09/12/27 23:03:29 /3T4l6s50
>>195
理系なら積分による評価
199:大学への名無しさん
09/12/27 23:25:51 V3vEcYwzO
>>198
0点
200:大学への名無しさん
09/12/28 00:47:01 l65k3Hs80
>>180
回答の方に誤りがあるということでしか（`･ω･)ゞ了解ありがとう
>>184
そういえばケプラーだこれ…。
知的な面白さを仕掛けてくるから、ここの問題は好きだなぁ。
201:大学への名無しさん
09/12/28 03:24:12 +6mQHkFX0
>>198が正しい。帰納段階で証明が必要となる1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))は積分で評価可能。
202:大学への名無しさん
09/12/28 11:58:56 IkvUlVya0
>>201
この問題では正しくないし、０点にされても文句は言えないだろ
帰納法で示せってわざわざ問題で指定してるんだから
俺も積分による評価のほうがいいと思うけど、196で問題あるわけでもない
203:大学への名無しさん
09/12/28 12:03:57 IkvUlVya0
連投すまん、勘違いしてた
与不等式をいきなり積分で示すんじゃなくて1/√(n+1)＞2(√(n+2)-√(n+1))だけを積分で示すのか
それなら減点はされないだろうけど、何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
与不等式も同様に示せちゃうから、なんか遠回りな解答じゃないかと思う
204:大学への名無しさん
09/12/28 12:40:43 FG1EtG3wO
>>203
あんたあほじゃないの？
205:大学への名無しさん
09/12/28 13:49:03 Cid9AaSH0
任意の自然数kについて√(k+1)+√k＞2√kが成立。
変形して1/√k＞2(√(k+1)-√k)。
k=1,2,...,nとして辺々足しあわせてΣ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を得る。
上のような書き方ができるから、>>203の価値観なら>>196も遠回りとなるはず・・・と言われて反論できるのか？
＞何のためにわざわざ帰納法でって指定したのか･･･
それ出題者からのヒント。
206:大学への名無しさん
09/12/28 14:04:21 Cid9AaSH0
あと、「>>198が正しい」は>>198への反論である>>199が誤りという以上の意味は無い。
「>>196に問題がある」と言われたと思ってｶﾁﾝと来たならそれは誤解だと言っておく。
207:大学への名無しさん
09/12/28 14:11:13 7D9XDLUeO
どうでもいい
208:大学への名無しさん
09/12/28 14:33:54 IkvUlVya0
>>205
その方法はその方法でいいだろと思う
Σ[k=1,n]1/√k＞2(√(n+1)-1)を示せという問題ならそれこそどんな解答の方法だろうとどうでもいいんだろうが、帰納法でって書いてあるなら･･･と思った
だがその記述がただ単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もないし、理系なら積分で評価が正しいだろうな
209:大学への名無しさん
09/12/28 14:41:55 eMit0uCpO
ｍ、ｎを自然数とする。
ｍｎを3で割った余りが2であるとき、ｍ＋ｎは3の倍数であることを示せ。
整数問題ですが、どのように入っていくのかもわかりません。
合同式を使うのでしょうか？
よろしくお願いします。
210:大学への名無しさん
09/12/28 14:58:43 IkvUlVya0
m=3a+p,n=3b+q(p,qは1または2)（p,qのどちらかが0ならmnは３の倍数となり余り０）
とおける
このとき、(p,q)=(1,1),(1,2),(2,2)の時を考えれば十分
i)(p,q)=(1,1)
のとき、mn=（具体的に計算）で、３で割ると＊余る
ii)略
iii)略
以上から
合同式使ってももちろん解ける
211:大学への名無しさん
09/12/28 15:05:12 lR3qv+8wO
tanxの積分の仕方を教えて下さい
212:大学への名無しさん
09/12/28 15:07:32 IkvUlVya0
tanx=sinx/cosx=-(cosx)'/cosx
213:大学への名無しさん
09/12/28 15:13:02 lR3qv+8wO
>>212
cosxで置換積分か…
盲点だった､ありがとう
214:大学への名無しさん
09/12/28 15:18:00 eMit0uCpO
>>210
わかりました！
ありがとうございます。
ちなみに合同式を使うやり方としては
mn≡2 （mod3）
として…その次はどのように処理していけばいいのでしょうか？
何度もすいません。
整数がどうも苦手で…
215:大学への名無しさん
09/12/28 15:23:54 cqTojpCK0
>>214
積が2だから、1*2か2*1。
1+2≡0。
216:大学への名無しさん
09/12/28 15:35:35 eMit0uCpO
>>215
なるほど…
ありがとうございます。
合同式使うと証明が、3行ぐらいで終わっちゃうんすね…。
217:大学への名無しさん
09/12/28 16:11:41 Cid9AaSH0
>>208
>>205は>>196と全く同等の式変形(√(k+1)+√k＞2√k ⇒ 1/√k＞2(√(k+1)-√k))を使って、君の言う「いきなり証明」をしたもの。
「積分評価を使っていきなり証明できるのだから、積分評価を使って帰納法で証明するのは遠回り」という価値観ならば、
「式変形を使えばいきなり証明できるのだから、式変形を使って帰納法で証明するのは遠回り」と感じないのは何故？というのが俺の疑問。
> 単に出題者からのヒントにすぎないなら帰納法でやる意味もない
補足すると、「数学的帰納法で示せ」と言われてるのに「いきなり証明」をしたら減点される可能性はあるよ。
ヒントというのは、端的に「示せ」と言われただけでは手も足も出ない人でも、
「数学的帰納法で示せ」と言われれば
「n=kのときに成立すると仮定してn=k+1のときにも成立することを示せばいいんだな」と気付き方針が立つかもしれず、
その分だけ難易度は下がるという意味。
> 理系なら積分で評価が正しいだろうな
積分評価と式変形のどちらを選んでも論理的に整合した数学的帰納法の証明を作成できる以上
この問題において両者の間に優劣をつけようという発想は間違いだと思う。
218:大学への名無しさん
09/12/28 16:30:38 Ld0pu+qzO
青チャートを見る限り、数学Ａの平面図形の問題は殆ど入試には出ていないみたいですが、
やはりあまり重要でないということでしょうか？
219:大学への名無しさん
09/12/28 16:34:26 Cid9AaSH0
>>218
参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
数学の勉強の仕方 Part137
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)
220:大学への名無しさん
09/12/28 18:25:18 Ld0pu+qzO
>>219
ごめんなさい。以後テンプレ確認を忘れないようにします
221:大学への名無しさん
09/12/29 16:31:26 mmoTbCzP0
kを正の実数とし、
x^2+y^2<k^2で表される点(x.y)全体の集合をA
y≧(x^2)/2-2kで表される(x.y)全体の集合をBとするとき
A⊂Bとなるkの値の範囲を求めよ
と言う問題を教えてください
AがBに接しているときが限界のkの値の範囲でまずそれを求めると
1)(0.-2k)でA.Bが接するとき→それ無理
2)2点でA.Bが接するとき
接点をT(t.(t^2)/2-2k)とおくと
|OT↑|=kかつOT↑//点TでのBの法線ベクトル
⇔t^2+{(t^2)/2-2k}-2=k^2 かつ (t^3)/2-t^2-(2k-1)t+4k=0
までは出せましたがここからどうしていいかわからなくなりました
よろしくお願いします
222:大学への名無しさん
09/12/29 17:29:33 ulIE6zuT0
集合が接する・・・？
C_k:x^2+y^2=k^2
D_k:y=(x^2)/2-2k
対称性からx≧0の範囲で考える.
とするとA⊂Bとなるためにはk≧0である必要がある.（k=0の時は明らかに成り立つのでk>0の時を考える）
かつその時C_kとD_kが共有点をもたない、または１点のみ持てば十分である.（k>0なのでx=0上の点を共有点の一つとして持つことはない）
D_kをx^2＝の形にしてC_kに代入して判別式≦0でおわり
223:大学への名無しさん
09/12/30 14:51:03 a8o6NErS0
正五角形ABCDEにおいて、a↑=AB↑、b↑=AE↑とする。
k=cos108(=正五角形の内角)とおけばAC↑をa↑b↑およびkを用いて表せ。
四角形ABCDに着目してA,BからECに垂線AH,BIを引けばEH=IC=ABcos72、AB=HI
よってAC↑=AE↑+EH↑+HI↑+IC↑となりますが、
EH↑(=IC↑)はどのように求めればいいのでしょうか？
ABcos72を使えばいいということは分かるのですが･･･
宜しくお願いします
224:大学への名無しさん
09/12/30 14:58:48 jwKiW3zf0
ABcos(72°)=-ABcos(108°)
三角関数の基本的性質
225:大学への名無しさん
09/12/30 15:00:40 jwKiW3zf0
三角関数計算の基礎
URLﾘﾝｸ(www.crossroad.jp)
> cos( 180°－x )=－cosx
226:大学への名無しさん
09/12/30 23:00:44 dUjIrMrG0
整数問題です
手も足も出ません…
３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。
227:大学への名無しさん
09/12/30 23:05:33 uwISb4pe0
>>226
URLﾘﾝｸ(www2.rocketbbs.com)
228:大学への名無しさん
09/12/30 23:09:09 tOVgdUxw0
>>226
まるちじゃねえか？
つい最近見たぞ。
229:大学への名無しさん
09/12/31 07:30:20 1P5uG7rr0
【東大】東京大学 理科総合スレPart39【理系】
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板)l50
に貼られていた、センター数学追試の過去問です。
このスレッドに解法は書かれていません。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
自分で解いてみたのですが、a[5]=b[2] a[17]=b[3]から
連立方程式を導くまでが精一杯です。
スレッド内でも指摘されていましたが、m(n)の意味もわかりません。
m[n]のタイプミスだと思うのですが……。よろしくお願いします。
230:大学への名無しさん
09/12/31 07:46:10 pjh25z+Q0
>>229
何を堂々とマルチしてんだ？
231:大学への名無しさん
09/12/31 11:12:55 7Bqfv+cL0
>>229
問題書いて
232:大学への名無しさん
09/12/31 11:25:17 4SS3bZsI0
>>230
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
マルチポストの指摘はURLつきで。
マルチと言うなら>>227みたいにマルチ先を示せ
まさかｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:940番)とか言わないだろうな？
233:大学への名無しさん
09/12/31 13:55:00 vMdqpwF40
半径2の円Ｃ1は点(8/5、6/5)で円Ｃ2：ｘ^2+ｙ^2-8ｘ-6ｙ+16＝0に外接しているときの円Ｃ1の方程式をもとめよ。
お願いします。
234:大学への名無しさん
09/12/31 14:42:26 iDuqo3CH0
外接 中心間の距離＝半径の和
2円の中心と点(8/5、6/5)
について内分や外聞で考えれば良い
235:大学への名無しさん
09/12/31 18:11:26 1P5uG7rr0
>>230-232
申し訳ありませんでした。
時間を見つけて自分で考えます。
236:大学への名無しさん
09/12/31 18:54:51 4SS3bZsI0
>>235
赤本を探した方が早いんじゃないか。
ネタの可能性もある。
237:大学への名無しさん
09/12/31 21:32:30 XrDSn0ZE0
普段は対称性を活かせ活かせと教わると思うのですが
逆に対称性を崩したほうがいい場合ってどういうものがありますか?
自分が経験した限り、整数問題で、対称式になっていて
不等式で絞込むときに自力で大小設定をつけて求める問題なんかと
2001年度の京都大学のベクトルにおける存在証明くらいなんですけど
どういうときに対称性を崩して解くべきなのかがいまいちわかりません。
238:大学への名無しさん
09/12/31 21:34:29 7Bqfv+cL0
処方は無いのではないでしょうか
239:大学への名無しさん
10/01/02 01:59:21 bEjRiNJb0
>>234
内分、外分の考え方がわからないのですが、
点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
もう少し詳しく教えていただけたらありがたいです。
ここの単元苦手なものでして・・・。
240:大学への名無しさん
10/01/02 19:01:27 uQncbEqi0
>>239
> 点(8/5、6/5) が中心間の距離をどのようにな内分するかを考えれば良いのでしょうか？
円の中心から接点までの距離は半径でしょ？
241:大学への名無しさん
10/01/02 23:51:54 bEjRiNJb0
>>240
はい、それはわかったのですがそこからどうすればいいかわからないんです。
内分・外分の導き方がわからないんです。
242:大学への名無しさん
10/01/03 00:16:53 RdYfh7fl0
>>241
へっ？
内分とか外分って言葉に惑わされすぎ。
図を描いてみれ。
243:大学への名無しさん
10/01/03 01:26:51 AH/YZTV70
>>242
書いてみました。求める円の中心と半径の距離は2ということは図からもわかりました。
中心間の距離＝半径の和 で中心間の距離は5
あっているでしょうか？
244:大学への名無しさん
10/01/04 17:04:07 tyLKbgHY0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
(1)はたぶんだけどa>1ですよね？
(2)がわかりません。代入して計算するんでしょうか？
答えは0<a<4だと思うんですが違いますか？
245:大学への名無しさん
10/01/04 17:12:51 MooiMciE0
>>244
違わないか？
どういう計算をしてそうなったんだ？
246:大学への名無しさん
10/01/04 17:49:44 PsUVGkeO0
どうなったら0<a<4になったからですか？
a^2x(1-x){1-ax(1-x)}=xとしたんですよ
x{a^2(1-x)(1-ax(1-x))-1}=0
よって
a=1/ax(1-x)(1-ax(1-x))として
0<x<1と1>xにわけた。
とりあえず(1)も(2)も成り立つと仮定したらと
xの範囲からaを求めると思うのですが書き方難しいです。
教えてください
247:大学への名無しさん
10/01/04 23:16:52 l5zposVq0
(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6),(2,3)(2,4)(2.5)(2.6)
(3.4),(3.5),(3.6),(4.5),(4.6),(5.6)の15個の格子点から6個の格子点を選ぶとき
x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
となるときの組み合わせの数を求めたいのですがどうしたらいいですか?
