12/04/19 12:06:26.41 KuU+kLV50
基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」などで変換せよ（環境によって異なる）．）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
3:大学への名無しさん
12/04/19 12:07:12.61 KuU+kLV50
主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
4:大学への名無しさん
12/04/19 12:33:53.50 Jzs4/tTt0
１乙
5:大学への名無しさん
12/04/19 22:12:20.17 aXo7cDHT0
数学板東大入試作問者スレにあった問題なんですが・・・
あるパーティが開催された。
パーティのどの参加者についても、参加者の中にいる知り合いが高々3人であるとする。
このとき、参加者を二つのグループに分けて、どの参加者についてもグループ内にいる知り合いが高々1人になるように
することが可能であることを示せ。
6:大学への名無しさん
12/04/19 23:03:19.43 l1ZO2y2Ii
確率の問題なのですが
3人の女子と10人の男子が円卓に座る
少なくとも2人の女子が連続して並ぶ確率は？
という問題で余事象でとくのはわかるのですが、その余事象の出し方が
男子を並べて間に女子を入れる で
10P3となっています
でも人を一列に並べる問題だと、PじゃなくてCをつかって余事象をだしています
これはどうしてなのでしょうか
分かりづらくて申し訳ありません
7:大学への名無しさん
12/04/19 23:18:30.42 5GVIeiBW0
女子の並び方の可能性としては、1人目女子は10か所、2人目女子は9か所、3人目女子は8か所。
10P3=10*9*8が出てくる。
女子の場所３か所を選んでから、並びかえを考える10C3*3!でも同じこと。
8:大学への名無しさん
12/04/19 23:19:37.06 KuU+kLV50
>>6
別に順列 P で考えてもできる
その解答は個人は区別せずに性別だけを区別しているのだろう
全事象の取り方を工夫することで数が小さくなって計算がラクになることがある
多分そういうことをやっているのだろう
9:大学への名無しさん
12/04/19 23:45:39.61 l1ZO2y2Ii
>>7-8
よくわかりました！Cじゃ場所を選んでるだけなんですね(いままでよく分かってなかった。。。)
ありがとうございました！
10:大学への名無しさん
12/04/21 19:35:32.49 lmyUlfoAi
a≦0とa<1て同じじゃない？
11:大学への名無しさん
12/04/21 20:30:17.62 Y18I2dF10
>>5
４人がお互いに知り合いである時２人ずつに分ける
12:大学への名無しさん
12/04/22 21:39:00.18 bCA1+wjmi
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この図で、角ACB=角TBAらしいのですがどうしてですか
初歩的な質問ですみません・・・
13:大学への名無しさん
12/04/22 21:50:31.18 IuIE/Z4C0
>>12
接弦定理
14:大学への名無しさん
12/04/22 21:55:27.62 IuIE/Z4C0
>>12
とりあえずテンプレ >>1-3 を読みたまえ
マルチポストは嫌われるので注意
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:137番)
15:お助け～＾＾；
12/04/22 23:19:58.15 UTKBaS6c0
A(５，２)、B(－２，３)、C(４,－５)を頂点とする三角形の３辺の長さを求めよ
↑の計算式どなたか教えておくれ～orz
16:大学への名無しさん
12/04/22 23:21:46.44 wVnZDsdy0
2点間の距離の公式を使えばできる
17:お助け～＾＾；
12/04/22 23:22:40.00 UTKBaS6c0
式がわかりません；；
18:大学への名無しさん
12/04/22 23:33:59.96 wVnZDsdy0
AB=√[(-2-5)^2+(3-2)^2]=5√2
BC=√[{4-(-2)}^2+(-5-3)^2]=10
CA=√[(5-4)^2+{2-(-5)}^2]=5√2
詳しくは教科書読んでくだされ
19:大学への名無しさん
12/04/23 12:56:31.49 cVKnsFXY0
数字1を書いたカードが2枚、2を書いたカードが2枚、3を書いたカードが
3枚ある。これら7枚のカードから無作為に3枚取り出すとき、取り出した3枚の
カードに書かれた数字の和が5になる確率は[ウ]である
数え上げると 113 122 131 212 221 311 で6通りになったんですが
答え見ると計算する方でやってあって
2C2・3C1+2C1・2C2＝5通り
数字の和が5になってるはずなのに数え上げると何で間違うのか
間違いが分からないです
20:大学への名無しさん
12/04/23 13:28:29.12 RPQFudrO0
>>19
「分母の数え方を真似して分子を数える」のが原則
この問題では分母は 7C3 とするのがふつうだろう
だから分子も順列ではなく組合せをベースに数える
取り出す順番は気にせずに和が5となる組合せを考える
>>19 に列挙されたものを活かすつもりなら
「1枚ずつ，順に，戻さずに計3枚取り出す」と読み換えて処理すればよい
例えば，順に 113 と出る確率は （2/7）・（1/6）・（3/5） となる
他の出方も同様に求めて合計すればよい（が，本問では面倒なだけ）
21: 【東北電 89.4 %】
12/04/23 13:33:45.83 thqL/m+c0
113 131 311
122 212 221
組み合わせで確率を計算
ついでに
この問題で確率を計算する際には、
ｻｲｺﾛと違い、1枚取り出したときに数字が出る確率が違う
2/7
2/7
3/7
113などを1通りと考えてはいけない
113と122は同様に確からしくない
同じ数字のｶｰﾄﾞを別ﾓﾉと考える
順列では
113:2!*3=12通り
122:2*2!=8通り
とする
22:大学への名無しさん
12/04/23 13:43:57.24 G0nSz2TO0
>>19
もう正しい説明があるので
＞何で間違うのか間違いが分からないです
これに答えるなら
全く同時に3つ取り出したときに手の中にある
2枚の1と1枚の3をなんで113と131に区別しなきゃならんの？って話になる
23:大学への名無しさん
12/04/23 14:55:08.00 cVKnsFXY0
>>20-22
ありがとうございます
24:大学への名無しさん
12/04/23 15:04:41.80 3UWapWuh0
>>19
求め方が違うから。
君がやったようにやるなら、
113 (2/7)(1/6)(3/5)
122 (2/7)(2/6)(1/5)
131 (2/7)(3/6)(1/5)
212 (2/7)(2/6)(1/5)
221 (2/7)(1/6)(2/5)
311 (3/79(2/6)(1/5)
となって、合計すると1/7。
解答のやり方は、
カードを全て区別し、1a、1b、2a、2b、3a、3b、3cとし、
取り出したら、数字の順、数字が同じならアルファベット順に並べて置くことにする。
全ての場合の数は7C3=35通り。
和が5の場合は、
(1a1b3a)、(1a1b3b)、(1a1b3c)……1を選ぶ選び方が2C2で、3を選ぶ選び方が3C1
(1a2a2b)、(1b2a2b)……1を選ぶ選び方が2C1で、2を選ぶ選び方が2C2
の5通り。
これらはどの1通りも同じ確率で起きるので求める確率は5/35=1/7。
いずれの求め方でも求まるが、後者の方が計算が楽（説明を加えたので長くなったけど）。
25:大学への名無しさん
12/04/23 18:59:42.48 o6ZNX7dR0
f(x,y) = (x - s)(x - s) + (y - t)(y - t) + (x + y - u)(x + y - u)
定数s,t,u に対し f(x,y) を最小にする x,y を求めよ
方針だけでもm(_ _)m
26:大学への名無しさん
12/04/23 19:17:10.49 WFuv0vbx0
>>25
予選決勝法くさいな
27:大学への名無しさん
12/04/23 20:55:03.88 RPQFudrO0
>>25
ひとまず x は固定しておいて y の関数と見てその最小値を考える
与式を展開せずに積の微分公式で微分するとラク
28:大学への名無しさん
12/04/23 22:38:43.23 Yy/sjTLl0
>>25
式がそれなら
１、展開して、まずxについて整理する
２、xについて平方完成
３、yについて平方完成
これでf(x,y)=(x,yの１次式)^2+(yの１次式)^2+(s,t,uの式)
ってなるからあとは２条の部分が０になるようにｘ、ｙを定める
29:大学への名無しさん
12/04/24 00:01:35.10 T3AJnzCe0
実数値a,bが|a|+|b|≦1をみたしてうごく時、p=2a-bの値の動く範囲を求めよ
bを固定すると
-(1-|b|)≦a≦1-|b|
がaの範囲になるのは分かったんですが、これからaをこの範囲で動かし、次にbを-1≦b≦1で動かしてpの値域を求めるって書いてあるのですが、その途中の式が書いていないのでよく分かりません
どのように動かしてpを求めればいいのですか？
30:大学への名無しさん
12/04/24 00:19:38.36 /6ZcoAV/0
問題の解説に反するかもしれんがその問題、ab直交座標平面にa,bの取りうる範囲描いて
そこからｐの取りうる範囲求めた方が楽だと思う
31:大学への名無しさん
12/04/24 00:21:54.37 T3AJnzCe0
>>30
それも解答にありましたが、こっちの解答も理解したいと思いまして
32:大学への名無しさん
12/04/24 00:22:06.42 4VzR17Dt0
>>29
p=2a-b にその a の範囲の式を当てはめれば
p が b の式で評価できる
が，この問題なら領域（線形計画法）でやるほうがラク
33:大学への名無しさん
12/04/24 01:12:15.08 384ObCzu0
>>31
-(1-|b|)≦a≦1-|b|を利用して解くと
-2(1-|b|)-b≦p≦2(1-|b|)-b
つまり
2|b|-b-2≦p≦2-2|b|-b
となる。
この式をbについて場合分けする。
0≦b≦1のとき、|b|=bなわけだから
b-2≦p≦-3b+2
-1≦p＜0のとき、|b|=-bだから
-3b-2≦p≦b+2
あとはこれをbp座標で図示して、最大最小を見つければ終わり。
ちなみに答えは
-2≦p≦2
34:大学への名無しさん
12/04/24 07:59:23.98 +JDvvX0O0
空行だらけだと逆に見づらいよ
35:大学への名無しさん
12/04/24 16:54:14.69 vnY8ZFmP0
1:2:√3の比の直角三角形の
一辺の数値がわかると1:2:√3の比から
他の数値もわかるみたいなんですが
どうやって計算しているんですか？
36: 【東北電 86.7 %】
12/04/24 18:52:53.22 tSsJ3BX90
余弦定理
37: 【東北電 86.7 %】
12/04/24 18:59:26.08 tSsJ3BX90
1:2:√3の直角三角形を2つくっつけると正三角形になる
よって角は60度30度
38:大学への名無しさん
12/04/24 19:13:09.10 p+Ci2Z160
>>35
比がわかってるのなら別に1:2:√3の比の直角三角形でなくてもわかる。
ただの比の問題。小学校で習う。
39:大学への名無しさん
12/04/24 19:30:48.10 vnY8ZFmP0
>>38
レスありがとうございます。
計算のやり方教えていただきたいです
わからない部分はここです↓
AB:AC=13:12の比の時
AB=√13の時のAC=?
