12/02/24 22:15:32.65 zRFdyY+eP
(3)を使って(4)を解く方法を思い付いた
a+b=c+dを考えるために、1≦x≦n,1≦y≦n(領域Dとすう)とx+y=kを使う
x+y=k上かつDの範囲に入る格子点から二点選ぶときの場合の数をN(k)とする
(3)の確率をP(n)とおく
a+b=c+dの両辺二乗して
a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cdであるから
ab=cdとなるには、a+b=c+dかつa^2+b^2=c^2+d^2をみたせばよい
すなわちab=cdとなる場合の数は
(領域Dの中で)x+y=k上かつ同一円周上であるような格子点二点の選び方に等しい
するとこの場合の数M(k)は
M(k)<N(k)である
よってab=cdとなる確率Q(n)は
Q(n)<P(n)
n→∞でQ(n)→0