10/01/19 15:32:41 ad9cYf3Q0
無限級数 Σ[n=1.∞]{(1/2)^n}sin(πn/3) の値を求めよ
という問題で解答が
a[n]={(1/2)^n}sin(πn/3)として
Σ[n=1.∞]a[n]
=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
={(√3/4)+(√3/8)-(√3/32)-(√3/64)}×(64/63)
=√3/3
となってるんですけど、
>=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
>+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
>=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
の部分がよくわかりません。
無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
351:大学への名無しさん
10/01/19 21:33:54 g08QVDA90
>>350
精密に表現するならば以下のようになる。
「Σ[n=1,∞]p[n]=P、Σ[n=1,∞]q[n]=Q(P,Q:定数)となる任意の数列{p[n]},{q[n]}について
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])=P+Qが成立する」・・・(*)
という定理と
Σ[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
Σ[n=1,∞](a[6n-5]+a[6n-4]+a[6n-3]+a[6n-2]+a[6n-1]+a[6n])
=(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
が成立する。
> 無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
この問題のように、「収束する」級数に分割できるなら、
分割された級数の値をすべて足し合わせたものが、もとの級数の値になることは
(*)の定理により保証される。
352:大学への名無しさん
10/01/19 22:35:12 ad9cYf3Q0
>>351
ありがとうございます。そういう定理があったのですね。存じ上げておりませんでした
この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
また、質問なのですが、この問題
a[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]なので
Σ[n=1.∞]a[n]
=Σ[m=1.∞](a[3m]+a[3m+1]+a[3m+2])
=(a[1]+a[2]+a[3])/(1-(1/2)^3)
と計算しても答えはバッチリあうのですが
このように解いてもかまいませんか?
それとも(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
と模範解答のようにやらないとどこかで不備があったりしますでしょうか?
353:大学への名無しさん
10/01/20 18:46:59 DVG7+tP/0
逆手流にいて質問させてください
平面上の2点A(-1.2),B(3.5)と円C:(x-1)^2+(y+1)^2=1があり
点Pは円C上の動点とする。このとき⊿PABの重心の軌跡を求めよ
という問題で自分はこう解きました
G(x.y), P(cosθ+1.sinθ-1) (0≦θ≦2π)とおくと
x=(-1+3+cosθ+1)/3・・・(1)
y=(2+5+sinθ-1)/3・・・(2)
求める軌跡とは、
「(1).(2)を満たすθが0≦θ≦2πに存在する」・・・(*)
ような(x.y)の集合であり、
(*)⇔9(x-1)^2+9(y-2)^2=1
解答は
G(X,Y)とおくと、OP↑=(3X-2, 3Y-7)とかけてこれがC上にあることより
(x-1)^2+(y-2)^2=1/9
と書いてあります。自分の解答はPの変数θをGの座標X.Yについて解いて消去している「逆手流」だと思うのですが、
解答のやり方もPの座標をGの座標X.Yで表して、PがC上に存在していることを
訴えているので逆手流なのでしょうか?
354:大学への名無しさん
10/01/20 22:13:43 UJJkqR4P0
>>353
そうだとは思うけど、その模範解は酷くダサいと思う。
ベクトル使って書いてなければ数II範囲で解いたのだとも思えるけれど、
ベクトル既習なら下に書くような考え方がスマートじゃなかろうか。
ただ、ほとんど数Cにはみ出てるという批判はありうるけど。
x=1+(1/3)cosθ
y=2+(1/3)sinθ
d↑=(1,2)、q↑=(cosθ,sinθ)
とすればOP↑=p↑=d↑+(1/3)q↑
で、これはD(d↑)を中心とする半径1/3の円。
（q↑の軌跡は単位円、これを原点中心に1/3に縮小した上で、
さらにd↑だけ平行移動したのがp↑の描く軌跡)
きれいな形で書けるから、それを解釈してしまえば、別にθを消去する必要は
ないわけ。また、この考え方だと、たとえば元の点がCの全体を動かなくても
簡単に対応できるってのも利点かと。
355:大学への名無しさん
10/01/21 00:29:06 l9OALHoN0
>>351
訂正
[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
↓
Σ[n=1,∞]a[6(n-1)+i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5,6)より
>>352
> この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
{p[n]},{q[n]}を任意の数列、S[n]=Σ[k=1,n](p[k]+q[k])、T[n]=Σ[k=1,n]p[k]、U[n]=Σ[k=1,n]q[k]とおく。
ただしlim[n→∞]T[n]=P、lim[n→∞]U[n]=Q(P,Q:定数)となるとする。
このとき
「Σ[n=1,∞]p[n]はlim[n→∞]T[n]を指す」(定義A)
「任意の正整数nについてS[n]=T[n]+U[n]が成立する」(定理B)
「lim[n→∞]p[n]、lim[n→∞]q[n]が収束するならlim[n→∞](p[n]+q[n])=(lim[n→∞]p[n])+(lim[n→∞]q[n])が成立する」(定理C)
以上より
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])
=lim[n→∞]S[n] (←定義A)
=lim[n→∞](T[n]+U[n]) (←定理B)
=(lim[n→∞]T[n])+(lim[n→∞]U[n]) (←定理C)
=(Σ[n=1,∞]p[n])+(Σ[n=1,∞]q[n]) (←定義A)
=P+Q
となる。証明終わり。
定理Bの高校範囲での証明は容易。
定理Cは高校範囲では証明無しに使える公式に位置づけられる。範囲外ならε-N論法で極限を定義した上で証明できる。
> このように解いてもかまいませんか?
a[n+6]={1/(2^6)}*a[n]のかわりにa[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]を使っても
問題なく模範解答と同様のロジックで答案を作成できる。
356:大学への名無しさん
10/01/21 02:16:52 RcAavNXB0
1枚のカードには1つの文字が書いてあるK，A，N，K，Y，O，J，O，H，Oという10枚のカードが有る。
AとOが隣り合わない並べ方はなん通りあるか
という問題なのですが、どのように解けばよいのでしょうか。
357:大学への名無しさん
10/01/21 03:03:07 l9OALHoN0
>>356
A,O以外のカードをBとあらわし、Oが挿入されうる場所をoとあらわすと
Aの左にBが1つも存在しない場合
ABoBoBoBoBoBo
と表せ、このときoから重複を許して3つ選ぶ場合の数はH[6,3]。
Aの左にBがi個(i=1,2,3,4,5,6)存在するときのoから重複を許して3つ選ぶ場合の数も同様にH[6,3]。
したがって、AとOが隣り合わないような、A1枚,O3枚,B6枚の並べ方の場合の数は
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
そのそれぞれについて、Bの位置にK2枚、N,Y,J,H各1枚を入れるとき、Bの入れ方の場合の数は(6!/2!)=360[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
358:大学への名無しさん
10/01/21 03:11:35 l9OALHoN0
>>357
訂正。みっともないミスをした。
重複組み合わせはH[n,m]=C[n+m-1,m]だから
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
↓
7*H[6,3]=7*C[8,3]=7*((8*7*6)/(3*2*1))=392[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
↓
以上から求める場合の数は392*360=141120[通り]。
359:大学への名無しさん
10/01/21 16:27:39 ybPdjJuxi
A,B,Cの3人にランダムで数字の書かれたカードを一枚ずつ配る。
カードの数字がA＞Bの確率は1/2、 A＞Cの確率も1/2
したがってAが3人で一番大きい数字の確率は1/4
しかし対等性を考えると1/3になる、というパラドックスを解いてください！
360:大学への名無しさん
10/01/21 16:44:13 iMS/p1HYi
>>359
A>BとA>Cが独立でないことに注意
A>Bという条件のもとでC>Aであるためには必然的にC>Bとなるから、
361:大学への名無しさん
10/01/22 12:12:31 9p2dvkqi0
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
計算としてはx、x+1、x+2を強引にどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
362:大学への名無しさん
10/01/22 12:14:27 9p2dvkqi0
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
一つ式が抜けてました、すみません。
計算としてはx、x+1、x+2をどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
363:大学への名無しさん
10/01/22 12:23:56 pHhfLRhwP
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x[a(x^2-1)+b(x+1)]
=x[a(x+1)(x-1)+b(x+1)]
=x(x+1)[a(x-1)+b]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)+(b-3a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
364:大学への名無しさん
10/01/22 12:55:23 9p2dvkqi0
>>363
式変形の流れはわかりました。ありがとうございました。
ただこういう括りだすのってどれも問題自体が自然に何かでまとめたら
「お、簡単に括りだせるな」っていう風な作りになってるんですか？
それとも、無理やり括りださなきゃいけないようなときってあるんですか？
365:大学への名無しさん
10/01/22 13:29:42 pHhfLRhwP
たとえば
nが整数ならn^3+5nは6の倍数
を示す方法の1つとしてn^3+5n=(n-1)n(n+1)+6nと変形して
三つの連続する整数の積は6の倍数である事を使うとか
これのはじめの方を読んでみると面白いかも（ニュートン補間）
URLﾘﾝｸ(www2.cc.niigata-u.ac.jp)
366:大学への名無しさん
10/01/22 15:33:54 YD5Wt/qK0
>>364
x(x+1)[ax+(b-a)]
までは、ごく普通の因数分解で、「最低次数の文字で整理」という
これまたごく普通の定跡を使ったものとして解釈できる
（xとaとbをどれも「文字」という次元で見れば、2次まであるxではなく
1次までの文字であるaやbで整理したほうが取っ掛かりがつかめる）
そのあと(x+2)を因数として括りだす部分については、逆にこの式だけからは
全く出てこないしやる必要もないはず。元の問題があるならサボらずそれを
提示すべきで、それがないと
>無理やり括りださなきゃいけないようなとき
になってるかどうかの判断はできないよ。
367:大学への名無しさん
10/01/23 23:01:58 9TFmYBhu0
Σ_[k=1,n]{(1/2)^k*(2k-1)}
を一応解いたんですが、解答と違ってしまったので解き方をお願いします。
368:大学への名無しさん
10/01/24 10:07:31 orf53XB40
>>367
まずお前がかけ
369:大学への名無しさん
10/01/24 15:29:08 qilcld+E0
04年の阪大文系の第2問ですが。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
(1)の解き方が分かりません。
とりあえず、以下が自分の答案です。
C_1 : x^2+(y-a_1)^2=a_1^2 ⇔ x^2+y^2-2a_1y=0 である。
このとき、C_1とy=x^2が原点のみで接すれば良い。
ここで、C_1からx^2を消去すると、 y^2-(2a_1-1)y=0 ―① となる。
①の判別式をDとすると、D=0が必要条件である。
D=(2a_1-1)^2=0 ⇔ a_1=1/2
逆に、a_1はただ一つに定まるのでこれは十分性を満たす。
ゆえに a_1=1/2 である。
という風になったんですが、疑問なのが、たとえば、r=1/4のときはどういう状況なのか、ということです。
「接する」ということは、「重解をもつ」ということと同値ですよね？
r=1/4のときも、グラフの概形を見る限りでは原点で接しているはずなんですが、y=0,-1/2となって重解をもちません。
