか見ないの？
304:大学への名無しさん
10/01/11 00:33:23 vwUVW3Go0
>>301
>ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０
そうすると更に+6yがどこから来たのか謎
元の式はｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５で6xはあるけど6yなんてどこにもない
５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
=(y-2x)^2+x^2-4x+5
=(y-2x)^2+(x-2)^2+1
とかけて、x.yは任意の実数なので
z=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５≧(x-2)^2+1≧1
等号はy=2xかつx=2⇔x=2,y=4のとき
つまり最小値は1
305:大学への名無しさん
10/01/11 01:10:07 Dkd63Hdf0
みなさんご指摘ありがとうござます。
またも写し間違いでした。
ご指摘を受けて自分でも再挑戦をしてみましたが、すっかり忘れてしまっていて何からやればいいかもわからず、この状態のままでした。
任意の実数ｘ、ｙに対して
z＝5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
y^2－2（2x-3）y+5x^2-10x＋5-z＝0 -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ/4＝（2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
本当に何度もすみません。
今度は何度も式の確認をしたので、間違いはありません。
306:大学への名無しさん
10/01/11 01:29:36 EYPv3+VT0
>>305
> （2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
コレを見て、なんかやってみることはないのか？
307:大学への名無しさん
10/01/11 02:05:07 KebnSe5v0
分数の表記はともかく全角は別にいいだろ
308:大学への名無しさん
10/01/11 02:21:14 vwUVW3Go0
5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
={y+(3-2x)}^2+5x^2-10x+5-(3-2x)^2
={y+(3-2x)}^2+x^2+2x-4
={y+(3-2x)}^2+(x+1)^2-5
で、x.yは実数全体を動くから
z=5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5≧(x+1)^2-5≧-5
(等号はx=-1, y=-5)
>>305の誘導のつけ方はよくわからない。
値域を出しておいて、最小値を求めさせたいということなのかな?
309:大学への名無しさん
10/01/11 05:15:20 Dkd63Hdf0
そうやって出すんですね!!
ようやくわかりました!
本当にありがとうございました！
310:大学への名無しさん
10/01/11 17:07:02 Zkls5+Ti0
>>305
x, yの実数としての存在条件を考えて、
yの2次方程式とみて判別式が0以上、これで得られた式を満たす実数xが
存在するので、xの2次方程式とみて判別しきが0以上。
得られたzの条件ではx, yは実数なので、その範囲の限りzは自由に動く。
これでzの最小値、最大値も分かる。某雑誌で逆手流と名づけられてる手法。
311:大学への名無しさん
10/01/12 00:04:29 +nFb5lZV0
一辺の長さaの正方形に,一辺の長さがb,cの2つの正方形が重ならないように入っている.
このとき,a≧b+cが成り立つことを示せ.
という問題がわかりません。
色々やってみても、向きやらなんやらで詰まります…orz
誰かアドバイス下さい。。
312:大学への名無しさん
10/01/12 02:06:43 DK+AErgp0
↑
URLﾘﾝｸ(web2.incl.ne.jp)
313:大学への名無しさん
10/01/13 01:56:05 MfDtesOt0
箱の中に、赤、青、白の3色のカードが4枚ずつ入っている。
各色のカードには、それぞれ1から4までの番号が一つずつ書いてある。
この12枚の中から3枚を一度に取り出す。
3枚のカードに、白のカードまたは番号が1のカードが含まれる取り出し方は何通りか？
（答えは200通り）
この問題を、以下のように解いてみたのですが、答えがありません。
どこがいけないでしょうか？
3枚のカードに白のカードが含まれる取り出し方は164通り。
3枚のカードに1のカードが含まれる取り出し方は136通り。
3枚のカードの中に白の1カードが含まれる取り出し方は55通り。
よって、164＋136－55＝245通り。
よろしくお願いします。
314:大学への名無しさん
10/01/13 02:25:28 8dTgmLGk0
白2白3青1と引いたとき
3枚のカードの中に白が含まれているので164通りの1つであり
1のカードが含まれているから136通りの1つだけど
55通りの要素ではないので除外されてない。
315:大学への名無しさん
10/01/13 08:23:07 6w7bpOcG0
傾向と対策82ページ
０≦θ＜πとする。不等式sin2θ－√3cos2θ＜√３において
２sin(2θ－π/3）＜√3 であるから
０≦θ＜πのとき