の?数値の出し方がわかりません
こんな基本的なこと聞いてしまってごめんなさい
もしよかったら教えてください。
40:大学への名無しさん
12/04/24 19:42:12.21 tySFXSvp0
>>39
a：b=c：dのときbc=ad
つまり内側掛けたものと外側掛けたものが等しい
AB：AC=13：12のABに=√13を入れて
√13：AC=13：12
13AC=12√13
AC=12√13/13
41:大学への名無しさん
12/04/24 19:48:56.69 vnY8ZFmP0
>>40
ありがとうございます！！
やり方理解できました！！
42:大学への名無しさん
12/04/24 21:48:42.94 /nG9b3I+0
36さんが泣いているのが目に浮かぶ気がするｗ
比の問題って、38さんが言ってる通り小学生の算数だぞ。
がんばれ、35！分からない点があったらそこまで戻って復習だ！
まあ、かくいう俺も、一瞬だが
「AB:AC=13:12の比の時、AB=√13ならACは√12にきまっとるじゃろ！」
と思ったことは内緒だ……orz
43:大学への名無しさん
12/04/24 22:57:21.02 M7tazfD50
チャート3C99番
V = 1/12 * πh^3
これを時間 t で微分してやると
dV/dt = 1/12 * 3πh^2 * dh/dt = 1/4 * πh^2 dh/dt
こうなると書かれているのですが
h^3 を時間 t で微分すると 3πh^2 * dh/dtとなるのは何故ですか？
44:大学への名無しさん
12/04/24 23:00:38.93 4VzR17Dt0
>>43
合成関数の微分
45:あい
12/04/25 00:32:19.76 HkIU5TyEi
-1≦1/a≦0てどーなるの？
46:大学への名無しさん
12/04/25 00:38:39.75 MtXjEC0B0
>>45
a≦-1？
47:大学への名無しさん
12/04/25 03:38:04.05 lovbf3/i0
各辺に-a(>0)をかければおk
48:あい
12/04/25 06:20:21.03 HkIU5TyEi
>>46
普通に計算したら
a≧-1にならない？
49:大学への名無しさん
12/04/25 06:44:07.51 VdgCLi2wP
>>48
aが負だってわかってる？
50:大学への名無しさん
12/04/25 07:35:27.30 1WAElAbQ0
>>45
1つの方法としては、正負の判別が困難なときは
2乗数を掛ける技術がある。
今回なら、a＾２を辺々に掛ければ、不等号の向きとりあえず無視できる。
-a^2≦a≦０
ここからa≦０とわかり
-a^2≦aでa<0としてaでわると
-a≧１→a≦-1よってa≦－１
51:大学への名無しさん
12/04/25 15:42:23.16 kPSs7Q7j0
>>48
aをxに置き換えてy=1/xのグラフを書くとよくわかる。
52:大学への名無しさん
12/04/26 00:34:26.54 6nbw9gHZO
「数学読本（松坂版）」は教科書代わりとして使用できるものでしょうか？
53:大学への名無しさん
12/04/26 01:23:17.93 xLIKaI/D0
>>52
いい本だと評価する人もいるが大学受験対策としてはどうかなぁ
54:大学への名無しさん
12/04/26 22:50:08.62 wYmND04I0
極限の問題なんですが…
lim[x→∞]{n√(x^n+ax^(n-1)+b)-x} nはn乗根で2以上の自然数 a、bは正の定数です。
55:大学への名無しさん
12/04/26 23:07:37.91 wYmND04I0
情けない話ですが全く分かりませんでしたorz
56:大学への名無しさん
12/04/26 23:09:26.88 xLIKaI/D0
>>54
A^m － B^m ＝ （ A － B ）（ A^(m-1) ＋ A^(m-2)・B ＋ … ＋ B^(m-1) ）
の公式の活用で分子の有理化ができるけどラクではない
57:大学への名無しさん
12/04/26 23:16:33.58 cgvG+4Mg0
x^n-y^n=(x-y)∑[k=1,n]x^(k-1)*y^(n-k)
を利用し有理化すると
与式=lim[n→∞]{ax^(n-1)+b}/{x^(n-1)+(xのn-2次以下の式)} = a
58:大学への名無しさん
12/04/26 23:17:42.38 cgvG+4Mg0
上のが|x|<1のとき
他の場合は自分で考えてみれ
59:大学への名無しさん
12/04/26 23:17:48.18 wYmND04I0
>>56
ありがとうございます。
かなりややこしそうですね…
横国志望なら解けなくても大丈夫ですかね？
60:大学への名無しさん
12/04/26 23:27:46.35 THJGz5xL0
>>54
n乗根部分をXとする
Σ[k=0→n-1](X^k)(x^(n-1-k))
を「分子・分母にかける」と、分子が
X^n-x^n=ax^(n-1)+b
になるからあとは普通に極限計算
(√○)-△ の形の極限の計算テクニックと原理的に同じ
61:大学への名無しさん
12/04/26 23:33:18.89 THJGz5xL0
>>57
n乗根部分は実質的に1次だから、約分前の分母の項は実質的に全てn-1次であって、第二項より後ろも極限値に関わる
極限値はa/nになるはず
62:大学への名無しさん
12/04/26 23:40:37.15 THJGz5xL0
>>59
上で挙げられたポイントさえ見抜けばその後の計算は定石通りでそれほどしんどくない
n乗根部分を文字で置いたり、シグマ内部は一旦別に計算したりすることで書く手間を省けばだいぶ楽
63:54
12/04/26 23:47:58.05 wYmND04I0
ありがとうございます!!
やり方は分かりましたw
あとは気合で計算をやってみます!!
64:大学への名無しさん
12/04/27 00:12:45.68 7l7bEhCg0
log_a((x+y)/2), log_a(x+y)/2, (log_ax+log_ay)/2の大小比較の問題についてです.
左と右は凸関数の性質f((x+y)/2)<(f(x)+f(y))/2という図形的な意味があるわけですが真ん中の式は何か図形的な意味があるのでしょうか
65:大学への名無しさん
12/04/27 02:34:28.74 1Z+eHzcd0
特に意味はなさそう
評価の練習として入れただけじゃないかな
66:大学への名無しさん
12/04/27 14:47:17.19 ALH/bWidO
やや古い本の話なんですが、松坂氏の「数学読本」で学習を進められた方はいらっしゃいますか？
ネット上のレビューをみると具体的な内容の褒めレビューがほとんどで、体系的に進めることに差し支えのない環境にいるから使用を検討しているんですが、いかんせん高価なので、試し買いができなくて…
67:大学への名無しさん
12/04/27 19:59:37.58 /NbuR5ry0
>>66
>>52-53
俺は本屋で見て気にいったなら高くても買うが
この本はそういう気にはならなかったな
受験対策も視野に入れているなら素直に別の本にしたほうがいいと思う
受験対策ではなく趣味で見るというなら悪くないんだろうけど
教科書代わりに使うのなら現時点では数研『体系数学』を推す（これもベストではないが…）
68:大学への名無しさん
12/04/28 00:06:02.38 uqIc2O7QO
買う気になれなかった理由を、差し支えのない範囲で教えてください
ちなみに教科書代用候補には「新体系高校数学」もあります
これこそ受験用ではないと評判ですが
69:大学への名無しさん
12/04/28 00:19:31.98 FnKM1yUv0
>>68
カテキョで必要だからいろいろ本を持っているので
新しくわざわざ買う気にはならなかったということ
つまり他の本でも似たようなことは出ているので
『新体系高校数学』も同様
でも結局は個人の好みなので気になったのならとりあえず買っておけばいい
今はすぐ絶版になるので買わずに後悔することもあるし
参考までに，俺が教科書代わりに参照しているのは
数研『体系数学』，大日本図書の高専用の教科書など
受験対策にはもちろん他の問題集も使う
70:大学への名無しさん
12/04/28 00:48:40.91 ZDjOiLhq0
>>66
すばらしい本だよ
わかりやすく論理的構成がしっかりしている
著者は大学レベルの数学書も書いている数学の世界では有名な人
ぜひ意欲的な高校生にすすめたい
71:大学への名無しさん
12/04/28 05:24:39.46 YCxoK4TU0
微分方程式:xy'^2-2yy'-x=0
(a)定数をbとしたとき、x→bx y→by という変換でこの微分方程式が不変なことを示せ。
(b)u≡y/x とし、xとyのかわりにxとuを使って上の式を書き直せ。
(c)前問の方程式を解くことにより、微分方程式の一般解をy=f(x,C)という形で求めよ(u=sinhθと置いてみよ。)
(a)が分かりません。単純にxとyだけが変換されるのか、それぞれの導関数にもbがかかってくるのか、判別できません。。。
（問題の続きは一応参考までに書きました）
72:大学への名無しさん
12/04/28 09:10:37.81 uqIc2O7QO
>>69
ありがとうございます
私ももちろん受験用の参考書は別に使用するつもりです
青チャか本質の解法か、フォーカス金かで迷っています？
おすすめはありますか？
>>70
内容の構成について伺いますが、教科書的な構成で、とことん詳しく説明されているのでしょうか？
それとも巷に溢れる例題を通じて学ぶ構成でしょうか？
73:大学への名無しさん
12/04/28 09:51:05.35 FnKM1yUv0
>>71
X = bx ，Y = by とおけば x = X/b ， y = Y/b ， y’ = (Y’)/b だが
これを与式に代入整理しても X（Y’）^2 - 2YY’ - X = 0 とはならない
この置き換えをこのあと使うわけでもないので意図がよくわからんな
>>72
俺自身はそういう網羅型の参考書は辞書的に参照した程度で
こういう使い方ではどれを使っても大差はないだろう
自分の直観を信じて好きなものを選べばよい
個人的に役に立ったと思うのは
『数学受験術指南』『数学ショートプログラム』『ハイレベル理系数学』『伝説の良問100』など
生徒の指導で使ってきたのは
『文系数学良問のプラチカ』『標準問題精講数学Ⅲ・Ｃ』『微積分基礎の極意』『合格る計算』など
（カリキュラム切り替えの時期なので1年生にはそのままおすすめできないのもある）
74:大学への名無しさん
12/04/28 11:03:31.48 pbvBrLtq0
>>72
とことん詳しく、というのとはちょっと違うと思うけど、指導要領に
遠慮したりはしてないから、筆者が詳しく書きたいところは
少し踏み込んで書いてると思う。
やっぱり実物を見てみるのが一番いいと思うよ。
東京だったら、大きな書店で立ち読みできるし、区立の図書館でも
置いてあるところがあるから借りて読むことができるんだけどなあ。
75:？？
12/04/28 11:51:08.37 xSU7gNDG0
グラフがｘ軸に接し、2点（2、3）、（-1、12）を通る二次関数を求めよ。（本質の解法70）
解答の途中に
よって4a(2-p)^2=a(-1-p)^2
両辺をa(=ではないという記号）0で割って、
4(p-2)^2=(p+1)^2
とあるんですけど、
なぜ符号が変わるのか解らないです。。
76:大学への名無しさん
12/04/28 12:03:43.81 mozBzbf9P
>>75
展開して比較してみ
77:大学への名無しさん
12/04/28 12:11:13.77 r9xuGP5r0
(-a)^2=(-1)^2・a^2=a^2
78:大学への名無しさん
12/04/28 12:23:28.83 pbvBrLtq0
「aで割ったから符号が変わる」と主張しているわけじゃないことに
注意しよう。ちょっと説明が足らないといえば足らないかな。
79:？？
12/04/28 13:26:50.66 xSU7gNDG0
計算しやすくするためってことですか？
あとすみませんがもう一題
関数y=｜x-1｜+｜x＋2｜のグラフをかけ（本質の解法64）
解法で
定義域を3つの区間
x<-2, -2≦ｘ≦1 ,1<x に分けて絶対値をはずす。
とあるんですけど
なぜ-2<x, -2≦ｘ≦1 ,x<1じゃないんですか？？
80:大学への名無しさん
12/04/28 13:35:55.43 pbvBrLtq0
>>79
だって、それじゃｘがすべての実数値を取ってないじゃん。
不等号の意味が分かってる？
81:大学への名無しさん
12/04/28 13:40:20.35 2YYaL2bp0
>>75
(2-p)^2=(-1)^2・(p-2)^2だから
結局(p-2)^2と同じ。
(-1-p)^2も上と同じように考えれば
(p+1)^2になる。
82:大学への名無しさん
12/04/28 13:42:37.46 2YYaL2bp0
>>79
>-2<x, -2≦ｘ≦1 ,x<1
この部分はネタだよね？
83:？？
12/04/28 13:46:31.78 xSU7gNDG0
わかっていませんでした。
わかりやすい説明ありがとうございました！
84:大学への名無しさん
12/04/28 17:21:24.15 uqIc2O7QO
>>73
ありがとうございます
網羅系参考書を辞書的に使用されていたということは、
教科書＋傍用問題集の後は即本格的な問題集に取り組んだのでしょうか？
>>74
ありがとうございます
あいにく田舎住まいでして、近所の図書館や本屋（古本屋含む）をくまなく探したんですが、見つかりませんでした（涙）
85:大学への名無しさん
12/04/28 22:27:53.08 pbvBrLtq0
>>84
まあ、だまされたと思って、６巻ある数学読本のうちどれか１冊
試しに買って読んでみたら？
確かに安い本じゃないけど、１冊なら買えるんじゃない？
試し読みするなら、必ずしも第１巻じゃなくてもいいと思うよ。
興味のある分野の巻を買ってみたら？
86:71
12/04/29 07:25:45.73 nmQsucQb0
>>73
回答ありがとうございます。うまいこといかないんですよね・・・
(b)と(c)は問題なく解けそうなんですが、(a)・・・
87:大学への名無しさん
12/04/29 23:13:57.44 N1OkBEL20
4stepの数Ⅱ問16の
定数a,bの値を求めよ
2x^3＋ax＋10をx^2－3x＋bで割ると、余りが3x－2である。
という問題なのですが
cを定数として、次の恒等式が成り立つ。
2x^3＋ax＋10＝(x^2－3x＋b)(2x＋c)＋3x－2
この(2x＋c)というのはどうやって出すのでしょうか。
解説お願いします。
88:大学への名無しさん
12/04/29 23:58:43.15 Ea8S2V3V0
>>87
・ 3次式を2次式で割ったときの商は1次式
・ もとの3次式の x^3 の係数から，商の x の係数が決まる
・ 商の定数項はとりあえず文字でおいた
89:大学への名無しさん
12/04/30 00:41:38.33 +ggMM8ET0
>>88
分かりました！x^3をx^2とxに分けておくような感じにするんですね
ありがとうございました。
90:大学への名無しさん
12/04/30 08:21:25.46 9MEe74DE0
>>89
なんか変な覚え方をしようとしている気がする。
商をQ(x)とすると
2x^3＋ax＋10＝(x^2－3x＋b)Q(x)＋3x－2
となる。左辺が3次だから右辺が3次になるためにはQ(x)は1次。
Q(x)=px+cとして右辺を展開して左辺と係数比較するとp=2。
従ってQ(x)=2x+c。
ということをやっているのだが、それはわざわざ書くまでもないことなのでいきなり2x+cと置いている。
>>88さんはこれを少しだけ抽象的に説明しているということ。
書くまでのことじゃないので省略している部分がわからないということは
その問題集だか参考書をやるレベルになってないということだと思うよ。
戻ってやり直す方が近道だと思う。
91: 忍法帖【Lv=30,xxxPT】
12/04/30 18:57:50.26 V9v+hVm00
2次関数の最大最小の場合分けについて質問です。
以下は青チャート1Aの基本例題61の一部省略版です。
0<=x<=4 における関数 f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3 の最大値を M とするとき、M を a を用いて表せ。
この問題の答えは
M : -6a + 19 (a < 2); 2a + 3 (a >= 2)
となっていました。
なぜ a = 2 の時の場合分けが a > 2 と一緒になっているのでしょうか。
因みに a = 2 のときの M は 7 となるのですが、チャートの解説には
a = 2 と置いたとき、a > 2 の場合のMと一致するから……
と書かれていました。しかし a < 2 の場合の -6a + 19 にa = 2 を代入しても 7 が得られると思うのですが何故 a > 2 の場合にまとめるのでしょうか。
92:大学への名無しさん
12/04/30 19:13:18.29 72T2Rwk90
>>91
言ってしまえばどちらに含めてもよい
Mをaの関数としてグラフで見たらつなぎ目がつながっているから
どちらに代入しても一致するのは当然なんだけど
93:大学への名無しさん
12/04/30 20:07:31.26 eXVL600v0
値が同じなんなら、a>2の方にまとめる必然性はないので、
どっちにまとめても別にいいけど、場合分けがダブらないように
注意が必要だよ。
でも俺ならチャートと同じようにa>2のほうにまとめちゃうと思うな。
94: 忍法帖【Lv=30,xxxPT】
12/04/30 20:16:17.58 V9v+hVm00
>>92-93
有難うございました。
95:大学への名無しさん
12/04/30 21:18:15.93 8yykFctv0
「a≦2 の場合」「a≧2の場合」と、
どっちにも等号をつければ紛れがない
96:大学への名無しさん
12/04/30 22:11:34.20 eXVL600v0
>>95
俺は場合わけはダブらないようにするのが流儀だと思ってたんだけど、
調べてみたらそうでもないんだね。気付かせてくれてありがとう。
97:大学への名無しさん
12/04/30 23:32:34.60 sWszflyv0
URLﾘﾝｸ(beebee2see.appspot.com)
この式はどんな変形をしてるのでしょうか?