このとき、具体的に、放物線と円はどのような関係にあるのでしょうか。
また、正しいa_1の導き方について教えていただければ幸いです。
370:大学への名無しさん
10/01/24 16:11:22 i4FCknMH0
>>369
ブラウザに見ちゃダメって言われるので見られない。
371:大学への名無しさん
10/01/24 16:30:22 V4B9dF7tP
接するというのは「同じ点で共通の接線を持つ」ということ。
y軸上に中心があり原点を通るなら原点でx軸に接するのだから、
つねにy=x^2とは接する事になる。
だからx^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件を出して、
そうなるaの最大値をa1とすればよい。
y=x^2上の点P(x,y)とA(0,a)の距離を考えて、
AP^2=x^2+(y-a)^2=y+(y-a)^2>=a^2
すなわちy(y-(2a-1))>=0がすべてのy>=0について成り立てばよい。
したがって2a-1<=0で、a1=1/2
372:大学への名無しさん
10/01/24 16:33:25 V4B9dF7tP
＞x^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件
a>0でかつ、というのも書いとかないとだな
373:大学への名無しさん
10/01/24 19:22:29 NNWBsROI0
>>371
その接するの定義だと，接線とは何かとなって循環する。
荒っぽく言うと，同じ点で同じ微分係数を持つ事。
374:大学への名無しさん
10/01/25 01:54:15 Xk37Bw0x0
左辺から右辺への式変形なんですが
2t/(1+t)(t^2+1)=-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)
の導き方が分かりません。
通常ならば
右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが、今回はその方法では解けませんでした。
375:大学への名無しさん
10/01/25 07:33:15 0/TKvoJd0
常識のある人なら
2t/(1+t)(1+t^2)=A/(1+t)+B/(1+t^2)+Ct/(1+t^2)
とおく。
376:大学への名無しさん
10/01/25 10:39:51 VPxeCKji0
>>374
f(x)/g(x)を部分分数分解するとき
1.多項式に分解
2.g(x)の因数に(x-a)^mが存在しているとき
a[1]/(x-a) + a[2]/(x-a)^2 +・・・+ a[m]/(x-a)^m と書ける
3.g(x)の因数に(x^2+px+q)^mが存在しているとき
(A[1]x+B[1])/(x^2+px+q) +(A[2]x+B[2])/(x^2+px+q)^2 +・・・+(A[m]x+B[m])/(x^2+px+q)^m と書ける
これらにしたがって、
2t/{(1+t)(t^2+1)}
=a[1]/(1+t) + (A[1]t+B[1])/(t^2+1)
=a[1]/(1+t) +A[1]t/(t^2+1) +B[1]/(t^2+1)
a[1]～B[1]を求めると君の言ったとおり
-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)になるはず。
>通常ならば右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが
(7t-6)/(t-2)(t-3) とかを部分分数分解するときはそれでいい。
これは上記の2の事実にしたがって分解してる。
今回は分母に(1+t^2)がでてるから3つ目のことまで考える必要がある。
377:大学への名無しさん
10/01/25 11:59:40 9vnq+87s0
次の微分方程式を定数変化法で解きなさい。
①ｄｙ/ｄｘ -2/x y = 2x-3
②ｄｙ/ｄｘ + y/x = 3x+2
③ｄｙ/ｄｘ + y/x = 1/x^2
④ｄｙ/ｄｘ + 2y/x = x-2
の回答、解説お願いします。よろしくお願いします。
378:１３２人目の素数さん
10/01/25 15:41:17 UNad8GCB0
>>337
① まずマセマティカというソフトをいんすとーるします。
② ときたいしきをNDSolve[ ]でかこみます。
③ しふと・えんたーをおします。
④ かいがえられます。
379:378
10/01/25 15:43:31 UNad8GCB0
ぼくはあたまがわるいのでまちがいました>>337ではなくて>>377でした。
380:大学への名無しさん
10/01/25 16:33:24 xjNo2rgu0
sin(θ－30°)＋sin(θ＋60°)教えてください！
381:大学への名無しさん
10/01/25 16:35:12 xjNo2rgu0
>>380
入試で出たのですか、
曖昧でちょっと問題違うかも？
数Ⅰの問題です！
簡単にするのか、θをもとめるのか忘れちゃいました。。。
382:大学への名無しさん
10/01/25 17:55:32 0AaE/pbT0
URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)
こういう図形の場合、二つの三角形の青い線は同じ長さになりますか？
y=10-xとy=10-1/2xのグラフを足すなどの一次関数同士の足し算はどの範囲でしょうか？
383:大学への名無しさん
10/01/25 18:55:22 H6A+GPvD0
>>382
相似の比
384:大学への名無しさん
10/01/26 14:24:21 WxUwQHBl0
１対１の数Ⅱ P８５
放物線ｙ＝ｘ^2 の２本の接線ｇ、ｈが点（a,ｂ）で交わるとする。
接線ｇ、ｈは直交するためのあa、bの条件を求めよ
という問題なんですが
接線ｇ、ｈの接点をそれぞれ（ｓ、ｓ＾2） (t、t^2)として
ｇ´（ｓ）ｈ´（ｔ）＝－１
これを計算して、ｓｔ＝－１／４・・・①
それぞれの接点での接線を求めて
ｇ：ｙ＝２ｓ（ｘ－ｓ）＋ｓ＾2
ｈ：ｙ＝２t（ｘ－ｔ）＋ｔ＾2
↓
２直線とも（a、ｂ）を通るので
ｂ＝２ｓ（a－ｓ）＋ｓ＾2・・・②
ｂ＝２t（a－ｔ）＋ｔ＾2・・・③
①②③より
a＝（ｓ＋ｔ）／２
ｂ＝ｓｔ＝－１／４
解説は、この
ｂ＝－１／４ だけが答えとして書かれているんですが
aの条件については触れなくていいんでしょうか？
385:大学への名無しさん
10/01/26 15:05:03 WxUwQHBl0
続き
自分で解いたのですが、
ｓｔ＝－１／４
ｓ＋ｔ＝２a
より、ｓ、ｔは ｘ＾2－２ax－（１／４）＝０ の２つの解である
よって判別式＞０より
４a＋√（１６a^2＋４）
―――― ＞０
４
４a＋√（１６a^2＋４）＞０
a>0のときは常に成立
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
４＋√（１６＋４／a^2）＜０
となり、a<0はありえない
よって a>0
これってどこを間違えているのでしょうか？
お願いします
386:大学への名無しさん
10/01/26 15:58:20 EaDCul8m0
「aは任意」って解答に書いてない？
387:大学への名無しさん
10/01/26 16:17:43 4jYFPMcI0
>>385
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
ここ
正しくは
４a＋|a|√（１６＋４／a^2）＞０
a>0のとき
４a+a√（１６＋４／a^2）＞０
a<0のとき
４a-a√（１６＋４／a^2）＞０
どちらにしても成立
388:大学への名無しさん
10/01/26 16:32:37 4jYFPMcI0
あとわざわざaの条件をしらべなくても、s．tはｓｔ＝－１／４を満たす任意の実数だから、aは全ての実数だよ
389:大学への名無しさん
10/01/26 20:30:41 26/cgeSgO
f(t)=∫[1,0]|x^2-tx|dxとするとき、f(t)の最小値と最小値を与えるtの値を求めよ。
解答では、t<=0、0<t<1、t>=1の場合分けがされてるんですが、何故その場合分けになるかわかりません。教えてほしいです。
390:大学への名無しさん
10/01/26 20:36:43 tt/xfEnm0
>>389
絶対値の中はx(x-t)。
x(x-t)の符号を考えるにはxの符号とx-tの符号を考えることになる。
xが0から1の範囲でxの符号を考えると0または正。
xが0から1の範囲でx-tの符号を考えると、その場合分けが必要になる。
391:大学への名無しさん
10/01/26 21:23:17 WxUwQHBl0
>>386
なかったです
>>387-388
わかりやすい解説ありがとうございます！
s．tはｓｔ＝－１／４を満たす任意の実数ですね。
392:大学への名無しさん
10/01/26 21:28:45 WxUwQHBl0
√の絶対値いつも忘れる・・・
いつも √（ab）^2＝ab にしてしまう
気をつけます
393:大学への名無しさん
10/01/26 21:42:26 TABPzb1i0
>>
394:大学への名無しさん
10/01/27 09:59:02 XydSkk6H0
>>391
え、本当に無い？
俺のには書いてあるんだけど・・
改訂か
395:大学への名無しさん
10/01/27 10:03:34 rlLvexkx0
aについて全然言及しないってのはおかしいよなあ。
396:大学への名無しさん
10/01/29 15:17:22 779eal2l0
ｙ＝－ｘ^2＋２ａｘ （０≦ｘ≦２）のとき、ａの範囲によって場合わけをして、
値域をもとめよ。
答え
ａ＜０のとき ４ａ－４≦ｙ≦０
０≦ａ＜１のとき ４ａ－４≦ｙ≦ａ^2
１≦ａ≦２のとき ０≦ｙ≦ａ^2
ａ＞２のとき ０≦ｙ≦４ａ－４
合ってますか？
397:大学への名無しさん
10/01/30 14:11:00 GkE3bjgR0
2曲線がx=t接するとき
f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)
っていう関係があると思うですけど
y=|x|ってx=0で微分不可能なので
y=|x|とy=-x^2はx=0で接しているとはいえないのですか?
398:大学への名無しさん
10/01/30 17:00:30 gZLE6clw0
>>311
これって難問の類ですか？
399:大学への名無しさん
10/01/30 18:32:34 XPeeUDUTO
f(x)=-1/4x^2+ax-a とおく。
二次関数y=f(x)の最大値Mは、aを用いて(1)。
このMが最小になるのはa=(2)のときで最小値はM=(3)である。
f(x)＞1が成り立つような実数xが存在するのは、a＜(4)および、a＞(5)のときである。
(1)はy=a(x-p)^2+qの基本形に直してa^2-aでよろしいでしょうか？
a^2-aであってるなら(2)はa^2-aを基本形に直して1/4でよろしいでしょうか？
この問題の(1)～(5)の解き方お願いします。
400:大学への名無しさん
10/01/30 21:17:08 QjM2MIHx0
(1)yes
(2)それたぶん計算みすってるからチェック
(3)上が分かればおのずと
(4),(5)逆に「どんなxに対してもf(x)≦1が成り立つようなaの範囲」とすれば...
401:大学への名無しさん
10/01/30 22:11:08 0GgPveX40
>>397
言えない
>>398
簡単
402:大学への名無しさん
10/01/30 23:30:06 XPeeUDUTO
>>400
レスありがとうございます。
(2)、(3)はa^2-aを基本形(a-1/2)^2-1/4に直して
(2)=1/2、(3)=-1/4になりました。
(4)、(5)は説明を頂きましたがわかりませんでした。すみません。
足りない頭で考えたのですが
判別式からa^2-a-1を出して、それを解いて1/2×1±√5
aの範囲はa＜1/2×1-√5 , 1/2×1±√5＜a
と考えたのですが間違いなら解説お願いしたいです。
403:大学への名無しさん
10/01/31 00:46:50 Pgclb81v0
1/(z(z+2) について特異点 z=0 を中心とするローラン展開をせよという問題なんですが、
特異点が z=0 なので 1/(z(z+2) = (1/z)(1/(z+2)) と考え、分母が z+2 の方の項を
どうにか変形して展開しようとしているのですが、どうにもうまく行きません。
なにかうまい方法があるのでしょうか？
お願いします。
404:大学への名無しさん
10/01/31 01:06:41 Nxlf+/RS0
2/(z+2)=1/(1+z/2)=1-z/2+(z/2)^2-...
405:大学への名無しさん
10/01/31 09:48:08 zsVeY8sqi
スレチ
406:大学への名無しさん
10/01/31 12:57:57 VnSqNWNT0
1/[x^2(x-1)] の部分分数分解で
1/[x^2(x-1)] = (ax+b)/x^2 + c/(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
としますが、
1/[x^2(x-1)] = a/x^2 + b/(x-1)
とするのは、どうして誤りなのでしょうか。
407:大学への名無しさん
10/01/31 13:12:45 J0k+btN40
>>402
たぶん書き間違ってるだけだろうからそれであってる
(1±√5)/2
>>406
ふつう、A/B=C+D/Bとなるとき、CはAをBで割った時の商、Dは余りになる
今、Bは二次式だから、余りは一次式
もちろん一次の係数が０になることもあるが、必ず０になるとは限らないから下のようにしてはだめ
俺は、
1/(x^2(x-1))=1/x(x-1)-1/x^2=(1/(x-1)-1/x)-1/x^2
とするのがいいと思う
中央で分子には絶対に定数しかこないから
好みか？
408:402
10/01/31 13:53:51 v4LpYgJhO
>>407
あ、括弧で閉じればわかりやすいですね。
携帯からの拙い文章なのにありがとうございました。
409:大学への名無しさん
10/01/31 14:55:25 tZdjPNv9O
これの(2)誰か教えてください
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
410:大学への名無しさん
10/01/31 14:59:30 WMuW9CnN0
k√(n-k+1)じゃないの?
