11/10/29 13:15:06.17
※注意
ここは数学板の数学スレです。数学的な態度を心掛けましょう。
あくまでも数学の問題として考えて下さい。
期待値が高い方が得なの？交換した方がいいの？実際にやったらどうなるの？実際にはできないんじゃないの？
等、その他数学の範疇でないことに関するレスは、スレ違い・板違いです。
上の[問題]は、そのままでは数学の問題として解けません。
新たな仮定・別の仮定する場合は明記して、別の問題として考えて下さい。
どこを問題とするか、何に興味があるか、何を主張したいか等で、前提が異なることがあります。
前提が異なれば、結論が異なることも当然あり得ます。
前提は明確にしましょう。何を主張したいのかも明瞭にしておくと更に良いです。
主張の結論だけ書くのではなく、その証明も書きましょう。
主張する命題が真であったとしても証明ができないならば、正しい論証ではありません。
「もう解決してる」と思うなら、何が解決しているのかを明瞭に、具体的に書きましょう。
自然言語による説明だけでは、証明にはなりません。
定義を明確にし、論理式や数式を用いて主張・証明しましょう。
他の人の意見が間違っていると主張したい場合は、間違っていることを証明しましょう。
反例が挙げられた命題は否定的に証明されたことになります。
自説を証明したとしても、必ずしも他の説が否定されるわけではありません。
また、説を否定した人が代替案を用意する義務はありません。
偽の命題を前提として推論することはtrivialです。止めましょう。
3:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:15:20.18
現代の数学では通常、確率の定義や理論を確率論によって与えています。
確率空間や確率分布がどんなものかくらいは、知っておいた方がよいでしょう。
自然数全体や実数全体に対して一様な確率分布というものは存在しません。
確率分布でないものを確率分布と呼んだり、期待値でないものを期待値と呼ぶのは止めましょう。
どんな確率分布を前提にしているか、明確にしましょう。
(特定の確率分布、一般の離散型確率分布、一般の連続型確率分布、一般の確率分布などなど)
所謂「何の・誰にとっての確率・期待値」を考えているのか整理できていますか？
その確率・期待値は数学の記号でどのように表すのか、わかりますか？
期待値とは、確率と確率変数を掛けた総和、確率による重みを付けた確率変数の値の加重平均です。
単なる加重平均に損得などの特別な意味はありません。また、総和が絶対収束しない場合、普通は定義しません。
期待値が大きいことを期待値的に"得"とか"有利"と言ったり
期待値が正の無限大に発散していることを"期待値無限大"と表現するローカルルールがありますが
損得や期待値の定義を曖昧なまま使う輩が非常に多いので
このスレ内では使わないことを推奨します。
隔離用のスレなので、電波の強い方もホイホイ来ます。
数学的な態度をとれない人にいくら説明しても、理解してはくれるとはかぎりません。
いちいち相手にしたくなかったら、黙殺しましょう。
電波の強い方の反応や、滑稽な解答(のつもりのモノ)を楽しむことが目的の人も、数学的な態度を忘れずに。
数学的な態度をとれず、程度の低い煽りしかできないなら、荒らしや電波の方と同じです。
4:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:16:23.26
たけしのコマ大数学科 Part17
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:43-番)
43 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/25(火) 16:43:53.46
封筒のパラドクスの問題がよくわからないんだけど・・・
選びなおしたほうがいいって本当？
中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど
5:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:16:40.12
51 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/26(水) 04:46:53.46
>43
封筒Ａ，Ｂに対して１つを選んだらC円だった。
だからの残りの封筒はC/2か２Ｃ。で期待値は5C/4までは俺でもわかる。
Ｃ円を戻して最初の状態を考えると可能性は（Ｃ，C/2）と（Ｃ，２Ｃ）の二つ。
封筒の合計金額の期待値としては（３/４＋３/２）*C/2で９Ｃ/８。
選んだ封筒、残った封筒の組み合わせは
（Ｃ，C/２）
（Ｃ，２Ｃ）
（Ｃ/２，C）
（２C，C）
変えたときの期待値は上から、－Ｃ/８、+C/４、＋C/８、－Ｃ/４.。
全体としてはプラマイゼロだけど、上二つ下二つで区切ると+C/8と-C/8。
それを9C/8に足すとああなる。
Ｃ円が確定したことで下二つの組み合わせの可能性が消えたから変えたほうが得になる。
ということなのではないだろうかと思ったんだけどどうなの？
6:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:17:12.53
83 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 09:30:42.99
封筒のポイントは変更しても０やマイナス（自腹を切る）にならない事
84 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 18:31:50.35
封筒の中身が偶数か奇数か考慮すると結果が違ってくるけど
そんなことはどうでもいいのか
開けた封筒が偶数だった時点でもう片方は2/3の確率で半額だと思うが
7:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:17:43.84
ge] 投稿日：2011/10/28(金) 20:18:48.26
本買ったけどよくわからん
なんで見た瞬間に期待値が決まるの？
見てなくてもx円と1.25x円じゃないの？？
87 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/28(金) 21:08:58.73
>>74
確かに納得できないねぇ
>>84
そこは小切手などで25.5円とかできるで考える
ただでさえ複雑なのにモンティ入れたら収拾付かない
>>86
確かにこの問題においては、見た瞬間に期待値が決まるのに納得はいかんなぁ
２つの封筒をもらえるＡ，Ｂがいて、開封後にＡに交換する権利がある場合の期待値っていくつなんだろう？
その場合のＢの期待値は？
88 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 00:40:37.51
>>87
見たあとなら交換したほうが得ってことはさ、
均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で
Aは何も考えずに封筒を１つ選ぶ
Bは見てからもう１つに取り替える
Cは１つ選んで見ないでもう１つに取り替える
こうするとBだけほかの１．２５倍に収束するってことか？
ありえないだろw
8:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:17:56.10