－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3 であるから（以下略）
がわかりません
なぜ－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3になるのですか？
316:大学への名無しさん
10/01/13 08:31:33 8dTgmLGk0
0≦θ<π⇔0≦2θ<2π
⇔0-π/3≦2θ-π/3<2π-π/3
⇔-π/3≦2θ-π<5π/3
317:大学への名無しさん
10/01/13 23:52:49 DHye9KKk0
確率の問題なんですがわからないのでご指導ください
初めに数直線上の0の位置に駒を置く。そして二個の区別できるさいころを同時に振り、
出た目の合計がkのとき右へk移動する。6に到着あるいは通過したとき終了するとする。
このとき2回目で終了する確率を求めよ。
よろしくお願いいたします。
318:大学への名無しさん
10/01/14 00:15:48 QS2hG0RH0
>>317
一体何がわからん？
上手い方法が見つからなくてもどうにかなるだろ。
319:大学への名無しさん
10/01/14 01:02:40 KbNGfXSb0
aを定数とし、xの2次関数
y=2x^-4(a+1)x+10a+1 ………①
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+[ア]，[イウ]a^+[エ]a-[オ])
である。
ア、イウ、エ、オを答えよ。
また、グラフGがx軸と接するのはa=どんなときか。
解答（出来れば解き方も）教えてください。
よろしくお願いします。
320:大学への名無しさん
10/01/14 01:06:21 QS2hG0RH0
>>319
二次の係数が2で頂点が(p,q)の二次関数の方程式は？
321:大学への名無しさん
10/01/14 01:17:14 KbNGfXSb0
y=a(x-p)^2+q？
数学ほんと分かんないです…
322:大学への名無しさん
10/01/14 08:46:30 s7RfVCwK0
>>318
この問題は解答がなかったもので自分の答えが合っているのか自信がなくて・・・
２回目に終了しない場合の数は一回目に(1,1)のとき二回目に(1,1),(1,2),(2,1)
あるいは一回目に(1,2)のとき二回目に(1,1)同様に一回目に(2,1)のとき二回目に(1,1)
の5通りなので1-5/6^4で1291/1296となるそうなんですがこれでよいのでしょうか？
あまりにも確率が1に近いので実際にさいころを振ることを考えると違うような気がするんですが。
323:大学への名無しさん
10/01/14 08:55:53 QS2hG0RH0
>>322
二回目に終了ってのは、一回目には終了せずに二回目に終了じゃないのか？
それだと、一回目で終了してしまう場合を含んでしまってると思う。
一回目で終了してしまった場合を、二回目で終了とは言わないだろう。
1にかなり近くていいと思うが、なぜ違うと思うんだ？
324:大学への名無しさん
10/01/14 10:03:18 s7RfVCwK0
>>323
修正しました(三回目に終了数場合も考えますよね？)
1回目に終了する場合は二つのさいころの目の合計が6,7,8,9,10,11,12となるときの
場合の数は5,6,5,4,3,2,1で合計26通り。2回目に終了しない場合の5通り。
そして3回目に終わる場合は一回目(1,1),二回目(1,1)のとき三回目はすべて、一回目に(2,1),二回目に(1,1)のとき三回目はすべて。
同様に考えると三回目に終わる場合は5通り考えられる。
よって求める確率は1-(26/6^2+5/6^4+5/6^4)=175/648
これでいいですかね？確率は1からは離れていますが・・・
325:大学への名無しさん
10/01/14 10:10:31 QS2hG0RH0
>>324
おかしいぞ。
三回目に終了する確率は、二回目までに終了しない確率の一部だ（この問題の場合、全部だけど）。
だから、それだと、ダブって計算している。
326:大学への名無しさん
10/01/14 10:26:12 s7RfVCwK0
>>325
失礼しました
同じ計算をしているのに気付かされました
先ほどの三回目の場合を削除して
求める確率は1-(26/6^2+5/6^4)=355/1296ですね
327:大学への名無しさん
10/01/15 01:49:41 DgGG7kXx0
>>319,321が、どのくらい数学ができんのかが分からん。
教科書を見ても、問題集の類題を見ても分からなかったとして説明する。
式の右に書いたのは考え方。
y=2x^-4(a+1)x+10a+1
=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1 ←まず、２行下①の形を作るために、
=2[{x-(a+1)}^2-(a+1)^2]+10a+1 ←こうする。
=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2-2+10a+1 ←①
=2{x-(a+1)}^2-2(a^2+2a+1)+10a+1 ←かっこを外していく
=2{x-(a+1)}^2-2a^2-4a-2+10a+1
=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1 ←②
よって、頂点座標は(a+1, -2a^2+6a-1)
後半は次のレス。
②の形というのは、教科書に載っている
y=k(x-p)^2+q
のこと。y=a(x-p)^2+qかも。どっちでもいいけど。