411:大学への名無しさん
10/01/31 18:07:21 VnSqNWNT0
>>407
㌧です
412:大学への名無しさん
10/01/31 18:33:40 onZnEXJLO
logXの積分(底=e)は記述で部分積分飛ばして結果(XlogX-X)を書いても大丈夫でしょうか？
413:大学への名無しさん
10/01/31 18:45:40 es3CtRdaO
良いと思う
心配なら、結果を微分したらlogxに戻ることを書いておけば問題ない
414:大学への名無しさん
10/01/31 18:51:46 onZnEXJLO
>>413
ありがとうございました！
415:大学への名無しさん
10/01/31 18:58:37 dorJOHx90
放物線y^2=4x上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし、線分PQの中点をMとする。
直線RMはx軸に平行であることを示せ。
Rの座標を出す必要があると思うのですがわかりません
よろしくお願いします
416:大学への名無しさん
10/01/31 19:09:57 es3CtRdaO
普通にやるなら、xとyが逆になってるだけだと思って接線を求めれば解ける
417:大学への名無しさん
10/01/31 19:15:22 dorJOHx90
数Cにのっていた問題です。
答案に書くべき答えをすべて書いていただけませんか？
お願いします
418:大学への名無しさん
10/01/31 19:20:58 Nxlf+/RS0
お断りします
419:大学への名無しさん
10/01/31 23:10:04 /JRb3zWzO
お願いします
r>0、r∈Ｒとする。xyz空間において次の式を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
x~2＋y~2≦r~2
y~2＋z~2≧r~2
z~2＋x~2≦r~2
420:大学への名無しさん
10/01/31 23:14:12 WMuW9CnN0
05年の東大の過去問みてみるといい
421:大学への名無しさん
10/02/01 02:35:47 zsJvhIhh0
>>415
「放物線y=x^2=上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし、
Rのｘ座標をx1、x２であらわせ」
この問題が解ければ解けると思うよ
422:大学への名無しさん
10/02/01 09:55:53 cuT2qQgd0
>>421
この質問すぐあとにVIPにスレ立てられてたよ
423:大学への名無しさん
10/02/01 10:36:34 TOA1jbl9O
ハチの巣穴は六角形で出来ています
同じ多角形を持って平面を埋め尽くすとき、多角形の面積が同じなら、辺の和がもっとも小さく済むのは正六角形です（少ない材料で巣穴を作れる）
証明せよ
424:大学への名無しさん
10/02/01 11:07:33 Fuezv6/oi
埋め尽くすの意味がイマイチハッキリしないが3,4,6角形の三択だよね
あとはシラミつぶしで良いよ
425:大学への名無しさん
10/02/01 14:13:03 VJ/dlXwh0
X軸上を運動する質量ｍの質点Pがある。時刻ｔにおけるPのｘ座標をｘとするとき、次の
微分方程式が成り立つという。ただし、ｋは正の定数とする。
m(d^2x/dt^2)=-kx
t=0のとき、x=0,dx/dt=vo(定数）として、xをtの式であらわせ。
よろしくお願いします。
426:大学への名無しさん
10/02/01 14:42:08 UvVVcBpdO
>>423
一個だけなら辺の長さの合計を同じにした場合は、隙間なく組み合わせることができる多角形のなかで正六角形が１番大きいがくっついて隣接する辺を考えるとわかめ・・・
427:大学への名無しさん
10/02/01 15:27:55 b/+wcQXV0
>>424 問題の指定が正多角形ではないので、
たとえば平行四辺形を繋げた
＿＿＿
／ ／
＼ ＼
／ ／
＼ ＼ こんな形でも平面は埋め尽くせるよ。
￣￣￣
428:大学への名無しさん
10/02/01 16:56:56 MjP4jcyA0
初歩的かもしれませんがお願いしますm__m
x>0のとき x+1>1だから
(x+1)^(1/(x+2))>1
となるのはどうしてですか？
429:428
10/02/01 17:06:24 MjP4jcyA0
1=(x+1)^0
x+1の指数が0より大きいから
(x+1)^(1/(x+2))>1
ってことですかね？連投すいません
430:大学への名無しさん
10/02/01 17:08:08 ipcWmUHY0
そういうことです
431:大学への名無しさん
10/02/01 17:12:30 MjP4jcyA0
どうも！
432:大学への名無しさん
10/02/01 17:15:22 fzKxwu5jP
どういたしまして！！
433:大学への名無しさん
10/02/01 17:16:06 exAuLtLd0
いいってことよ
434:大学への名無しさん
10/02/02 21:16:31 bFZ/fwnU0
教科書レベルで申し訳ないのですが、数Ⅲの置換積分で、
∫√(a^2-x^2)dx を x=a*sinθ
と置換する問題です。
ふと、学校の先生が「不定積分だと難しい」と言っていたのを
思い出したんですが、積分区間が出てこないだけで、
dx=a*cosθdθ
と積分変数を変えて、普通に出来るように思えます。
なにか、勘違いしているんでしょうか？
435:大学への名無しさん
10/02/02 21:21:40 bFZ/fwnU0
スミマセン、自己レスです。
もしかして、θの式で不定積分が出てきた後、
θに代入するxの式が作れないということ？？？
そんな気がしてきました。
ご意見いただけたら助かります。
436:大学への名無しさん
10/02/02 21:21:51 WuP2yGhUP
最後にxに戻すのにが三角関数の逆関数がいるって事じゃないですか？
437:大学への名無しさん
10/02/02 21:39:47 5K+avAhT0
微分方程式を解けという問題です。
(1)y''+ｘ＾２+２ｘ=0
(2)y''+ｙ=0
この二つなんですがさっぱりわからないです。
よろしくお願いします。
438:434
10/02/02 21:46:21 bFZ/fwnU0
>>436
サンキューです。
やっぱ、アークサイン(?)とかいうのが出てくるってことですね。
納得しました。
439:大学への名無しさん
10/02/02 22:01:42 +5wVcSe60
円をかたどる曲線を直線にすると、外側の延ばされた線の長さは
短くなるか、長くなるか？
440:大学への名無しさん
10/02/02 23:12:46 82IgsYH40
任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率は
なんですか。
答えなしでノーヒントなので考えにくいです。
441:大学への名無しさん
10/02/02 23:51:39 WuP2yGhUP
>>440
[0,1)の一様分布から3つ取ったとすれば1/3じゃないでしょうか
442:大学への名無しさん
10/02/03 00:39:31 I66gxamU0
同じ結果でました。ありがとうございます
443:大学への名無しさん
10/02/03 01:10:10 q8qITR/O0
細かい成分は省くきますが
二次正方行列A,BについてA^2=Oが成り立つとき
逆行列を持つ二次正方行列Pが存在して
B=P^(-1)APとなることを示せ
みたいな問題で
Pに具体的に適当な成分を入れて
｢P=～とすると逆行列を持ちこのとき確かに与等式を満たすので題意は示された。｣
と書いたところ
｢十分性のみで必要性が示されていない。｣
と減点されたのですが
Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか？
一応、解答は等式を同値変形してPの必要十分条件を求めておりそれは理解できます
444:大学への名無しさん
10/02/03 02:07:44 aUUeyaMxP
君の解答や問題や模範解答がはしょられてるからいまいちわからんが
>Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか
必要性というのはそういう意味じゃなく、
君が具体的に示した行列以外に条件を満たす行列が無いということを示せってことじゃないの
問題文をどれだけはしょってるのかわからんが、
その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
まぁ数学は普通必要十分条件だしな
445:大学への名無しさん
10/02/03 02:14:22 zBZSazMK0
問題で省いたのは
A=a1
bc
a,b,cは実数
B=01
00
だけです
読みにくくてすみません
>その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
そう思いました
446:大学への名無しさん
10/02/03 02:20:54 T5KZE0nX0
それ超絶重要な情報だぜ
じゃないとAが任意なのかBが任意なのか分からないからな
447:大学への名無しさん
10/02/03 03:22:49 T5KZE0nX0
論理学的に
「A^2=Oを満たす」⇔「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
を証明すればいいんだけど
→の証明：A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
←の証明：B=P^(-1)APからA=PBP^(-1)。A^2=PB^2P^(-1)=O(∵B^2=O)よってA^2=O
→の証明で使えることは「A^2=O」だけ、逆に←で使えるのは「B=P^(-1)APとなるPが存在する」ということだけ
443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
448:大学への名無しさん
10/02/03 05:34:33 lAvUJiFSP
443の問題文なら→だけでいいんでは？
成分を具体的に与えてるんだから存在してるのは当たり前
むしろ突っ込むとすれば正則性をちゃんと言っているかだろう
449:大学への名無しさん
10/02/03 10:08:20 HTRmeBUZP
存在証明なんだから具体例挙げればいいだけだろ
450:大学への名無しさん
10/02/03 12:48:46 aUUeyaMxP
>>447
素直に読むと
「A^2=Oを満たす」→「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
と読める
>443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
そうか？むしろ443のは
A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
こっちだと思うけど
まぁ採点基準が必要性の証明を求めてるなら、必要十分で解くべきだったって話だが
451:大学への名無しさん
10/02/03 15:49:17 BOI07B9o0
x>0 y>0 x+y=1 xyの最大値1/4（これは問題の途中で求めた）の時に
(1/x)+(4/y) の最小値を求めろという問題なのですが
相加相乗平均の式を使って
(1/x)+(4/y) ≧ 2√(4/xy)
という様にして、xyの最大値が 1/4 なので、
それを代入して右辺の値が８だから、最小値８とならないのは何故でしょうか。
452:大学への名無しさん
10/02/03 15:55:01 FibZhSiN0
(1/x)+(4/y) ≧2√(4/xy)
の等号成立条件と
1/xy≧4
の等号成立条件が一致してないんでは。
453:大学への名無しさん
10/02/03 18:11:17 aP2rAxs+Q
「ｘｙ平面上で３点すべてが有理点である正三角形は存在しないことを証明せよ（√３が無理数だということは証明せずに用いてもよい）」
という問題で、２点を（０，０）、（ａ，０）と置くと、残りの１点は（ａ／２，±√３ａ／２）になるって方針で解答してもおｋですか？
解答例には、１次変換を用いたものと、座標を（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ２，Ｙ２）（Ｘ３，Ｙ３）として背理法で解くものの２つしかありませんでした
454:大学への名無しさん
10/02/03 19:03:54 p9fOvZfl0
>>453
どうして、x軸に平行な辺を持たない場合についてはどのような方針で？
455:大学への名無しさん
10/02/03 19:22:31 5sydjApO0
すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
456:大学への名無しさん
10/02/03 19:26:59 FibZhSiN0
>>455
1次式で割ったときの余りなので
剰余の定理を使いたいと考えると・・・
457:大学への名無しさん
10/02/03 19:28:00 8pJBPgv90
>>455
>多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１である。
商をQ(x)としてP(x) が何に等しくなるか書いてみよ。
>P（ｘ）を…（ｘ＋２）で割ったときの余り
剰余の定理は習ってるね? 上の結果にそれを適用。
458:大学への名無しさん
10/02/03 20:18:59 aP2rAxs+Q
>>454
２点がｘ軸に重なるように、ｘ・ｙ軸を設定したんですがマズいですかね？
459:大学への名無しさん
10/02/03 20:59:38 lXe53pzw0
455 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 19:22:31 ID:5sydjApO0
＞＞すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
４５５ですが、P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ＋１）
となり、題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
よろしいのでしょうか？
460:大学への名無しさん
10/02/03 21:16:12 8pJBPgv90
>>459
> P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ-１）
Qと書くと単なる定数のように見えてよろしくない。商もまたxの式なのだから
Q(x)と書くべき。だが、考え方はそれでおけ。元の問題や答えからすると
最後の()の中身は上に直したように3ｘ-1だね。
>題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
