06/10/14 22:16:00
>>807
参考までに、私の解法ですが、例としてa^2+ab+b^2=1の反例を構成してみます。
b=0とするとa^2=1となりともに整数となってしまい、反例にならないので、b≠0とします。
両辺をb^2で割ると
(a/b)^2+(a/b)+1=(1/b)^2
となり、ここでx=a/b，y=1/bとおくと
x^2+x+1=y^2 …(☆)
となります。この(x，y)の有理数解を考えてみます。
この1つの解は(x，y)=(-1，1)ですが、このときa=-1，b=1となりともに整数で、これも反例にはなりません。
この解を使って、
y-1=t(x+1) すなわち y=tx+(t+1) …(★)
という変数表示を考えます。これを(☆)に代入して整理すると
(t^2-1)x^2+(2t^2+2t-1)x+(t^2+2t)=0
というxの2次方程式が得られます。これを解くと
x={-(2t^2+2t-1)±(2t+1)}/2(t^2-1)
となりますが、＋の方をとるとこれはx=-1となってもとの解に一致します。
そこで－のほうをとると
x={-t(t+2)}/(t^2-1)
であり、(★)に代入するとyは
y=(-t^2-t-1)/(t^2-1)
となります。これよりもとのa，bをtを使って表すと
a={-t(t+2)}/(-t^2-t-1)={t(t+2)}/(t^2+t+1)
b=(1-t^2)/(t^2+t+1)
となります。
このtのところに有理数を入れると、もとの方程式の有理数解が得られます。
例えばt=1/2を代入してみると(a，b)=(5/7，3/7)であり、t=2を代入してみると(a，b)=(8/7，-3/7)となります。
これらは「a，bが有理数で、a^2+ab+b^2が整数のときa，bは整数」という主張の反例になっています。