248:大学への名無しさん
10/01/04 23:31:14 7W//Hurp0
実際に点を並べてみると
x座標がkまたはy座標がkのものはどのk(k=1.2.3.4.5.6)
に対しても5個あるから5C2×10C4じゃダメなの？
249:大学への名無しさん
10/01/04 23:46:29 l5zposVq0
そんなに多くは無いみたいです。
最初自分が130個と出したんですけど
数えすぎているといわれました。。
250:大学への名無しさん
10/01/05 00:22:35 Lm0zYO6Z0
＞x座標がkまたはy座標がkのものが2個(k=1.2.3.4.5.6)
そうか、これはすべてのkに対して2個ずつ、と解釈すべきなんだな
上手く説明できないけど６角形のすべての
頂点を他の２頂点と結ぶ問題と同じ？
ループがいくつになるかで分類する。
ループは最低3個の頂点からなるから
3個と3個か、6個全部に限る
3個3個の場合、2組に分けてしまえば結び方は1通りしかないから6C3/2通り
6個の場合は数珠順列で(6-1)!/2通り
合計70通りかな？
251:大学への名無しさん
10/01/05 00:37:49 jsUMSt+l0
>６角形のすべての頂点を他の２頂点と結ぶ問題
これはかなり的を射た対応付けですね。。
数珠順列に帰着させられるところか良くわからないので
ちょっとこの方針で考えてみます
252:大学への名無しさん
10/01/05 01:14:52 jsUMSt+l0
しかし、6角形の頂点を選ぶ問題を連想できるのってすごいと思うんですけど
こういうことを思いつくのになにか秘訣とかあるんですか?
格子の最短経路に対応させるとか
仕切りと棒を並べるとかって奴なら
結構よくある話なので連想できると思うんですが。
253:大学への名無しさん
10/01/05 01:41:10 Lm0zYO6Z0
(x=k or y=k)っていう5点からなる図形をAkとする。
(k=1,2,...,6に応じてA1,A2,...,A6)
見辛いからそれぞれのkについて線で結んでおくと、
こいつらが丁度１回ずつ交わってることがわかる。
だから交点(i,j)がAiとAjの組を表していて、
しかもi<jに限定されてるから、これは順列じゃなくて
組み合わせだなと、6C2=15だし・・・
単に6点でもいいけど、イメージしやすく6角形と考えただけ
こんな感じ？
254:大学への名無しさん
10/01/05 10:28:01 3fK1R0Z/0
f(x)=ax(1-x)がある。aを正の定数とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を
求めよ。
(2)f{(f(x)}=xを満たす正の数xがちょうど一個存在するような
aの値の範囲を求めよ。
やっぱり場合分けしたら
0<a<4になるんですが、答えはなんですか？
255:大学への名無しさん
10/01/05 23:18:37 qdm2mVlK0
>>246
よって
のあとが意味不明です？？
256:大学への名無しさん
10/01/06 15:51:26 1jmLEzVz0
初心者丸出しの質問スマソ
数学１Aのときに気をつけてることってある？？
たとえば俺は図形のときは90°が出てきたら60°とか30°を探したり
内接円なら半径になるなど
257:大学への名無しさん
10/01/06 20:20:36 ZXS3vzmx0
センター形式の問題です
Ａのカードが２枚、Ｂのカードが２枚、Ｃのカードが１枚、Ｄのカードが一枚の全部で６枚のカードがある
[1] ６枚のカードを横一列に並べる
(1) 並べ方は全部で（ ）通りある。・・・
[2] ６枚のカードをよく混ぜて横一列に並べるとき、２枚のカードの間にあるカードの枚数をＸとする。
(1) X=1である確率は（ )である。
[2]の(1)について、上の(1)は同じ標識のＡ、Ｂを区別せず数えるため重複順列にして計算しました。
ただ、下の問題は確率なので同じ文字を区別せずやればいいと考えたんですけど
解答の方は分母が[1](1)の１８０通りを用いていて
分子の方も (4!/2!)*4という風にＢを区別せず計算しています。
確率の原則は区別しない、という風に思っていたので今回の回答を見て疑問に思いました
この場合なぜ重複順列を用いて計算しているのかご教授お願いします。
258:大学への名無しさん
10/01/06 21:08:32 TUBRpkn20
∠C=90度である直角三角形ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD=3cm CD=2cmとなった、線分ADの長さを求めなさい。
この問題の解き方がわかりません。お願いします。
259:258
10/01/06 21:21:38 TUBRpkn20
すいません自己解決しました
260:大学への名無しさん
10/01/06 23:33:10 y5GJotUO0
x^3+4x^2+x-6=0とx^3-1=の解き方がわかりません。高２の範囲です。よろしくお願いします
261:大学への名無しさん
10/01/06 23:36:19 imk3ioTX0
>>260
因数定理
262:大学への名無しさん
10/01/07 00:01:45 FKu82X0u0
>>257
A*AB*B,B*BA*A,*ABAB*,*BABA*という風にブロックを作ったと
考えたらどうでしょう。
263:大学への名無しさん
10/01/07 04:58:20 rjeDaKNG0
二次関数
y=ax^2+bx+cがある
これは二点（－１，２）（４，２）を通る
b,cをaで示せという問題で
私はy=２を通る時、解が－１，４という事から
２＝a(x+1)(x-4) という式を立て
見比べて、b=ー3a c=ー4aー2
と解いたんですが
答えはb=ー3a c=ー4a＋２
とあります。 何故こうなるか教えて下さい。
264:大学への名無しさん
10/01/07 05:08:43 vtC+Ain90
>>263
y=a(x+1)(x-4)は(-1,0),(4,0)を通る二次関数
今回は(-1,2),(4,2)を通るから、これをy方向に+2平行移動したものになる
だから、関数の式はy=a(x+1)(x-4)+2
これと見比べて、b=-3a、c=-4a+2
265:大学への名無しさん
10/01/07 05:22:05 rjeDaKNG0
>y方向に+2平行移動
スマートな解説ありがとうございました！
２＝a(x+1)(x-4)とする場合
よく考えてみたら、各々のxを代入して
連立で解くことになりますね・・よく考えてみたら
連立は計算ミスするから避けて知恵を絞ったのに
間違えてたら元も子もないですね（汗
266:大学への名無しさん
10/01/07 05:38:30 WOHhg5750
連立というか、x=-1,4を代入すると右辺が0になって矛盾する
式の置き方が悪かったのだと思う
でも普通の人はx=-1,4をax^2+bx+cにそのまま代入するだろうから、考え方はすごくいいと思う
二次関数くらいならそのまま代入でもいいけど、次数が増えると面倒になるし
267:大学への名無しさん
10/01/07 06:36:13 1LEF/DVn0
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
この問題でa/cosθ^2+b/sinθ^2の最小値を出すときに
直接この式に相加平均相乗平均の不等式を使って
ab/sinθ^2cosθ^2が最小値となり等号が成り立つのは
a/cosθ^2=b/sinθ^2の時、すなわちcosθ^2=a/a+b sinθ^2=b/a+bを代入すると
最小値が2(a+b)になってしまいます
何か根本的な間違いがあるのでしょうか？
計算ミスも内容なので悩んでいます。
本番ではtanθに置き換えることが出来なそうで直接やったらどうなるかが気になっています。
268:大学への名無しさん
10/01/07 07:27:08 BwaX89P10
>>267
計算を具体的に書いてくれんと。
269:大学への名無しさん
10/01/07 07:47:10 BwaX89P10
>>267
ごめん、計算とか乃問題じゃなかった。
θが変動するから、相加相乗を使うには「≧定数」という式を導かないとダメってことじゃないか？
270:大学への名無しさん
10/01/07 07:47:27 1LEF/DVn0
a/cosθ^2=b/sinθ^2よりasinθ^2=bcosθ^2
sinθ^2=1-cosθ^2を代入して
a(1-cosθ^2)=bcosθ^2
(a+b)cosθ^2=a
cosθ^2=a/a+b
先ほどの式に代入して
sinθ^2=1-a/a+b=b/a+b
となるのですがどうなのでしょうか
271:大学への名無しさん
10/01/07 08:11:58 89CxwSI90
>>270
余計なことをさせて済まなかったが、≧定数の形にならないと、
例えば、3=3となって等号成立するけど、他の値で2>1になってるかも知れない。
272:大学への名無しさん
10/01/07 08:27:18 89CxwSI90
ちょっと例えがわかりにくかったので。
例えば、a≧1の時、a+3≧2√(3a)は成立するし、a=3のとき等号が成立するけど、
そのときa+3の値は6で、明らかに最小値ではない。
273:大学への名無しさん
10/01/07 13:16:20 JlzkU4nl0
△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし 三点C A Dを通る円が辺ABと交わる点
をEとする。CD=2 BD=4 AE=5 BE=3 AC=4である。
点Bからこの円に引いた接線の接点をとすると BT=2√6。
点Aから直線BCに垂線AHを下ろすとAHはいくつか。
どのような方法を使えば解くことができるでしょうか？
274:大学への名無しさん
10/01/07 13:28:27 l69Q3TF30
√15になったけど、さすがにこれは違うのかな
275:大学への名無しさん
10/01/07 13:44:53 JlzkU4nl0
>>274 ありがとうございます。答えは√15みたいです。
どのような方法で解くのでしょうか？
276:大学への名無しさん
10/01/07 13:58:27 l69Q3TF30
方べきの定理か角の二等分線の定理よりAB=8だから
三角形ABCの辺BDをxとしてAHを三平方の定理で2通りに表すだけ
277:273
10/01/07 14:18:55 JlzkU4nl0
>>276
ありがとうございました！ 解くことができました。
278:244
10/01/07 16:40:14 rzja3oLP0
質問とりさげます
279:大学への名無しさん
10/01/07 19:18:27 NZIfKWSM0
>>262
それだとＡ、Ｂを区別しずに考えている、ということになりませんか？
２つのＡと２つのＢを区別して考えれば（例えばＡをA、a ＢをB,b)
Ａ*aB*b a*Ab*B A*ab*B a*AB*b という風に始めの「A*AB*B」というブロックも４つに分割できると思うのです
確かに解答もそのようにA,Bを区別しないことを前提としていますが
今まで「確率はすべてのものを区別して考える」と言う風に教わってきたのでこの解答は不思議に思えました
280:大学への名無しさん
10/01/07 19:33:03 89CxwSI90
>>257
> ２枚のカードの間にあるカード
この意味がわからないんだけど、2枚のカードってなんのこと？
281:大学への名無しさん
10/01/07 19:38:53 NZIfKWSM0
あー・・・すみません
２枚の"Ａ"のカードです
見直しが足りませんでした、精進します。。。
282:大学への名無しさん
10/01/07 19:58:08 89CxwSI90
>>279
どの組み合わせも同じ確率で出るなら、組み合わせで計算してもかまわない。
白玉2個、赤玉2個から2個を取り出すとき2個とも赤玉である確率っていうのを組み合わせでやっちゃダメだけど、
その問題では全部取り出して並べるので、区別した並べ方と区別しない並べ方を比べると、