これも前半が数学の答案の表現として意味を成してないけど、やることはそれでいい。
剰余の定理よりP(x)をx-1で割った時のあまりはP(1)として求めることができ、
上の形で書いたP(x)にx=1を代入すると
P(1)=(1-1)(1+2)Q(1) + 3*1-1 = 0 + 3*1-1 =2
Q(1)がどんな数であろうと、1-1=0が掛かってる部分で、前半部分が0になっちゃうのがミソ。
461:大学への名無しさん
10/02/03 21:17:56 u4vY21d90
>>458
どうしてそう設定出来るんだ？
そうじゃない正三角形だってあるだろう？
462:大学への名無しさん
10/02/03 23:25:40 BzF+BuER0
nは自然数である
2^n＋1が15では割り切れないこと数学的帰納法で証明せよ
がわかりません
463:大学への名無しさん
10/02/03 23:33:40 FibZhSiN0
a[n+4]≡a[n](mod15)を示して
a[1],a[2],a[3],a[4]が15で割り切れなければ
以下帰納的にa[n]は15で割り切れない
ってのが自然なような。
464:大学への名無しさん
10/02/03 23:43:57 YQHDPspD0
y=-x について対称移動する変換についての証明の仕方について質問です
この変換 で （ｘ、ｙ）→ （ｘ’、ｙ’）として、 ｘ＝cosθ ｙ＝sinθ
とすると ｘ’＝cos（-θ-90度）=-sinθ=-ｙ ｙ’=（-θ-90度）=-cosθ=-ｘ
と考えたのですが、これでいいのでしょうか 他に方法があったら教えてください。
465:大学への名無しさん
10/02/04 00:14:42 Emp8tpGX0
x^log{10}(x^2)=(10x)^1/3
xを求めよ。
がまったくわかりません。
めんどくさいと思いますが教えてください。
466:大学への名無しさん
10/02/04 00:28:49 iPmTFkkPP
x>0とする
両辺の常用対数を取って整理するとlog{10}(x)が幾つかあるから
log{10}(x)=tとでも置いて整理してみたらどうか
tの2次方程式ができるだろう
467:大学への名無しさん
10/02/04 02:22:55 sh4ZAWai0
>>463
mod3として
nが奇数のとき 2^n+1≡-1+1≡0 偶数のとき 2^n+1≡2
mod5として
2^nは2,4,3,1を繰り返す。2^n+1≡0となるこのnは偶数
よって2^n+1を3でも5でも割切るnは存在しない。
468:大学への名無しさん
10/02/04 02:32:06 sh4ZAWai0
>>464
何を証明するのだろうか。以下原点を通る直線による対称移動の表示行列の得方
その1
r(cosα, sinα)を変換するとr(cosβ,sinβ)になるとする
(α+β)/2=γ(γはy=-xがx軸となす角度で3π/4。ここでは一般化する。)
r(cosβ,sinβ)=r(cos(2γ-α), sin(2γ-β))
加法定理で展開してr(cosα sinβ)をくり出せば目的の表示行列を得る
その2
また、傾きmの場合、座標平面上の任意の点はs,tをパラメータとして
OX↑=s(1,m)+t(m,-1)と表せる。y=mxについて対称移動すると
OX'↑=s(1,m)-t(m,-1)に移る。s,tを消去すれば目的の行列を得る。
469:大学への名無しさん
10/02/04 09:09:10 Emp8tpGX0
>>466 ありがとうございます。解決しました。
470:大学への名無しさん
10/02/04 15:10:49 WuT2Ygny0
>>468
ありがとうございました。
471:大学への名無しさん
10/02/04 23:30:22 g6+EK+gm0
高１ですが
L1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
L2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある
(1)L2 上の点A(-1,1,-2)からL1へおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ
(2)L1 L2 上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分ＰＱの長さの最小値を求めよ
これを解説してくれませんか
472:大学への名無しさん
10/02/04 23:32:56 g6+EK+gm0
あげ
473:大学への名無しさん
10/02/05 03:26:59 Nicj2DR70
URLﾘﾝｸ(gyazo.com)
この問題なのですが、
3を右辺に移行した後対数を取って整理すると
(3x+1)-2x+x=1となり、
x=0しか答えが出ません
答えを見ると-1、0、1なのですが、どこが間違っていますか？
474:大学への名無しさん
10/02/05 06:53:31 qYH8q9Vl0
>>473
エスパーのものだが、対数をとるときの計算が間違ってる
log(a+b)≠log(a)+log(b)
475:大学への名無しさん
10/02/05 22:44:30 IGwU/veS0
1≦x≦22,1≦y≦log_{2}(x)を満たす整数(x,y)はいくつ存在するか。
手のつけようがないので解説お願いします。
476:大学への名無しさん
10/02/06 00:39:14 7G3mmOqlQ
パっと見で答えるから他にいいやり方あるかもしれんが、logが整数になるようなＸで区切ればいいんじゃね
Ｘ＝１のとき不適
Ｘ＝２、３のときＹ＝１
Ｘ＝４～７のときＹ＝１、２
Ｘ＝８～１５のときＹ＝１～３
Ｘ＝１６～２２のときＹ＝１～４
あとはこの組み合わせを数えたら出る
477:大学への名無しさん
10/02/06 06:04:50 D1cTsilc0
>>475
集合 {(x,y)|x, y∈Z, 1≦x≦22, 2^y≦x, 1≦y}の元の数
yを固定するとxは2^y, 2^y+1, ..., 22 (2^y≦22) の23-2^y通り
yは1から4までの整数をとる。答えはΣ(23-2^y)でyを1から4まで動かす。
92-30=62が答え。
たいていはxかyを固定して数え上げ、それを足し合わせる。
478:大学への名無しさん
10/02/06 06:08:31 D1cTsilc0
>>471
(1)Hはまずsで成分表示。そしてAH↑はL_1の方向ベクトル(1,1,-1)に垂直。
これでsは決定する。
(2)PQ↑がそれぞれの直線の方向ベクトルに垂直になるときPQは最小となる。
s,tでそのまま計算し、垂直条件から内積が0になるようにs,tを見つければいい。
479:146
10/02/06 11:17:08 Ud3g3CTy0
赤ﾁｬｰﾄ Ⅰ＋Aの p.127 練習148について
この理解の仕方があっているかどうかについて質問させていただきます。
■問題■
すべての実数x, yに対して、
x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b > 0
が常に成り立つために定数a, bの満たすべき条件を求めよ
■解答■
与式をxについて整理すると
x^2+2(2y+5)x+4y^2+ay+b > 0 ― ①
①について
D/4 = (2y+5)^2-(4y^2+ay+b)
= (20-a)y+25-b
すべての実数x, yについて、①が常に成り立つための条件は
D < 0
すなわち
(20-a)y+25-b < 0 ― ④
がすべての実数yについて成り立つことである。 ― ②
よって
20-a = 0 かつ 25-b < 0 ― ③
したがって、
a = 20 、 b > 25
■質問■
②か③への移行について伺います。
②が即ち③となることについて、
「yが残ると最終的にyの不等式ができるため、すべての実数yについて成り立たない。
よってyの係数を =0 にし、yの項が消えたところで残りの25-bが < 0 となるようにする」
という考え方で問題なく合っているでしょうか。
ご教授お願いいたします。
480:大学への名無しさん
10/02/06 13:13:36 KfVKleJ20
>>479
×最終的にyの不等式ができるため、
○最終的にｙの「1次」不等式ができるため
別にｙという文字に関しての不等式であっても、全ての実数ｙに関して
成り立つものは作れるわけで。y^2+1>0みたいに。
> (20-a)y+25-b < 0 ― ④
> がすべての実数yについて成り立つことである。
1次関数z=(20-a)y+(25-b) がどんな実数yについても、
y軸に触れたりその上に行ったりしないんだったら、
傾き0でz切片が負、って場合しかないわなぁ。そういうこと。
(傾き0の定数関数は、中高では慣習的に「1次関数」の内に入れているはず)
481:大学への名無しさん
10/02/06 13:16:54 V8Fh/1Ea0
>>479
そう考えてもいいし、左辺をyの1次関数だと考えてもいいよ。
それがいつでも正なのはグラフの傾きが0のときだけ。
ちなみに元々の問題も、左辺をまずxの2次関数とみて平方完成。
で、残った部分をyの2次関数とみて平方完成、でもできるよ。
482:146
10/02/06 14:05:37 Ud3g3CTy0
>>480
>>481
ありがとうございます。理解することができました。
>>481
与式をx, yそれぞれについて平方完成しようと試みましたが、
yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
これはこの問題を例にとるのが悪かったでしょうか。
あと、独学者がその特有の危うさの回避の為に出来ることが、
こちらでの質問以外に何かございますでしょうか。
483:大学への名無しさん
10/02/06 16:39:06 3/aDMqIL0
>>474
log(ab)=log(a)+log(b)ですよね？それで計算したのですが・・
484:大学への名無しさん
10/02/06 16:43:11 pgg959CX0
放物線 y=5/8x^2 と点Ａ（０,２）を中心とする縁が異なる２点で接するとき
この円と放物線で囲まれる部分の面積を求めよ
だたし、円と放物線が共有点Ｐで接するとは、その点で同じ接線をもつということである
という問題なのですが。疑問点を一つずつ書いていきます
放物線上の点Ｐ（ｔ, 5/8t^2）における接線ｌの傾きは5/4tであり
ＡＰ⊥ｌ＝－１となっているのですが、どうしてー１になるのかよくわかりません。計算式が全然・・・
その後に、いきなり5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
など面積公式が出てきてさっぱりわかりません・・・どんなプロセスというか・・・そこにある本質？なぜ面積公式が出てきて、どことどこを引いているのかなど
解説に全く書かれてないのでちょっと行き詰ってます。
どなたか解説をしてくれないでしょうか？お願いします。
485:大学への名無しさん
10/02/06 16:44:01 0qYm6wxB0
数Ⅲの関数のグラフの第二次導関数についての質問です
y=f(x)において f''(x)がプラス、マイナスになるのを調べるのって
f''(x)=0になる解をみつけてから、どうやってしらべるのでしょうか
ヨロシクお願いします。
486:大学への名無しさん
10/02/06 16:59:28 D1cTsilc0
>>485
第2次導関数が0になるのを探したって、第1次導関数の正負は分からないだろう
せいぜいそこでy=df(x)/dxが極値になるかもしれないということだろう。
頭を使って正負を考えるしかない
487:大学への名無しさん
10/02/06 17:01:18 58gdxUv20
>>484
>ＡＰ⊥ｌ＝－１
中学の内容だった気がするけど
直線L1とL2が垂直をなしているとき、
(L1とL2の傾きの積)=-1が成立する。
>5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
β-αが頻出する形から見ると、(円の下側の方程式-x^2)を積分してるのかな?
表記の仕方が微妙なせいでよくわからない。
α、βが何なのかもかいてないし
5/8x（βーα）^3/6のxとか^3/6とか何表してるのかよくわからないし。
自分は台形からくりぬいて計算した結果
(48√3/25) -(64π/75)になった。
488:大学への名無しさん
10/02/06 17:05:00 0qYm6wxB0
>>486
やっぱそうなんですか。回答ありがとうございます。
489:大学への名無しさん
10/02/06 17:07:27 53XyI4GW0
>>485
どんな関数なのかによる。
調べるまでもないものもあれば、適当に代入して調べりゃいいものも。
490:大学への名無しさん
10/02/06 17:13:58 D1cTsilc0
>>484
5/4tは5/(4t)に見える。^3/6は^(1/2)に見える。表記がずさん。
直交する直線の傾きの積は-1
(t,5tt/8)を通り傾き4/5tの直線が(0,2)を通るとしてtを得る。
2接点をB,Cとして、直線BCと放物線の囲む面積を1/6公式で求め、
三角形ABCの面積と足し、扇形ABCの面積を引けば答えを得る。
491:大学への名無しさん
10/02/06 17:29:03 AFis/rcOP
>5/4tは5/(4t)に見える。
5/(4t) って書きたかったら 5/(4t) って書くだろうに
ま、わからんでもないが
>^3/6は^(1/2)に見える。
これはありえない
まず指数を計算して、次に除法を計算するってルールからして
（βーα）^3/6
は一通りにしか解釈できない、ただのいちゃもん
^(1/2)を表現したいのなら、^(1/2) としか表現できない
492:大学への名無しさん
10/02/06 19:53:02 B7KjO+xM0
円と直線の共有点を出すには、連立方程式にして出すしか方法はないのでしょうか？
493:大学への名無しさん
10/02/06 20:39:09 KfVKleJ20
>>492
値が特別のときなら図形的に見当が付くことだってあるし、
xとyの連立方程式ではない形で解ける場合だってある(ただしそれには
数II三角関数とか数C行列とかが要る)が、
どんな場合(値)でも使えて計算コストが平均して低いのは、連立方程式から
1文字消去して2次方程式に持ち込む方法じゃないかなぁ。
494:481
10/02/06 20:44:34 V8Fh/1Ea0
>>482
> yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
ほんとだね、元の式をよく見てなかった、ごめん。
あの時点で的確な質問をしてる時点で、独学社特有の危うさをクリアして
いると思うけど……？
495:大学への名無しさん
10/02/06 21:35:14 D1cTsilc0
>>491
エスパーはしかるべくしてするものではない。
ab/cとあればabが分子、a/bcとあればaが分子。