98:大学への名無しさん
12/04/30 23:35:41.54 ZDJWQ1LWi
>>97
左から右は無理でも、右から左には出来るだろ。
99:大学への名無しさん
12/04/30 23:40:35.16 sWszflyv0
>>98
ありがとうございました！
100:大学への名無しさん
12/04/30 23:45:28.17 eXVL600v0
>>97
(x-α)^n(x-β)=x(x-α)^n-β(x-α)^n
=(x-α)(x-α)^n+α(x-α)^n-β(x-α)^n
=(x-α)^(n+1)+(α-β)(x-α)^n
101:大学への名無しさん
12/04/30 23:46:09.28 eXVL600v0
orz
102:大学への名無しさん
12/05/01 16:09:30.69 1pFJnBceO
x>0のとき、logxとlog(x+1)ってどちらが大きいですか？
103:大学への名無しさん
12/05/01 16:12:55.63 ytIqfmf30
>>102
グラフを書けば一発でわかる。
っていうか普通にlog(x+1)の方がでかい。
104:大学への名無しさん
12/05/01 16:12:58.02 FRs/SmTo0
xとx+1、どっちが大きいよ
105: 忍法帖【Lv=31,xxxPT】
12/05/01 18:44:20.46 qyDXaMlE0
√x > alogx
これは
√x / logx > a
と変形出来ますか？
106:大学への名無しさん
12/05/01 19:19:06.75 j2J5CUE8P
>>105
xの範囲によっては不可
107:大学への名無しさん
12/05/01 19:19:46.95 ytIqfmf30
>>105
その場合はx＞1のだけでしょ。
logxが=0や＜0のときはどうするの？
108: 忍法帖【Lv=31,xxxPT】
12/05/01 19:44:08.03 eQZz0Xch0
>>106-107
ですよね……
中間テストの問題間違えてしまった……
109:大学への名無しさん
12/05/02 23:06:37.04 fzBFfbH30
URLﾘﾝｸ(beebee2see.appspot.com)
(2)の4行目
g(f(a))=a
はどのようにもとめたらいいんでしょう？
110:大学への名無しさん
12/05/02 23:25:20.04 5znetAIk0
>>109
逆関数の定義
y=f(x) とすると、逆関数gは
g(y)=x
で与えられる
g(y)=x に y=f(x) を代入すると、
g(f(x))=x
xにfという操作をした結果であるy(=f(x))を、xに戻すという操作がg
だからfとgを続けて行うことは何もしないのと同じになる
111:大学への名無しさん
12/05/02 23:25:38.61 klBbiyh70
>>109
定義から明らかであるが，比喩的に説明すると…
y ＝ f（ x ）
という式を，
材料 x に操作 f を施してできた製品 y
とイメージしよう
逆関数とは
製品の材料が何であるかを知るための操作
である
今，製品 f(x) の材料を知るために操作 g を施したとすると，
f(x) の 材料は x だから，当然
g(f(x))=x
となる
イメージとしてはこういう感じ
112:大学への名無しさん
12/05/03 02:57:14.06 OIyPMw860
三角形ABCにおいて、
角度はA=75°、B=60°、C=45°
辺がAB=2、AC=√6、BC=１+√3
の三角形の内接円の半径を求めよ。
この問題で、(1+√3-√2)/2と答えを出したのですが
合っているでしょうか。
113:大学への名無しさん
12/05/03 03:14:59.67 y6+KVyiNi
違うとおもうよ。どうやって出したの？
114:大学への名無しさん
12/05/03 03:40:49.09 gAJdt2nC0
>>112
合っている
ふつうは △ABC の面積を2通りに表現して r の方程式を導くが
B/2 ＝ 30°を活かす手もある
AB ＝ x ＋ y ， BC ＝ y ＋ z ， CA ＝ z ＋ x
とおいて r ＝ y tan30° と求める
115:大学への名無しさん
12/05/03 03:47:10.66 DxmyUA910
>>113
君こそどうやって違うと思った
116:大学への名無しさん
12/05/03 03:50:33.74 y6+KVyiNi
えっ俺が計算すると
√3*(1+√3-√2)/2になるんだけど何がおかしいんだろ
117:大学への名無しさん
12/05/03 03:53:15.92 DxmyUA910
>>116
お…もしやsin60°=1/2にしてないか？
118:大学への名無しさん
12/05/03 04:01:03.20 y6+KVyiNi
AからBCに垂線下ろすと高さルート3じゃ
面積(1+√3)√3/2
119:大学への名無しさん
12/05/03 04:04:15.68 OIyPMw860
>>113
最初の設定では、角度がBとC、辺はBCのみでした。
それを、正弦定理より他の辺を求めました。
角度Aは、75°のためsin75°の2乗→2倍角の公式より辺を算出して出しました。
そして、三角形の角度と辺が求まった後に
三角形ABCの面積(内接円の半径から)=三角形の面積(２辺とそれに挟まれる角度の正弦から)
より内接円の半径r=(1+√3)/(1+√3+√2)となり、
まず(√3+√2)-1を分母分子にかけて有理化し、
残りの√は、分母では4+2√6だったため√6-2を分母分子にかけて
有理化し、分母から√を消しました。
>>114
答えは出たものの、分母に√が２つついたものの有理化は
初めてやったかもしれないくらいしたことがなく、計算が多くなったために
質問させていただきましたが、あちがとうございました。
内心と頂点を結ぶ線分は、角度の二等分線になるってことを改めて認識しました。
120:大学への名無しさん
12/05/03 04:12:02.30 OIyPMw860
>>118
三角形の面積はそうなりました。
そして、内接円の半径をrとすると、
｛2+√6+(√3+1)}・r/2となり、半径rが>>119になったので
後は計算しました。
121:大学への名無しさん
12/05/03 04:19:23.69 y6+KVyiNi
あっ申し訳ありません僕の有理化のみすです。
122:大学への名無しさん
12/05/03 04:24:56.48 y6+KVyiNi
答えは正しかったですね、完全にこちらの不注意でした。
ただこの問題はえ
123:大学への名無しさん
12/05/03 04:29:30.74 y6+KVyiNi
途中でいってしまった(´Д` )もうダメだ…
この問題はAからBCに垂線下ろすと三角定規の三角形が二つ合わさった形がでるので高校の三角比の知識一切使わず答えがでるのは気付いた方がいいと思います。
またどうしても75度のsinとcosだしたいならば45度と30度の加法定理を使って出しましょう。
お騒がせしました。
124:大学への名無しさん
12/05/03 15:05:18.58 eqIa40ID0
二重解って解の個数としては何個になるの？1個？2個？
125: 忍法帖【Lv=32,xxxPT】
12/05/03 15:07:27.14 aaVY+O+20
>>124
1個
126:大学への名無しさん
12/05/03 18:00:35.23 OIyPMw860
>>123
言われるまで気づきませんでしたが、言われてみるとスッキリと進められますね。
sin75°の計算する量が格段に減ります。
今後に活かせる場面があったときに活かしていきます。
ありがとうございました。
127:大学への名無しさん
12/05/03 19:17:49.67 FSvy1r1H0
.