どの並べ方も必ず同じ数だけダブっているので、組み合わせで確率を計算してもかまわない。
実際に確率を計算する式を立ててみれば、2!が約分されて同じ式になることが確認出来るはず。
283:282
10/01/07 19:59:53 89CxwSI90
よく確認せずに書き込んでしまって、文章をつなげすぎてておかしな日本語になってるけど、勘弁して。
284:大学への名無しさん
10/01/07 20:09:24 dcvJhaAR0
若干被ってるけど・・・
このタイプの確率の問題のやりかたは
全体を同様に確からしい事象に分けて、（OKなものの個数）/(全体の個数）と考える
ってだけ。同様に確からしくなってさえいれば都合の良い様に分ければいい。
但し、分母と分子は同じ分け方で数えないと行けない、当たり前だけど。
その解答では[1]をそのまま使おうとしてるようだから、
分子も同じ分け方で、つまりA,A,B,B,C,Dの並べ方で考えないといけないというだけ。
[1]に拘らなければ、もっと簡単に、6個所のうち2枚のAが何処に来るかだけ考えれば
4/6C2でOKだね
285:大学への名無しさん
10/01/07 20:15:30 NZIfKWSM0
えーっと多分分かりました
例えば>>282さんが出してくれた白球２個、赤球２個という４個の玉から二個の玉を取り出す場合
赤球、白球両方が一つずつ取り出される事象と同色の玉が二つ取り出される事象と言うのは
後者の方がおこる確率が２倍で同様に確からしくない
けれども今回の場合は、組み合わせで考えても
各々"すべて"の事象はカードをそれぞれ区別して考えた場合の2!2!倍（=A,Bのそれぞれの順列分)の確率で起こるので同様に確からしい
日本語おかしかったらすみません
286:大学への名無しさん
10/01/07 20:41:38 NZIfKWSM0
やっぱり意味不明な文章だったですかね・・・
でも自分の頭の中では大体の整理が付けれました
>>262,283,284のお三方、ありがとうございました
287:大学への名無しさん
10/01/10 22:03:50 0FzkfCqL0
確率で…
赤球３個と白球４個が入ってる袋がある。
そのうち３個の赤球にはそれぞれ１，２，３の数字が一つずつ書かれている。
この袋から６個の球を取り出して横一列に並べる
っていう設定の問題があったんですが…
この場合、赤球はもちろん区別して考えるけど、
答え見たら白球まで区別してるんですよ。
なんで白球には番号書いてないのに区別できるんですか？
288:大学への名無しさん
10/01/10 22:13:21 qhaZ35pF0
>>287
問題が全て書いてないから、具体的には回答のしようがないが、
確率を計算する場合には、区別して考えないとおかしなことになる。
例えば、赤玉が1個、白玉が99個入っている袋から1個を取り出す場合を考えると、
白玉に番号がついていようがいまいが赤玉を引く確率は1/100。
番号がついていないと1/2になったりはしない。
区別というのは、目で見てわかるかどうかではない。
白玉に傷でもあって、その傷を知っている人と、知らずに全部同じに見える人がいたとすると、
見る人によって確率が変わってしまうなどというおかしなことが起きるはずはない。
あるいは、途中から傷に気づいて見分けがつくようになったとたんに出方が変わるわけがない。
289:大学への名無しさん
10/01/10 22:13:23 uV5NecjOP
>>287
番号が書いてあるか書いてないかで確率が変わるとでも言うんか？
290:288
10/01/10 22:14:56 qhaZ35pF0
確率でも、組み合わせで計算しても良い場合もある。
いずれの組み合わせも同じ確率で起きる場合や、
組み合わせによって確率が違ってもそれを勘案して計算することが出来る場合など。
後者は区別して考えてるのと同じようなことだけど。
291:288
10/01/10 22:16:01 qhaZ35pF0
ちょっと文章がおかしかった。
× 全部同じに見える人がいたとすると、
○ 全部同じに見える人がいたとしても、
292:大学への名無しさん
10/01/10 22:20:25 0FzkfCqL0
>>288
なるほど・・そう言われれば納得した気にもなりますが
この問題である２つの白球が入れ替わったらそれは別の並び方とみなすんですか？
そこがどうも納得できなくて・・。
293:大学への名無しさん
10/01/10 22:23:33 0FzkfCqL0
じゃあどういう場合に区別して、どういう場合に区別しないのか
っていうのが分からんくなってくるorz
やべーどないしよ。
294:大学への名無しさん
10/01/10 22:30:31 fG7Lqtzz0
こいつアホやナ。
295:大学への名無しさん
10/01/10 22:44:28 qhaZ35pF0
>>292
そうだよ。勝手に白玉A、白玉Bとでも名付けりゃいい。
だって、別々の玉なんだもの。
296:大学への名無しさん
10/01/10 23:44:49 8UECFdXc0
「確率ではすべてのものを区別して解く」
最初のうちはそう"覚えて"問題といておけばいいよ。
ある程度慣れてきたら、同様に確からしいことを保証してるのならば
分子と分母を同じ基準で考えて、区別の有無を調整しても良い
ってことに自然と気がつくから。
仮に気がつかなかったとしてもなんら問題無い。
現に大数の一部の執筆者(雲氏とか)は区別はずして考えられる問題であっても
一貫してすべてを区別して解くべきだと指導されるし。
297:大学への名無しさん
10/01/11 00:01:08 S6/LClF50
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ2－４ｘｙ＋ｙ2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ2－２（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ
――＝（２ｘ－３）2－（５ｘ2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
４
という設定の問題があるのですが、手が止まってしまいました。
心優しい方、お手数ですが解答おねがいします。
ちなみに半角の2は二乗を表しています。
298:大学への名無しさん
10/01/11 00:02:24 qhaZ35pF0
>>297
まずは、>>1とリンク先を読んでくれ
299:大学への名無しさん
10/01/11 00:14:44 Dkd63Hdf0
>>298
ご指摘ありがとうございます。
書き直しました。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
300:大学への名無しさん
10/01/11 00:17:12 vwUVW3Go0
>ｙ^2－２（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
この時点でもうおかしい。
x^2の項が-13x^2になってるし。
元の式はz=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５なのに。
301:大学への名無しさん
10/01/11 00:30:00 Dkd63Hdf0
たびたび申し訳ありません。
問題を写し間違えてしまいました。
書き込みは初めてなので慣れていなくて。
本当に申し訳ありません。
任意の実数ｘ、ｙに対して
ｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０ -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝（２ｘ－３）^2－（５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ）＝０
解答よろしくお願いします。
302:大学への名無しさん
10/01/11 00:30:20 EYPv3+VT0
>>299
数式は半角で書いてくれ。
303:大学への名無しさん
10/01/11 00:32:13 EYPv3+VT0
>>301
とりあえず、ばらせよ。やれることやれよ。
例えダメでも手を動かせ。近道なんかない。
半角で書けよ。他の人たちがどういうふうに書いているかとか見ないの？
304:大学への名無しさん
10/01/11 00:33:23 vwUVW3Go0
>>301
>ｙ^2－２（２ｘ－３）ｙ+５ｘ^2－１０ｘ＋５－ｚ＝０
そうすると更に+6yがどこから来たのか謎
元の式はｚ＝５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５で6xはあるけど6yなんてどこにもない
５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５
=(y-2x)^2+x^2-4x+5
=(y-2x)^2+(x-2)^2+1
とかけて、x.yは任意の実数なので
z=５ｘ^2－４ｘｙ＋ｙ^2－１０ｘ＋６ｘ＋５≧(x-2)^2+1≧1
等号はy=2xかつx=2⇔x=2,y=4のとき
つまり最小値は1
305:大学への名無しさん
10/01/11 01:10:07 Dkd63Hdf0
みなさんご指摘ありがとうござます。
またも写し間違いでした。
ご指摘を受けて自分でも再挑戦をしてみましたが、すっかり忘れてしまっていて何からやればいいかもわからず、この状態のままでした。
任意の実数ｘ、ｙに対して
z＝5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
の最小値を、次の解答をつづけて求めなさい。
また、別の方法があればそれを簡潔に答えなさい。
（解答）ｙについて整理すると
y^2－2（2x-3）y+5x^2-10x＋5-z＝0 -----①
これを満たすｙの実数値が存在するから、①の判別式をＤとすると
Ｄ/4＝（2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
本当に何度もすみません。
今度は何度も式の確認をしたので、間違いはありません。
306:大学への名無しさん
10/01/11 01:29:36 EYPv3+VT0
>>305
> （2x-3）^2－（5ｘ^2－10ｘ＋5-z）＝0
コレを見て、なんかやってみることはないのか？
307:大学への名無しさん
10/01/11 02:05:07 KebnSe5v0
分数の表記はともかく全角は別にいいだろ
308:大学への名無しさん
10/01/11 02:21:14 vwUVW3Go0
5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5
={y+(3-2x)}^2+5x^2-10x+5-(3-2x)^2
={y+(3-2x)}^2+x^2+2x-4
={y+(3-2x)}^2+(x+1)^2-5
で、x.yは実数全体を動くから
z=5x^2－4xy＋y^2－10x＋6y＋5≧(x+1)^2-5≧-5
(等号はx=-1, y=-5)
>>305の誘導のつけ方はよくわからない。
値域を出しておいて、最小値を求めさせたいということなのかな?
309:大学への名無しさん
10/01/11 05:15:20 Dkd63Hdf0
そうやって出すんですね!!
ようやくわかりました!
本当にありがとうございました！
310:大学への名無しさん
10/01/11 17:07:02 Zkls5+Ti0
>>305
x, yの実数としての存在条件を考えて、
yの2次方程式とみて判別式が0以上、これで得られた式を満たす実数xが
存在するので、xの2次方程式とみて判別しきが0以上。
得られたzの条件ではx, yは実数なので、その範囲の限りzは自由に動く。
これでzの最小値、最大値も分かる。某雑誌で逆手流と名づけられてる手法。
311:大学への名無しさん
10/01/12 00:04:29 +nFb5lZV0
一辺の長さaの正方形に,一辺の長さがb,cの2つの正方形が重ならないように入っている.
このとき,a≧b+cが成り立つことを示せ.