a/bcとあって(a/b)cと解釈するのは感覚がゆがんでる
指数の方は、そうかもな。読み手にあまりに不親切な式だから
疑いやすくなってたのかもしれない。
496:大学への名無しさん
10/02/06 21:36:11 D1cTsilc0
google電卓に聞いたら俺が間違ってるっぽいんだけど
497:479
10/02/06 22:26:16 Ud3g3CTy0
>>494
ご返答ありがとうございます。
特有の危うさというのは例えば今回のご質問でも
書き込むまでは、質問の必要などない些細な疑問だと思っておりました。
しかしいざ教えていただくと、>>480 のように
自分では気付けていなかった事があるとわかりました。
このように、自分自身では質問する必要が無いと思っていることでも、
本当は気付き切れていないことがまだたくさんあるのではないかと
心配になりました。
その度にこのｽﾚをお借りするのも一つですが、
枝葉末節の質問をその度に書き込むのも少し憚られるかと思いまして。
498:大学への名無しさん
10/02/07 00:20:23 zXgLKHgn0
A=1/n
ｎ
B=∑(k/n)^5
k=1
lim (A*B)
n→∞
＝(1,0)∫x^5 dx
になるのは何故ですか？
499:大学への名無しさん
10/02/07 00:29:02 gW0VlQIK0
>>493
ふむふむ、有難うございました
500:大学への名無しさん
10/02/07 00:48:44 0iSzmoT60
>>498
ただの区分求積法じゃん どこがわからないの？
501:大学への名無しさん
10/02/07 00:53:04 zXgLKHgn0
>>500
ありがとうございました ；_；
502:大学への名無しさん
10/02/07 01:47:51 0iSzmoT60
区分求積法なんて、∑の前にn→∞がついてる時ちょっと気をつけるだけでいいんだから泣くなよ
503:大学への名無しさん
10/02/07 01:54:41 jICYqWJa0
座標平面上にP(3,4) Q(12,5)をとる
原点Oから2点P,Qを通る直線に下ろした垂線をOHとするとき
点Hの座標は(a,b)である。a,bを求めよ。
この問題について、点と直線の距離の公式でOHの長さ(33/√82)を出した後
Hの座標の求め方がわかりません。OHの長さを出すこと自体が間違っていますか？
ご教示お願いします。
504:大学への名無しさん
10/02/07 01:56:14 zXgLKHgn0
>>502
こんな親切な人がいるとは・・・
重ね重ねありがとう ；_；
505:大学への名無しさん
10/02/07 02:00:28 zXgLKHgn0
>>503
PQの傾きは計算したら出る
その傾き＊OHの傾き=-1
OHの方程式が出る
OHとPQの交点の座標を出す
交点は勿論HなのでHの座標が出る
もっとすまーとなやり方があるかも
506:大学への名無しさん
10/02/07 02:05:43 jICYqWJa0
>>505
ありがとうございました。その方法で良いみたいです
507:大学への名無しさん
10/02/07 08:21:33 +3RmK88v0
質問です
ｒ=cos3θ（山葉線）で ｒ=f(θ）としてf(-θ）=f(θ） f(π/3-θ）=-f(θ）
f(2π/3-θ）=f(θ）となることはわかりました．
ところが、この曲線が3直線 θ=0 （これはわかります。）
θ=π/3、θ=2π/3 に関して対称であることが、見えてきません。
教えてください。
508:大学への名無しさん
10/02/07 08:33:04 PIX3YN0w0
f(π/3 + θ)=f(π/3 - θ)
を計算してみたらいいんじゃないのかな
cos(3θ+3π)=-cos3θ
cos(-3θ+3π)=-cos3θ
だからθ=π/3で対称
509:大学への名無しさん
10/02/07 08:39:40 +3RmK88v0
すいません、自己解決しました。
f(π/3+θ）=-f(-θ）=-f(θ）= f(π/3-θ）
f(2π/3+θ）=f(-θ）=f(θ）= f(2π/3-θ）
と考えればいいのですね。
510:大学への名無しさん
10/02/07 08:40:31 +3RmK88v0
>>508
ありがとうございました
511:大学への名無しさん
10/02/07 12:56:29 w+Kakzw/0
質問させてもらいます。
99＾100 と 100＾99 の大小比較って f(x)=logx/x とおいて微分で考える以外の方法で
できますか？出来れば1A2Bまでの範囲でお願いします。
512:大学への名無しさん
10/02/07 13:04:36 PIX3YN0w0
100{(99/100)^100}
=100{(1 - 1/100)^100}と1との大小関係を二項定理を用いて示すとか。
513:大学への名無しさん
10/02/07 14:31:58 w+Kakzw/0
>>512
この場合 右辺>1 を示せばいいんですよね？
解答に起こしてもらえますか？
514:大学への名無しさん
10/02/08 08:05:49 vQiB+TYg0
lim_[h→0] (f(a+2h)-f(a))/h
これを計算する時に、分母と分子に2をかけるのはわかるのですが、
そのあとに、2lim_[h→0] (f(a+2h)-f(a))/2hとなっています。
何故、limの前に2を置いたのだから、分母の2も消えるのではないのでしょうか？
515:大学への名無しさん
10/02/08 08:12:19 5zJwgdc/0
>何故、limの前に2を置いたのだから、分母の2も消える
落ち着いてもう一度考え見てたら？
元の式: lim (f(a+2h)-f(a))/h
これに、2/2=1を乗じて
lim 2(f(a+2h)-f(a))/(2h)
=2lim(f(a+2h)-f(a))/(2h)
ということだけど。
516:大学への名無しさん
10/02/08 14:10:46 CwnxZ8aq0
【教科書の記述】
「通る一点と傾きが与えられた場合」
点Ａ（x1,y1）を通り、傾きがmの方程式を求めてみよう。
切片をn とすると、その直線の方程式は y=mx+n ①
と表される。これが点Ａを通ることから y1=m(x1)+n ②
②を用いて①からnを消去すると、y-y1=m(x-x1)③
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【質問】
③の式を求める意味と、x,yが何を表してるのかが理解できません。
通る１点（x1,y1）と傾き m が与えられたならば、
y=mx+n に代入するだけで n は求められるのに、
なぜこんな式を求める必要があるのですか？
そもそもx-x1とy-y1は何を表してるのですか？
x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
引いていると言うことは、両者の距離を表してるのかと思いましたが、
それならば絶対値記号は付けなくてもいいのですか？
正直、分からないところが分からない状態なので、
理解してる人から見れば質問自体が的外れかもしれませんが、
なんとかよろしくお願いします。
517:大学への名無しさん
10/02/08 14:23:34 5zJwgdc/0
>>516
そこだけ見てると教科書の記述も何をさせたいのかいまいち良くわからない
もう少し一般的に説明するとこんな感じ
xy平面上の図形Cの方程式とは
点(x.y)がその図形C上に存在しているための必要十分条件のこと
(≡点(x.y)がC上にのっかっているときに、「常に」満たしている関係式のこと)
傾きmでA(x[1],y[1])を通る直線の方程式Lを考える。
L上の、点A以外の任意の点(x.y)と点Aに着目し
y座標の差とx座標の差の商をとると常にその値はmになることから
(y-y[1])/(x-x[1])=m⇔y-y[1]=m(x-x[1])・・・・(*)
(*)を直線Lのxy平面上での方程式という
>x1とy1は通る１点の座標ですが、xとyは何なのでしょう？
上記の説明に出てきたとおりx.yとはA点以外の点で
なおかつ直線上にある任意の1点のこと。
518:大学への名無しさん
10/02/08 16:35:29 fipzJqzi0
lim{x→∞} -x/e^x （eは自然対数の底）
がなぜ0になるのかわかりません
詳しく教えてください
519:大学への名無しさん
10/02/08 16:43:43 5zJwgdc/0
e^x>Σ(k=0.n) (x^k)/(k!) (x:正の実数, n:自然数)
を示して、この不等式からハサミうちすると
x^p/e^x →0 (x→∞) (p:正の実数)がいえる。
520:大学への名無しさん
10/02/08 18:17:21 vQiB+TYg0
>>515
limの前に2をもっていったら全体にかかることになるんじゃないんですか？
521:大学への名無しさん
10/02/08 18:27:01 5zJwgdc/0
>>520
>limの前に2をもっていったら全体にかかる
全体にはかからない。分子だけ
君の理屈をそのままΣで当てはめると
Σ(k=1.n)1/2
=Σ(k=1.n)2/4
=Σ(k=1.n)2(1/2)
=2Σ(k=1.n)1/2
ってことになるよ。
522:大学への名無しさん
10/02/08 18:44:44 vQiB+TYg0
あ…そういえばそうですね。。
8/2=2(4/2)ですもんね…。
すいませんありがとうございました！
523:大学への名無しさん
10/02/08 19:06:00 CwnxZ8aq0
>>517
詳しい説明ありがとうございました。
（教科書にもこういう説明が欲しい・・・）
完璧に理解できたかは分かりませんが、
とりあえず、絶対値記号を付けないのは、
Ｌ上のＡ以外の任意の点（x,y）と点Ａとの大小関係が、
x>x1かつy>y1 の場合と、
x<x1かつy<y1 の二通り以外ありえないため、
（x-x1）（y-y1）としておけば、
仮にx1>xかつy1>yで、引く方の数が大きくなってしまっても、
割り算すれば－÷－＝プラスになるので、
絶対値記号は不要なのかな、と考えています。
x,yに関しては、最初はxy平面の全ての点を代表してるんだと勘違いしてましが、
L上のＡ以外の任意の点だったと分かれば、ある程度分かるようになりました。
524:大学への名無しさん
10/02/08 20:11:10 pOhmrw590
>>523 混乱するようだったら無視&忘れて。
X=x-x1、Y=y-y1 という新しい変数を考える。
座標平面でのy=0、x=0はそれぞれx軸、y軸を表すが、
Y=0、X=0はそれぞれ、もとの座標でいえば
「y座標がy1でありx軸と平行な直線」「x座標がx1でありy座標と平行な直線」を表す。
これらの交点は点A(x1,y1)である(ぜひ図を書いて確認されたし)
さて、Aを通って傾きがmの方程式は Y=mXと表せるから、
X,Yを元の文字に置き戻せば y-y1=m(x-x1)
x-x1,y-y1は、こう考えると「(x1,y1)が新しい座標原点になるように平行移動した
新しい座標系での横軸、縦軸の座標の値」を意味することになるし、
図形の方程式として束縛されれば「考えている直線の上の」そういう座標の点、ということになる。
525:大学への名無しさん
10/02/08 21:28:22 NtdrI5d90
低レベルな質問ですみません
ベクトルa、b、cについて、a＋b＋c＝0かつa・b＝b・c＝c・a＝-2
であるとき、aとbのなす角は(マークシートで3桁)°である(アルファベットには上に→がついてます)
という問題があるのですが解法がわかりません
そして、この問題の解説や答えもなく困っております。ご教示お願いします
526:大学への名無しさん
10/02/08 21:38:47 rslmpjv/0
全然解けなくて困っています。
面倒だと思いますが解説お願いします。
一辺の長さが2の正四面体OABCがある。
辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDの中点をEとする。
点Eから辺OCに垂線を引き、その交点をHとすると
OH↓=ア/イOC↓となる。
さらに直線OEと平面ABHとの交点をPとすると
OP↓=ウ/エOA↓+オ/カOB↓+キ/クOC↓
アイウエオカキクの値を求める問題です。
よろしくお願いします。
527:大学への名無しさん
10/02/08 21:40:07 rl0KpDxtP
a+b=-c
a+c=-c
の両辺の長さの2乗を考えてみるとaの長さが分かる
528:大学への名無しさん
10/02/08 21:52:48 gFr+8gJI0
>>526
前半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表す、OH↑=tOC↑とおく、EH↑を求める、
EH↑･OC↑=0からtを求める、で解決。
後半はOE↑をOA↑, OB↑, OC↑で表したものを前半の結果を使って変形し、
OA↑, OB↑, OH↑で表し、それらの係数の和が1、で解決。
529:大学への名無しさん
10/02/08 21:53:09 rl0KpDxtP
>>525
a+b=-c
a+c=-b
すまん
>>526
OA↑をaと書く等する
OE↑=(a+2b+3c)/6
OEとOE↑・OC↑を計算すれば∠EOCがわかるから
直角三角形OEHを考えればOHがわかるはず
後半はむしろ基本問題
手早くやる方法もあるが、まずは教科書通りにやったらどうだろう
530:大学への名無しさん
10/02/08 21:57:52 rl0KpDxtP
>>528
その方が楽だな、俺のは無しでｗ
正射影をだすならOEを出すのは無駄だｗｗ
531:大学への名無しさん
10/02/08 22:06:05 rslmpjv/0
>>528 >>529
素早い解説ありがとうございました！
532:大学への名無しさん
10/02/08 22:06:49 gFr+8gJI0
>>530
いや、正射影じゃなくて、正射影ベクトルを使えばいいんじゃないか？
OH↑＝{(OC↑･OE↑)/|OC↑|^2}OC↑={(OC↑･OE↑)/4}OC↑
{(OC↑･OE↑)/4}のところがア/イだな。
って、オレらが相談しててもしょうがないんだがｗ
533:大学への名無しさん
10/02/08 22:24:22 1h1NprTY0
すべての自然数nに対して
1. a[n]>a[n+1]
2. a[n]>0
の2つの条件が成立してるとき
lim_[n→∞]a[n]は0に収束しますか？
534:大学への名無しさん
10/02/08 22:27:10 pOhmrw590
>>553
No。たとえばa[n]=（2^(-n))+1。
535:大学への名無しさん
10/02/08 23:04:30 1h1NprTY0
>>534
なるほど、指数のこと完全に忘れてました
迅速な回答ありがとうございました
536:大学への名無しさん
10/02/08 23:11:46 gFr+8gJI0
>>535
指数のことってか、>>534が挙げてるような、「0より大きい数に収束する減少数列」
はぜんぶ>533の例外だぞ!?