128:大学への名無しさん
12/05/03 19:28:20.82 z6AhMrT50
>>124
一個と数えるのが基本だけど「重複度を合わせて二個」と言うこともある
129:大学への名無しさん
12/05/04 03:57:56.69 F9GgSQJQ0
P(x)=x^4＋4x^3＋7x^2＋10x＋3とQ(x)=x^4＋3x^3＋8x^2＋9x＋9の最大公約数と最小公倍数を求めよ
素因数分解すれば解けると思ったのですが、素因数分解すらできません。
方針は合っているでしょうか？
できれば解答を教えてください。
130:大学への名無しさん
12/05/04 04:15:37.40 0je8cx7Di
>>129
P(x)=(x^2+x+3)(x^2+3x+1)
Q(x)=(x^2+x+3)(x^2+2x+3)
131:大学への名無しさん
12/05/04 04:43:02.07 oQItv7vu0
>>129
最大公約数は(x^2+x+3)
最小公倍数は(x^2+x+3)(x^2+3x+1)(x^2+2x+3)
132:大学への名無しさん
12/05/04 04:45:12.53 4NIvkJA50
>>129
最大公約数をG(x)とすると
P(x)=G(x)A(x)
Q(x)=G(x)B(x)
のように表せるから
差をとったP(x)-Q(x)=G(x){A(x)-B(x)}
もG(x)を因数に持つ
P(x)-Q(x)=x^3-x^2+x-6 (=R(x)とおく)
R(2)=0だからR(x)はx-2を因数に持ち
R(x)=(x-2)(x^2+x+3)
これでG(x)はx-2かx^2+x+3のどちらか
P(2)=0ではないのでP(x)がx-2を因数に持つことはなく
G(x)=x^2+x+3と決まる
すると>>130のようになり答えは>>131
133:131
12/05/04 04:50:22.10 oQItv7vu0
ポイントはP(x)、Q(x)が共にある公約数R(x)を持つとすると
P(x)-Q(x)もある公約数R(x)を持つことを利用して解く。
素因数分解が出来ないのは実際に数値を入れるとわかる。
134:129
12/05/04 06:00:18.55 F9GgSQJQ0
大変わかりやすい解説ありがとうございました。
それから、>>129で「素因数分解」と書きましたが、「因数分解」の間違いでした。すみません。
135:131
12/05/04 12:57:17.70 oQItv7vu0
解いた自分が言うのもなんだけど、132の解説はとてもわかりやすい。
この解説なら数学が苦手な人でも理解できそう。
136:大学への名無しさん
12/05/04 14:39:54.51 QV+7kG2YO
ｘｙ平面上において、原点を通過する直線ｙ＝ｍｘがｘ軸と垂直にならない（すなわちｙ軸とはならない）理由を教えてください
自分なりに考えた理由は、
直線の方程式にｘ＝０を代入すると、ｍがいかなる実数をとってもｙの値は０となり、直線ではなく点（原点）を表してしまうから
だと思うんですが…
137:大学への名無しさん
12/05/04 14:58:39.82 1xS4LxRJ0
>>136
mがでっかくなるほど傾きが急になっていって、直線y=mxはy軸に近づいていくよね？
しかし、仮にm=1000億という風に定めてみても、完全にy軸と一致するわけじゃない
つまり、mをいくら大きな数にしても、y軸と完全に一致することはないってこと
俺も高校生なので厳密な説明じゃないかもしれないけど、自分はこんな感じで理解してます
138:大学への名無しさん
12/05/04 15:09:15.99 S61LAZyFi
傾きm=b/aと置くと、a≠0であるからy軸と一致しないんじゃね？
139:大学への名無しさん
12/05/04 16:13:42.14 1WTjp6UW0
>>136
その理由は違う。
例えばy=mxが点(1,2)を通る直線を表現できるかどうかは『mの値が存在するか否か』で決まる。
この場合x=1、y=2を代入してm=2となるので、m=2とすれば点(1,2)を通る直線(y=2x)を表現できることになる。
ところがy軸平行な直線は傾きを持たない、つまりmに代入すべき値が存在しない。
試しにy軸上の点(0,1)を通るようにmを定めようとしてもm=1/0となり値は存在しない(不能)。
存在しないものは代入のしようがなく、結果y=mxはy軸平行な直線を表現できない。
この話の流れで「y=mxはmによらず常に原点(0,0)を通る」も説明できる。
x=y=0を代入するとm=0/0となりmは不定、つまり1にも10にも-100にもなりうる(存在する)。
よってそのような任意のmの値に対して(0,0)がy=mxの解となる、つまりy=mx上の点となりうる、ということ。
140:大学への名無しさん
12/05/04 16:14:35.30 4NIvkJA50
>>136
xy平面上において、原点を通過する直線
をy=mxと置く時点でx軸に垂直なものは除かれてる
傾きをmとしているからなんだけど
そもそも
（傾き）=（yの増加量）/（xの増加量）
だから分母であるxの増加量が0の場合は
傾きmを使う場合に含めてはならない
＞自分なりに考えた理由は
これは交点が原点であることを確認しただけになってしまう
y軸の式をあえて計算で求めるなら
y軸を(0,0),(0,1)を通る直線ととらえると
ax+by+c=0 (x軸と平行ではないからa≠0)
が(0,0),(0,1)を通る
からc=0,b=0となりax=0
a≠0だからaで割ってx=0
141:大学への名無しさん
12/05/04 16:15:35.65 5Z7QQuzP0
傾きってさぁ
『xが１増えた』時のyの変化量
なんだよね
だから傾きがあるってことはx方向に必ず動くわけだ
142:大学への名無しさん
12/05/04 16:44:17.72 gA0/vqp00
原点を通る直線を原点で回してy軸に近付けるとき、反時計回りに近付けると∞、時計回りに近付けると-∞になるから、極限値としての「y軸の傾き」は存在しない
143:大学への名無しさん
12/05/04 17:09:42.12 jwz4wj+50
>>136
y=mxは、
m=0のときy=0だから、x=0を表さない。
m≠0のときx=(1/m)yとなり、yの係数が0にはなれないので、
「yの値にかかわらずxの値が0」であるx=0を表せない。
要するに、「yがいかなる値をとってもxが0になるようなmが存在しない」ってこと。
「x=0を代入するとmがいかなる実数をとってもyが0となる」ことが示しているのは
「y=mxはmの値にかかわらず原点を通る」こと。y=mxが点（原点）を表すわけではない。
君の考え方だと、「y=0を代入するとmがいかなる実数をとってもxが0となるのだから、
y=mxはy=0を表すことが出来ない」となってしまうが、明らかに間違いだろ？
144:136
12/05/04 17:33:30.92 QV+7kG2YO
皆さんありがとうございます
>>139
ということは、
直線の方程式へｘ＝２、ｙ＝０を代入するとｍ＝０（実数）を得られるため、直線ｙ＝ｍｘはｘ軸になる
ということでしょうか？
145:大学への名無しさん
12/05/04 17:59:41.96 1WTjp6UW0
>>144
そうです。
146:大学への名無しさん
12/05/04 18:47:29.44 2XEs9//C0
単位円で考えるとsincosの分母は1だけど、比は同じで合ってますか？
例えば単位円でsin60°は√3/1は間違いで、√3/2ですよね？
147:大学への名無しさん
12/05/04 19:03:31.45 jwz4wj+50
>>144
なんで代入して考えるのかわからん。
m=0のとき、y=mxはy=0だろ。y=0はx軸だ。
148:大学への名無しさん
12/05/04 19:07:37.01 jwz4wj+50
>>146
意味がわからない。
同じって、何と何が同じだと言っているの？
sin60°はもちろん(√3)/2だよ。
単位円で考えて分母を1と見るなら、{(√3)/2}/1だ。
149:大学への名無しさん
12/05/05 00:00:53.18 4NPtsg/g0
1/1-cosx の不定積分を教えてください。
150:大学への名無しさん
12/05/05 00:08:33.26 17sCY/9p0
-1/tanx-1/sinx+C
151:大学への名無しさん
12/05/05 00:31:06.97 GW6+xJ79i
>>149
1/(1-cosx)=(1+cosx)/(1-cos^2x)
=1/sin^2x+cosx/sin^2x
=d/dx(-1/tanx-1/sinx)
152:大学への名無しさん
12/05/05 22:43:57.30 0c/gtGch0
√(a^2-x^2)を含む積分は、
なぜx=asinθとばかり置いて、
x=acosθとは置かないのですか。
例えば∫1/(x√(4-x^2))dxはx=2cosθでも解けると思うのですが。
三角関数の合成と同じく、不当な扱いを受けているだけですか。
どなたか宜しければお願いします。
153:大学への名無しさん
12/05/06 00:08:11.35 uX1kH19t0
>>151
２行目から３行目を詳しくお願いします ごめんなさい
154:大学への名無しさん
12/05/06 00:57:02.94 4SJiKkRsi
>>153
＞=1/sin^2x+cosx/sin^2x
＞=d/dx(-1/tanx-1/sinx)
d/dx(1/tanx)=-1/sin^2x
これは覚えておいた方がいい知識
ついでに
d/dx(tanx)=1/cos^2xも
これが分からないならtanx=sinx/cosxにして商の微分ね。
いちいち計算する腕力に自信ないなら特徴的だし覚えとくほうがいいよ特に後者は良くでる。
cosx/sin^2xはこれを踏まえて
cosxと1/sin^2xの積の積分だと思ってやると
cosx(-1/tanx)-∫(-sinx)(-cosx/sinx)dx
=-(cos^2x/sinx)-sinx=-1/sinx
155:大学への名無しさん
12/05/06 00:59:19.17 V3uso5N50
>>152
積分範囲も考慮するとsinのほうが説明しやすいんだろう多分
156:大学への名無しさん
12/05/06 01:05:18.43 uX1kH19t0
>>154
よくわかりました！感謝です。
157:大学への名無しさん
12/05/06 01:13:54.83 I6aA0md00
>>152
∫1/√(a^2-x^2)dx = 1/a arcsinx = -1/a arccosx
arcsinxのほうが遥かに扱いやすいうえに正負の符号ミスも少ないから.
もちろんcosで置換しても×になることはない
158:大学への名無しさん
12/05/06 01:25:34.89 4SJiKkRsi
>>156
まぁあんまり勧めはしないけど
sinとcosとtanの微分覚えて、1/tanの微分も覚えたと
んで今回積分したら1/sinになったってことは
d/dx(1/sinx)=-cosx/sin^2x
だよね？じゃあ
d/dx(1/cosx)が何になるか調べて覚えよっかなって思うともしかしたら面倒な計算を本番し無くて良くなるかもよ。
この暗記は覚えとけば得するかも？ってだけで、覚えて無くてもなんら問題ないんだけどね
159:大学への名無しさん
12/05/06 01:39:02.66 uX1kH19t0
>>158
なるほど…しばらくは覚え間違いが怖いので導きますが
慣れたら使います。
重ね重ねありがとうございました。
160:152
12/05/06 08:39:18.41 k1gIt/cq0
>>155
>>157
有難うございます。そして、ひねくれててすみません。
根号を取っ払う時のことを考慮して、
積分区間が-π/2<=θ<=π/2なら、x=a sinθ
0<=θ<=πなら、x=a cosθといった所でしょうか。つづく
161:152
12/05/06 08:41:34.67 k1gIt/cq0
つづき
0<=θ<=π/2、π<=θ<=3π/2ならどちらでも良さそうですね。
(扱いやすさを考慮しなければ)
何かcosを使ってはいけない訳があるのかと思い、質問させていただきました。
重ねて有難うございました。
...にしても、cosにもっと光を。
162:大学への名無しさん
12/05/06 09:53:08.87 ARaDANZD0
>>159
覚えるな
使うのはf'(x)*g'(f(x))=d/dx(g(f(x)))合成関数の微分だけ
cosx/sin^2x=(sinx)'*1/sin^2x=d/dx(-1/sinx)
この例ではf(x)=sinx，g'(x)=1/x^2
163:大学への名無しさん
12/05/06 10:00:01.97 ZOXXargS0
cosに光をとか何外れた事いってんだ
164:大学への名無しさん
12/05/06 11:42:15.06 xV7byFPr0
a+b+c=4 a^2+b^2+c^2=8 a^3+b^3+c^3 =31のとき(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
165:大学への名無しさん
12/05/06 11:44:46.70 xV7byFPr0
a+b+c=4
a^2+b^2+c^2=8
a^3+b^3+c^3 =31のとき
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
だれかおしえてください
166:大学への名無しさん
12/05/06 11:55:30.60 VfFeeaew0
関数y=-x^4-2x^2+2の-1≦x≦2における最大値は[ア]、
最小値は[イ]である
x^2=tとおくと-1≦x≦2を全体的に二乗して1≦x^2≦4
tを代入して1≦t≦4
y=-t~2-2t+2=-(t+1)~2+3 t=-1 x=+-√-1
分からなくなって解説見ると-1≦ｘ≦2の時0≦t≦4とあるんですが
なぜ0なんですか？
167:大学への名無しさん
12/05/06 11:58:24.23 HImfubue0
>>166
> -1≦x≦2を全体的に二乗して1≦x^2≦4
これが間違っているから。
ｙ=x^2のグラフのうち-1≦x≦2の部分だけを見てみろ。
yの値は0から4までだろ？
168:大学への名無しさん
12/05/06 12:04:27.80 FRdNcUIL0
>>166
「全体を2乗して」が×
丁寧にやると、
0≦x≦2 のときは 0≦x^2≦4
-1≦x≦0 のときは 0≦x^2≦1
合わせて0≦x^2≦4
また、y=x^2のグラフの-1≦x≦2部分のy座標を考えると、x=0(原点)が折り返し地点だからyは0まで動ける
169:大学への名無しさん
12/05/06 12:05:01.93 TSkvvvP60
高２ですが、教えて下さい。
｜n｜=｜10m｜+｜2n｜
答えはn=-10m,-10/3mとなっているんですが、計算過程を省略せず教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
170:大学への名無しさん
12/05/06 12:08:05.38 FRdNcUIL0
>>165
展開・因数分解の公式を使って、与式の一番目・二番目からab+bc+caを求める
あとは値が知りたい式を展開してから値が分かってる塊に集め直して代入
171:大学への名無しさん
12/05/06 12:10:01.37 HImfubue0
>>169