という問題がわかりません。
色々やってみても、向きやらなんやらで詰まります…orz
誰かアドバイス下さい。。
312:大学への名無しさん
10/01/12 02:06:43 DK+AErgp0
↑
URLﾘﾝｸ(web2.incl.ne.jp)
313:大学への名無しさん
10/01/13 01:56:05 MfDtesOt0
箱の中に、赤、青、白の3色のカードが4枚ずつ入っている。
各色のカードには、それぞれ1から4までの番号が一つずつ書いてある。
この12枚の中から3枚を一度に取り出す。
3枚のカードに、白のカードまたは番号が1のカードが含まれる取り出し方は何通りか？
（答えは200通り）
この問題を、以下のように解いてみたのですが、答えがありません。
どこがいけないでしょうか？
3枚のカードに白のカードが含まれる取り出し方は164通り。
3枚のカードに1のカードが含まれる取り出し方は136通り。
3枚のカードの中に白の1カードが含まれる取り出し方は55通り。
よって、164＋136－55＝245通り。
よろしくお願いします。
314:大学への名無しさん
10/01/13 02:25:28 8dTgmLGk0
白2白3青1と引いたとき
3枚のカードの中に白が含まれているので164通りの1つであり
1のカードが含まれているから136通りの1つだけど
55通りの要素ではないので除外されてない。
315:大学への名無しさん
10/01/13 08:23:07 6w7bpOcG0
傾向と対策82ページ
０≦θ＜πとする。不等式sin2θ－√3cos2θ＜√３において
２sin(2θ－π/3）＜√3 であるから
０≦θ＜πのとき
－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3 であるから（以下略）
がわかりません
なぜ－π/3≦ 2θ－π/3 ＜5π/3になるのですか？
316:大学への名無しさん
10/01/13 08:31:33 8dTgmLGk0
0≦θ<π⇔0≦2θ<2π
⇔0-π/3≦2θ-π/3<2π-π/3
⇔-π/3≦2θ-π<5π/3
317:大学への名無しさん
10/01/13 23:52:49 DHye9KKk0
確率の問題なんですがわからないのでご指導ください
初めに数直線上の0の位置に駒を置く。そして二個の区別できるさいころを同時に振り、
出た目の合計がkのとき右へk移動する。6に到着あるいは通過したとき終了するとする。
このとき2回目で終了する確率を求めよ。
よろしくお願いいたします。
318:大学への名無しさん
10/01/14 00:15:48 QS2hG0RH0
>>317
一体何がわからん？
上手い方法が見つからなくてもどうにかなるだろ。
319:大学への名無しさん
10/01/14 01:02:40 KbNGfXSb0
aを定数とし、xの2次関数
y=2x^-4(a+1)x+10a+1 ………①
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+[ア]，[イウ]a^+[エ]a-[オ])
である。
ア、イウ、エ、オを答えよ。
また、グラフGがx軸と接するのはa=どんなときか。
解答（出来れば解き方も）教えてください。
よろしくお願いします。
320:大学への名無しさん
10/01/14 01:06:21 QS2hG0RH0
>>319
二次の係数が2で頂点が(p,q)の二次関数の方程式は？
321:大学への名無しさん
10/01/14 01:17:14 KbNGfXSb0
y=a(x-p)^2+q？
数学ほんと分かんないです…
322:大学への名無しさん
10/01/14 08:46:30 s7RfVCwK0
>>318
この問題は解答がなかったもので自分の答えが合っているのか自信がなくて・・・
２回目に終了しない場合の数は一回目に(1,1)のとき二回目に(1,1),(1,2),(2,1)
あるいは一回目に(1,2)のとき二回目に(1,1)同様に一回目に(2,1)のとき二回目に(1,1)
の5通りなので1-5/6^4で1291/1296となるそうなんですがこれでよいのでしょうか？
あまりにも確率が1に近いので実際にさいころを振ることを考えると違うような気がするんですが。
323:大学への名無しさん
10/01/14 08:55:53 QS2hG0RH0
>>322
二回目に終了ってのは、一回目には終了せずに二回目に終了じゃないのか？
それだと、一回目で終了してしまう場合を含んでしまってると思う。
一回目で終了してしまった場合を、二回目で終了とは言わないだろう。
1にかなり近くていいと思うが、なぜ違うと思うんだ？
324:大学への名無しさん
10/01/14 10:03:18 s7RfVCwK0
>>323
修正しました(三回目に終了数場合も考えますよね？)
1回目に終了する場合は二つのさいころの目の合計が6,7,8,9,10,11,12となるときの
場合の数は5,6,5,4,3,2,1で合計26通り。2回目に終了しない場合の5通り。
そして3回目に終わる場合は一回目(1,1),二回目(1,1)のとき三回目はすべて、一回目に(2,1),二回目に(1,1)のとき三回目はすべて。
同様に考えると三回目に終わる場合は5通り考えられる。
よって求める確率は1-(26/6^2+5/6^4+5/6^4)=175/648
これでいいですかね？確率は1からは離れていますが・・・
325:大学への名無しさん
10/01/14 10:10:31 QS2hG0RH0
>>324
おかしいぞ。
三回目に終了する確率は、二回目までに終了しない確率の一部だ（この問題の場合、全部だけど）。
だから、それだと、ダブって計算している。
326:大学への名無しさん
10/01/14 10:26:12 s7RfVCwK0
>>325
失礼しました
同じ計算をしているのに気付かされました
先ほどの三回目の場合を削除して
求める確率は1-(26/6^2+5/6^4)=355/1296ですね
327:大学への名無しさん
10/01/15 01:49:41 DgGG7kXx0
>>319,321が、どのくらい数学ができんのかが分からん。
教科書を見ても、問題集の類題を見ても分からなかったとして説明する。
式の右に書いたのは考え方。
y=2x^-4(a+1)x+10a+1
=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1 ←まず、２行下①の形を作るために、
=2[{x-(a+1)}^2-(a+1)^2]+10a+1 ←こうする。
=2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2-2+10a+1 ←①
=2{x-(a+1)}^2-2(a^2+2a+1)+10a+1 ←かっこを外していく
=2{x-(a+1)}^2-2a^2-4a-2+10a+1
=2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1 ←②
よって、頂点座標は(a+1, -2a^2+6a-1)
後半は次のレス。
②の形というのは、教科書に載っている
y=k(x-p)^2+q
のこと。y=a(x-p)^2+qかも。どっちでもいいけど。
p,qは、グラフの頂点（放物線のとがったところ）のx座標とy座標を表している。
なんでかが分からなかったら、教科書を見るか、またここで質問する。
k,p,qに適当な数、全部2とかを入れて、xに0から5位までの数を入れてy座標を求めて線でつないでみて、グラフを描いてみると分かるかも。
他の問題を解くためにも、y=○x^2+△x+□の形のグラフは絶対に描けないといけない。
①のかっこを外すとできるから、まずは①を目指す
②までの途中に①がある。
328:大学への名無しさん
10/01/15 01:51:09 DgGG7kXx0
解答を続けるが、上の答えが合っている前提で解く。
頂点のy座標が0の時、グラフGはx軸と接するので
-2a^2+6a-1=0
解の公式に使うと、
a=[-6±√{6^2-4(-2)・1)}]/{2・(-2)}
=(3±√7)/2
グラフGがx軸に接するということは、グラフの、この場合一番低い頂点（とがった所）の位置の座標が0であればよい。
なので、-2a^2+6a-1=0
これが成立するようなaを求めるために、解の公式を使う。
解の公式が分からなかったら自分で調べる。
329:大学への名無しさん
10/01/15 11:50:25 /LEn4Ln00
a,bを実数とするとき,xの関数 f(x)=x^4+ax^2-2(a+2)x+b がただ１つの極致をもち
かつ、その極致が正であるためのa,bを求めよ
という問題なのですが解説ではf(x)を微分して2(x-1)(2x^2+2x+a+2)になって
g(x)=(2x^2+2x+a+2)とおくと
f(x)がただ１つの極致を持つ＝g(x)の符号が変化しない、または、g(1)=0
とあるのですが、どうしてこの条件になるのかが分かりません。
１つの極値をもつということは、ただ一度符号変化するってことですよね？
どうしてg(x)の符号が変化しない、またはg(1)=0でこの条件を満たすのかよくわかりません。
どなたかお願いします。
330:大学への名無しさん
10/01/15 11:57:55 KjMiLPaC0
>>329
f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+a+2)
1)g(x)=2x^2+2x+a+2が符号変化をしないとき
(x-1)の項がx=1の近傍で符号変化をただ1度だけする
2)g(1)=0のとき
このときg(x)=2(x-1)(x-α)とかけるので
f'(x)=2{(x-1)^2}(x-α)となり、(x-1)^2 ≧ 0よりこの部分は符号の変化がなく
x=α近傍でただ1度だけ符号変化をする
331:大学への名無しさん
10/01/16 01:34:20 PyN/lJv80
>>229について、赤本が手に入らないので、
ネットを使って探してみたのですが、やはりよくわかりません。
もう一度質問させてください。
a[n] は等差数列、b[n] は等比数列、 a[5]=b[2] a[17]=b[3] のとき
a[m]=b[n] となるような m(n) をもとめ、
c[n]=m(n) としたときに d[n]=p c[n]^2 +c[n+2] の
階差数列が等比数列になるような定数 p をもとめ、
そのときの Σ[k=1,n] d[k] を計算せよ。
a[5]=b[2] a[17]=b[3]から連立方程式を出せるのですが、
そこからm(n)を出せません。よろしくお願いします。
332:大学への名無しさん
10/01/16 10:43:17 DiegKfaZ0
>>330
解説ありがとうございます。おかげで理解できました
失礼ながら続けて質問させていただきます。
xの関数y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2 が極大値をもつような実数aの範囲を求めよ
という問題なのですが、x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0
が０でない異なる実数解を持つ条件を求めればよい
と書いてあるのですか、どうして異なる実数解を求めたら極大値を持つaの範囲が求められるのでしょうか？
どなたかお願いします。
333:大学への名無しさん
10/01/16 11:13:24 Xl9l3yxIi
>>331
連立して解くっていっても、未知数4で式2本だから決まらないよね
勝手に決める事はできるけど、後段の解は一意的になるのかな？
334:大学への名無しさん
10/01/16 12:16:15 /nxX6TZE0
>>332
y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2=f(x)とおく。
・f'(x)は連続関数
・f'(x)=0の相異なる実数解は高々3個
・f(x)がx=αで極大であるというのは、十分に小さい数dについてf'(α-d)＞0、f'(α+d)＜0となるという意味。
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
以上4点と中間値の定理より、
f(x)が極大値αを持つためには
十分小さいdについてf'(x)=0が
区間(-∞,α-d)に少なくとも一つ、
区間(α-d,α+d)に少なくとも一つ、
区間(α+d,∞)に少なくとも一つの実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)が3次関数ゆえにf'(x)=0の実数解が高々3個であることより、
f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分。
このこととf'(x)=4x(x^2-3(a-1)x+(a^2-1))より、
f(x)が極大値αを持つためにはx^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分。
----
なお、「x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0が0でない相異なる実数解を持つことが必要十分」である理由を限られた試験時間内で試験答案に記述したいなら
「3次関数f'(x)のグラフより、f(x)が極大値αを持つためにはf'(x)=0が3個の相異なる実数解を持つことが必要十分だから」程度で十分と思う。
335:大学への名無しさん
10/01/16 12:20:13 /nxX6TZE0
>>334
訂正
・f(x)は連続関数で、lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
↓
・lim[x→±∞] f'(x)=±∞(複合同順)
336:大学への名無しさん
10/01/16 12:23:40 /nxX6TZE0
>>334
もう1つ
「f(x)が極大値αを持つためには」
を全て
「f(x)がx=αで極大となるためには」
に訂正
337:大学への名無しさん
10/01/16 12:35:32 0TkK6MCH0
すまんちょと教えてくれ
カナダにおいて電気エネルギーの消費量は液体エネルギー消費量のちょうど60％にあたる。カナダの液体エネルギーの消費量はどれだけか？（必要なときは、最後に十万ｔの位を四捨五入すること）
各数値 単位 百万ｔ
固形エネ 25
液体エネ ？
ガス 80
電力エネ ？
合計 237
こういう問題なんだが
俺はまず
237-（25+80）＝132 ［百万ｔ］
と考え 次に電気：液体＝0.6：1 だし132-（132*0.6）で簡単やんけとか思ったんだが間違ってたんだ
一応解説見ると
電気エネの消費量は、液体エネ消費量のちょうど60％にあたるのですから、液体エネルギー消費量を100としたとき、電気エネ消費量は60とということです。
合計すると、160％。これが132なのです
と書いてあって ここまでは理解できたんだが、次に
ということは、132を160で割って100をかけたものが、液体エネ消費量です
とあるんだ そして
132*100/160＝132*5/8＝82.5
数値を見るとそれっぽい数字だし間違ってないだろうけど
理解できないごみな俺にだれか教えてくれ
338:大学への名無しさん
10/01/16 19:04:39 B+W5BXKV0
>>337
電気：液体＝0.6：1だから、
電気：液体：合計＝0.6：1：1.6だよ。
0.6：1：1.6は？：？：132かっていう問題。
339:大学への名無しさん
10/01/17 17:00:00 OeGQi6y40
質問させてください。
【問題】
1から5の数字の書かれた玉を3つの袋に分ける組み合わせは何通りあるか。
ただし、1つの袋には0～5個の玉が入り、袋の区別はつけないものとする。
まず袋をA,B,Cとわけると、その組み合わせは「3組 ^ 5個 通り」
袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
3^5 / 3! = 243 / 6 = 割り切れない
と混乱してしまいます。
どなたかご教示ください。
340:大学への名無しさん
10/01/17 17:31:44 ViOnY4An0
>>339
1つの袋だけに入っている場合は6通りあるのか？
341:大学への名無しさん
10/01/17 17:32:55 Pd3trOIf0
>>339
>袋を区別しないのだからその組み合わせを「3!」で割る
(x.y.z):(x:袋Aに入った玉, y:袋Bに入った玉, z:袋Cに入った玉)と書くとして
(12,34,5),(12.5.34),(5.34,12),(5,12,34),(34,12,5),(34,5,12)→区別をはずすと1通り
(φ,φ,12345),(φ,12345,φ),(12345,φ,φ)→区別をはずすと1通り
以下略
という具合に0個の袋が2つある場合等は3通りだったものが区別をはずすと1通りになるので
機械的に3!で割れば解決するというものではない。
342:大学への名無しさん
10/01/17 17:41:52 dsjgsU7J0
>>339
例えば、全部同じ袋に入っているのはAに全部、Bに全部、Cに全部の3通りしかない。
343:大学への名無しさん
10/01/17 17:49:00 THdTe2jI0
自然数に０は含まれるの？
344:大学への名無しさん
10/01/17 18:07:11 dsjgsU7J0
>>343
含むという考え方の人たちもいるらしいが、日本の学校教育における数学では含まない。
でも、ややこしいので、大学受験問題ではたいてい正の整数と書かれているはず。
345:339
10/01/17 18:42:41 OeGQi6y40
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの(11)を頼りに考えたところ
3つの袋に入れる数で場合分けする。
5個，0個，0個に分ける --> 5_C_5 = 1
4個，1個，0個に分ける --> 5_C_4 * 1 = 5
3個，2個，0個に分ける --> 5_C_3 * 1 = 10
3個，1個，1個に分ける --> 5_C_3 * 2_C_1 * 1 / 2! = 10 * 2 / 2 = 10
2個，2個，1個に分ける --> 5_C_2 * 3_C_2 * 1 / 2! = 10 * 3 / 2 = 15
1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41通り
となりましたが、これで問題ないのでしょうか？
346:大学への名無しさん
10/01/17 18:49:16 dsjgsU7J0
>>345
おお、同じになった。
袋を区別した場合の入れ方は3^5通り。
このうち、全部同じ袋に入っている場合以外は、袋を区別しないと3!=6通りずつ同じ入れ方がある。
全部同じ袋に入っている場合だけは、3通り。
なので、((3^5)+3)/6=41通り。
347:大学への名無しさん
10/01/17 20:30:29 OeGQi6y40
>>346
この問題を一般化(n個の玉をm個の袋に分ける)すると
((m^n - m) / m!) + 1
という式でよろしいのでしょうか？
348:大学への名無しさん
10/01/17 20:50:37 ViOnY4An0
>>347
4袋のとき2袋が空の場合とかもあるだろ。
すぐ結論付けずにちょっと考えてから書き込んでおくれ。
349:大学への名無しさん
10/01/17 22:35:27 rsZpwuZnO
>>333
そうですよね。
問題が間違っていると思いますから、
お金ができたら赤本を買って確かめます。
>>344
だから「正の整数」なんて
ややこしい言い方をしていたんですか。
感動しました。
世界史では「ゼロの発見」自体が大きな出来事ですから、
ゼロは自然数ではないと思っていました。
350:大学への名無しさん
10/01/19 15:32:41 ad9cYf3Q0
無限級数 Σ[n=1.∞]{(1/2)^n}sin(πn/3) の値を求めよ
という問題で解答が
a[n]={(1/2)^n}sin(πn/3)として
Σ[n=1.∞]a[n]
=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
={(√3/4)+(√3/8)-(√3/32)-(√3/64)}×(64/63)
=√3/3
となってるんですけど、
>=(a[1]+a[7]+a[13]+・・・a[∞])+(a[2]+a[8]+・・・a[∞])+(a[3]+a[9]+・・・a[∞])
>+(a[4]+a[10]+・・・)+(a[5]+a[13]+・・・)+(a[6]+a[12]+・・・・)
>=(a[1]+a[2]+a[4]+a[5])/{1-(1/2)^6}
の部分がよくわかりません。
無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
351:大学への名無しさん
10/01/19 21:33:54 g08QVDA90
>>350
精密に表現するならば以下のようになる。
「Σ[n=1,∞]p[n]=P、Σ[n=1,∞]q[n]=Q(P,Q:定数)となる任意の数列{p[n]},{q[n]}について
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])=P+Qが成立する」・・・(*)
という定理と
Σ[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
Σ[n=1,∞](a[6n-5]+a[6n-4]+a[6n-3]+a[6n-2]+a[6n-1]+a[6n])
=(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
が成立する。
> 無限級数のΣも普通のΣと同様に和を分配して計算できるのですか?
