09/07/03 07:28:36 TXsL853E0
>>826
△DMNは∠D=60°ですので△AMNの外接円に内接します
0≦t≦1/2でDがANからはみ出る部分はその外接円Sの1/3
よって△DEFが通過する領域が△ABCからはみ出る部分の面積はS-△AMN
求める面積はS-△AMN+△ABC=S+3△AMN=π/12+3√3/16
828:大学への名無しさん
09/07/03 16:21:45 27TRBoPo0
>>827
迅速かつ丁寧な回答誠に有難うございました.図形で
やるのが一番上手そうですね.ベクトルでやって（やれますか？）
上手くいかず、座標でやりました.
あと少しよろしいでしょうか.
お答えなさる方がお暇なときで結構ですので.
1 2以下の目が出る確率がp(０＜P＜１)のさいころを１つ投げて、
出た目の数によって、数直線上を動く点Pを考える.
ｐは0から出発して、２以下の目の時は正の向きに2,
それ以外のときは正の向きに1だけ進む.
点pが点nに止まらず、2nにとまる事情をXnとすると、Xnが起こる
確率を求めよ.
２ xy平面で、点(3/2,a)からy=x４乗ー(3/2)x２乗へ引いた接線
の本数をaの値で分類せよ.
３ f(x),g(x)は区間-1≦ｘ≦1で微分可能.またf(0)=0
を満たし、つねに、｜g(x)｜≦f(x)
を満たすとする.
(1)f(1)=１、f´(x)は定数関数ではないとするとき、
f(a)＜a または f（a）＞a
となるa（0＜a＜1）が存在することを示せ.
また、f´（b）＜１ または ｆ´（ｃ）＞１
となるb,c(0＜b,c＜1)が存在することを示せ.
(2)ｇ´(0)=0を示せ.
以上大変恐縮ですが、ご教授いただければ幸いです.
829:大学への名無しさん
09/07/03 22:47:36 d7KfNqvnO
6枚硬貨をなげて1枚だけ表になる確率を教えてください
830:大学への名無しさん
09/07/03 22:59:14 An/gSRR30
1枚のコインが表になる確率…1/2
同じく、裏になる確率…1/2
表になるコインの選び方が6C1=6（通り）
各コインの表裏の出方は他のコインの出方に影響しないので、
独立反復試行の確率の公式より求める確率は
6C1(1/2)(1/2)^5
（表・裏・裏・裏・裏・裏）になる確率は(1/2)(1/2)^5だが、実際には
（裏・表・裏・裏・裏・裏）、（裏・裏・表・裏・裏・裏）、…（略）の場合も考えなきゃいかんから、
6C1（6個のコインから、1枚表になるものを選ぶ選び方の総数）倍してやんなきゃいけないのね。
831:大学への名無しさん
09/07/04 00:24:12 rKV/soEAO
1～7の数字が書かれたカードを3枚とる。とりだした3枚の数字の積が2の倍数であって3の倍数でない場合の確率を求めよ
分母が7C3になるとろこまでしかわかりません…よろしくお願いします
832:大学への名無しさん
09/07/04 00:27:04 +5JWHZD30
分子は、1,2,4,5,7から少なくとも１枚偶数を含む３枚を選ぶ。
（余事象は1,5,7の１通り）
833:大学への名無しさん
09/07/04 00:32:40 nDSJqmA/0
去年の東大オープン文系の問題のようです。
対角線の長さが１の長方形ABCDがある。対角線AC上に点EをAD=AEを満たすようにとる。
AC=1を満たしながら長方形ABCDの辺の長さが変化するとき、三角形ABEの面積の最大値を求めよ
解説つきでお願いします
834:829
09/07/04 00:33:01 8sQmjThXO
>>830
とてもよくわかりました！！
ありがとうございました
835:大学への名無しさん
09/07/04 00:43:48 rKV/soEAO
>>832
？？
すいません…もうちょっと丁寧にお願いします
836:大学への名無しさん
09/07/04 01:11:24 WUMqY3FU0
>>833
∠BAE=θ
AB=cosθ
AD=AE=sinθ
S=△ABE=(1/2)AB・AEsinθ=(1/2)sin^2θcosθ
S'=sinθcos^2θ-(1/2)sin^3θ=sinθ-(3/2)sin^3θ=(3/2)sinθ((2/3)-sin^2θ)
sinθ=√(2/3)で極大
cosθ=√(1/3)