場合分けして絶対値をはずす。計算する。結果をまとめる。
172:大学への名無しさん
12/05/06 12:14:47.49 HImfubue0
>>169
問題間違ってねえか？
173:大学への名無しさん
12/05/06 12:15:37.37 TSkvvvP60
>>171
お早い解答有難うございます。
場合分けはn≧0の時とn<0の時でしょうか。
でもそうすると、-n=｜10m｜,n=｜10m｜になってそっからわかりません…。
174:大学への名無しさん
12/05/06 12:18:34.06 FRdNcUIL0
>>169
|n|=|10m|+|2n|
|n|-|2n|=|10m|≧0
|n|≧|2n|＝2|n| より
|n|≦0 、n＝0
したがってm＝0
こんな下らない問題なわけないからその問題文写し間違ってる
175:大学への名無しさん
12/05/06 12:18:56.78 HImfubue0
>>173
mのほうも場合分けしろよ。
しかし、問題がおかしいと思うぞ。
176:大学への名無しさん
12/05/06 12:22:15.63 HImfubue0
|n|=|10m|+|2n|
0=|10m|+2|n|-|n|
|10m|+|n|=0
よって、m=0、n=0
177:大学への名無しさん
12/05/06 12:24:48.89 TSkvvvP60
省略したのが原因だと思います、すいません。
２円の共通接線の問題です。
円C1：x^2;y^2=4と円C2：(x-5)^2;y^2=1の共通接線の方程式を求めよ。
という問題です。
解説には
共通接線の方程式をy=mx+nとする。
これが円C1,C2に接する条件はそれぞれ、
|n|/√m^2;(-1)^2=2, |5m+n|/√m^2;(-1)^2=1
従って、|n|=2√m^2+1,|5m+n|=√m^2+1
よって、|n|=2|5m+n|
ゆえに、n=-10mまたは3n=-10m
以下略
こんな問題です。
178:大学への名無しさん
12/05/06 12:25:54.18 TSkvvvP60
プラスとセミコロン押し間違えてました。（汗）
２円の共通接線の問題です。
円C1：x^2+y^2=4と円C2：(x-5)^2+y^2=1の共通接線の方程式を求めよ。
という問題です。
解説には
共通接線の方程式をy=mx+nとする。
これが円C1,C2に接する条件はそれぞれ、
|n|/√m^2+(-1)^2=2, |5m+n|/√m^2+(-1)^2=1
従って、|n|=2√m^2+1,|5m+n|=√m^2+1
よって、|n|=2|5m+n|
ゆえに、n=-10mまたは3n=-10m
以下略
179:大学への名無しさん
12/05/06 12:28:56.18 FRdNcUIL0
>>178
両辺を2乗して計算すればいい
それより、
2|5m+n|＝|10m|+|2n|
だと思ってることのほうが心配
180:大学への名無しさん
12/05/06 12:29:54.97 xV7byFPr0
X+1/X=tとするときtのとりうる値の範囲を判別式を利用して求めよ
教えてください
181:大学への名無しさん
12/05/06 12:34:10.31 80yEtt8tP
>>180
Xは？
182:大学への名無しさん
12/05/06 12:35:39.95 HImfubue0
>>180
両辺をX倍。Xが実数解を持つtの範囲。
判別式を利用してっていうヒントがあるのにわからないのは、
ちゃんと順番に学習してないのでは？
183:大学への名無しさん
12/05/06 12:39:30.08 TSkvvvP60
>>179
凡ミスです許してください。^^;
|n|=|10m+2n|
n^2=100m^2+40mn+4n^2
3n^2+40mn+100m^2=0
…詰んでませんかこれ？
184:大学への名無しさん
12/05/06 12:40:45.46 FRdNcUIL0
>>180
X+1/X=t (X≠0) …(☆)
両辺にXを掛けて、
X^2+1=tX
X^2-tX+1=0 …(*)
この式はX≠0を満たしているので、(☆)と同値
よって、tの範囲が全ての実数Xについて(*)を満たさない範囲である場合、全ての実数Xは(☆)も満たさないのでtはその範囲の値を取らない
逆に、tの範囲がある実数Xについて(*)を満たす場合、その実数Xは(☆)も満たすのでtはその範囲の値を取ることができる
よって、tの範囲は(*)がXの実数解をもつ範囲に限られる
あとは判別式でXの実数解の存在条件を考える
185:大学への名無しさん
12/05/06 12:42:45.02 FRdNcUIL0
>>183
ある程度自明な解としてn=-10mがある(最初の式から分かる)
したがって、その二次方程式は(n+10m)で割り切れるからわり算すればいい
186:大学への名無しさん
12/05/06 12:47:11.52 FRdNcUIL0
おっと、>>185訂正
まず、|mn|=mnとは限らないからそこで場合分け
|mn|=mnのときは>>183になって詰むから破棄
|mn|=-mnのときにはn=-10mが解になりうるから、(n+10m)で割る
絶対値の扱いをもっと丁寧にするべき
187:大学への名無しさん
12/05/06 12:48:36.80 cBXqi1y+0
難しいな・・・・fmfm
188:大学への名無しさん
12/05/06 12:51:54.11 xV7byFPr0
実数Xが、X^3+1/X^3=－18を満たすとき、X+1/Xを求めよ
わかりませんか？
189:大学への名無しさん
12/05/06 12:53:48.38 TSkvvvP60
>>186
わかりました！けど結構ややこしいんですね…。orz
接点の座標を(x1,y1)とおいてやる方法とこれと、
２つ解答が書いてあったんですが、
どっちの方が実戦的ですか？
190:大学への名無しさん
12/05/06 13:00:02.58 FRdNcUIL0
>>188
(X+1/X)^3
=X^3+1/X^3+3(X+1/X)
X+1/X=t として、
t^3=-18+3t
t^3-3t+18=0
(t+3)(t^2-3t+6)=0
t^2-3t+6=0 の判別式は、
(-3)^2-4*6＜0
なので、これに解はない
よって、
t=X+1/X=3
191:大学への名無しさん
12/05/06 13:03:26.00 FRdNcUIL0
>>189
どっちも出来るのがベスト
接点を文字で置くと二次方程式二本になって計算量が増えるのが難点かな
円の接線は距離で考えるのがベター
>>190はt=-3です…
192:大学への名無しさん
12/05/06 13:04:27.75 VfFeeaew0
>>167-168
確かに放物線書くとyの値は0以上4以下ですけど
x^2=tとおいてるのでxの範囲をきいてるんじゃないんですか？
193:大学への名無しさん
12/05/06 13:04:28.86 xV7byFPr0
188分かりやすく教えてください
194:大学への名無しさん
12/05/06 13:07:58.53 TSkvvvP60
>>191
非常に参考になりました！
ありがとうございました！^^
195:大学への名無しさん
12/05/06 13:09:45.06 TSkvvvP60
>>188
-18じゃなくて18じゃないですか？
196:大学への名無しさん
12/05/06 13:13:49.63 FRdNcUIL0
>>192
何を言わんとしているかよく分からない
xの範囲がどうとかでなく、単純に不等式の計算を間違っていたんだよ？
197:大学への名無しさん
12/05/06 13:19:23.22 +v2k48r40
>>195
-18じゃなくて+18だよ。
元の式は右辺で-18だから。
198:大学への名無しさん
12/05/06 13:19:43.57 FRdNcUIL0
>>193
>>190参照
X+1/X=tと置いたのは見易さの問題で本質的ではない
最初の式変形はただの三乗の展開だし、tの式の変形はただの因数分解
判別式の話は、「二つの()を掛けると0になるけど、片方は確実に0じゃないからもう片方が0」というだけの話
199:大学への名無しさん
12/05/06 13:29:29.53 VfFeeaew0
>>196
yの値やy座標がとか書いてあったので
何でyが出るのって思ったので
不等式の計算ですね ありがとうございます
200:197
12/05/06 13:41:08.19 +v2k48r40
何か意味のわからないレスになっていた。
とりあえずなかったことに。
201:大学への名無しさん
12/05/06 15:11:36.78 o/1fUEf5O
>>178
亀だが
中心間の距離>半径の和だから共通接線4本引けるんだけど
原点O、A(5,0)としたとき
2本はOAを2:1に内分する点を通り、残り2本はOAを2:1に外分する点を通ることを図形的に求めたら後は傾きだけの問題になる
その傾きさえ図形的に一瞬で求まる
202:大学への名無しさん
12/05/06 17:15:49.43 xaDoHNTe0
>>163
合成の時も、今回も、
「cosでもできるよー」とあっても良いのになあ
という意味合いです。
203:大学への名無しさん
12/05/06 17:28:33.17 80yEtt8tP
合成はcosでやること多いで，俺は．
定義域にもよるけど，最大になるのが0[rad]のときってのが楽．
204:大学への名無しさん
12/05/06 18:28:28.19 5Unsquc9i
URLﾘﾝｸ(beebee2see.appspot.com)
a>1のときの接するときのx座標が-1以下かわかりません
よかったら答えもつけてお願いします
205:大学への名無しさん
12/05/06 19:12:38.46 S0S1zE+10
>>204は
aを|a|＞1を満たす実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+y^2≦1+a^2
かつ x≧-1
かつ y≧-1
を満たす時、y-axの最大値と最小値を求めよ。
206:大学への名無しさん
12/05/06 19:21:29.32 5Unsquc9i
>>205
ご丁寧にありがとうございます。
207:大学への名無しさん
12/05/06 19:34:51.36 I6aA0md00
>>206
(-1,a)での接線の傾きを考え場合分けすればわかる
が、この場合それを考えずにy-ax=k⇔y=ax+k
として条件式に代入し解の配置問題に帰結させることでkの範囲が求められる
208:大学への名無しさん
12/05/06 19:41:48.81 AqSld9ce0
>>204 って乙会か？
209:大学への名無しさん
12/05/06 20:07:25.31 5Unsquc9i
URLﾘﾝｸ(beebee2see.appspot.com)
a>1のときのMについて
円に接っするとするとx=1,-aのときM=1+a^2となり、(x,y)=(-1,a)を通るとするとM=2aになると考えました。
接っするときのx座標について、x=-1の場合は範囲内ですがx=-aの場合は範囲外になります。
このときに解の標記はどのようにすればよいのか分かりませんでした。
あと、僕の計算なと間違っていたら指摘してください
210:大学への名無しさん
12/05/06 20:38:22.71 Gf4oqjwI0
aを実数の定数として、異なる２つの実数解をもつｘの二次方程式
ｘ^2+ａｘ+2ａ^2-8=0 を考える。
このとき、
(1)ｘ=0が１つの解で他の解が正のとき、ａの値を求めよ。
(2)１つの解が負で、１つの解が正のとき、ａの値の範囲を求めよ。
(3)１つの解のみ正のとき、ａの値の範囲を求めよ。
(4)２つの解がともに正のとき、ａの値の範囲を求めよ。
おねがいします
211:大学への名無しさん
12/05/06 20:39:18.52 Gf4oqjwI0
もうひとつお願いします。
a,b を a<-1/3 b≠-2 をみたす定数とする。
(1)ｘについての不等式
x^2-(3a+3)x+3a+2<0 の解Sを求めよ。
(2)xについてのもう一つの不等式
x^2-3bx+(2b^2-b-1)<0 の解Tを求めよ。
(3)TがSに含まれるための a,b がみたす条件を求めよ。
212:大学への名無しさん
12/05/06 20:44:12.40 I6aA0md00
>>209
(-1,a)における接線の傾きは1/a だからy=ax+kが(-1,a)で接するときa=1
よってa>1のときM=2a
そもそもこの問いのだと図を描けば明らかにa<1のときkが最大値を取るとわかるから無駄な議論なんだが
>>210
グラフ書いて解の配置考え
端点と軸、判別式に注意な
213:大学への名無しさん
12/05/06 21:09:02.52 S0S1zE+10
>>209
答えはMとmをそれぞれaの場合分けで書くほうがいいかな
最大値をM、最小値をmとすると
M=2a (a＞1のとき)
=1+a^2 (a＜-1のとき)
m=-1-a^2 (a＞1のとき)
=-1+a (a＜-1のとき)
214:大学への名無しさん
12/05/06 21:09:21.84 Gf4oqjwI0
>>212
解の存在範囲の問題だとはわかるんですが、はずかしながら、(2)と(3)の違いがわからないのです･･･
215:大学への名無しさん
12/05/06 21:11:09.28 5Unsquc9i
>>212
M,mについて、aで場合わけして
a>1のとき
M=2a,m=-1-a^2
a<-1のとき
M=1+a^2,m=-1+a
と、書くのか
M,mだけに注目して
1+a^2>2aよりa<-1のときM=1+a^2 ,
-1-a^2<-1+aよりa>1のときm=-1-a^2
と、書くのとではどちらが正しいのですか？
216:大学への名無しさん
12/05/06 21:29:58.42 S0S1zE+10
>>213
細かいけど=の書き方変だったから
M={
m={
の後に２つ並べてよくある解答にしてくれ
>>215
前者は同じだからどっちの書き方でもいいけど
設問が最大値、最小値を求めよだから
それに応じるように答えたらすっきりするかな
後者は～よりの部分は常に成り立つし、よく意味がわからん…
217:大学への名無しさん
12/05/07 00:51:26.96 0A2i8h/Q0
>>214
(1)と(2)で求めたSとTから、S⊃Tとなる条件を求めるのが(3)
(2)と(3)はまるで違う設問なんだけど、この違いが分からないのはちょっとまずいレベルじゃないか？
218:大学への名無しさん
12/05/07 01:29:15.09 LA+tWW7Ti
関数y=2sinθ－cos2θのグラフの概形をかき、その周期を求めよ
お願いします
グラフは写真などでお願いします
219:大学への名無しさん
12/05/07 01:34:04.78 Num+e22j0
>>218
丸投げしね
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
220:大学への名無しさん
12/05/07 02:41:54.80 Mdw0i7E30
分数同士のわり算の商を求めるのに逆数をかける理由を文字を用いて説明せよ。
小学校6年の算数を数学で・・・無理です。
頭の切れる方の解答をお待ちしております。
221:大学への名無しさん
12/05/07 03:34:41.22 k9z7qL/D0
そんな問題入試ででるわけねーだろｗｗそんなんで悩む時間あるなら英単語の一個でも覚えろｗｗｗ