この問題のように、「収束する」級数に分割できるなら、
分割された級数の値をすべて足し合わせたものが、もとの級数の値になることは
(*)の定理により保証される。
352:大学への名無しさん
10/01/19 22:35:12 ad9cYf3Q0
>>351
ありがとうございます。そういう定理があったのですね。存じ上げておりませんでした
この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
また、質問なのですが、この問題
a[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]なので
Σ[n=1.∞]a[n]
=Σ[m=1.∞](a[3m]+a[3m+1]+a[3m+2])
=(a[1]+a[2]+a[3])/(1-(1/2)^3)
と計算しても答えはバッチリあうのですが
このように解いてもかまいませんか?
それとも(a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6])/(1-(1/2)^6)
と模範解答のようにやらないとどこかで不備があったりしますでしょうか?
353:大学への名無しさん
10/01/20 18:46:59 DVG7+tP/0
逆手流にいて質問させてください
平面上の2点A(-1.2),B(3.5)と円C:(x-1)^2+(y+1)^2=1があり
点Pは円C上の動点とする。このとき⊿PABの重心の軌跡を求めよ
という問題で自分はこう解きました
G(x.y), P(cosθ+1.sinθ-1) (0≦θ≦2π)とおくと
x=(-1+3+cosθ+1)/3・・・(1)
y=(2+5+sinθ-1)/3・・・(2)
求める軌跡とは、
「(1).(2)を満たすθが0≦θ≦2πに存在する」・・・(*)
ような(x.y)の集合であり、
(*)⇔9(x-1)^2+9(y-2)^2=1
解答は
G(X,Y)とおくと、OP↑=(3X-2, 3Y-7)とかけてこれがC上にあることより
(x-1)^2+(y-2)^2=1/9
と書いてあります。自分の解答はPの変数θをGの座標X.Yについて解いて消去している「逆手流」だと思うのですが、
解答のやり方もPの座標をGの座標X.Yで表して、PがC上に存在していることを
訴えているので逆手流なのでしょうか?
354:大学への名無しさん
10/01/20 22:13:43 UJJkqR4P0
>>353
そうだとは思うけど、その模範解は酷くダサいと思う。
ベクトル使って書いてなければ数II範囲で解いたのだとも思えるけれど、
ベクトル既習なら下に書くような考え方がスマートじゃなかろうか。
ただ、ほとんど数Cにはみ出てるという批判はありうるけど。
x=1+(1/3)cosθ
y=2+(1/3)sinθ
d↑=(1,2)、q↑=(cosθ,sinθ)
とすればOP↑=p↑=d↑+(1/3)q↑
で、これはD(d↑)を中心とする半径1/3の円。
（q↑の軌跡は単位円、これを原点中心に1/3に縮小した上で、
さらにd↑だけ平行移動したのがp↑の描く軌跡)
きれいな形で書けるから、それを解釈してしまえば、別にθを消去する必要は
ないわけ。また、この考え方だと、たとえば元の点がCの全体を動かなくても
簡単に対応できるってのも利点かと。
355:大学への名無しさん
10/01/21 00:29:06 l9OALHoN0
>>351
訂正
[n=1,∞]a[6n-i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5)より
↓
Σ[n=1,∞]a[6(n-1)+i]=a[i]/(1-(1/2)^6) (i=1,2,3,4,5,6)より
>>352
> この定理というのは高校の範囲で証明することは可能でしょうか?
{p[n]},{q[n]}を任意の数列、S[n]=Σ[k=1,n](p[k]+q[k])、T[n]=Σ[k=1,n]p[k]、U[n]=Σ[k=1,n]q[k]とおく。
ただしlim[n→∞]T[n]=P、lim[n→∞]U[n]=Q(P,Q:定数)となるとする。
このとき
「Σ[n=1,∞]p[n]はlim[n→∞]T[n]を指す」(定義A)
「任意の正整数nについてS[n]=T[n]+U[n]が成立する」(定理B)
「lim[n→∞]p[n]、lim[n→∞]q[n]が収束するならlim[n→∞](p[n]+q[n])=(lim[n→∞]p[n])+(lim[n→∞]q[n])が成立する」(定理C)
以上より
Σ[n=1,∞](p[n]+q[n])
=lim[n→∞]S[n] (←定義A)
=lim[n→∞](T[n]+U[n]) (←定理B)
=(lim[n→∞]T[n])+(lim[n→∞]U[n]) (←定理C)
=(Σ[n=1,∞]p[n])+(Σ[n=1,∞]q[n]) (←定義A)
=P+Q
となる。証明終わり。
定理Bの高校範囲での証明は容易。
定理Cは高校範囲では証明無しに使える公式に位置づけられる。範囲外ならε-N論法で極限を定義した上で証明できる。
> このように解いてもかまいませんか?
a[n+6]={1/(2^6)}*a[n]のかわりにa[n+3]=-{1/(2^3)}*a[n]を使っても
問題なく模範解答と同様のロジックで答案を作成できる。
356:大学への名無しさん
10/01/21 02:16:52 RcAavNXB0
1枚のカードには1つの文字が書いてあるK，A，N，K，Y，O，J，O，H，Oという10枚のカードが有る。
AとOが隣り合わない並べ方はなん通りあるか
という問題なのですが、どのように解けばよいのでしょうか。
357:大学への名無しさん
10/01/21 03:03:07 l9OALHoN0
>>356
A,O以外のカードをBとあらわし、Oが挿入されうる場所をoとあらわすと
Aの左にBが1つも存在しない場合
ABoBoBoBoBoBo
と表せ、このときoから重複を許して3つ選ぶ場合の数はH[6,3]。
Aの左にBがi個(i=1,2,3,4,5,6)存在するときのoから重複を許して3つ選ぶ場合の数も同様にH[6,3]。
したがって、AとOが隣り合わないような、A1枚,O3枚,B6枚の並べ方の場合の数は
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
そのそれぞれについて、Bの位置にK2枚、N,Y,J,H各1枚を入れるとき、Bの入れ方の場合の数は(6!/2!)=360[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
358:大学への名無しさん
10/01/21 03:11:35 l9OALHoN0
>>357
訂正。みっともないミスをした。
重複組み合わせはH[n,m]=C[n+m-1,m]だから
7*H[6,3]=7*C[10,3]=7*((10*9*8)/(3*2*1))=840[通り]。
↓
7*H[6,3]=7*C[8,3]=7*((8*7*6)/(3*2*1))=392[通り]。
以上から求める場合の数は840*360=302400[通り]。
↓
以上から求める場合の数は392*360=141120[通り]。
359:大学への名無しさん
10/01/21 16:27:39 ybPdjJuxi
A,B,Cの3人にランダムで数字の書かれたカードを一枚ずつ配る。
カードの数字がA＞Bの確率は1/2、 A＞Cの確率も1/2
したがってAが3人で一番大きい数字の確率は1/4
しかし対等性を考えると1/3になる、というパラドックスを解いてください！
360:大学への名無しさん
10/01/21 16:44:13 iMS/p1HYi
>>359
A>BとA>Cが独立でないことに注意
A>Bという条件のもとでC>Aであるためには必然的にC>Bとなるから、
361:大学への名無しさん
10/01/22 12:12:31 9p2dvkqi0
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
計算としてはx、x+1、x+2を強引にどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
362:大学への名無しさん
10/01/22 12:14:27 9p2dvkqi0
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
一つ式が抜けてました、すみません。
計算としてはx、x+1、x+2をどんどん括りだしているんですが、
どのように括りだしたのかがわかりません。
括りだし方を教えていただけませんか？
363:大学への名無しさん
10/01/22 12:23:56 pHhfLRhwP
x[ax^2+bx+(b-a)]
=x[a(x^2-1)+b(x+1)]
=x[a(x+1)(x-1)+b(x+1)]
=x(x+1)[a(x-1)+b]
=x(x+1)[ax+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)-2a+(b-a)]
=x(x+1)[a(x+2)+(b-3a)]
=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)
364:大学への名無しさん
10/01/22 12:55:23 9p2dvkqi0
>>363
式変形の流れはわかりました。ありがとうございました。
ただこういう括りだすのってどれも問題自体が自然に何かでまとめたら
「お、簡単に括りだせるな」っていう風な作りになってるんですか？
それとも、無理やり括りださなきゃいけないようなときってあるんですか？
365:大学への名無しさん
10/01/22 13:29:42 pHhfLRhwP
たとえば
nが整数ならn^3+5nは6の倍数
を示す方法の1つとしてn^3+5n=(n-1)n(n+1)+6nと変形して
三つの連続する整数の積は6の倍数である事を使うとか
これのはじめの方を読んでみると面白いかも（ニュートン補間）
URLﾘﾝｸ(www2.cc.niigata-u.ac.jp)
366:大学への名無しさん
10/01/22 15:33:54 YD5Wt/qK0
>>364
x(x+1)[ax+(b-a)]
までは、ごく普通の因数分解で、「最低次数の文字で整理」という
これまたごく普通の定跡を使ったものとして解釈できる
（xとaとbをどれも「文字」という次元で見れば、2次まであるxではなく
1次までの文字であるaやbで整理したほうが取っ掛かりがつかめる）
そのあと(x+2)を因数として括りだす部分については、逆にこの式だけからは
全く出てこないしやる必要もないはず。元の問題があるならサボらずそれを
提示すべきで、それがないと
>無理やり括りださなきゃいけないようなとき
になってるかどうかの判断はできないよ。
367:大学への名無しさん
10/01/23 23:01:58 9TFmYBhu0
Σ_[k=1,n]{(1/2)^k*(2k-1)}
を一応解いたんですが、解答と違ってしまったので解き方をお願いします。
368:大学への名無しさん
10/01/24 10:07:31 orf53XB40
>>367
まずお前がかけ
369:大学への名無しさん
10/01/24 15:29:08 qilcld+E0
04年の阪大文系の第2問ですが。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
(1)の解き方が分かりません。
とりあえず、以下が自分の答案です。
C_1 : x^2+(y-a_1)^2=a_1^2 ⇔ x^2+y^2-2a_1y=0 である。
このとき、C_1とy=x^2が原点のみで接すれば良い。
ここで、C_1からx^2を消去すると、 y^2-(2a_1-1)y=0 ―① となる。
①の判別式をDとすると、D=0が必要条件である。
D=(2a_1-1)^2=0 ⇔ a_1=1/2
逆に、a_1はただ一つに定まるのでこれは十分性を満たす。
ゆえに a_1=1/2 である。
という風になったんですが、疑問なのが、たとえば、r=1/4のときはどういう状況なのか、ということです。
「接する」ということは、「重解をもつ」ということと同値ですよね？
r=1/4のときも、グラフの概形を見る限りでは原点で接しているはずなんですが、y=0,-1/2となって重解をもちません。
このとき、具体的に、放物線と円はどのような関係にあるのでしょうか。
また、正しいa_1の導き方について教えていただければ幸いです。
370:大学への名無しさん
10/01/24 16:11:22 i4FCknMH0
>>369
ブラウザに見ちゃダメって言われるので見られない。
371:大学への名無しさん
10/01/24 16:30:22 V4B9dF7tP
接するというのは「同じ点で共通の接線を持つ」ということ。
y軸上に中心があり原点を通るなら原点でx軸に接するのだから、
つねにy=x^2とは接する事になる。
だからx^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件を出して、
そうなるaの最大値をa1とすればよい。
y=x^2上の点P(x,y)とA(0,a)の距離を考えて、
AP^2=x^2+(y-a)^2=y+(y-a)^2>=a^2