S=(1/2)(2/3)√(1/3)=(√3)/9
837:大学への名無しさん
09/07/04 01:18:00 WUMqY3FU0
>>835
3か6が含まれると3の倍数になるので
使えるのは1, 2, 4, 5, 7
ここから3枚選ぶ組み合わせは5C3通り
偶数になるためには2または4が含まれるが
2, 4を含まないのは1, 5, 7の1通りなので
(5C3-1)/7C3=9/35
838:大学への名無しさん
09/07/04 01:38:26 WUMqY3FU0
>>828
nに止まる確率をY[n]とすると
Y[0]=1
Y[1]=(1-p)
Y[n]=(1-p)Y[n-1]+pY[n-2]
Y[n]-Y[n-1]=(-p)(Y[n-1]-Y[n-2])=(-p)^(n-1)(Y[1]-Y[0])=(-p)^n
Y[n]+pY[n-1]=Y[n-1]+pY[n-2]=Y[1]+pY[0]=1
Y[n]=(1+p(-p)^n)/(1+p)
X[n]=Y[n-1]pY[n-1]=p(1-(-p)^n)^2/(1+p)^2
839:大学への名無しさん
09/07/04 01:44:36 rKV/soEAO
>>837
ありがとうございます
よくわかりました！
840:大学への名無しさん
09/07/04 08:23:38 WUMqY3FU0
>>828
y=x^4-(3/2)x^2
y'=4x^2-3x=0
x=0, ±(√3)/2
y=(9-6√3)/16は2点で接する接線
これ以外の接線の接点を(p, p^4-(3/2)p^2)とすると
接線はy=(4p^3-3p)(x-p)+p^4-(3/2)p^2
(3/2, a)を通るとすると
a=(4p^3-3p)(3/2-p)+p^4-(3/2)p^2=-3p^4+6p^3+(3/2)p^2-(9/2)p
a'=-12p^3+18p^2+3p-(9/2)=-(3/2)(2p-1)(2p+1)(2x-3)=0
p=-1/2, 1/2, 3/2
a=27/16, -21/16, 27/16
a>27/16, 0本
a=27/16, 2本
27/16>a>(9-6√3)/16, 4本
a=(9-√3)/16, 3本（∵接点4つのうち2つが1本の接線となるため）
(9-√3)/16>a>-21/16, 4本
a=-21/16, 3本
-21/16>a, 2本
4次関数のグラフに2点で接する接線が1本しか存在しないのは
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(px+q)=a(x-s)^2(x-t)^2
と表せるとすると
x^3, x^2の係数を比較して
-2(s+t)=b/a
2st+(s+t)^2=c/a
より
s, tが8a^2u^2+4abu+(4ac-b^2)=0の異なる2実解として定まるため
841:大学への名無しさん
09/07/04 08:52:43 WUMqY3FU0
>>828
>f´(x)は定数関数ではないとする
とは-1≦x≦1における条件ですね？
-1≦x≦1においてf(x)=xとすると-1≦x≦1でf'(x)=1と定数関数なるため（∵x=-1, 1でも微分可能であるから両端を含む）
f(x)≠xとなる-1≦x≦1が存在する
もしも-1<x<1で常にf(x)=xであるとするとf(x)の微分可能性よりf(x)は連続であるからx=-1, 1でもf(x)=xとなり矛盾
平均値の定理より0<x<a, a<x<1においてf'(x)=(f(a)-f(0))/(a-0)=f(a)/a, f'(x)=(f(1)-f(a))/(1-a)=(1-f(a))/(1-a)となる点が存在するがこれらの一方は1より大きく一方は1より小さい
f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limf(x)/x=lim[x→+0]f(x)/x=lim[x→-0]f(x)/x
f(x)≧|g(x)|≧0より
x<0でf(x)/x<0, x>0でf(x)/x>0であるため
lim[x→+0]f(x)/x≧0, lim[x→-0]f(x)/x≦0
よってf'(0)=0
|g(0)|≦f(0)=0よりg(0)=0
g'(0)=lim(g(x)-g(0))/(x-0)=limg(x)/x
|g'(0)|=lim|g(x)/x|≦lim|f(x)/x|=|f'(0)|=0