p,qは、グラフの頂点（放物線のとがったところ）のx座標とy座標を表している。
なんでかが分からなかったら、教科書を見るか、またここで質問する。
k,p,qに適当な数、全部2とかを入れて、xに0から5位までの数を入れてy座標を求めて線でつないでみて、グラフを描いてみると分かるかも。
他の問題を解くためにも、y=○x^2+△x+□の形のグラフは絶対に描けないといけない。
①のかっこを外すとできるから、まずは①を目指す
②までの途中に①がある。
328:大学への名無しさん
10/01/15 01:51:09 DgGG7kXx0
解答を続けるが、上の答えが合っている前提で解く。
頂点のy座標が0の時、グラフGはx軸と接するので
-2a^2+6a-1=0
解の公式に使うと、
a=[-6±√{6^2-4(-2)・1)}]/{2・(-2)}
=(3±√7)/2
グラフGがx軸に接するということは、グラフの、この場合一番低い頂点（とがった所）の位置の座標が0であればよい。
なので、-2a^2+6a-1=0
これが成立するようなaを求めるために、解の公式を使う。
解の公式が分からなかったら自分で調べる。
329:大学への名無しさん
10/01/15 11:50:25 /LEn4Ln00
a,bを実数とするとき,xの関数 f(x)=x^4+ax^2-2(a+2)x+b がただ１つの極致をもち
かつ、その極致が正であるためのa,bを求めよ
という問題なのですが解説ではf(x)を微分して2(x-1)(2x^2+2x+a+2)になって
g(x)=(2x^2+2x+a+2)とおくと
f(x)がただ１つの極致を持つ＝g(x)の符号が変化しない、または、g(1)=0
とあるのですが、どうしてこの条件になるのかが分かりません。
１つの極値をもつということは、ただ一度符号変化するってことですよね？
どうしてg(x)の符号が変化しない、またはg(1)=0でこの条件を満たすのかよくわかりません。
どなたかお願いします。
330:大学への名無しさん
10/01/15 11:57:55 KjMiLPaC0
>>329
f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+a+2)
1)g(x)=2x^2+2x+a+2が符号変化をしないとき
(x-1)の項がx=1の近傍で符号変化をただ1度だけする
2)g(1)=0のとき
このときg(x)=2(x-1)(x-α)とかけるので
f'(x)=2{(x-1)^2}(x-α)となり、(x-1)^2 ≧ 0よりこの部分は符号の変化がなく
x=α近傍でただ1度だけ符号変化をする
331:大学への名無しさん
10/01/16 01:34:20 PyN/lJv80
>>229について、赤本が手に入らないので、
ネットを使って探してみたのですが、やはりよくわかりません。
もう一度質問させてください。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
a[5]=b[2] a[17]=b[3]から連立方程式を出せるのですが、
そこからm(n)を出せません。よろしくお願いします。
332:大学への名無しさん
10/01/16 10:43:17 DiegKfaZ0
>>330
解説ありがとうございます。おかげで理解できました
失礼ながら続けて質問させていただきます。
xの関数y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2 が極大値をもつような実数aの範囲を求めよ
という問題なのですが、x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0
が０でない異なる実数解を持つ条件を求めればよい
と書いてあるのですか、どうして異なる実数解を求めたら極大値を持つaの範囲が求められるのでしょうか？
どなたかお願いします。
333:大学への名無しさん
10/01/16 11:13:24 Xl9l3yxIi
>>331
連立して解くっていっても、未知数4で式2本だから決まらないよね
勝手に決める事はできるけど、後段の解は一意的になるのかな？
334:大学への名無しさん
10/01/16 12:16:15 /nxX6TZE0
>>332
y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2=f(x)とおく。
・f'(x)は連続関数
・f'(x)=0の相異なる実数解は高々3個
・f(x)がx=αで極大であるというのは、十分に小さい数dについてf'(α-d)＞0、f'(α+d)＜0となるという意味。
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
以上4点と中間値の定理より、
f(x)が極大値αを持つためには
十分小さいdについてf'(x)=0が
区間(-∞,α-d)に少なくとも一つ、
区間(α-d,α+d)に少なくとも一つ、
区間(α+d,∞)に少なくとも一つの実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)が3次関数ゆえにf'(x)=0の実数解が高々3個であることより、
f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)=4x(x^2-3(a-1)x+(a^2-1))より、
f(x)が極大値αを持つためにはx^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分。
----
