09/08/06 22:51:04 hcSnlcyh0
>>808
1/x+1/y=2/15
15(x+y)=2xy
4xy-30(x+y)=0
(2x-15)(2y-15)=15^2=3^2・5^2
もし2x-15, 2y-15<0であれば何れか一方は-15以下となるのでx, yの何れか一方は0以下の整数で不適
よって
2x-15, 2y-15
1, 225
3, 75
5, 45
9, 25
15, 15
（以下は入れ替え）
x, y
8, 120
9, 45
10, 30
12, 20
15, 15
（以下は入れ替え）
(2x-z)(2y-z)=z^2
zの素因数（奇素数）の1つをpとするとき
2x-zと2y-zが共通の奇素因数pを持てば
x, yもpを素因数として持つので条件に反する
よって2x-z, 2y-zには共通の奇素因数はない
これにより互いに素であるu, vによって
z=uv, 2x-z=u^2, 2y-z=v^2と表せる
4xyz=(z+u^2)(z+v^2)z=u(u+v)v(u+v)uv=(uv(u+v))^2
よってxyzは平方数
819:大学への名無しさん
09/08/06 22:52:50 mmP8MCFO0
>>814
１つめは分かりました
２つめはまあそりゃあならなきゃいけないんでしょうけど、どうしてなるのか教えて欲しいんですよ・・・
820:大学への名無しさん
09/08/06 22:56:32 hcSnlcyh0
>>816
>a[n]-na[n-1]=-(a[n-1]-(n-1)a[n-2])=(-1)^n(a[2]-2a[1])=(-1)^n
a[n]-na[n-1]=-(a[n-1]-(n-1)a[n-2])=(-1)^(n-2)(a[2]-2a[1])=(-1)^n
821:大学への名無しさん
09/08/06 22:56:37 +8UZnNPb0
k-2でくくれボケ
822:大学への名無しさん
09/08/06 22:57:13 ZufKEqyKO
>>819
小学校で習った分配法則の逆
823:大学への名無しさん
09/08/06 22:58:54 mmP8MCFO0
あー、(k-2)a-2(k-2)=0 をまず(k-2)a-2×1=0 にしてるんですかね？
824:大学への名無しさん
09/08/06 23:13:30 2/9j0MJI0
k-2を例えばｘと置いてみてもわからない？
825:大学への名無しさん
09/08/06 23:16:06 mmP8MCFO0
ax-2xをx(a-2）としてるわけですか、なるほど！こりゃわかりやすい。
ありがとうございます
826:大学への名無しさん
09/08/06 23:21:37 2/9j0MJI0
正解！
k-2をひとかたまりと見ているんだ。
慣れればなんてことないよ。勉強がんばってね。
827:大学への名無しさん
09/08/07 01:24:40 AjbzYwq/0
>818
ありがとうございます！！！本当にすごいですね
どうやったら整数問題に強くなれますか？？
どうも整数問題が安定しなくて困ってます…
828:大学への名無しさん
09/08/07 01:43:57 AjbzYwq/0
0≦t≦2πを満たすすべての実数tに対して、点P（t-sint,1-cost)は楕円
(x-π)^2/π^2+y^2/4≦1
に含まれることを示せ。
サイクロイドが楕円の中に含まれることを示すものなんですが
どうかお願いします…
829:大学への名無しさん
09/08/07 02:20:53 uj3vOXYw0
>>815
>>816
ありがとうございました！理解できました。
830:大学への名無しさん
09/08/07 03:26:47 oOJ4/14B0
>>828
そうやって、課題を全て2ちゃんで終わらせるつもりなのか？
自分で考えない奴は100年たっても成績は上がらない
831:大学への名無しさん
09/08/07 07:38:39 RvwEuDKH0
>>828
サイクロイドと楕円はx=πに関して左右対称なので0≦x≦πの範囲で考える
0≦t-sint≦π ⇔ 0≦t≦π （サイクロイドの定義またはt-sintのグラフの単調増加性より）
示すべき事柄は0≦t≦πにおいてf(t)=(t-sint-π)^2+(π/2)^2(1-cost)^2≦π^2であること
f'(t)=2(t-sint-π)(1-cost)+2(π/2)^2(1-cost)sint=2(1-cost)(t-sint-π+(π/2)^2sint)
g(t)=t-sint-π+(π/2)^2sintと置くと
g'(t)=1-cost+(π/2)^2cost=0となるのは