すなわちy(y-(2a-1))>=0がすべてのy>=0について成り立てばよい。
したがって2a-1<=0で、a1=1/2
372:大学への名無しさん
10/01/24 16:33:25 V4B9dF7tP
＞x^2+(y-a)^2=a^2がD内にある条件
a>0でかつ、というのも書いとかないとだな
373:大学への名無しさん
10/01/24 19:22:29 NNWBsROI0
>>371
その接するの定義だと，接線とは何かとなって循環する。
荒っぽく言うと，同じ点で同じ微分係数を持つ事。
374:大学への名無しさん
10/01/25 01:54:15 Xk37Bw0x0
左辺から右辺への式変形なんですが
2t/(1+t)(t^2+1)=-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)
の導き方が分かりません。
通常ならば
右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが、今回はその方法では解けませんでした。
375:大学への名無しさん
10/01/25 07:33:15 0/TKvoJd0
常識のある人なら
2t/(1+t)(1+t^2)=A/(1+t)+B/(1+t^2)+Ct/(1+t^2)
とおく。
376:大学への名無しさん
10/01/25 10:39:51 VPxeCKji0
>>374
f(x)/g(x)を部分分数分解するとき
1.多項式に分解
2.g(x)の因数に(x-a)^mが存在しているとき
a[1]/(x-a) + a[2]/(x-a)^2 +・・・+ a[m]/(x-a)^m と書ける
3.g(x)の因数に(x^2+px+q)^mが存在しているとき
(A[1]x+B[1])/(x^2+px+q) +(A[2]x+B[2])/(x^2+px+q)^2 +・・・+(A[m]x+B[m])/(x^2+px+q)^m と書ける
これらにしたがって、
2t/{(1+t)(t^2+1)}
=a[1]/(1+t) + (A[1]t+B[1])/(t^2+1)
=a[1]/(1+t) +A[1]t/(t^2+1) +B[1]/(t^2+1)
a[1]～B[1]を求めると君の言ったとおり
-1/(1+t) + (t+1)/(t^2+1)になるはず。
>通常ならば右辺は分母だけ書いて、分子にA、B等置きますが
(7t-6)/(t-2)(t-3) とかを部分分数分解するときはそれでいい。
これは上記の2の事実にしたがって分解してる。
今回は分母に(1+t^2)がでてるから3つ目のことまで考える必要がある。
377:大学への名無しさん
10/01/25 11:59:40 9vnq+87s0
次の微分方程式を定数変化法で解きなさい。
①ｄｙ/ｄｘ -2/x y = 2x-3
②ｄｙ/ｄｘ + y/x = 3x+2
③ｄｙ/ｄｘ + y/x = 1/x^2
④ｄｙ/ｄｘ + 2y/x = x-2
の回答、解説お願いします。よろしくお願いします。
378:１３２人目の素数さん
10/01/25 15:41:17 UNad8GCB0
>>337
① まずマセマティカというソフトをいんすとーるします。
② ときたいしきをNDSolve[ ]でかこみます。
③ しふと・えんたーをおします。
④ かいがえられます。
379:378
10/01/25 15:43:31 UNad8GCB0
ぼくはあたまがわるいのでまちがいました>>337ではなくて>>377でした。
380:大学への名無しさん
10/01/25 16:33:24 xjNo2rgu0
sin(θ－30°)＋sin(θ＋60°)教えてください！
381:大学への名無しさん
10/01/25 16:35:12 xjNo2rgu0
>>380
入試で出たのですか、
曖昧でちょっと問題違うかも？
数Ⅰの問題です！
簡単にするのか、θをもとめるのか忘れちゃいました。。。
382:大学への名無しさん
10/01/25 17:55:32 0AaE/pbT0
URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)
こういう図形の場合、二つの三角形の青い線は同じ長さになりますか？
y=10-xとy=10-1/2xのグラフを足すなどの一次関数同士の足し算はどの範囲でしょうか？
383:大学への名無しさん
10/01/25 18:55:22 H6A+GPvD0
>>382
相似の比
384:大学への名無しさん
10/01/26 14:24:21 WxUwQHBl0
１対１の数Ⅱ P８５
放物線ｙ＝ｘ^2 の２本の接線ｇ、ｈが点（a,ｂ）で交わるとする。
接線ｇ、ｈは直交するためのあa、bの条件を求めよ
という問題なんですが
接線ｇ、ｈの接点をそれぞれ（ｓ、ｓ＾2） (t、t^2)として
ｇ´（ｓ）ｈ´（ｔ）＝－１
これを計算して、ｓｔ＝－１／４・・・①
それぞれの接点での接線を求めて
ｇ：ｙ＝２ｓ（ｘ－ｓ）＋ｓ＾2
ｈ：ｙ＝２t（ｘ－ｔ）＋ｔ＾2
↓
２直線とも（a、ｂ）を通るので
ｂ＝２ｓ（a－ｓ）＋ｓ＾2・・・②
ｂ＝２t（a－ｔ）＋ｔ＾2・・・③
①②③より
a＝（ｓ＋ｔ）／２
ｂ＝ｓｔ＝－１／４
解説は、この
ｂ＝－１／４ だけが答えとして書かれているんですが
aの条件については触れなくていいんでしょうか？
385:大学への名無しさん
10/01/26 15:05:03 WxUwQHBl0
続き
自分で解いたのですが、
ｓｔ＝－１／４
ｓ＋ｔ＝２a
より、ｓ、ｔは ｘ＾2－２ax－（１／４）＝０ の２つの解である
よって判別式＞０より
４a＋√（１６a^2＋４）
―――― ＞０
４
４a＋√（１６a^2＋４）＞０
a>0のときは常に成立
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
４＋√（１６＋４／a^2）＜０
となり、a<0はありえない
よって a>0
これってどこを間違えているのでしょうか？
お願いします
386:大学への名無しさん
10/01/26 15:58:20 EaDCul8m0
「aは任意」って解答に書いてない？
387:大学への名無しさん
10/01/26 16:17:43 4jYFPMcI0
>>385
a<0のとき
４a＋a√（１６＋４／a^2）＞０
ここ
正しくは
４a＋|a|√（１６＋４／a^2）＞０
a>0のとき
４a+a√（１６＋４／a^2）＞０
a<0のとき
４a-a√（１６＋４／a^2）＞０
どちらにしても成立
388:大学への名無しさん
10/01/26 16:32:37 4jYFPMcI0
あとわざわざaの条件をしらべなくても、s．tはｓｔ＝－１／４を満たす任意の実数だから、aは全ての実数だよ
389:大学への名無しさん
10/01/26 20:30:41 26/cgeSgO
f(t)=∫[1,0]|x^2-tx|dxとするとき、f(t)の最小値と最小値を与えるtの値を求めよ。
解答では、t<=0、0<t<1、t>=1の場合分けがされてるんですが、何故その場合分けになるかわかりません。教えてほしいです。
390:大学への名無しさん
10/01/26 20:36:43 tt/xfEnm0
>>389
絶対値の中はx(x-t)。
x(x-t)の符号を考えるにはxの符号とx-tの符号を考えることになる。
xが0から1の範囲でxの符号を考えると0または正。
xが0から1の範囲でx-tの符号を考えると、その場合分けが必要になる。
391:大学への名無しさん
10/01/26 21:23:17 WxUwQHBl0
>>386
なかったです
>>387-388
わかりやすい解説ありがとうございます！
s．tはｓｔ＝－１／４を満たす任意の実数ですね。
392:大学への名無しさん
10/01/26 21:28:45 WxUwQHBl0
√の絶対値いつも忘れる・・・
いつも √（ab）^2＝ab にしてしまう
気をつけます
393:大学への名無しさん
10/01/26 21:42:26 TABPzb1i0
>>
394:大学への名無しさん
10/01/27 09:59:02 XydSkk6H0
>>391
え、本当に無い？
俺のには書いてあるんだけど・・
改訂か
395:大学への名無しさん
10/01/27 10:03:34 rlLvexkx0
aについて全然言及しないってのはおかしいよなあ。
396:大学への名無しさん
10/01/29 15:17:22 779eal2l0
ｙ＝－ｘ^2＋２ａｘ （０≦ｘ≦２）のとき、ａの範囲によって場合わけをして、
値域をもとめよ。
答え
ａ＜０のとき ４ａ－４≦ｙ≦０
０≦ａ＜１のとき ４ａ－４≦ｙ≦ａ^2
１≦ａ≦２のとき ０≦ｙ≦ａ^2
ａ＞２のとき ０≦ｙ≦４ａ－４
合ってますか？
397:大学への名無しさん
10/01/30 14:11:00 GkE3bjgR0
2曲線がx=t接するとき
f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)
っていう関係があると思うですけど
y=|x|ってx=0で微分不可能なので
y=|x|とy=-x^2はx=0で接しているとはいえないのですか?
398:大学への名無しさん
10/01/30 17:00:30 gZLE6clw0
>>311
これって難問の類ですか？
399:大学への名無しさん
10/01/30 18:32:34 XPeeUDUTO
f(x)=-1/4x^2+ax-a とおく。
二次関数y=f(x)の最大値Mは、aを用いて(1)。
このMが最小になるのはa=(2)のときで最小値はM=(3)である。
f(x)＞1が成り立つような実数xが存在するのは、a＜(4)および、a＞(5)のときである。
(1)はy=a(x-p)^2+qの基本形に直してa^2-aでよろしいでしょうか？
a^2-aであってるなら(2)はa^2-aを基本形に直して1/4でよろしいでしょうか？
この問題の(1)～(5)の解き方お願いします。
400:大学への名無しさん
10/01/30 21:17:08 QjM2MIHx0
(1)yes
(2)それたぶん計算みすってるからチェック
(3)上が分かればおのずと
(4),(5)逆に「どんなxに対してもf(x)≦1が成り立つようなaの範囲」とすれば...
401:大学への名無しさん
10/01/30 22:11:08 0GgPveX40
>>397
言えない
>>398
簡単
402:大学への名無しさん
10/01/30 23:30:06 XPeeUDUTO
>>400
レスありがとうございます。
(2)、(3)はa^2-aを基本形(a-1/2)^2-1/4に直して
(2)=1/2、(3)=-1/4になりました。
(4)、(5)は説明を頂きましたがわかりませんでした。すみません。
足りない頭で考えたのですが
判別式からa^2-a-1を出して、それを解いて1/2×1±√5
aの範囲はa＜1/2×1-√5 , 1/2×1±√5＜a
と考えたのですが間違いなら解説お願いしたいです。
403:大学への名無しさん
10/01/31 00:46:50 Pgclb81v0
1/(z(z+2) について特異点 z=0 を中心とするローラン展開をせよという問題なんですが、
特異点が z=0 なので 1/(z(z+2) = (1/z)(1/(z+2)) と考え、分母が z+2 の方の項を
どうにか変形して展開しようとしているのですが、どうにもうまく行きません。
なにかうまい方法があるのでしょうか？
お願いします。
404:大学への名無しさん
10/01/31 01:06:41 Nxlf+/RS0
2/(z+2)=1/(1+z/2)=1-z/2+(z/2)^2-...
405:大学への名無しさん
10/01/31 09:48:08 zsVeY8sqi
スレチ
406:大学への名無しさん
10/01/31 12:57:57 VnSqNWNT0
1/[x^2(x-1)] の部分分数分解で
1/[x^2(x-1)] = (ax+b)/x^2 + c/(x-1) = a/x + b/x^2 + c/(x-1)
としますが、
1/[x^2(x-1)] = a/x^2 + b/(x-1)
とするのは、どうして誤りなのでしょうか。
407:大学への名無しさん
10/01/31 13:12:45 J0k+btN40
>>402
たぶん書き間違ってるだけだろうからそれであってる
(1±√5)/2
>>406
ふつう、A/B=C+D/Bとなるとき、CはAをBで割った時の商、Dは余りになる
今、Bは二次式だから、余りは一次式
もちろん一次の係数が０になることもあるが、必ず０になるとは限らないから下のようにしてはだめ
俺は、
1/(x^2(x-1))=1/x(x-1)-1/x^2=(1/(x-1)-1/x)-1/x^2
とするのがいいと思う
中央で分子には絶対に定数しかこないから
好みか？
408:402
10/01/31 13:53:51 v4LpYgJhO
>>407
あ、括弧で閉じればわかりやすいですね。
携帯からの拙い文章なのにありがとうございました。
409:大学への名無しさん
10/01/31 14:55:25 tZdjPNv9O
これの(2)誰か教えてください
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)
410:大学への名無しさん
10/01/31 14:59:30 WMuW9CnN0
k√(n-k+1)じゃないの?