なお、「x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分」である理由を限られた試験時間内で試験答案に記述したいなら
「3次関数f'(x)のグラフより、f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分だから」程度で十分と思う。
335:大学への名無しさん
10/01/16 12:20:13 /nxX6TZE0
>>334
訂正
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
↓
・lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
336:大学への名無しさん
10/01/16 12:23:40 /nxX6TZE0
>>334
もう1つ
「f(x)が極大値αを持つためには」
を全て
「f(x)がx=αで極大となるためには」
に訂正
337:大学への名無しさん
10/01/16 12:35:32 0TkK6MCH0
すまんちょと教えてくれ
カナダにおいて電気エネルギーの消費量は液体エネルギー消費量のちょうど60％にあたる。カナダの液体エネルギーの消費量はどれだけか？（必要なときは、最後に十万ｔの位を四捨五入すること）
各数値 単位 百万ｔ
固形エネ 25
液体エネ ？
ガス 80
電力エネ ？
合計 237
こういう問題なんだが
俺はまず
237-（25+80）＝132 ［百万ｔ］
と考え 次に電気：液体＝0.6：1 だし132-（132*0.6）で簡単やんけとか思ったんだが間違ってたんだ
一応解説見ると
電気エネの消費量は、液体エネ消費量のちょうど60％にあたるのですから、液体エネルギー消費量を100としたとき、電気エネ消費量は60とということです。
合計すると、160％。これが132なのです
と書いてあって ここまでは理解できたんだが、次に
ということは、132を160で割って100をかけたものが、液体エネ消費量です
とあるんだ そして
132*100/160＝132*5/8＝82.5
数値を見るとそれっぽい数字だし間違ってないだろうけど
理解できないごみな俺にだれか教えてくれ
338:大学への名無しさん
10/01/16 19:04:39 B+W5BXKV0
>>337
電気：液体＝0.6：1だから、
電気：液体：合計＝0.6：1：1.6だよ。
0.6：1：1.6は？：？：132かっていう問題。
339:大学への名無しさん
10/01/17 17:00:00 OeGQi6y40
質問させてください。
【問題】
1から5の数字の書かれた玉を3つの袋に分ける組み合わせは何通りあるか。
ただし、1つの袋には0～5個の玉が入り、袋の区別はつけないものとする。
まず袋をA,B,Cとわけると、その組み合わせは「3組 ^ 5個 通り」
袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
3^5 / 3! = 243 / 6 = 割り切れない
と混乱してしまいます。
どなたかご教示ください。
340:大学への名無しさん
10/01/17 17:31:44 ViOnY4An0
>>339
1つの袋だけに入っている場合は6通りあるのか？
341:大学への名無しさん
10/01/17 17:32:55 Pd3trOIf0
>>339
>袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
(x.y.z):(x:袋Aに入った玉, y:袋Bに入った玉, z:袋Cに入った玉)と書くとして
(12,34,5),(12.5.34),(5.34,12),(5,12,34),(34,12,5),(34,5,12)→区別をはずすと1通り
(φ,φ,12345),(φ,12345,φ),(12345,φ,φ)→区別をはずすと1通り
以下略
という具合に0個の袋が2つある場合等は3通りだったものが区別をはずすと1通りになるので
機械的に3!で割れば解決するというものではない。
342:大学への名無しさん
10/01/17 17:41:52 dsjgsU7J0
>>339
例えば、全部同じ袋に入っているのはAに全部、Bに全部、Cに全部の3通りしかない。
343:大学への名無しさん
10/01/17 17:49:00 THdTe2jI0
自然数に０は含まれるの？
344:大学への名無しさん
10/01/17 18:07:11 dsjgsU7J0
>>343
含むという考え方の人たちもいるらしいが、日本の学校教育における数学では含まない。
でも、ややこしいので、大学受験問題ではたいてい正の整数と書かれているはず。
345:339
10/01/17 18:42:41 OeGQi6y40
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの(11)を頼りに考えたところ
3つの袋に入れる数で場合分けする。
5個，0個，0個に分ける --> 5_C_5 = 1
4個，1個，0個に分ける --> 5_C_4 * 1 = 5
3個，2個，0個に分ける --> 5_C_3 * 1 = 10
3個，1個，1個に分ける --> 5_C_3 * 2_C_1 * 1 / 2! = 10 * 2 / 2 = 10
2個，2個，1個に分ける --> 5_C_2 * 3_C_2 * 1 / 2! = 10 * 3 / 2 = 15
1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41通り
となりましたが、これで問題ないのでしょうか？
346:大学への名無しさん
10/01/17 18:49:16 dsjgsU7J0