a÷b = x (a,b,x∈R, b≠0) …①
においてbの逆数をb'とおくと四則演算の定義より
b*b'=1
だから①の両辺にb*b'をかけて
a*b*b'÷b = a*b' = x
222:大学への名無しさん
12/05/07 06:56:00.28 XzHADh+I0
>>221
たぶん、220が求めている解答はもっとレベルが低いというか、露骨に分数を
分母分子に出すやり方だと思うよ。まさに「説明」レベル。
223:大学への名無しさん
12/05/07 07:13:13.09 LA+tWW7Ti
218
式変形だけでもお願いします
224:大学への名無しさん
12/05/07 07:23:47.15 n3fWwkiFO
ただでさえ嫌われる宿題丸投げなのに
グラフは写真などでお願いしますときたもんだからね
まぁ何と言うか癇に障る感じだよね
ぶっちゃけ礼儀の問題じゃなくて、答えが欲しいならなおのこと
答えてあげたくなる質問の仕方を考えた方が結局自分の為になるよね。
225:大学への名無しさん
12/05/07 08:06:35.30 LA+tWW7Ti
ここ頭悪いやつ多いな
所詮駿台で70にも届かないクズどもなんだろう
そんなやつが答えてるなんて信用できんわ
226:大学への名無しさん
12/05/07 08:08:52.09 Ua94efm+i
そもそも219でグラフの概形わかるじゃん。リンク見てないのか？
そのグラフの形見ても、概形を書きっていう問題の形式からも微分して増減表書いてグラフ書く問題って分かりそうなもんだがな。
227:大学への名無しさん
12/05/07 08:08:59.82 hghwJKac0
これはまたストレートな逆ギレｗ
228:大学への名無しさん
12/05/07 08:14:55.20 Ua94efm+i
＞ここ頭悪いやつ多いな
＞所詮駿台で70にも届かないクズどもなんだろう
煽るにしてもこんな事言って悲しくなんないのかな？確実に自分はそのクズども未満だろうに…
229:大学への名無しさん
12/05/07 11:40:47.43 bQRONMG00
絶対値記号の付いたものに関する疑問なんですが
①|f(x)|=|g(x)|⇔f(x)=±g(x)⇔±f(x)=g(x) ← これがいえる理由がわからない。
②|x-1|≧2xを解くときに、x≧0のとき、両辺を2乗して～・・・・ として解く←左辺の条件は
考えなくていいのか（すなわち、ｘ≧0かつｘ≧1⇔ｘ≧1のとき）としなくていいのか
以上二つについてよくわからないんですが考え方をご教授ください。
230:大学への名無しさん
12/05/07 11:43:26.25 bQRONMG00
実は同値変形関係についていろいろ疑問に思うことが多すぎるんです。なので
もし自分が疑問に思っているようなことが解決できるような書物があったら
教えてください。
231:大学への名無しさん
12/05/07 12:43:25.63 l5iZTwEO0
>>229
(1)場合分けして絶対値をはずせ。逆や右側のは問題ないだろ。
(2)場合分けして絶対値をはずした上で2乗してみろ。場合分けする必要がない理由がわかる。
232:大学への名無しさん
12/05/07 20:11:46.67 bQRONMG00
>>231
ありがとうございます(*´д`*)
233:大学への名無しさん
12/05/08 06:42:31.74 vH8kYDeGi
答案書くときって同値記号って使わないほうがいいのですか？
河合塾の模試とかだと全て式変形は∴を使ってるし…
234:大学への名無しさん
12/05/08 06:56:47.03 EBj+xMyP0
ややこしい連立方程式を解くときとか
領域寿司問題(特に逆手流を使うとき)とか、
同値性を意識した議論が必要なときはむしろ積極的に使うほうがいいと思うが
235:大学への名無しさん
12/05/08 08:13:30.38 BOJ3dV10i
同値変形であるという事を自分で確信して変形してるなら使えばいいと思うけど
良く分かってなくて式変形してるだけなら使わない方がいいよね。
書かなくても問題ない事が多いからね。
領域図示の様に、十分性を逆が成り立つ事を書く必要がある場合なんかは同値変形が基本かな。
ただ家で勉強する時には、そういうあやふやな変形について良く考えて分からなかったら先生に質問するなりした方がいい。
236:大学への名無しさん
12/05/08 09:04:43.37 vH8kYDeGi
>>234
逆手流って何ぞや？
237:大学への名無しさん
12/05/08 09:05:29.91 vH8kYDeGi
>>235
了解です！
いたずらに使うのはやめます
238:大学への名無しさん
12/05/08 09:41:36.08 BOJ3dV10i
>>236
逆像法の受験ジャーゴンだなぁ
239:大学への名無しさん
12/05/08 11:48:02.27 nk/Izf7C0
4s^2+t^2=4を満たす実数s,tについて、y=12s^2+16st-3t^2の値を最小とするs,tの値を求めよ
解説は4s^2+t^2=4よりs^2+(1/4)t^2=1からs=cosθ,t=2sinθと媒介変数にして解いています
yをsの二次式とみて平方完成して、軸s=(-2/3)tを4s^2+t^2=4に代入して解くのは何故ダメなのでしょうか？
240:大学への名無しさん
12/05/08 12:08:12.74 dDNIDraj0
>>239
下に凸の2次関数の最小がいつでも頂点で起こるとは限らないだろ。
241:大学への名無しさん
12/05/08 12:09:45.10 s1Ls8ZVCO
>>239
>平方完成してs=(-2/3)t
ちょっとやることがずれてるよね
242:大学への名無しさん
12/05/08 12:27:32.52 h1bSMMH50
>>239
y=12s^2+16st-3t^2をyがsの二次関数であると見てグラフを考える。
このとき、tを定数とみているわけだが、4s^2+t^2=4という条件を合わせると、
sの値はtに対して最大2個しかとれないので、yの値は先ほどのグラフ上のどこか最大2点だけで見ることになる。
ここでtを変化させるとグラフの位置も変わるので、yの値がグラフ上の頂点ではない位置での値である場合のほうが、
グラフ上の頂点の位置での値である場合よりも小さい場合もありえる。
243:大学への名無しさん
12/05/08 13:12:19.50 23zizqnA0
sin(x+b)の積分ってどうやってやるんでしょうか？
244:大学への名無しさん
12/05/08 13:15:52.86 mr+LTBIj0
どうしても分からないというのなら
t=x+bとおけば？
245:大学への名無しさん
12/05/08 13:52:11.88 JkeeQyDd0
1/x^3の原始関数がなぜ -(1/2)x^-2 なの？
246:大学への名無しさん
12/05/08 15:23:35.22 C/pwWXKb0
>>245
微分してミロや
247:大学への名無しさん
12/05/08 22:27:02.31 nk/Izf7C0
>>242
ありがとうございます
248:大学への名無しさん
12/05/08 23:06:09.65 6PkGRVLZ0
a^2+b^2=c^2(a、b、cは自然数)
俗に言うピタゴラス数です。
a、bのいずれかが3の倍数であることを示せって問題で、背理法を使うみたいなんです。
んで解答が
a、bが共に3の倍数で無いと仮定してn=3m+i(mは整数、i=0、1、2)のとき
n^2=(3m+i)^2=9m^2+6mi+i^2=3(3m^2+2mi)+i^2
よってnを3で割った余り(i)・・・0、1、2|n^2を3で割った余り(i^2)・・・0、1、1
よってa^2+b^2を3で割った余りは2 c^2を割った余りは0又は1
∴a^2+b^2=c^2は矛盾するので題意は成り立つ
ってなってるんですが何で矛盾するって言えるのかが分かりませんorz
鬱陶しい問題でスミマセン…
249:大学への名無しさん
12/05/08 23:18:51.08 EBj+xMyP0
a^2 + b^2 を3で割った余り は 2
c^2 を3で割った余り は 0 か 1
だったら a^2 + b^2 と c^2 が等しいはずないだろう
250:大学への名無しさん
12/05/08 23:19:10.37 7B0Pt3H50
>>248
最初のほうに書かれているのは、結局
・i=0のときn^2を3で割った余りは0。
・i≠0のときn^2を3で割った余りは1。
ってこと。
a、bがともに3の倍数でない場合（つまり、i≠0の場合）、a^2もb^2も3で割ると1余るということになるので、
a^2+b^2を3で割ると2余ることになる。
一方、c^2を3で割ると余りは0または1。
a^2+b^2=c^2の両辺を3で割ると、左辺は余り2、右辺は余り0か1となることになり矛盾。
251:大学への名無しさん
12/05/08 23:20:37.88 TXeGuL4J0
>>248
前提されている通り、a^2+b^2とc^2は等しい数だよね。
等しい数であれば、３で割った余りも等しくなる。
（それが割り算の定義だから）
それなのに、一方（左辺）は３で割ると２余る数で、
他方（右辺）は３で割ると余りが０か１となる。
これでは同じ３で割っているのに余りが一致しないわけで、
これは矛盾。
252:大学への名無しさん
12/05/08 23:24:49.81 6PkGRVLZ0
なるほど…
分かりました!!ありがとうございます!!ww
253:大学への名無しさん
12/05/09 18:24:27.86 1Jxqwf4y0
理標にある北大の数ＩＩＩの問題が分かりません。
f(x)=xsinx+cosx、n：自然数
(1)2nπ≦x≦2nπにおいて、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
(2)(1)でもf(x)=0となるxの値をanとする。(2nπ≦x≦2nπ)
このとき【＜lim：n→∞＞(an-2nπ)】=0を示せ。
解答
(1)xsinx+cosx=0⇔tanx=1/x(x=0,cosx=0)
よってグラフから共有点は1つ
(2)(1)より、0＜an-2nπ＜π/2…①かつtanan=1/an…②
このとき0＜tan(an-2nπ)=tanan=1/an(∵②)＜1/2nπ→0(n→∞)
∴tan(an-2nπ)→0(n→∞)
∴(an-2nπ)→0(n→∞)
254:大学への名無しさん
12/05/09 18:30:57.40 1Jxqwf4y0
疑問
≦が＜に姿を変えたりして分かりません！
何で解答でいきなり(x≠0,cosx≠0)とあるのですか？
2nπ≦x≦2nπ+π/2では、cosx＝0となるはずです。
一応グラフを考えるので適当にcosx≠0つまり2nπ＜x＜2nπ+π/2でいいかな、と考えましたが
「2nπ≦x≦2nπ+π/2においてf(x)=0となるxがただ1つ存在する
⇔2nπ＜x＜2nπ+π/2においてf(x)=0となるxがただ1つ存在する」
これは←は成り立つにしても→は成り立たないと思います…
問題がおかしいと思うのですが、皆様はどう思われますか？
最初から問題に、2nπ＜x＜2nπ+π/2、と書いてあればと思うのですが…
255:大学への名無しさん
12/05/09 18:33:18.23 1Jxqwf4y0
>>253でミスがあったので修正しました。
理標にある北大の数ＩＩＩの問題が分かりません。
f(x)=xsinx-cosx、n：自然数
(1)2nπ≦x≦2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
(2)(1)でf(x)=0となるxの値をanとする。(2nπ≦x≦2nπ+π/2)
このとき【＜lim：n→∞＞(an-2nπ)】=0を示せ。
解答
(1)xsinx-cosx=0⇔tanx=1/x(∵x≠0,cosx≠0)
よってグラフから共有点は1つ
(2)(1)より、0＜an-2nπ＜π/2…①かつtanan=1/an…②
このとき0＜tan(an-2nπ)=tanan=1/an(∵②)＜1/2nπ→0(n→∞)
∴tan(an-2nπ)→0(n→∞)
∴(an-2nπ)→0(n→∞)
疑問点>>254
256:大学への名無しさん
12/05/09 18:41:55.17 dPhG3whI0
>>254
cosx＝0やsinx=0だったらf(x)=0にならないから
257:大学への名無しさん
12/05/09 18:50:43.65 1Jxqwf4y0
>>256
それは分かります。
それなら、やはり最初から問題が
2nπ＜x＜2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
であるべきだと思うのです。このままだと理論的に
（大体2nπ≦x≦2nπ+π/2）において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
になってしまいますが…
こういう問題の表記はありなんですか？
258:大学への名無しさん
12/05/09 19:41:15.36 wrVXrwE1i
>>257
＞2nπ＜x＜2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
＞であるべきだと思うのです。このままだと理論的に
＞（大体2nπ≦x≦2nπ+π/2）において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する事を示せ
＞になってしまいますが…
意味不明。
昔東大に円周率が3.05より大きくなる事を証明しろという問題があった。
君はそれを、おかしい！円周率は3.14159…だからそれでは円周率がだいたい3.05になってしまうではないか！って真面目な顔をして主張してる事と同じになるが。
259:大学への名無しさん
12/05/09 19:44:41.70 BbFUpiRU0
>>257
「2nπ≦x≦2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する」・・・（＊）
⇔
「2nπ＜x＜2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する」・・・①
かつ「x=2nπ,2nπ+π/2のときf(x)≠0」・・・②
だから論理に不具合はない。
今、②はOKなので、あとは①を示せば（＊）が証明されたことになる。
260:大学への名無しさん
12/05/09 19:51:28.00 BbFUpiRU0
>>259訂正
二行目
⇔でなく
←
261:大学への名無しさん
12/05/09 20:01:48.37 1Jxqwf4y0
>>258
そんな事ではないです。
例えば、f(x)=x（x＜1）の最大値はf(1)、と書いて満点になりますか・・・？
>>260
そういう考え方もあるんですね…
ありがとうございました。
でもどうしても、普通に単純に考えたら
「2nπ≦x≦2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する」・・・・・・・・・A＋B＋C
⇔
「2nπ＜x＜2nπ+π/2において、f(x)=0となるxがただ1つ存在する」かつ
「x=2nπ,2nπ+π/2のときf(x)≠0」・・・・・・・・・・・・・・・・・・A
または
「f(2nπ)=0かつf(x)は単調増加または単調減少」・・・・・・・・・・・・B