411:大学への名無しさん
10/01/31 18:07:21 VnSqNWNT0
>>407
㌧です
412:大学への名無しさん
10/01/31 18:33:40 onZnEXJLO
logXの積分(底=e)は記述で部分積分飛ばして結果(XlogX-X)を書いても大丈夫でしょうか？
413:大学への名無しさん
10/01/31 18:45:40 es3CtRdaO
良いと思う
心配なら、結果を微分したらlogxに戻ることを書いておけば問題ない
414:大学への名無しさん
10/01/31 18:51:46 onZnEXJLO
>>413
ありがとうございました！
415:大学への名無しさん
10/01/31 18:58:37 dorJOHx90
放物線y^2=4x上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし、線分PQの中点をMとする。
直線RMはx軸に平行であることを示せ。
Rの座標を出す必要があると思うのですがわかりません
よろしくお願いします
416:大学への名無しさん
10/01/31 19:09:57 es3CtRdaO
普通にやるなら、xとyが逆になってるだけだと思って接線を求めれば解ける
417:大学への名無しさん
10/01/31 19:15:22 dorJOHx90
数Cにのっていた問題です。
答案に書くべき答えをすべて書いていただけませんか？
お願いします
418:大学への名無しさん
10/01/31 19:20:58 Nxlf+/RS0
お断りします
419:大学への名無しさん
10/01/31 23:10:04 /JRb3zWzO
お願いします
r>0、r∈Ｒとする。xyz空間において次の式を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ
x~2＋y~2≦r~2
y~2＋z~2≧r~2
z~2＋x~2≦r~2
420:大学への名無しさん
10/01/31 23:14:12 WMuW9CnN0
05年の東大の過去問みてみるといい
421:大学への名無しさん
10/02/01 02:35:47 zsJvhIhh0
>>415
「放物線y=x^2=上の異なる2点P(x1,y1),Q(x2,y2)における接線の交点をRとし、
Rのｘ座標をx1、x２であらわせ」
この問題が解ければ解けると思うよ
422:大学への名無しさん
10/02/01 09:55:53 cuT2qQgd0
>>421
この質問すぐあとにVIPにスレ立てられてたよ
423:大学への名無しさん
10/02/01 10:36:34 TOA1jbl9O
ハチの巣穴は六角形で出来ています
同じ多角形を持って平面を埋め尽くすとき、多角形の面積が同じなら、辺の和がもっとも小さく済むのは正六角形です（少ない材料で巣穴を作れる）
証明せよ
424:大学への名無しさん
10/02/01 11:07:33 Fuezv6/oi
埋め尽くすの意味がイマイチハッキリしないが3,4,6角形の三択だよね
あとはシラミつぶしで良いよ
425:大学への名無しさん
10/02/01 14:13:03 VJ/dlXwh0
X軸上を運動する質量ｍの質点Pがある。時刻ｔにおけるPのｘ座標をｘとするとき、次の
微分方程式が成り立つという。ただし、ｋは正の定数とする。
m(d^2x/dt^2)=-kx
t=0のとき、x=0,dx/dt=vo(定数）として、xをtの式であらわせ。
よろしくお願いします。
426:大学への名無しさん
10/02/01 14:42:08 UvVVcBpdO
>>423
一個だけなら辺の長さの合計を同じにした場合は、隙間なく組み合わせることができる多角形のなかで正六角形が１番大きいがくっついて隣接する辺を考えるとわかめ・・・
427:大学への名無しさん
10/02/01 15:27:55 b/+wcQXV0
>>424 問題の指定が正多角形ではないので、
たとえば平行四辺形を繋げた
＿＿＿
／ ／
＼ ＼
／ ／
＼ ＼ こんな形でも平面は埋め尽くせるよ。
￣￣￣
428:大学への名無しさん
10/02/01 16:56:56 MjP4jcyA0
初歩的かもしれませんがお願いしますm__m
x>0のとき x+1>1だから
(x+1)^(1/(x+2))>1
となるのはどうしてですか？
429:428
10/02/01 17:06:24 MjP4jcyA0
1=(x+1)^0
x+1の指数が0より大きいから
(x+1)^(1/(x+2))>1
ってことですかね？連投すいません
430:大学への名無しさん
10/02/01 17:08:08 ipcWmUHY0
そういうことです
431:大学への名無しさん
10/02/01 17:12:30 MjP4jcyA0
どうも！
432:大学への名無しさん
10/02/01 17:15:22 fzKxwu5jP
どういたしまして！！
433:大学への名無しさん
10/02/01 17:16:06 exAuLtLd0
いいってことよ
434:大学への名無しさん
10/02/02 21:16:31 bFZ/fwnU0
教科書レベルで申し訳ないのですが、数Ⅲの置換積分で、
∫√(a^2-x^2)dx を x=a*sinθ
と置換する問題です。
ふと、学校の先生が「不定積分だと難しい」と言っていたのを
思い出したんですが、積分区間が出てこないだけで、
dx=a*cosθdθ
と積分変数を変えて、普通に出来るように思えます。
なにか、勘違いしているんでしょうか？
435:大学への名無しさん
10/02/02 21:21:40 bFZ/fwnU0
スミマセン、自己レスです。
もしかして、θの式で不定積分が出てきた後、
θに代入するxの式が作れないということ？？？
そんな気がしてきました。
ご意見いただけたら助かります。
436:大学への名無しさん
10/02/02 21:21:51 WuP2yGhUP
最後にxに戻すのにが三角関数の逆関数がいるって事じゃないですか？
437:大学への名無しさん
10/02/02 21:39:47 5K+avAhT0
微分方程式を解けという問題です。
(1)y''+ｘ＾２+２ｘ=0
(2)y''+ｙ=0
この二つなんですがさっぱりわからないです。
よろしくお願いします。
438:434
10/02/02 21:46:21 bFZ/fwnU0
>>436
サンキューです。
やっぱ、アークサイン(?)とかいうのが出てくるってことですね。
納得しました。
439:大学への名無しさん
10/02/02 22:01:42 +5wVcSe60
円をかたどる曲線を直線にすると、外側の延ばされた線の長さは
短くなるか、長くなるか？
440:大学への名無しさん
10/02/02 23:12:46 82IgsYH40
任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率は
なんですか。
答えなしでノーヒントなので考えにくいです。
441:大学への名無しさん
10/02/02 23:51:39 WuP2yGhUP
>>440
[0,1)の一様分布から3つ取ったとすれば1/3じゃないでしょうか
442:大学への名無しさん
10/02/03 00:39:31 I66gxamU0
同じ結果でました。ありがとうございます
443:大学への名無しさん
10/02/03 01:10:10 q8qITR/O0
細かい成分は省くきますが
二次正方行列A,BについてA^2=Oが成り立つとき
逆行列を持つ二次正方行列Pが存在して
B=P^(-1)APとなることを示せ
みたいな問題で
Pに具体的に適当な成分を入れて
｢P=～とすると逆行列を持ちこのとき確かに与等式を満たすので題意は示された。｣
と書いたところ
｢十分性のみで必要性が示されていない。｣
と減点されたのですが
Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか？
一応、解答は等式を同値変形してPの必要十分条件を求めておりそれは理解できます
444:大学への名無しさん
10/02/03 02:07:44 aUUeyaMxP
君の解答や問題や模範解答がはしょられてるからいまいちわからんが
>Pには逆行列を持つ二次正方行列という条件しか無いので
逆行列を持つように適当な成分でおいてそのようなPが存在することは自明じゃないのでしょうか
必要性というのはそういう意味じゃなく、
君が具体的に示した行列以外に条件を満たす行列が無いということを示せってことじゃないの
問題文をどれだけはしょってるのかわからんが、
その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
まぁ数学は普通必要十分条件だしな
445:大学への名無しさん
10/02/03 02:14:22 zBZSazMK0
問題で省いたのは
A=a1
bc
a,b,cは実数
B=01
00
だけです
読みにくくてすみません
>その問題文だけだと、Ｐが存在するということさえ示せばいいって意味にもとれるけど
そう思いました
446:大学への名無しさん
10/02/03 02:20:54 T5KZE0nX0
それ超絶重要な情報だぜ
じゃないとAが任意なのかBが任意なのか分からないからな
447:大学への名無しさん
10/02/03 03:22:49 T5KZE0nX0
論理学的に
「A^2=Oを満たす」⇔「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
を証明すればいいんだけど
→の証明：A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
←の証明：B=P^(-1)APからA=PBP^(-1)。A^2=PB^2P^(-1)=O(∵B^2=O)よってA^2=O
→の証明で使えることは「A^2=O」だけ、逆に←で使えるのは「B=P^(-1)APとなるPが存在する」ということだけ
443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
448:大学への名無しさん
10/02/03 05:34:33 lAvUJiFSP
443の問題文なら→だけでいいんでは？
成分を具体的に与えてるんだから存在してるのは当たり前
むしろ突っ込むとすれば正則性をちゃんと言っているかだろう
449:大学への名無しさん
10/02/03 10:08:20 HTRmeBUZP
存在証明なんだから具体例挙げればいいだけだろ
450:大学への名無しさん
10/02/03 12:48:46 aUUeyaMxP
>>447
素直に読むと
「A^2=Oを満たす」→「B=P^(-1)APとなる、ある正則行列Pが存在する」
と読める
>443は←しか答えになってないね。Pがはじめから存在するって決め付けちゃだめ
そうか？むしろ443のは
A^2=Oからb=-a^2、c=-a。このときP=(1 1; -a 1-a)というPが存在してB=P^(-1)APとなるからOK
こっちだと思うけど
まぁ採点基準が必要性の証明を求めてるなら、必要十分で解くべきだったって話だが
451:大学への名無しさん
10/02/03 15:49:17 BOI07B9o0
x>0 y>0 x+y=1 xyの最大値1/4（これは問題の途中で求めた）の時に
(1/x)+(4/y) の最小値を求めろという問題なのですが
相加相乗平均の式を使って
(1/x)+(4/y) ≧ 2√(4/xy)
という様にして、xyの最大値が 1/4 なので、
それを代入して右辺の値が８だから、最小値８とならないのは何故でしょうか。
452:大学への名無しさん
10/02/03 15:55:01 FibZhSiN0
(1/x)+(4/y) ≧2√(4/xy)
の等号成立条件と
1/xy≧4
の等号成立条件が一致してないんでは。
453:大学への名無しさん
10/02/03 18:11:17 aP2rAxs+Q
「ｘｙ平面上で３点すべてが有理点である正三角形は存在しないことを証明せよ（√３が無理数だということは証明せずに用いてもよい）」
という問題で、２点を（０，０）、（ａ，０）と置くと、残りの１点は（ａ／２，±√３ａ／２）になるって方針で解答してもおｋですか？
解答例には、１次変換を用いたものと、座標を（Ｘ１，Ｙ１）（Ｘ２，Ｙ２）（Ｘ３，Ｙ３）として背理法で解くものの２つしかありませんでした
454:大学への名無しさん
10/02/03 19:03:54 p9fOvZfl0
>>453
どうして、x軸に平行な辺を持たない場合についてはどのような方針で？
455:大学への名無しさん
10/02/03 19:22:31 5sydjApO0
すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
456:大学への名無しさん
10/02/03 19:26:59 FibZhSiN0
>>455
1次式で割ったときの余りなので
剰余の定理を使いたいと考えると・・・
457:大学への名無しさん
10/02/03 19:28:00 8pJBPgv90
>>455
>多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１である。
商をQ(x)としてP(x) が何に等しくなるか書いてみよ。
>P（ｘ）を…（ｘ＋２）で割ったときの余り
剰余の定理は習ってるね? 上の結果にそれを適用。
458:大学への名無しさん
10/02/03 20:18:59 aP2rAxs+Q
>>454
２点がｘ軸に重なるように、ｘ・ｙ軸を設定したんですがマズいですかね？
459:大学への名無しさん
10/02/03 20:59:38 lXe53pzw0
455 ：大学への名無しさん：2010/02/03(水) 19:22:31 ID:5sydjApO0
＞＞すいません。多項式P（ｘ）を（ｘ－１）×（ｘ＋２）で割ると余りが３ｘ－１
である。P（ｘ）を（ｘ－１）および（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
という問題の解き方を教えて下さい。答えは、２、－７です。
４５５ですが、P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ＋１）
となり、題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
よろしいのでしょうか？
460:大学への名無しさん
10/02/03 21:16:12 8pJBPgv90
>>459
> P(x)＝（ｘ－１）×（ｘ＋２）×Q＋（３ｘ-１）
Qと書くと単なる定数のように見えてよろしくない。商もまたxの式なのだから
Q(x)と書くべき。だが、考え方はそれでおけ。元の問題や答えからすると
最後の()の中身は上に直したように3ｘ-1だね。
