11/12/07 15:41:21.32 lbGTsXWE0
【教科名】数学Ⅲ
【レベル】知っていれば簡単
【出展】俺
【時間】free
【問題】
ある関数f(x)をxの多項式
f(x)=A0+A1x+A2x^2+.....+Akx^k+......+Anx^n
とあらわすことを考える。
ここで、便宜上、f(x)の第ｋ次導関数をf(k , x)と書く。
(1)A0=f(r , s)とするとき、r , sの値を求めよ。ただし、f(0 , x)=f(x)とする。
(2)f(1 , x)を求めよ。また、A1=f(t , u)とするとき、t , uの値を求めよ。
(3)ある整数m(m≧0)に対して、An=f(a , b)*cとするとき、a , b , cの値を求めよ。
(4)（3）より、
f(x)=Σ(h=0～∞)Ahx^h
となり、任意の関数を多項式であらわすことができる。
これを用いて、cosx , sinx , e^xの3つを多項式であらわせ。
ある程度規則性があれば、
f(x)=x+2x^2+3x^3...
のようにΣを用いなくてよい。
(5)(4)より、e^(ix)=(cosx) + i(sinx) を証明せよ。ただし、i^2=-1とする。
おまけ
(6)i^iを実数であらわせ