または
「f(2nπ+π/2)=0かつf(x)は単調増加または単調減少」・・・・・・・・・・・・・・・C
だと思うのですが、そうではないのですか？
上記のような抱合関係だと思うのですが、どこが間違っているのか教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(up.tokyotech.net)
262:大学への名無しさん
12/05/09 20:12:39.78 fPa2rwxV0
同値変形しなくていいじゃん。
等号が付いていない狭い範囲で「ただ一つ存在する」ことがいえて、
端っこではf(x)がゼロにならないことが言えたんだから、
等号が付いている広い範囲で「ただ一つ存在する」といえたんだ、と
考えればよいだけだよ。
端っこでゼロにならなきゃいけないわけじゃないんだから。
263:大学への名無しさん
12/05/09 20:18:41.52 pStPF5Ec0
f(x)は 2npと2np+π/2代入したらどっちの時も1とか-1で
0にならんでしょ。
だから、単調性だけを言ったらいいだけでしょ。
264:大学への名無しさん
12/05/09 20:21:50.39 wrVXrwE1i
>>261
＞>>258
＞そんな事ではないです。
＞例えば、f(x)=x（x＜1）の最大値はf(1)、と書いて満点になりますか・・・？
なる訳がない。
そういうふうに言いそうだから書いた。
あなたは普段意識してないだけで、最大値最小値を出す時には存在を明記しないといけない。
言い方をかえると十分性を明示する義務がある。
大半の数学の問題が必要十分なものを答えとして求めているからそう思うかもしれないけど
必要条件で範囲を絞る事だけを求められる事をだってあるんだよ
265:大学への名無しさん
12/05/09 20:28:08.81 mgQiIamN0
グラフ書くときにyの一次導関数の極限を求めるときがありますよね？それって何のためですか？
266:大学への名無しさん
12/05/09 20:28:21.09 BbFUpiRU0
>>261
⇔ということならそうだ。
（ABCはどのふたつも同時には起こらない事に注意）
しかし現状のfで、BとCはあり得ないのでやはりAを示すことになる。
267:大学への名無しさん
12/05/09 20:29:02.82 pStPF5Ec0
「2nπ≦x≦2nπ+π/2においてf(x)=0となるxがただ1つ存在する
⇔2nπ＜x＜2nπ+π/2においてf(x)=0となるxがただ1つ存在する」
↑
こんなん誰が言ったの？間違ってるでしょ。
同値なわけないと俺も思うけど。
268:大学への名無しさん
12/05/09 20:33:44.01 wrVXrwE1i
>>267
同値記号で勝手に繋いだのは質問者本人
解答の意味を曲解して式に無理やり起こした
269:大学への名無しさん
12/05/09 20:43:35.96 5whkCKxU0
これでも納得できなかったら数Aの論理と集合丁寧にやり直せってこったな
270:大学への名無しさん
12/05/09 20:56:41.15 uR1SEeHAI
0＜α＜π 、0＜β＜π とする。
sin2α－cos(π－β)＝1
cos2α＋sinβ＝1
のとき、tan(α＋5β)の値を求めよ。
数2の三角関数の知識で解いてください。
どう変形すればよいのかわかりません。
お願いします。
271:大学への名無しさん
12/05/09 22:56:31.89 T4bqH1UsO
>>270
上の式は
sin2α+cosβ=1
これと下の式
cos2α+sinβ=1
の2つの等式の両辺2乗して辺辺加える
そこで加法定理考えると
sin(2α+β)=0になる
これでα,βの大きさ(の組み合わせ)が分かる
272:271
12/05/09 23:05:25.03 T4bqH1UsO
いや
(1-sin2α)^2+(1-cos2α)^2=1とする方が連立方程式の基本に則るかな
273:大学への名無しさん
12/05/10 10:47:48.44 nsR0mHzv0
規制されていて今さらですが >>71 についてです。
高校までの範囲でない気がしますが…
X=bx，Y=by
より
dX=b・dx，dY=b・dy
よって
dY/dX=(b・dy)/(b・dx)=dy/dx
または
dY/dX=(dY/dy)(dy/dx)(dx/dX)=dy/dx
と示すのかな？
x軸方向にもy軸方向にも同じ倍率で拡大・縮小しているから
傾きは変わらないということでしょうね。
274:大学への名無しさん
12/05/10 15:53:50.07 2dvKD5bf0
同次形の微分方程式はu=y/xとおけば変数分離の形に直せます
275:大学への名無しさん
12/05/10 16:20:23.89 j5hWJBfYO
こんにちは。よろしくお願いします。
問
500以下の自然数のうち
4で割ると3余り
9で割ると6余る
数は何個あるか。
箇条書ですが
●4で割ると3余り→4の倍数に3を足す
●9で割ると6余り→9の倍数に6を足す
●500以下の自然数に3を足すと4でも9でも割り切れる
●最小公倍数の36の倍数から3を引く
ここまで解いて【１３個】という正解を導きましたが不正解となりました。
どこがいけなかったのでしょうか？
ちなみに正解は教えてもらっていません。不明です
276:大学への名無しさん
12/05/10 16:24:09.67 m9uqURRw0
>>275
> ●500以下の自然数に3を足すと4でも9でも割り切れる
これは一体何を意味してんの？
277:275
12/05/10 16:31:59.56 j5hWJBfYO
いま>>276を見て勘違いしてるのに気づきました。
その項目が無ければできるかもしれません！
278:275
12/05/10 16:38:39.41 j5hWJBfYO
解き直しましたが１３に戻ってしまいました…。
279:２７５
12/05/10 16:45:33.45 j5hWJBfYO
諦めます。
ありがとうございました。
280:大学への名無しさん
12/05/10 16:46:07.45 gSg+91Jqi
>>275
＞500以下の自然数のうち
＞4で割ると3余り
＞9で割ると6余る
＞数は何個あるか。
4で割ると3余る数と9で割ると6余る数は
合計で何個あるかっていう内容の問題の読み違えとかではないの？
281:大学への名無しさん
12/05/10 16:53:02.89 m9uqURRw0
>>275
うまいほうほうは過去の偉人にまかせるとして、
3、7、11、15、19……
6、15……
で、最小が15とわかる。
あとは、最小公倍数の36を足していった数も条件を満たすから（それ以外は満たさない）、
500までにいくつあるのかを考えるだけ。
どういうやり方をしたのかをもっと具体的にきちんと書かないと、何がおかしいのか指摘しづらいよ。
282:２７５
12/05/10 17:00:58.51 j5hWJBfYO
>>280
すいません。読み違いでした。訂正します。
４で割ると３余る数
９で割ると６余る数
以上の合計を求める内容の問いでした。
500以下の数字から一つずつ計算して余りの数の合計を見つけていこうと思います。
283:大学への名無しさん
12/05/10 17:03:49.24 j5hWJBfYO
>>281
ありがとうございます！助かります！
＞どういうやり方をしたのかをもっと具体的にきちんと書かないと、何がおかしいのか指摘しづらいよ。
申し訳ございません…以後、気をつけます。
284:大学への名無しさん
12/05/10 17:08:20.21 Ec2qLsP/0
回答お願いします。もしくは、これが理解できそうなサイト、参考書教えて頂けると嬉しいです。
問)サイコロを四回投げて、出た目を順にa1,a2,a3,a4とするとき、a1<a2<a3<a4となる目の出方は？
解説)大小関係が決まっているので、
[1-6から四個選ぶ組合せ]と[順列( a1,a2,a3,a4 )]とが1対1で対応する。
よって6C4=6C2=15(通り)
この解説において、組合せと順列が1:1で対応するというのがわかりません。お願いします。
285:大学への名無しさん
12/05/10 17:15:59.13 m9uqURRw0
>>282
それぞれいくつあるのかを求めて、重複する>>281のぶんを引けばいい。
あるいは、合計って和を求めるってこと？それでも、似たようなやりかただけど。
それぞれの和を求めて、重複する>>281のぶんも和を求めて引く。
286:大学への名無しさん
12/05/10 17:21:26.10 m9uqURRw0
>>284
4個選んで小さい順に並べたのがその順列ってこと。
1と2と3と4を選んだとする。
これをa1<a2<a3<a4という条件無しに順列を考えたら4!通りあるが、
その条件があるために、1234という1通りしかない。
1～6から4つ数字を選ぶと、そのそれぞれに対しても1通りしかない。
287:大学への名無しさん
12/05/10 17:25:10.10 Ec2qLsP/0
>>286
すごくよくわかりました！
ありがとうございます！
288:大学への名無しさん
12/05/10 19:05:39.49 eKMnFkOH0
物理の問題をやっていて分からない所があったのですが、
内容的に数学かなと思ったのでこちらで質問させて頂きます。
正方形の△ABCがあります。
点AからBCに垂直二等分線を引きます。
(∠Aは二等分されます。)
このとき垂直二等分線とBCの交点をOとき、△ABCの重心をGとします。
(Gは線分AO上にあります。)
このとき∠BGO = 60° というのはどのような手順で成り立つのでしょうか？
289:大学への名無しさん
12/05/10 19:06:47.78 eKMnFkOH0
すみません。
訂正です。
どのような手順で成り立つのでしょうか？
↓
どのような手順で成り立つと分かるのでしょうか？
290:大学への名無しさん
12/05/10 19:11:28.06 m9uqURRw0
>>288
> 正方形の△ABCがあります。
まずここから説明してくれ。
> 点AからBCに垂直二等分線を引きます。
これも意味がわからんぞ。
291:大学への名無しさん
12/05/10 19:12:03.63 x13UBY720
角Bは二等分されるので角GBOは30度、よってBGOは60度
292:大学への名無しさん
12/05/10 19:15:50.46 eKMnFkOH0
>>291
回答ありがとうございます。
何故GBが ∠B を二分していると言えるのでしょうか？
293:大学への名無しさん
12/05/10 19:20:09.20 x13UBY720
内心＆外心であるGを通っているから
294:大学への名無しさん
12/05/10 19:21:19.16 x13UBY720
すべて、文脈から正”三角”形だと仮定した話だけど
295:大学への名無しさん
12/05/10 19:21:51.67 eKMnFkOH0
>>293
正方形の重心は内心外心を兼ねていたんですか！
知りませんでした。
ありがとうごさいました。
296:大学への名無しさん
12/05/10 19:22:27.46 eKMnFkOH0
Oh...
正方形と正三角形を間違えていました。
すみません……
297:大学への名無しさん
12/05/10 20:18:55.32 GnLBFodXO
名大理系に似た傾向の問題を出す大学を教えてください
298:大学への名無しさん
12/05/10 20:20:49.61 HEQlqYI30
数が限られる
阪大九大トンペイあたり
299:大学への名無しさん
12/05/10 21:46:51.06 GnLBFodXO
>>298
さんくす
300:大学への名無しさん
12/05/11 03:15:44.96 /JN1+WiI0
数ＩＩＩ回転体の体積の問題のベクトルを使った解き方（記述）は、これで合っていますか？
問題集にはベクトルを使わないやり方で載っていました…
一応答えは合っています。
ベクトルの矢印は省略します。
問題
O（0、0、0） A（1、1、0） B（1、0、0） C（1、0、2）
三角錐OABCをz軸に一回転させて出来るやつの体積V
自分の解答
OC上の点をP、AC上の点をQとおき、0＜s＜1とすると。
OP＝sOC＝（s、0、2s）、OQ＝OA＋sAC＝（1、1－s、2s）
2s＝tとおくとs＝t/2
よってOP＝（t/2、0、t）、OQ＝OA＋sAC＝（1、1－t/2、t） （0＜t＜2）
ここで三角錐OABC…①を平面z＝t…②で切った時の、①②の共通範囲の式をf(t)として、
f(t)＝π|OQ|^2－π|OP|^2＝π（2－t）
∴V＝＜∫0→2＞f(t)Adt＝2π
301:大学への名無しさん
12/05/11 07:22:54.98 Qb9d3V6i0
fの式を出すときの円の中心は、原点Oではなく、z軸と平面z=tの交点O'
頭では分かってるようだけどちゃんとそう書かないと誤解を招きかねない
OC、ACと平面z=tの交点P、Qの座標を出すにあたって、ベクトルなんて大仰なものを持ち出さなくても三角形の相似で一発だから回り道ではある
あと、一応BCと平面z=tの交点Rについて、図でも書いてO'P<O'R<O'Qに言及したほうがよりよい
302:大学への名無しさん
12/05/11 12:57:12.29 iWBMZpJf0
「x+y,xyは互いに素である」は「x,yが互いに素である」ための
「必要条件である」「十分条件である」「必要十分条件である」．
x yが互いに素であるときx+y xyが最大公約数Gを持つと仮定するとxy=kGよりxまたはyがGを約数にもつ
仮にx=aGとするとx+y=lGよりy=(l-a)Gとなりyも約数Gをもつ
ここでx yは互いに素であるからG=1
よってx+y xyも互いに素である
x yが最大公約数G(G≠1)を持つときx=aG y=bGとするとx+y=(a+b)G xy=abG^2よりx+y xyも約数Gをもつ
よってx+y xyが互いに素であるときx yも互いに素である
よって必要十分条件である
ｽﾚﾘﾝｸ(juku板)
に出されていた問題です
違うみたいなのですが全然分からないのでよろしくお願いします
303:大学への名無しさん
12/05/11 14:12:43.22 oegPgUk30
>>302
x, yの変域は？自然数？実数？複素数？
304:大学への名無しさん
12/05/11 14:15:22.60 nX/njVtl0
>>302
> xy=kGよりxまたはyがGを約数にもつ
ここ、おかしくないか？
305:大学への名無しさん
12/05/11 14:22:34.88 HUxTy2w8P
>>304
Gは素数って書いとかなあかんよな
306:大学への名無しさん
12/05/11 18:41:56.01 zALjVfLD0
問)２点A(4,0),B(0,2)とx^2+y^2=25上の点P(x,y)に対して、
AP↑・BP↑の最大値・最小値を求めよ
答)AP↑,BP↑の成分出してAP↑・BP↑=kとおくと、内積計算してk=25-4x-2y
これより4x+2y+k-25=0から、直線4x+2y+k-25=0と円x^2+y^2=25が
共有点を持つための条件は(直線と中心の距離)≦(半径)より、25-10√5≦k≦25+10√5
内積求めるのに、なぜ共有点の話になるのかがわかりません、お願いします。
307:大学への名無しさん
12/05/11 18:58:08.69 zALjVfLD0
ちょっと言い直し...