>題意よりｘ＝１、－２となり、それぞれ代入するということで
これも前半が数学の答案の表現として意味を成してないけど、やることはそれでいい。
剰余の定理よりP(x)をx-1で割った時のあまりはP(1)として求めることができ、
上の形で書いたP(x)にx=1を代入すると
P(1)=(1-1)(1+2)Q(1) + 3*1-1 = 0 + 3*1-1 =2
Q(1)がどんな数であろうと、1-1=0が掛かってる部分で、前半部分が0になっちゃうのがミソ。
461:大学への名無しさん
10/02/03 21:17:56 u4vY21d90
>>458
どうしてそう設定出来るんだ？
そうじゃない正三角形だってあるだろう？
462:大学への名無しさん
10/02/03 23:25:40 BzF+BuER0
nは自然数である
2^n＋1が15では割り切れないこと数学的帰納法で証明せよ
がわかりません
463:大学への名無しさん
10/02/03 23:33:40 FibZhSiN0
a[n+4]≡a[n](mod15)を示して
a[1],a[2],a[3],a[4]が15で割り切れなければ
以下帰納的にa[n]は15で割り切れない
ってのが自然なような。
464:大学への名無しさん
10/02/03 23:43:57 YQHDPspD0
y=-x について対称移動する変換についての証明の仕方について質問です
この変換 で （ｘ、ｙ）→ （ｘ’、ｙ’）として、 ｘ＝cosθ ｙ＝sinθ
とすると ｘ’＝cos（-θ-90度）=-sinθ=-ｙ ｙ’=（-θ-90度）=-cosθ=-ｘ
と考えたのですが、これでいいのでしょうか 他に方法があったら教えてください。
465:大学への名無しさん
10/02/04 00:14:42 Emp8tpGX0
x^log{10}(x^2)=(10x)^1/3
xを求めよ。
がまったくわかりません。
めんどくさいと思いますが教えてください。
466:大学への名無しさん
10/02/04 00:28:49 iPmTFkkPP
x>0とする
両辺の常用対数を取って整理するとlog{10}(x)が幾つかあるから
log{10}(x)=tとでも置いて整理してみたらどうか
tの2次方程式ができるだろう
467:大学への名無しさん
10/02/04 02:22:55 sh4ZAWai0
>>463
mod3として
nが奇数のとき 2^n+1≡-1+1≡0 偶数のとき 2^n+1≡2
mod5として
2^nは2,4,3,1を繰り返す。2^n+1≡0となるこのnは偶数
よって2^n+1を3でも5でも割切るnは存在しない。
468:大学への名無しさん
10/02/04 02:32:06 sh4ZAWai0
>>464
何を証明するのだろうか。以下原点を通る直線による対称移動の表示行列の得方
その1
r(cosα, sinα)を変換するとr(cosβ,sinβ)になるとする
(α+β)/2=γ(γはy=-xがx軸となす角度で3π/4。ここでは一般化する。)
r(cosβ,sinβ)=r(cos(2γ-α), sin(2γ-β))
加法定理で展開してr(cosα sinβ)をくり出せば目的の表示行列を得る
その2
また、傾きmの場合、座標平面上の任意の点はs,tをパラメータとして
OX↑=s(1,m)+t(m,-1)と表せる。y=mxについて対称移動すると
OX'↑=s(1,m)-t(m,-1)に移る。s,tを消去すれば目的の行列を得る。
469:大学への名無しさん
10/02/04 09:09:10 Emp8tpGX0
>>466 ありがとうございます。解決しました。
470:大学への名無しさん
10/02/04 15:10:49 WuT2Ygny0
>>468
ありがとうございました。
471:大学への名無しさん
10/02/04 23:30:22 g6+EK+gm0
高１ですが
L1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
L2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある
(1)L2 上の点A(-1,1,-2)からL1へおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ
(2)L1 L2 上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分ＰＱの長さの最小値を求めよ
これを解説してくれませんか
472:大学への名無しさん
10/02/04 23:32:56 g6+EK+gm0
あげ
473:大学への名無しさん
10/02/05 03:26:59 Nicj2DR70
URLﾘﾝｸ(gyazo.com)
この問題なのですが、
3を右辺に移行した後対数を取って整理すると
(3x+1)-2x+x=1となり、
x=0しか答えが出ません
答えを見ると-1、0、1なのですが、どこが間違っていますか？
474:大学への名無しさん
10/02/05 06:53:31 qYH8q9Vl0
>>473
エスパーのものだが、対数をとるときの計算が間違ってる
log(a+b)≠log(a)+log(b)
475:大学への名無しさん
10/02/05 22:44:30 IGwU/veS0
1≦x≦22,1≦y≦log_{2}(x)を満たす整数(x,y)はいくつ存在するか。
手のつけようがないので解説お願いします。
476:大学への名無しさん
10/02/06 00:39:14 7G3mmOqlQ
パっと見で答えるから他にいいやり方あるかもしれんが、logが整数になるようなＸで区切ればいいんじゃね
Ｘ＝１のとき不適
Ｘ＝２、３のときＹ＝１
Ｘ＝４～７のときＹ＝１、２
Ｘ＝８～１５のときＹ＝１～３
Ｘ＝１６～２２のときＹ＝１～４
あとはこの組み合わせを数えたら出る
477:大学への名無しさん
10/02/06 06:04:50 D1cTsilc0
>>475
集合 {(x,y)|x, y∈Z, 1≦x≦22, 2^y≦x, 1≦y}の元の数
yを固定するとxは2^y, 2^y+1, ..., 22 (2^y≦22) の23-2^y通り
yは1から4までの整数をとる。答えはΣ(23-2^y)でyを1から4まで動かす。
92-30=62が答え。
たいていはxかyを固定して数え上げ、それを足し合わせる。
478:大学への名無しさん
10/02/06 06:08:31 D1cTsilc0
>>471
(1)Hはまずsで成分表示。そしてAH↑はL_1の方向ベクトル(1,1,-1)に垂直。
これでsは決定する。
(2)PQ↑がそれぞれの直線の方向ベクトルに垂直になるときPQは最小となる。
s,tでそのまま計算し、垂直条件から内積が0になるようにs,tを見つければいい。
479:146
10/02/06 11:17:08 Ud3g3CTy0
赤ﾁｬｰﾄ Ⅰ＋Aの p.127 練習148について
この理解の仕方があっているかどうかについて質問させていただきます。
■問題■
すべての実数x, yに対して、
x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b > 0
が常に成り立つために定数a, bの満たすべき条件を求めよ
■解答■
与式をxについて整理すると
x^2+2(2y+5)x+4y^2+ay+b > 0 ― ①
①について
D/4 = (2y+5)^2-(4y^2+ay+b)
= (20-a)y+25-b
すべての実数x, yについて、①が常に成り立つための条件は
D < 0
すなわち
(20-a)y+25-b < 0 ― ④
がすべての実数yについて成り立つことである。 ― ②
よって
20-a = 0 かつ 25-b < 0 ― ③
したがって、
a = 20 、 b > 25
■質問■
②か③への移行について伺います。
②が即ち③となることについて、
「yが残ると最終的にyの不等式ができるため、すべての実数yについて成り立たない。
よってyの係数を =0 にし、yの項が消えたところで残りの25-bが < 0 となるようにする」
という考え方で問題なく合っているでしょうか。
ご教授お願いいたします。
480:大学への名無しさん
10/02/06 13:13:36 KfVKleJ20
>>479
×最終的にyの不等式ができるため、
○最終的にｙの「1次」不等式ができるため
別にｙという文字に関しての不等式であっても、全ての実数ｙに関して
成り立つものは作れるわけで。y^2+1>0みたいに。
> (20-a)y+25-b < 0 ― ④
> がすべての実数yについて成り立つことである。
1次関数z=(20-a)y+(25-b) がどんな実数yについても、
y軸に触れたりその上に行ったりしないんだったら、
傾き0でz切片が負、って場合しかないわなぁ。そういうこと。
(傾き0の定数関数は、中高では慣習的に「1次関数」の内に入れているはず)
481:大学への名無しさん
10/02/06 13:16:54 V8Fh/1Ea0
>>479
そう考えてもいいし、左辺をyの1次関数だと考えてもいいよ。
それがいつでも正なのはグラフの傾きが0のときだけ。
ちなみに元々の問題も、左辺をまずxの2次関数とみて平方完成。
で、残った部分をyの2次関数とみて平方完成、でもできるよ。
482:146
10/02/06 14:05:37 Ud3g3CTy0
>>480
>>481
ありがとうございます。理解することができました。
>>481
与式をx, yそれぞれについて平方完成しようと試みましたが、
yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
これはこの問題を例にとるのが悪かったでしょうか。
あと、独学者がその特有の危うさの回避の為に出来ることが、
こちらでの質問以外に何かございますでしょうか。
483:大学への名無しさん
10/02/06 16:39:06 3/aDMqIL0
>>474
log(ab)=log(a)+log(b)ですよね？それで計算したのですが・・
484:大学への名無しさん
10/02/06 16:43:11 pgg959CX0
放物線 y=5/8x^2 と点Ａ（０,２）を中心とする縁が異なる２点で接するとき
この円と放物線で囲まれる部分の面積を求めよ
だたし、円と放物線が共有点Ｐで接するとは、その点で同じ接線をもつということである
という問題なのですが。疑問点を一つずつ書いていきます
放物線上の点Ｐ（ｔ, 5/8t^2）における接線ｌの傾きは5/4tであり
ＡＰ⊥ｌ＝－１となっているのですが、どうしてー１になるのかよくわかりません。計算式が全然・・・
その後に、いきなり5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
など面積公式が出てきてさっぱりわかりません・・・どんなプロセスというか・・・そこにある本質？なぜ面積公式が出てきて、どことどこを引いているのかなど
解説に全く書かれてないのでちょっと行き詰ってます。
どなたか解説をしてくれないでしょうか？お願いします。
485:大学への名無しさん
10/02/06 16:44:01 0qYm6wxB0
数Ⅲの関数のグラフの第二次導関数についての質問です
y=f(x)において f''(x)がプラス、マイナスになるのを調べるのって
f''(x)=0になる解をみつけてから、どうやってしらべるのでしょうか
ヨロシクお願いします。
486:大学への名無しさん
10/02/06 16:59:28 D1cTsilc0
>>485
第2次導関数が0になるのを探したって、第1次導関数の正負は分からないだろう
せいぜいそこでy=df(x)/dxが極値になるかもしれないということだろう。
頭を使って正負を考えるしかない
487:大学への名無しさん
10/02/06 17:01:18 58gdxUv20
>>484
>ＡＰ⊥ｌ＝－１
中学の内容だった気がするけど
直線L1とL2が垂直をなしているとき、
(L1とL2の傾きの積)=-1が成立する。
>5/8x（βーα）^3/6+1/2（βーα）・4/5-1/3π（8/5）^2
β-αが頻出する形から見ると、(円の下側の方程式-x^2)を積分してるのかな?
表記の仕方が微妙なせいでよくわからない。
α、βが何なのかもかいてないし
5/8x（βーα）^3/6のxとか^3/6とか何表してるのかよくわからないし。
自分は台形からくりぬいて計算した結果
(48√3/25) -(64π/75)になった。
488:大学への名無しさん
10/02/06 17:05:00 0qYm6wxB0
>>486
やっぱそうなんですか。回答ありがとうございます。
489:大学への名無しさん
10/02/06 17:07:27 53XyI4GW0
>>485
どんな関数なのかによる。
調べるまでもないものもあれば、適当に代入して調べりゃいいものも。
490:大学への名無しさん
10/02/06 17:13:58 D1cTsilc0
>>484
5/4tは5/(4t)に見える。^3/6は^(1/2)に見える。表記がずさん。
直交する直線の傾きの積は-1
(t,5tt/8)を通り傾き4/5tの直線が(0,2)を通るとしてtを得る。
2接点をB,Cとして、直線BCと放物線の囲む面積を1/6公式で求め、
三角形ABCの面積と足し、扇形ABCの面積を引けば答えを得る。
491:大学への名無しさん
10/02/06 17:29:03 AFis/rcOP
>5/4tは5/(4t)に見える。
5/(4t) って書きたかったら 5/(4t) って書くだろうに
ま、わからんでもないが
>^3/6は^(1/2)に見える。
これはありえない
まず指数を計算して、次に除法を計算するってルールからして
（βーα）^3/6
は一通りにしか解釈できない、ただのいちゃもん
^(1/2)を表現したいのなら、^(1/2) としか表現できない
492:大学への名無しさん
10/02/06 19:53:02 B7KjO+xM0
円と直線の共有点を出すには、連立方程式にして出すしか方法はないのでしょうか？
493:大学への名無しさん
10/02/06 20:39:09 KfVKleJ20
>>492
値が特別のときなら図形的に見当が付くことだってあるし、
xとyの連立方程式ではない形で解ける場合だってある(ただしそれには
数II三角関数とか数C行列とかが要る)が、
どんな場合(値)でも使えて計算コストが平均して低いのは、連立方程式から
1文字消去して2次方程式に持ち込む方法じゃないかなぁ。
494:481
10/02/06 20:44:34 V8Fh/1Ea0
>>482
> yの２次の項が相殺され、yについての平方完成ができなくなりました。
ほんとだね、元の式をよく見てなかった、ごめん。
あの時点で的確な質問をしてる時点で、独学社特有の危うさをクリアして
いると思うけど……？