537:大学への名無しさん
10/02/08 23:26:45 LJFKOuCmP
a(n) = 1/n + α (α>0)
だといくらでも作れるね
538:大学への名無しさん
10/02/09 10:52:37 Bm+KcGKr0
>>537
539:大学への名無しさん
10/02/09 12:43:00 v3+sis2N0
変曲点を調べるのってどういう場合？
「グラフを書け」って時は必ず調べる？
それとも微分した式がもう一回微分できそうだったら必ずもう一回微分して変曲点調べる？
変曲点わからなくてもグラフ書ける場合も調べないと減点？
540:大学への名無しさん
10/02/09 12:58:18 bzHy8BOG0
２次導関数を使うのは、複雑な関数の極大値や極小値を求める時とか、jensenの不等式関連の問題とか、媒介変数絡みの問題とか。
変曲点を求めてグラフを書けといった但し書きがある親切な大学もあるけど、東北大みたいなシビアな大学だと分からんな。
東北大はHC定理ですら証明無しだと減点らしいし。
541:大学への名無しさん
10/02/09 13:04:33 gxzhFUIBP
東北大の某大先生は特別だとして、普通はグラフの概形をかけとだけ言われた時は増減、極値だけで十分。
542:大学への名無しさん
10/02/09 13:10:14 v3+sis2N0
黄チャートⅢCの７９（P、１２１）
０≦ｘ≦２πのとき、ｙ＝ｘ－(√２)sinｘのグラフを書け
なんだけど、これはどうなる？
ｘ＝０、π、２πが変曲点になるんだけど、無視してざざっと書いていいのだろうか？
それとも端もふにゃってさせるべき？
ちょっと頼む
543:大学への名無しさん
10/02/09 13:38:28 gxzhFUIBP
>>542
両端が変曲点かどうかなんて論外。
x=π/4，7π/4で極値をとるんだから概形は十分つかめるだろ。
544:大学への名無しさん
10/02/09 13:43:06 9foX4mIH0
>>542
グラフを足し合わせることを考えたら容易に想像つく
0,π,2πでy=x上を通ることにも留意。
545:大学への名無しさん
10/02/09 13:47:16 v3+sis2N0
>>543
うん・・・形は大体あってるんだけどさ
グラフを書けって問題だけど詳しく書き込まなくてもいいの？
πが変曲点だからπのあたりで少しふにゃって書かないと駄目だって考えてるんだけど
解答にはｘ＝πのときのｙの値とか書いてあるし
なんなのこれもうちょっと厳格な決まりとかないの
546:大学への名無しさん
10/02/09 17:09:42 vNuBeu++i
心配なら全部書いとけ
547:大学への名無しさん
10/02/09 17:27:29 9foX4mIH0
>>525
a+b+c=0の両辺にa,bをかけてa,bの大きさを得る。
解答の課程から分かるように内積が-1/2じゃなくて-k(0<k)でも同様。
a,b,cは正三角形の辺をつくる。
548:大学への名無しさん
10/02/09 18:09:14 9F5EgWzM0
代数学の公理を大胆に羅列してくれ。
549:大学への名無しさん
10/02/09 23:16:38 Eul8107a0
バームクーヘン積分を使えるところがあったらガシガシ使っていきたいと
思ってるんだけど、バームクーヘン積分を使う前置きをどうしたらいいか
悩ましいところだ
例えば「バームクーヘン積分より～」では減点されそうだ
しかし何も書かずにいきなり使ってしまうのは、どういう計算を
しているのか採点者が混乱してしまうからまずい
トンペイ大ではバームクーヘンは地雷だろうが、それ以外の大学では
使っても良さそうな気がするのだが・・・
550:大学への名無しさん
10/02/10 00:29:27 8VUWlC5O0
参考になるか知らないがいつもこのように書いてる。
立体を図のように微小幅の円筒に分割する。
円筒は半径2πx, 高さf(x), 微小幅dxで、この円筒の体積dV=2πxf(x)dx
求める体積はこの微小体積の和であるからV=∫[a,b]dV=∫[a,b]2πxf(x)dx
551:大学への名無しさん
10/02/10 01:13:51 8VUWlC5O0
半径じゃなくて円周だった
552:大学への名無しさん
10/02/10 01:56:41 bYcpFhu8O
実数kは0≦k≦2πを満たす。曲線y=√(｜x-k｜)*sin(x/2) (0≦x≦2π)とx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV(k)とする。
問1 V(k)を求めよ
問2 V(k)の最小値を求めよ
お願いします。
553:大学への名無しさん
10/02/10 02:48:14 6KQjGcZO0
>>552
積分区間を[0, k]と[k, 2π]に分ければふつうに求まるぞ。
554:大学への名無しさん
10/02/10 07:28:50 IaA+0t9hO
上にあった問題
100の99乗
99の100乗
の大小比較をせよ
どうやってやるのでしょうか…？
555:大学への名無しさん
10/02/10 07:54:49 yVZ37wXi0
>>554
2数の大小は、それぞれ1/9900乗にした100＾（1/100）と99＾(1/99)の大小と一致。
さらに自然対数を取って、(log100)/100と(log99)/99の大小と一致。
ということで関数f(x)=(logx)/xの挙動を調べて一件落着。
誘導をつければ教科書の章末クラス(実際に載せてる教科書もある)の典型問題だけど、
自力で一から思いつくのは確かに厳しい、つか自分には無理。
評価しやすいように、同じ値を一方に寄せるには→1/9900乗にすればいい
x^(1/x)の導関数がわかりゃいいけど面倒
→どうせ対数微分法が要りそうだし、だったらlog取った状態で評価
てな考え方だなぁと事後的に思いつくので精一杯かなあｌ。
556:大学への名無しさん
10/02/10 12:01:47 TZZ+LMAP0
log2=0.3010とlog3=0.4771の値が与えられてることが前提になってしまうけど、
直接常用対数をとっても比較できる。
log(100^99)は198と値が求められて、log99の処理は、
99=3^2*11＞3＾2*10.8=3＾5*2^2*0.1で、log2＞0.3、log3＞0.477から
log99＞1.985なので、log(99^100)＞198.5＞log(100^99)
557:大学への名無しさん
10/02/10 13:31:28 eXEWSWjN0
化学でphの計算に慣れてるやつはlog2とlog3は覚えてるかもな
558:大学への名無しさん
10/02/10 15:51:45 euEvu2IK0
なんで数Ⅰでうけられるのに数ⅠAで受ける人がいるんですか？
559:大学への名無しさん
10/02/10 16:30:48 +K3BdusA0
上の大きい数の大小比較の問題
自然対数(底がe)を取ると
log(100^99)=99log100
log(99^100)=100log99
ここで、f(x)=logx/x(x>0)について f'(x)={(1/x)・x-logx}/x^2=(1-logx)/x^2
0<x<eでf'(x)>0 x=eでf'(x)=0 x>eでf'(x)<0 (x=eで極大値をとる)
よって、x>eにおいてf(x)は減少関数であるから
log99/99<log100/100（☆） 両辺に9900をかけて分母を払うと
100log99<99log100が得られる。
ゆえに、log(100^99)>log(99^100)
底eは1より大きいから、100^99>99^100
両方の数を1/9900乗にすることに気づくのはなかなか難しいので、(☆)を先に示してから
逆算するような方法で解いてみました。
>>557
京大模試の電離平衡の問題で、10^log(a)=aを用いる問題は面白いですよね。
560:大学への名無しさん
10/02/10 16:45:34 RNujkoxH0
その手の問題って
3^π と π^3 とか e^π と π^e とかでよくでる典型問題じゃない?
くくりは応用問題によくなってるけど
561:554
10/02/10 20:13:54 bs6+i2Zf0
>>555-560
ありがとうございます。
今見たらこんなにレスついてて感謝です
参考にしながら解いてみます
562:大学への名無しさん
10/02/10 21:07:51 DttLkMcr0
>>556
Excellent!
563:大学への名無しさん
10/02/10 22:24:20 u+t7BEs80
文転組なんですけど、１Ａ２Ｂが出題範囲の文系の大学の記述で３Ｃの範囲で習ったこと(f(x)・g(x)=f´(x)・g(x)+f(x)・g´(x)とか、ｎ→∞とか）を使って解答してはいけませんか？
564:大学への名無しさん
10/02/10 22:55:01 hENyOuYqO
不安なら２Ｂで解けばいいけど、問題ないと思う
565:大学への名無しさん
10/02/10 23:09:50 +K3BdusA0
>>563
高校生で習う範囲なので間違いなくセーフ。
数2の積分計算で使われる
【∫(x+a)^n=(1/n+1)(x+a)^(n+1)+C(Cは積分定数)】も、
厳密には数3の知識が無いと示せないものですから。
ただパップスギュルダンの定理、ロピタルの定理、外積は避けたほうが良いみたい。
(大学によっては、高校範囲外の定理を使うと減点の対象になるとか)
566:大学への名無しさん
10/02/10 23:15:10 IVDKCe0G0
受験生が受験範囲を気にするのもなんか変な気もするがｗ
受験生に数学力を問いたいのか、高校課程内という制限付きのパズルの問題として
出したいのかどっちなんだろうね
後者なんだろうけど
いっそのことパズルをしたいなら算数範囲内だけで灘の問題解かせる方が
頭使ってよさそうだけど
567:549
10/02/10 23:30:26 CFUAYZPo0
>>550
遅レスですみませんが、ご丁寧にどうもありがとうございます
参考にさせていただきます
568:大学への名無しさん
10/02/11 14:39:54 xo4vjIG3O
y"+25y=0…①
(1)①の微分方程式に代入して、y1=cos5x y2=sin5x がそれぞれ①の特殊解であることを示せ
(2)任意定数をC1とC2として、①の一般解yを書け
(3)初期条件、x=0で、y=0、y'=30 を満たす①の解を求めよ
まず(1)は、これはy1とy2をそれぞれ2回微分して当てはめて0になればいいんですよね？
(2)以降がよくわかりません…
569:大学への名無しさん
10/02/11 15:05:40 AXb6/tw10
>>568大雑把な話だが(もっとも受験板で微分方程式の話は本来板違いで、
厳密な理論構成はできないから大雑把にしかなりようがないが)
(1)はそれでいい
2階の微分方程式だから一般解は任意定数ふたつを含むはず。
一方、解の線形性から(元の解複数をそれぞれ実数倍して加算したものもまた解、
これは微分演算がそういう性質があるから)
(C_1)cos5x + (C_2)sin5xもまた解になるはずで、これが①の一般解
じゃあ
>x=0で、y=0、y'=30 を満たす
という条件に合うようにC_1、C_2を決めるとどうなるか、ってのが③
570:大学への名無しさん
10/02/11 15:19:54 xo4vjIG3O
>>569
ありがとうございます
(2)は、計算をして解くのではなくその性質をまず覚えてなきゃならないってことですか?
(3)は、C1=0、C2=6 とでて、答えはy=6sin5x で合ってますか？
571:大学への名無しさん
10/02/11 15:39:04 AXb6/tw10
>>570
>(2)は、計算をして解くのではなくその性質をまず覚えてなきゃならないってことですか?
ぶっちゃけその通り。計算、というか論証しようとしだしたら、多分完全に大学数学の話になるんで。
(3)については自分の計算を信じれ。
572:大学への名無しさん
10/02/11 16:38:19 u0pU6NZW0
p,qを実数の定数とする。
2x^2+3xy+py^2-7x+qy+3=0が(1,1)を通る2つの直線を表すとき、p,qと二直線の方程式を求めるとき、
係数比較をする解き方が参考書に載っていたのですが
そのとき、なぜ「2直線がともに(1,1）を通るから {（2(x-1)+a(x-1)}{（x-1)+b(y-1）}=0」とおけるのでしょうか？
教えてください。
573:大学への名無しさん
10/02/11 16:47:04 eo1L/OidO
このスレは馬鹿ばっかりだな。以下列挙。
（レスアン省略）
二階線型は線型変換（行列）で一階に直せる。
従って数ⅢＣの範囲で説明できる。大学数学がこなれてない馬鹿。
上のバウムクーヘンの説明は間違い。
自分の描いた図についてのみ当てはまる、典型的なタコ解答。馬鹿。
三次関数の極値に関する説明は根本的に誤り。
関数について理解していない、数学を知らない馬鹿。
馬鹿な説明に感謝する質問者も馬鹿なので、
澱んだ非数学的空間が形成されている。
574:大学への名無しさん
10/02/11 16:51:47 mB0X2lMq0
>>572
・一般に(1,1)を通る直線の方程式は、…=0の形でどう書ける?
・AB=0 ⇔ A=0 または B=0 であったことを思い出そう
・左辺の形を見ると、x＾2の係数が2だから、左辺がうまくx,yの1次式の積として
因数分解できたとしたら、それらのxの係数は2と1であるとしてよい
(-2と-1だったら、積にするのだから両方-1倍すれば2と1に直せる)
・これも一般に、2直線をいっぺんに表す方程式ってのは、…=0の形でどう書ける?
(図形の方程式ってのは左辺のx,yに特定の値を入れたときに成り立つような式で、
その式が表す図形というのは、その式を成り立たせるような(x,y)の組を座標として持つ
点の集まりであったはず)
以上に自分で納得いく答えが見つけられれば理由は分かるだろうし、
どれかが納得いかない/分からないならその点を改めて質問して。
575:大学への名無しさん
10/02/11 16:57:22 u0pU6NZW0
>>574
ありがとうございます。
真ん中2つは分かるのですが、一番上と一番下について、よく分かりません。
どうかけるか教えてください。
576:大学への名無しさん
10/02/11 17:07:22 mB0X2lMq0
一般に(p,q) という点を通る直線の方程式は
a(x-p)+b(y-q)=0
これがxとyに関しての1次式だからax+by+c=0の形、つまり直線の方程式の形に
なってることは納得できるね? そしてこの式が(x,y)=(p,q)で成立するのも明らかでしょ?