内積の最大最小を調べることにおいて、なぜ共有点の話になるのかがわかりません。
308:大学への名無しさん
12/05/11 19:06:02.40 nX/njVtl0
Pが存在することが必要だから。
309:大学への名無しさん
12/05/11 20:05:08.83 Z0Hcb1me0
>>307
点Pはそもそも円周上の点だろ。（これを①の式としよう）
そして、内積をkと置いて計算した式（これを②の式としよう）も満たすわけだ。
後の式②は、xとyの式だと思ってみると直線の式だから、点Pは直線②上の点
でもあるわけだ。
そうすると、点Pは円①と直線②のどちらの上にもあることになる。
ここまで説明したら、そのような点Pが存在するということは、円と直線が
共有点を持つことと同値だということがわかるかな？
そしてそれは、kの値が、円①と直線②が共有点を持つような範囲を
取ることと同値なんだね。
それが分かれば、円と直線が共有点を持つための条件を考えれば
kの動く範囲が出せると分かるよね。
310:大学への名無しさん
12/05/11 22:23:59.40 3isWAGT40
cm,mm-cm,mm/n=をcmやmm単単体に直さずに計算する方法ってある？
311: 【東北電 86.7 %】
12/05/12 09:55:43.94 VGWlnl7T0
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ミリ（milli, 記号:m）は国際単位系(SI)における接頭辞の一つで、以下のように、基礎となる単位の10-3倍（＝1000分の1、0.001倍）の量であることを示す
312:大学への名無しさん
12/05/12 11:45:12.58 tbkSf+ZRi
物理で加速度から速度や位置を求めるときに使いたいんだけど、定積分の積分区間に積分変数が入ることっておかしい？
313:大学への名無しさん
12/05/12 12:24:08.24 /aPJBMSF0
>>312
積分区間は定数
何か間違ってるか、積分区間の中の変数と積分変数が文字は同じだけど違うものであるかのどっちか
314:大学への名無しさん
12/05/12 13:09:05.08 tbkSf+ZRi
ありがとうございます。
物理の講師が使っていて気になったのです。
315:大学への名無しさん
12/05/12 13:27:17.85 q9wYdqTH0
三角形ABCの内部に点Pをとる
点Pを通る直線を上手く引けば、必ず三角形ABCの面積を二等分できることを示せ
感覚的に「そりゃそうだろ」とは思うんですが説明の仕方がさっぱりわかりません
316:大学への名無しさん
12/05/12 13:30:36.90 qAkZ4zH7P
>>315
中間値の定理使うっぽいな
317:大学への名無しさん
12/05/12 16:19:44.68 G03RyqY40
行列について質問です。
尚、以下に示すAは2次の正方行列として読んで下さい。
A[[a], [b]] = [[x], [y]]
A[[c], [d]] = [[z], [u]]
とするとき、
A[[a, c], [b, d]] = [[x, z], [y, u]]
となるから～
と書かれていたのですが何故このようになるのか分かりません。
チャートや教科書では何の断りも無く当たり前のように使われています。
公式か何かなのでしょうか？
お願いします。
318:大学への名無しさん
12/05/12 16:25:24.25 G03RyqY40
行列の表記方法に自信が無くなってきたので写真で貼ります。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
319:大学への名無しさん
12/05/12 16:40:45.71 /aPJBMSF0
>>315
「重心を通る直線は面積を二等分する」という、実験的には分かることを論証できればいけるな
>>317
結論の式の、右辺の一列目に関わるのは、左辺のA×(右側の行列の一列目)の部分
同じく二列目に関わる部分は、左辺のA×(右側の行列の二列目)の部分
そこだけ抜き出したのが第一式・第二式というように見なせる
320:大学への名無しさん
12/05/12 16:52:19.28 9ul4b672i
定理みたいなもんだと思って覚えて、断りなくつかっていいと思うよ。
説明をしようとすると
まずAが2行2列の行列ってのがわかる？
行列の掛け算が定義出来るには
m行n列を(m,n)ってあらわすと
(a,b)×(m,n)でb=mってのが必要なの。これは掛け算の成分計算の仕方考えれば分かる。
そして出来る行列は
(a,n)の形の行列になるわけ
A×(2,1)=(2,1)って事はAが(2,2)って事が上二つの条件から言える
実際にAの成分を自分でおいて計算して見てご覧。それぞれの行列計算に影響及ぼさないから成り立つのが分かるから。
321:大学への名無しさん
12/05/12 17:00:19.09 2tVQ0r4m0
>>319 の上
凄いと思ってベクトルで証明しようとしたのですが
正三角形ABCの重心を通る直線が辺BCに平行なとき
面積は二等分されませんよね？
322:大学への名無しさん
12/05/12 17:03:35.10 mAJFd9JN0
>>321
中間値の定理でいいんじゃないの？
323:大学への名無しさん
12/05/12 17:11:10.79 2tVQ0r4m0
>>322
分割された部分の面積の差をとると考えましたが
符号が入れ替わるというのをうまく示せません。
適当な直線で差が正，別の直線で差が負になり，連続関数だから
ということなんでしょうけど。
324:大学への名無しさん
12/05/12 17:17:36.34 /aPJBMSF0
>>321
あぁ…本当だ…勘違い恥ずかしすぎ…
ある直線を考えて、それを徐々に回転させていくと、角度πになった時点で両側の面積が入れ替わるから差の符号が逆転するから、その回転の途中で差が0になる角度がある
じゃダメかな？
325:大学への名無しさん
12/05/12 17:38:48.13 mAJFd9JN0
直線じゃなくて、三角形のほうを回転させたほうが説明しやすいかも知れない。
三角形内部の点Pを通る縦線を引く。
縦線より右側のほうが大きいとする。
三角形を点Pを中心に180°回転させると右側のほうが小さくなる。
途中のどこかで等しくなっている。
326:大学への名無しさん
12/05/12 18:08:21.97 2tVQ0r4m0
なるほど。
連続性は明らかでいいんですよね。
327:大学への名無しさん
12/05/12 18:16:11.26 mAJFd9JN0
>>326
大学受験レベルでならいいんじゃないかなあ？
328:大学への名無しさん
12/05/12 18:31:57.00 2tVQ0r4m0
そうですよね。
面積の差をS(θ)とでもおいて高校の連続の定義をみたすと考えられる
くらいでいいですよね。
お二人ともありがとうございました。
(元の質問者ではないです)
329:315
12/05/12 18:37:55.45 q9wYdqTH0
皆さんのおかげで分かりました
ありがとうございました
330:大学への名無しさん
12/05/13 00:02:45.78 ExheP+yy0
ぶっちゃけ高校数学ではどうでも良いことなんですが、気になるんで質問します。
何故積分は微分の逆計算になるのですか？
微分、というか導関数は微分の定義で証明して納得したんですが
積分がなぜ微分の逆なのかが分かりませんorz
積分=面積を求めてる(かなりザックリ言ってます) ってのは聞いたことがあるんですが…
331:大学への名無しさん
12/05/13 08:36:57.83 bvQCKMgU0
>>330
ちゃんと教科書に書かれているはずだが。
332:大学への名無しさん
12/05/13 08:55:44.55 jRerXjcc0
>>330
教科書には載ってないけどはさみうちの原理で逆演算になっているということは
証明できるよ。
証明しても意味無いけど。微分と積分はそもそもルーツが違うので。
333:大学への名無しさん
12/05/13 09:09:52.11 V4lok+K50
>>332
マジ？載ってないの？
じゃあ、積分でああいう計算をするのはなぜなのか説明無しで、ただこうしなさいって書かれてんの？
334:大学への名無しさん
12/05/13 09:12:50.23 mSNe05xV0
>>330
微小面積dS=f(x)dxで表せる
また区分求積を用いてS=∫f(x)dxと表せるので上の式に代入すると
d∫f(x)dx=f(x)dx⇔d/dx{∫f(x)dx}=f(x)
大雑把ですがこんなもんでいいんじゃないでしょうか
335:大学への名無しさん
12/05/13 09:33:55.42 d7xzxQ4i0
不定積分とは微分の逆、すなわちある関数f(x)に対し、微分するとf(x)になる関数F(x) (f(x)の原始関数) を求める操作。
定積分とは、ある関数f(x)の原始関数F(x)におけるF(b)-F(a)を∫[a→b]f(x)dxと表す、というところからスタートし、
面積との関係、区分求積による再定義、と進む。
教科書だとこんな流れじゃなかった？
336:大学への名無しさん
12/05/13 10:00:52.55 /YciGvyU0
(高校の意味での)積分は区分求積から定義される
その後、積分の加法性、f≦g⇒∫fdx≦∫gdxを示し、さらに連続関数fに対して
∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(c)
を満たすc∈(a,b)の存在を示した上で、ようやく微積分学の基本定理が証明できる
337:大学への名無しさん
12/05/14 21:51:11.04 WtYPxg/R0
>>332
つまり微分と積分が逆計算になってるのは偶然って事ですか？
338:大学への名無しさん
12/05/14 22:46:45.85 xMuA+zzF0
半径が1の円に内接し、面積が1以上の三角形の周の長さのとりうる値の範囲を求めよ。
どうすればいいでしょうか。
339:大学への名無しさん
12/05/15 00:19:59.41 aGhoherjO
【1】面積が1である正五角形ABCDEにおいて、三角形ABEの面積をSとするとき、1/4<S<1/3であることを示せ。
【2】三角形ABCの辺ABと内接円との接点をDとし、∠A内の傍接円がABの延長に接する点をEとする。AE=3ならば、三角形ABCの三辺の長さは等差数列をなすことを示せ。
難しくて２つとも解けないんですが…わかる方居ますかね…
340:大学への名無しさん
12/05/15 01:54:37.35 wczxbXVT0
>>338
原点O中心、半径1の円を設定して、
△ABCの3頂点のうち1点Cを(1,0)とかに固定して、
∠AOC=α、∠BOC=βとかにしたらどうでしょう
341:大学への名無しさん
12/05/15 02:18:30.86 OZ8j4wUR0
>>339
とりあえず１だけ。
対角線AC、AD、BD、BE、CEを引いてみてください。
すると、頂角が108度の鈍角二等辺三角形が５つ、頂角が36度の鋭角二等辺三角形が５つ、
真中に小さい正五角形ができたと思います。
ここで、ABEと、そのちょうど真下にあるABを底辺とする鋭角二等辺三角形２つと小さい
正五角形でなる二等辺三角形（これを三角形Pとします）を比べてみてください。
底辺がABで共通、頂角が108度で共通の二等辺三角形なので面積は同じです。
で、残った部分を見ます。三角形BCDは三角形ABEと合同なので面積は同じです。
さらに残ったのは、DEの方にある、鋭角三角形１つと鈍角三角形１つです。
これは、三角形ABEより鋭角三角形１つ分小さいです。この面積Sは０＜S＜三角形ABEです。
したがって、１＝五角形ABCDE＝△ABE＋△P＋△BCD＋S ⇔ １＝３△ABE＋S
S＝１－３△ABE ⇔ ０＜１－３△ABE＜△ABE
この不等式の左を解くと、△ABE＜１／３、右を解くと１／４＜△ABE
合わせて１／４＜△ABE＜１／３（証明終わり）
342:大学への名無しさん
12/05/15 02:32:27.59 OZ8j4wUR0
>>341
失礼、三角形ABEがSでしたね。あまりの三角形の面積はSでなく、Tとでもしてください