>>345
おお、同じになった。
袋を区別した場合の入れ方は3^5通り。
このうち、全部同じ袋に入っている場合以外は、袋を区別しないと3!=6通りずつ同じ入れ方がある。
全部同じ袋に入っている場合だけは、3通り。
なので、((3^5)+3)/6=41通り。
347:大学への名無しさん
10/01/17 20:30:29 OeGQi6y40
>>346
この問題を一般化(n個の玉をm個の袋に分ける)すると
((m^n - m) / m!) + 1
という式でよろしいのでしょうか？
348:大学への名無しさん
10/01/17 20:50:37 ViOnY4An0
>>347
4袋のとき2袋が空の場合とかもあるだろ。
すぐ結論付けずにちょっと考えてから書き込んでおくれ。
349:大学への名無しさん
10/01/17 22:35:27 rsZpwuZnO
>>333
そうですよね。
問題が間違っていると思いますから、
お金ができたら赤本を買って確かめます。
>>344
だから「正の整数」なんて
ややこしい言い方をしていたんですか。
感動しました。
世界史では「ゼロの発見」自体が大きな出来事ですから、
ゼロは自然数ではないと思っていました。
350:大学への名無しさん
10/01/19 15:32:41 ad9cYf3Q0
無限級数 Σ[n=1.∞]{(1/2)^n}sin(πn/3) の値を求めよ
という問題で解答が
a[n]={(1/2)^n}sin(πn/3)として
Σ[n=1.∞]a[n]
=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
={(√3/4)+(√3/8)-(√3/32)-(√3/64)}×(64/63)
=√3/3
となってるんですけど、
>=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
>+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
>=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
の部分がよくわかりません。
無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
351:大学への名無しさん
10/01/19 21:33:54 g08QVDA90
>>350
精密に表現するならば以下のようになる。
「Σ[n=1,∞]p[n]=P、Σ[n=1,∞]q[n]=Q(P,Q:定数)となる任意の数列{p[n]},{q[n]}について
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])=P+Qが成立する」・・・(*)
という定理と
Σ[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
Σ[n=1,∞](a[6n-5]+a[6n-4]+a[6n-3]+a[6n-2]+a[6n-1]+a[6n])
=(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
が成立する。
> 無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
この問題のように、「収束する」級数に分割できるなら、
分割された級数の値をすべて足し合わせたものが、もとの級数の値になることは
(*)の定理により保証される。
352:大学への名無しさん
10/01/19 22:35:12 ad9cYf3Q0
>>351
ありがとうございます。そういう定理があったのですね。存じ上げておりませんでした
この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
また、質問なのですが、この問題
a[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]なので
Σ[n=1.∞]a[n]
=Σ[m=1.∞](a[3m]+a[3m+1]+a[3m+2])
=(a[1]+a[2]+a[3])/(1-(1/2)^3)
と計算しても答えはバッチリあうのですが
このように解いてもかまいませんか?
それとも(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
と模範解答のようにやらないとどこかで不備があったりしますでしょうか?
353:大学への名無しさん
10/01/20 18:46:59 DVG7+tP/0
逆手流にいて質問させてください
平面上の2点A(-1.2),B(3.5)と円C:(x-1)^2+(y+1)^2=1があり
点Pは円C上の動点とする。このとき⊿PABの重心の軌跡を求めよ
という問題で自分はこう解きました
G(x.y), P(cosθ+1.sinθ-1) (0≦θ≦2π)とおくと
x=(-1+3+cosθ+1)/3・・・(1)
y=(2+5+sinθ-1)/3・・・(2)
求める軌跡とは、
「(1).(2)を満たすθが0≦θ≦2πに存在する」・・・(*)
ような(x.y)の集合であり、
(*)⇔9(x-1)^2+9(y-2)^2=1
解答は
G(X,Y)とおくと、OP↑=(3X-2, 3Y-7)とかけてこれがC上にあることより
(x-1)^2+(y-2)^2=1/9
と書いてあります。自分の解答はPの変数θをGの座標X.Yについて解いて消去している「逆手流」だと思うのですが、
解答のやり方もPの座標をGの座標X.Yで表して、PがC上に存在していることを
訴えているので逆手流なのでしょうか?