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する」「直線の方程式」。
また、一般に2本の直線 ax+by+c=0とdx+ey+f=0 を同時に表す式は(ax+by+c)(dx+ey+f)=0 ※
AB=0⇔A=0またはB=0なのだから、※を満たす座標というのは
ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の少なくともどちらか一方を成立させるし、それ以外にはない。
従ってそうした座標を持つ点をすべて集めた図形は、ax+by+c=0またはdx+ey+f=0の
少なくともどちらか一方に乗っている点を全て集めたものになり、それはこれら2直線。
577:大学への名無しさん
10/02/11 17:08:43 mB0X2lMq0
↑ちょっと書き直し
従ってこれは「(p,q)という座標で成立する式を持つ」、
つまり「点(p,q)を通る」「直線の方程式」。
578:大学への名無しさん
10/02/11 17:12:50 eo1L/OidO
またまた嘘説明だ。
こんな説明で理解できる訳がない。
騙されるか、納得しないで引き下がるだけだ。
二次曲線の分類の問題を、行列を使わないで
因数分解で説明しようとすればご都合主義に陥るだけ。
同値じゃないものを同値と言い張る馬鹿。
高次元の同値性について全くの無知。
上の方にある二次形式の正値性の問題も
かなり無理な解法。
シグナチャー無視。せめてラグランジュくらい使え。
この辺は十分受験数学の範囲内だ。
579:大学への名無しさん
10/02/11 17:14:03 u0pU6NZW0
よく分かりました。
ありがとうございました！
580:大学への名無しさん
10/02/11 17:16:57 clpARZJ10
AB＝O(B≠O)のとき
Aは逆行列を持たないというのは十分条件ですか？
581:大学への名無しさん
10/02/11 17:39:02 8ACNYHQg0
B≠Oのとき
Aは逆行列を持たないということは
AB＝Oであることの十分条件であるかどうかと聞いてるの？
582:大学への名無しさん
10/02/11 17:56:56 clpARZJ10
>>581
そうです、表現が稚拙ですいませんでした
583:大学への名無しさん
10/02/11 22:31:46 He4pwIJ30
>>564-566
亀レスになりましたがありがとうございます
あともう一つ質問なのですが、大学受験で合同式は用いても大丈夫なのでしょうか？
584:大学への名無しさん
10/02/11 22:42:24 Hyyg7E1K0
つかってもいいと思うけど、範囲外だから減点されるかも
「aをq、bをqでわったときの余りが一致する」とか「a-bをqで割ったときの余りが0である」ことをこうあらわす、って定義するほうが無難かも
使う公式も一行くらいで証明できるものばかりだから、使ったあとに (∵ … ) とかすればいい
585:大学への名無しさん
10/02/12 10:25:02 Vc92jNN50
>>580
＞B≠Oのとき
＞Aは逆行列を持たないということは
＞AB＝Oであることの十分条件であるか
という意味だったら、十分条件ではない。反例はいくらでも作れるだろ。逆に、
AB=O⇒Aは逆行列をもたない、は真。
聞いたんだったら答えてやれよｗ>>581
586:大学への名無しさん
10/02/12 17:19:22 /NlPlMDu0
2+3x^(2/3)=x^2 の答えは x=±2√2ですが
値を代入していく以外のスマートな解き方ってないものでしょうか・・・
587:大学への名無しさん
10/02/12 17:25:32 Vc92jNN50
>>586
x^(2/3)=tとおけばx^2は？
588:大学への名無しさん
10/02/12 17:26:56 /NlPlMDu0
>>587
なるほど～ ためになります
589:大学への名無しさん
10/02/13 02:43:55 x7nXg5Uh0
大昔の細野数学やってるんですが
「x^2+x+1=0の一つの解をωとおくとき、他の解はω^2であることを示せ。」
の解答が、
ωとω^2を解にもつ二次方程式は、x^2-(ω^2+ω)x+ω^3=0 ・・・① である。
さらに、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ より、
①⇒x^2-(-1)x+1=0
⇒x^2+x+1=0
よって、x^2+x+1=0の解はωとω^2である。（q.e.d.）
なんですが、ω^3=1 、 ω^2+ω=-１ のあたりが証明するべき結論を途中で
使っている気がして気持ち悪いのですが、これでも証明となるのでしょうか？
590:大学への名無しさん
10/02/13 03:40:23 dhpcKqbS0
>>589
x^2の係数を1なら1に固定すれば、2解ともが同じ2次方程式は1つしかない。
だから、ωとω^2を解にもつ2次方程式がx^2+x+1=0であることを示せたら
題意を示せたことになる。
ただし細野の解答で、ω^3=1などが使われているのは、ωが題意の2次方程
式の解だからω^2+ω+1=0……＊、だからω^2+ω=-1、＊の両辺にω-1を
かけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
591:大学への名無しさん
10/02/13 04:02:00 x7nXg5Uh0
>>590
ありがとうございます！！！
＞＊の両辺にω-1をかけて、ω^3-1=0 ⇔ ω^3=1って理屈だぞ。
ここがウロコでした。この問題だとωの定義などには触れてなかったので、
文字として処理してたのですが、ωの背景しっかり把握しとかないと自分は解けないですね・・・
でも、なんとなく学習の方針がわかった気がしました。しょっぱなのページでつまずいてたんで
自信なくしてました。ありがとうございました！
592:大学への名無しさん
10/02/13 08:06:57 3QfeSPEN0
>>586
むしろ、値の代入でその問題を解く方法を聞きたい。
593:大学への名無しさん
10/02/13 09:05:50 peby5iZj0
>>591
いや、むしろ二次方程式の二解を求めて
両方とも二乗してみるほうが素直じゃないか？
複合同順で計算できるだろうし、全然難しく無いだろ。
解説を見て、背景知識として1の立方根の性質を知っておけばいい。
594:大学への名無しさん
10/02/13 09:45:18 YoPRqw47P
>>591
細野の本は信用しない方が‥
と忠告だけしておこう
595:大学への名無しさん
10/02/15 16:33:55 tAgXxpVw0
青チャートの数学2の三角不等式がよくわかりません…
周期など考えるのは分かるのですが、練習214(2)のtの範囲を求めた後の、sint<−1/2を解いたら−π/3≦t＜−π/6、が出てくるのかわかりません。
もう一つの7π/6＜t＜5π/3は分かるのですが
596:大学への名無しさん
10/02/15 16:36:11 tAgXxpVw0
かきわすれというか誰かよろしくお願いします。
こんな簡単な問題の質問ですみません…
597:大学への名無しさん
10/02/15 16:45:20 enQm2vRe0
質問スレで質問するとき全般に言えることなんだけど
自分の持ってる参考書のページをあげられても
回答者がその本を手元に置いているとは限らないんで
躓いた問題とわからない部分の模範解答を書きだしてくれないことには・・・
598:大学への名無しさん
10/02/15 16:52:33 tAgXxpVw0
問題はsin(θ−π/3)＜−1/2を(0≦θ＜2π)を解くというものです。
失礼しました…
599:大学への名無しさん
10/02/15 16:59:29 tAgXxpVw0
わからないのは式のカッコ内をtとおいて、その後tの範囲を求めて、tとおいた式を解いた時答えが−π/3≦t＜−π/6、7π/6＜t＜5π/3になるのですが、何故−π/3≦t＜−π/6がでてくるのがわかりません。
600:大学への名無しさん
10/02/15 17:03:00 enQm2vRe0
t=θ-π/3とおくと、-π/3≦t<5π/3
単位円でsint<-1/2のときを考えると
・
・
・
-5π/6<t<-π/6
7π/6<t<11π/6
・
・
・
今、tの範囲は
-π/3≦t<5π/3⇔-2π/6≦t<10π/6 なので
-2π/6≦t<-π/6, 7π/6<t<10π/6
601:大学への名無しさん
10/02/15 17:11:45 tAgXxpVw0
>>600
ありがとうございます。
範囲を考えずに解くから−のほうも考慮すると考えてよいですかね?
602:大学への名無しさん
10/02/15 17:15:59 enQm2vRe0
>範囲を考えずに解くから-のほうも考慮する
どういうこと？
603:大学への名無しさん
10/02/15 17:22:57 tAgXxpVw0
>>602
いつも置き換えのない三角不等式を解く時は、θ≦0を考えていなかったのでθ≦0も考慮するんですねという意味です。
独学とはいえ酷い潜入観というか…
604:大学への名無しさん
10/02/15 17:32:14 enQm2vRe0
言わんとしていることが良くわからないが・・・
置き換えのあるなしが問題なのではなく
0≦θ<2πの範囲を変域として与えられることが多いので
θ≦0の部分は考えてないだけ。
あるいは、θに制限が無いから、一番考えやすい0≦θ<2πの範囲で考えて
2nπ足して一般的に書くという話。
θの変域が-π≦θ≦πだったら、置き換えなどしなくても
θ≦0を考えなければ仕方がない。
cosθ>-1/2をとけ (-5π≦θ≦-3π)
とかだったらθ≦0の部分を考えざるを得ない
もっとも、θ+5π=tとおいて、0≦t≦2πで考えれば別だけど。
605:大学への名無しさん
10/02/15 17:38:33 tAgXxpVw0
>>604
置き換えのない不等式で先入観植え付けられたといいたかっただけです…すみません…
606:翔
10/02/15 22:31:06 mVrX7oi/0
答えは解るのですが、解き方が分からないのでお願いします。
りんご、なし、かき、みかんの４種類の果物が店頭にたくさんある。
10個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、全種類、
必ず１つは買うものとする。
お願いします。
607:大学への名無しさん
10/02/15 23:31:26 X3GaShzJ0
重複組み合わせ
608:大学への名無しさん
10/02/15 23:34:03 SS62OvvnO
不等式(1/8)＜4^x＜8*2
の解き方をお願いしますm(__)m
609:大学への名無しさん
10/02/16 00:28:41 Cl3uDrJCO
>>606
9Ｃ4
○○○○○○○○○○の九つの間の中から四つを選んで仕切りをいれる
だったような…笑
610:大学への名無しさん
10/02/16 00:31:15 j7sUSNtn0
>>608
全部2の整数倍だ。
2を底とした対数を取って不等式を解く。
611:大学への名無しさん
10/02/16 00:39:55 kcLXyWXr0
2の整数倍て
612:大学への名無しさん
10/02/16 00:52:02 j7sUSNtn0
ああ整数乗な。
613:大学への名無しさん
10/02/16 00:57:26 2aH77K11O
>>610
ありがとうございます。
(1/8)＜4^x
2^-3＜2^2x
x＞-3/2…①
2^2x＜2^-3*2^x
ここからわからないです｡
答えは-3/2＜x＜3です｡
それと対数関数を使わない方法ありますか？
614:大学への名無しさん
10/02/16 00:59:34 2aH77K11O
>>611
間違えましたm(__)m
対数関数ではなくて
対数関数の範囲を用いらずにです｡
615:大学への名無しさん
10/02/16 01:08:39 j7sUSNtn0
>>613
不等式左側は①を導けば良し。
こんどは4^x＜8*2を解けば自明でしょ。
つうかx<2だろ？暗算で分かるじゃん。４の２乗＝１６＝８ｘ２
対数を使わないとなると
y=4^x
と
y=1/8
y=16
のグラフを図示して交点のx座標から答は導き出せるけど逆に面倒だ。
616:翔
10/02/16 01:18:10 dompvHWC0
>>609
せっかくコメントしてもらったのですが、答えは84通りなので
9C4ではないと思います。
ちなみに答えは84通りです。
僕の考えではまず４種類の果物を１個ずつ買い、残りの６個を
どうやって買うかを考えています。
この考え自体が間違いなのでしょうか？
617:大学への名無しさん
10/02/16 01:21:47 2aH77K11O
すみません問題抜けてましたm(__)m
不等式(1/8)＜4^x＜8*2ではなくて
不等式(1/8)＜4^x＜8*2^xです｡
>>615
ありがとうございますm(__)m
対数を使った方が速いなら
対数を使った解き方でお願いします｡
対数関数の範囲を用いらずにの理由は
対数関数未履修の指数関数の範囲だったからです｡
618:大学への名無しさん
10/02/16 01:43:26 j7sUSNtn0
>>616
考え方としてはＯＫ。数式でも表現できるが面倒なので省略。
まず４つの果物を取っておいて、４種類の異なる果物の中から重複を許して６個選ぶ組み合わせ。
すなわち4H6=9C3=84
>>617
眠いから指針だけ。
2^x＝tと置く。すると4^x=(2^x)^2=t^2
これを不等式に組み込む。
tの値域が求められたらt=2^xのtにその値を代入して対数でxについての値域を求める。
その問題は2の整数乗とかになってるから、対数の知識が無くてもたぶん解けるけど問題によっては対数を使わないと解けないよ。
無理数になったりるすから。
619:大学への名無しさん
10/02/16 01:46:18 TYyYVQi+0
>>617
この程度なら対数も指数も変わらないよ。
2^p<2^q(p<q)なので
1/8<4^x⇔2^(-3)<2^(2x)⇔-3/2<x
4^x<8*2^x⇔2^2x<2^(3+x)⇔2x<3+x⇔x<3
620:大学への名無しさん
10/02/16 01:50:12 TYyYVQi+0
>>616
0<a,b,c,d∈Z, a+b+c+d=10を満たす(a,b,c,d)の組み合わせなので
10コの○の間9箇所に仕切り3枚入れる組み合わせに帰着して9C3=84
621:大学への名無しさん
10/02/16 02:15:08 2aH77K11O
>>618
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
2^x=tのとこで解決しました！