cost=-1/((π/2)^2-1)となる0≦t≦πの値でそのような値はただ１つ存在する
これをaとすると
0≦t≦aでg(t)は単調増加
a≦t≦πでg(t)は単調減少
g(0)=-π, g(π)=0よりg(a)>0であり
0<t<πの範囲でg(t)=0となるのは0<t<aの範囲にただ1つ存在する
これをbとすると
0≦t≦πの範囲でf'(t)=0となるのはt=0, b, πのみであり
0<t<bでg(t)<0すなわちf'(t)<0
b<t<πでg(t)>0すなわちf'(t)>0であるから
0≦t≦πの範囲でのf(t)の増減表よりこの範囲でのf(t)の最大値はf(0)=f(π)=π^2
よって
0≦t≦πにおいてf(t)=(t-sint-π)^2+(π/2)^2(1-cost)^2≦π^2であること
すなわちサイクロイドが楕円の内部に含まれることが示せた
832:大学への名無しさん
09/08/07 13:48:21 SE/whrWxI
>>817
ありがとうございました！！
833:大学への名無しさん
09/08/07 14:05:00 OtO2P2Hn0
>>804 Z = π/2 - i*log((1000±√(999999)) +(2πn)
834:大学への名無しさん
09/08/07 20:51:48 10MFOB6UO
>>806-807
>>805です
ご説明いただき、ありがとうございました。
御礼が遅くなってしまい、すみませんでした。
835:大学への名無しさん
09/08/07 22:39:50 TKahrHPZ0
直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点に移る
ならばAは逆行列をもつことを示せ
A=([a,b][c.d]) a.b.c.dは実数.
北大の問題です。この問題で2点質問させてください
まず、この問題の対偶を取るとどういいかえられますか?
「Aは逆行列をもたないならば、
直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点に移らない」
⇔「Aは逆行列をもたないならば、
直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上の
異なる2点に移る」
という感じでOKですか?
あと、解答が次のようになってます
P(1.s),Q(1.t) t≠sとすると、P.QのAによる像はP'(a+sb,c+sd),Q'(a+tb,c+td)
したがってOP'↑とOQ'↑は平行ではない⇔(t-s)(ad-bc)≠0
この解答で
直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
異なる2点P'.Q'に移る
⇔「OP'↑とOQ'↑は平行ではない」
に気がつくにはどういう考え方をしていけばいいのでしょうか?
言われればその通りだなと思うのですが、如何せん思いつきません・・・
836:大学への名無しさん
09/08/07 22:45:30 qpy0px440
>>835 前半
>「Aは逆行列をもたないならば、
>直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通らない直線上の
>異なる2点に移らない」
これはOKだけど、たとえばA=[(0,0),(0,0)]ならば全て原点という
「1点」に移るので、この命題は
>……
>直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上の
>異なる2点に移る」
と同値ではない。
837:大学への名無しさん
09/08/07 23:16:48 TKahrHPZ0
>>836
ありがとうございます。
ということは
「直線x=1上の異なる2点がAによる移動で原点を通る直線上に移る(一致しても良い)」
と同値ということでOKですか?
838:大学への名無しさん
09/08/07 23:32:09 qpy0px440
>>837
言っていることはそれでいい。
ただ、「2点が…原点を通る直線上に移る(一致しても良い)」
ってので表現として最善を尽くしているかがちょっと疑問かも
（「2点が直線上に移る」ってどういうことか、移る先は直線上"の2点または1点"では
ないのか)。
ちなみに、逆変換がない場合も含め、1次変換は「点を点に移す」ので、2点が2点以上に
移ることはないことは保証されてると思っていい。
「または」を使った上で厳密に状況を場合分けして、
「…Aによる移動で、原点を通る直線上の異なる2点、または1点に移る」
と表現したほうがベターだと思うけど、これは単に自分の好みの問題なのかもしれない。