指数関数の節末問題レベルなので
ここは対数を使わなくて
大丈夫と思います
無理数になる場合もあるというので
応用きくように演習していきます｡
因みに次の問題に
2^x=tとおいて
○○をtを用いて表せという問題がありました｡
>>619
夜中にわざわざありがとうございますm(__)m
教科書の指数関数の節末問題レベルです｡
参考にします｡
622:大学への名無しさん
10/02/16 12:56:58 FZAWivZO0
虚数を高校段階で教える意味ってなんなの？
理論的なことはサッパリわからず、ただひたすら定義を覚えるだけで背景が見えてこない。
数学の一番楽しくない勉強法だ。
623:大学への名無しさん
10/02/16 14:00:54 Cl3uDrJCO
>>616
ごめん
間違えた 仕切り三つだWW
9Ｃ3だ スマソ
624:大学への名無しさん
10/02/16 14:13:30 NLYkDxWz0
>>616
その考え方でもいいよ。
その場合は、6個の○と3個の｜を並べる並べ方になる。
>>609さんの考え方だと9ヶ所の隙間から3ヶ所選んで｜を入れる。
結局どっちにしても9C3=84になる。
>>607の言葉でググれ。
625:大学への名無しさん
10/02/16 16:35:40 Uv/6Gfkm0
>>622
>ひたすら定義を覚えるだけで背景が見えてこない
大学の数学を勉強していて感じるこの感覚を先取りしてもらうためかも？
626:大学への名無しさん
10/02/16 16:44:51 Is8xCIe20
虚数ってそもそも何のために「存在することにしてる」んですかね？
それが存在すると何かが説明できるんですか？
627:大学への名無しさん
10/02/16 19:54:53 4d8ziPb7O
大学受験で、ｙ軸についての回転体を求めるときに、
「求める面積は、(バームクーヘン積分を使った式)に一致する。よって～」
のように記述して、バームクーヘン積分を使っても減点されますか？
628:大学への名無しさん
10/02/16 19:56:06 4d8ziPb7O
↑
×面積
○体積
回転体の体積を求める場合です
629:大学への名無しさん
10/02/16 21:18:51 /Gfv+j0C0
赤茶B p159より
自然数ｎに対して、a(n), b(n)を (2+√3）＾n=a(n)+b(n)√3により定める。
とあったときに指針を
一般にa,b,c,dが有理数のとき a+b√3=c+d√3 ⇔ a=cかつb=d
と立てて解答に入っているのですが、a(n), b(n)が有理数であるというのはどこで判明するのでしょうか？
それとも定義として数列は有理数のみを扱っているのでしょうか？教えてください
630:629
10/02/16 21:26:26 /Gfv+j0C0
すいませんageるの忘れてました
631:大学への名無しさん
10/02/16 22:13:14 FekOclqU0
∫[0,π] √(1+x^2) dx のような積分区間にπ/2が入ってるときはどうすればいいんでしょうか？
632:大学への名無しさん
10/02/16 23:01:34 kcLXyWXr0
>>629
(2+√3）＾n=a(n)+b(n)√3 だけなら a(n)，b(n) は一意に決まらない．
有理数だという仮定があるはず．
633:大学への名無しさん
10/02/16 23:16:34 WyG5lXri0
(2xy)dx+dy=0・・・(*)
1,(*)の微分方程式が完全形でないことを示せ
2,(*)の微分方程式の積分因子をλ(x)として、(*)×λ(x)の微分方程式が完全形であるための必要十分条件より、λ(x)が満たす微分方程式を導け。
3, 2で求めたλ(x)の微分方程式を積分してその特殊解λ(x)＝e^(x^2)を求めよ。
4,積分因子λ(x)＝e^(x^2)を用いて、微分方程式(*)の一般解を求めよ。
1の解き方はわかります。2以降の回答の仕方がよくわかりません。
4は積分因子を微分方程式(*)にかけて完全形にして計算すればいいんですか？
２，３は何をどう回答すればいいのか全くわかりません。
よろしくお願いします。
634:629
10/02/16 23:31:12 /Gfv+j0C0
>>632
やっぱりそうですよね。
どう問題文も読み返してもこれだけでa(n)，b(n)が有理数だとは思えなかったのでどうなんだろうと思ってました。
ってことは多分問題の出し方が悪いんでしょうね。
納得です。ありがとうございました。
635:大学への名無しさん
10/02/17 01:19:44 4j1FCbp7P
すみません、教えてください。
URLﾘﾝｸ(imasen.net)
上のURLのページの一番下にある、「回転行列 n乗=角度がn倍 の証明」なんですが、
○○の定理とか名前ついてないんでしょうか？
証明内で、θ回転させる回転行列の２乗などの場合に、
2θの回転行列になることをスムーズに説明したいのですが・・・。
ド・モアブルとかじゃだめですよね？なんという定理になるのでしょう。
なにとぞご教授くださいませ。
636:大学への名無しさん
10/02/17 01:34:15 QLGWSIYb0
行列（とベクトル)の積の結合法則で説明できるんで、名前なんかない。
一般にA,Bが(1次変換を表す)行列、v↑がベクトル(が表す点)であれば
(AB)v↑=A（Bv↑)は認めるでしょ? (積が定義されるような次数であるとして。)
では、Rがθの回転を表す行列、v↑が動かされる点であるときも
(R^2)v↑= R(Rv↑)
左辺はR^2の演算を先に行ってそれにv↑を掛けることになるが、その結果は
RにRv↑の結果を掛けるのと同じ、
これはv↑をθだけ回転した点であるRv↑をさらにθだけ回転することになるから、
結局(R^2)ｖ↑はv↑を2θだけ回転した点になる。これはR^2が2θを回転する
変換を表す行列であることを示す。
637:大学への名無しさん
10/02/17 01:51:39 4j1FCbp7P
>>636さま
すばやいレスに感謝いたします。
特に名前は無いんですねー。確かにやってることは単純ですし・・・。
丁寧に説明するしかないですね＾＾；
結合法則で説明するのは盲点でした。ありがとうございました。
638:大学への名無しさん
10/02/17 13:59:54 y1bOePas0
僕は数ⅡBⅢCを未履修なんですが、理転したいのでⅢCもやろうと思います。
そこで質問なんですが、ⅢCを０から旧帝大レベルまで持って行くのに最速でもどの位期間がかかるものなんですか？
理系の先輩は、「ⅡBを理解できたら、ⅢCはそんなに時間かからないよ」的な事を言ってたんですが・・・
639:大学への名無しさん
10/02/17 14:40:51 77XSsVCW0
>>638
全く０からだと人によるだろうけれど毎日3時間以上やってれば1年はかからないんじゃないかな。
普通に旧帝理系行く人は１日１～２時間数学の授業があるとして、ⅡB開始から入試まで、だいたい600時間、それと自学で300時間以上の時間をかけて
って感じでやるだろうからね。
まぁ、本人次第で増えたり減ったりじゃないかな。
640:大学への名無しさん
10/02/17 23:37:33 5HcUX7q20
そんくらいかもね
俺は一日５時間で５ヶ月とちょっとだった。
ただ、１０月からセンターの勉強して３Cやらなくなってたら１月のセンター後にはほとんど
忘れてた。そこから一日６時間づつやって思い出したら、急激に伸びた（気がした）。
一回忘れて・・・ってのが必要な気がする。
641:大学への名無しさん
10/02/17 23:40:03 Ekkwa0U+0
全く０からそれだけで入試レベルまでいくんかいな。すごいな。
＞一回忘れて・・・
ああ、よくわかる。俺はそれを「超回復」って言ってる。
642:大学への名無しさん
10/02/18 00:11:10 P3aPldUU0
新課程版青茶3C P182 基本例題109(4)についてです。
部分分数分解をして、(∫(1/(1-t)+1/(1+t))dt)/2 = (log(abs((1+t)/(1-t))))/2+C (C:積分定数)とあるのですが、どうしたらこのような変形ができるのか分かりません。
どなたかご教授願います。
643:大学への名無しさん
10/02/18 00:16:13 kfMxlxOp0
>>642 それが分からないのは1/xの積分や置換積分がしっかりつかめてないってこと。
分母の2はあとでくっつけりゃいいので、要するに
∫(1/(1-t))dt と ∫(1/(1+t))dｔ が計算できりゃいい(or計算できなきゃならない)わけでしょ?
それぞれ何になる?
分からなければ1-t=u、1+t=vとしてそれぞれ置換して積分してから置き戻してみなされ。
644:大学への名無しさん
10/02/18 00:18:56 1MIrWM8x0
{log(ax+b)}' =(ax+b)'/(ax+b)より
∫{(ax+b)'/(ax+b)}dx=log|ax+b|+c
を使っているのでは?
∫(1/(1-t))dt=-log|1-t|
∫(1/(1+t))dt=log|1+t|
logの引き算は中身の割り算
645:大学への名無しさん
10/02/18 00:23:52 P3aPldUU0
>>643-644
ありがとうございます。解決しました。
-log(abs(1-t))の先頭のマイナスを失念していました。
646:大学への名無しさん
10/02/18 15:41:14 ufI18v1SO
因数分解の問題で、最後の解答なんですが…
（b－c）（a－b）（a－c）＝－（a－b）（b－c）（c－a）
とあるんですが、どうして－を先頭に付けると（a－c）だけが都合良く（c－a）に変わるんですか？他の（）の中は何で変わらないんですか？
多分、かなり初歩的な事なんでしょうけど調べても理由が見つからないんです。どなたか教えてください。
647:大学への名無しさん
10/02/18 15:47:15 16iOFJZ30
>>646
-(c-a)=a-cだから。
648:大学への名無しさん
10/02/18 16:14:31 ufI18v1SO
>>647
ありがとうございます！
という事はもしもう一つ他の（）の中の符号を変えたいと思った場合は、
先頭にマイナスが二つ付く事になる＝符号をいじっていない最初の式の符号と同じということですよね？
【同じ意味で、符号を変えたい（）の数だけ先頭にマイナスを付ければ良いわけですよね？】
649:大学への名無しさん
10/02/18 16:18:12 16iOFJZ30
>>648
そうだよ。
650:大学への名無しさん
10/02/18 16:57:18 ufI18v1SO
>>649
本当、本当ににありがとうございます！
651:大学への名無しさん
10/02/18 21:31:20 g0Zgeph50
(1-sinθ/θ)^(2/3)
の増減の調べ方を教えてください。θは0以上2π以下です。
652:大学への名無しさん
10/02/18 21:35:52 zzOV2zNM0
f(θ)={(θ-sinθ)/θ}^(2/3)
f'(θ)=(2/3){(θ-sinθ)/θ}^(-1/3)
0≦θより、符号変化部分はθ-sinθの部分なので
y=θとy=sinθのグラフの上下を考えればいいが
y=sinθのθ=0での接線が・・・・(ry
653:大学への名無しさん
10/02/18 21:36:32 zzOV2zNM0
とかいてて、まちがえた。
合成関数微分だから中も微分しないといかんな
ごめんね。
654:大学への名無しさん
10/02/18 22:40:23 kfMxlxOp0
>>651
定義域においてt=(1-sinθ)/θは正または0
y=t^(2/3) (t≧0) を考えるとｔは単調増加
ってことはt=(1-sinθ)/θ とf(θ)の増減は一致するからｔの増減だけ調べればおけ
dt/dθの増減を、これ(の分子)をもう一度微分した関数で調べれば答えは出ると思われ。
θ=π/2を境に減少から増加に転じる、と出た。
655:大学への名無しさん
10/02/18 22:49:12 g0Zgeph50
>>654
すみません。
θは全体にかかるのではなくサインにだけかかっています。
1-(sinθ/θ)です。
わかりにくくてすみません
656:大学への名無しさん
10/02/18 23:22:00 kfMxlxOp0
>>655
あ、あなたは悪くない。最初から (1-sinθ/θ)^(2/3) と書いてたのだから。
>>652だけ見て誤読したこっちが悪い。ただ、定義域にθ=0が入るのは
おかしくない? θ→0の極限値は存在するけど、0で本当に割る形の
式を作っちゃおかしいでしょう。これは誤読したときにも言えることだが。
で、方針は同じで、1-sinθ/θ = tと置けばｔは常に正だから、t＾(2/3)の
増減とｔの増減は一致。あと、一応θ→0でｔ→0(極限を考えれば)。
0<θ≦2πにおいて
dt/dθ = (1/θ)^2{-θcosθ+sinθ}、この分子が0<θ≦2πで常に非負であることが
言えればおけ。分子は定義域で常に正だから、
s=-θcosθ+sinθの増減を調べて、0≦θ≦2πで負にならないことを確かめれば
(こっちは0に=をつけてもいい)dt/dθが0<θ≦2πで非負であることが言えて、
結局単調増加であることが分かる。
657:大学への名無しさん
10/02/18 23:45:08 g0Zgeph50
>>656
ありがとうございます。
ところどころまだわからないところもありますがもう一度考えてみることにします。
658:大学への名無しさん
10/02/18 23:47:17 dK1A2GoN0
x,yを実数とする。
x=0であることはx^2+y^2=0であるための「 」
この答えが、解答では
「必要条件であるが十分条件でない」
となっているのですが納得できないのです。
x^2+y^2=0のときx=0,y=0より必要条件となることはわかります。
ですが、x=0のとき、x^2+y^2=0にx=0を代入するとy^2=0であるから、
y=0で成り立ちますよね？何故十分条件とならないのでしょうか？
解答には"x=0,y=1のときに成り立たないので"と書いてありましたが、
0^2+1^2=0は成り立たないのでおかしくないですか？
日本語おかしくて申し訳ありません。是非ご教示頂ければと思います。
659:大学への名無しさん
10/02/18 23:53:29 ioP2bLEh0
>>658
x=0のとき「絶対に」x^2+y^2=0が成り立って初めて十分条件になるんじゃないか
つまり反例が１個でもあればダメっていうこと。
だからその解答であってるとおもう。
わかりにくかったらすいません
おやすみ
660:大学への名無しさん
10/02/18 23:54:32 AcULgqEA0
>>658
成り立たないから十分条件じゃないんじゃん。