89 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 02:11:55.39
「一方の封筒にx円入っていたときに、
もう一方の封筒にx/2円入っている確率と2x円入っている確率が常に同じ」
と仮定すると、封筒を開ける前の時点で、
封筒にx円、2x円、4x円、8x円、16x円、32x円、…入っている確率はすべて同じになる。
つまり、封筒を開ける前の期待値は∞ということになる。（必ず両方に0円入っているという場合を除く）
これが、「常に封筒を変えた方が得」という変な結果になる理由ではないかと思う。
両方の封筒の期待値が∞なので、変える前後の封筒の期待値の比が∞/∞になり、1になるとは限らない。
90 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 04:25:37.20
>>88
＞ 均等に乱雑な金額が入ってる封筒で片方が２倍で
こんなふうに封筒にお金を入れることは不可能。
よってそれ以降の論議は意味を成さない。
91 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 05:28:27.04
小切手にしてやれ。堅いやつめ。
92 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 08:32:42.53
そうそう、小切手とか、塩の量で考えるのいい
9:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:18:09.12
93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 10:06:14.29
例えば現実に封筒のゲームをやるとする
まず親となる人間が封筒に１０００円と２０００円を入れる
このときプレイヤーは金額を全く知らないが、親から見た期待値は１５００円
そしてプレイヤーが１０００円を引いて交換しようとするとプレイヤー視点の期待値は１２５０円
もし２０００円のほうを先に引いたら期待値は２５００円のように見える
どちらを先に引いても正しい期待値１５００円を計算できないんだから
封筒の金額から期待値を求めるのは間違ってるんじゃないかと思う
10:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:18:20.81
97 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:31:22.20
問題がおかしい気もするね。
a, 2a の封筒があるときに
aを引けば、変えると2a,1/2aの可能性
2aを引けば、変えると4a,aの可能性
となるが、すべて1/2の確率で２倍か1/2倍になるという仮定をしているが
実際にはそうならない。確率０％の1/2aや4aを50％と見なしているので
おかしなことになる。
問題を変えて、「２つめの封筒を引く前に、１つめの封筒の２倍か1/2倍
の金額に入れ替えました。ただし、２倍か1/2倍のどちらになるかは50%
の確率です。あなたは、２枚目の封筒に変えますか？」
としないとだめだろ。
98 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/10/29(土) 12:34:11.56
>>97
問題を変えたら意味ないだろ
パラドクスでもなんでもない
11:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:18:38.12
テンプレとこれまでの経緯は以上
12:１３２人目の素数さん
11/10/29 13:58:19.57
20%くらいじゃないの？
13:１３２人目の素数さん
11/10/30 01:26:28.58
20%くらいは専用スレで
14:１３２人目の素数さん
11/10/31 10:39:22.60
とりあえずExcelのマクロ動かしてみた
Sub Macro1()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long
For i = 1 To 10000
Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
x(1) = x(0) * 2
Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)
If coin = 0 Then
jibunnogaku = x(0)
koukannogaku = x(1)
Else
jibunnogaku = x(1)
koukannogaku = x(0)
End If
koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i
End Sub
15:１３２人目の素数さん
11/10/31 10:39:37.20
金額が有限ではあるけど、結果は施行するたびにkoukanshinaiが上だったり、koukansuruが上だったり
あとはここみた
URLﾘﾝｸ(www.yoshizoe-stat.jp)'パラドックス 2つの封筒'
結局、用意できる数字が無限と考えるのがいけないのかな・・・
問題的に無限であっても数学的に計算するときに無限と考えてはいけないケース
金額に範囲があるとすると50%の確率で倍や半分になるのではなく、時には100%の確率で半分に、また、100%の確率で倍になるケースもある。
金額の範囲が仮に1000円～1億円だとすると
最初選んだのが1000円で100%の確率で1000円の得、1億円の場合は100%で5千万円の損、よってこの1000円と5千万円が全ての確率を相殺しているのでしょうね。
1000円～1億円と設定したが実際には上にも下にも壁があるというだけでで限りになく0や無限に近い数字なのでしょう
16:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:36:02.70
Sub Macro2()
Dim i As Long
Dim x(1) As Long
Dim coin As Long
Dim jibunnogaku As Long
Dim koukannogaku As Long
Dim koukanshinai As Long
Dim koukansuru As Long
For i = 1 To 10000
Randomize
x(0) = Int(Rnd(1) * 100000) + 1
jibunnogaku = x(0)
koukanshinai = koukanshinai + jibunnogaku
Randomize
coin = Int(Rnd(1) * 2)
If coin = 0 Then
koukannogaku = x(0) * 2
Else
koukannogaku = x(0) / 2
End If
koukansuru = koukansuru + koukannogaku
Next i
End Sub
17:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:39:01.90
封筒はひとつ、封筒の金額を見た後1/2で倍か半分になるギャンブルをするロジックに変えてみた
なんとギャンブルをするほうが平均的に1.25倍程度に増えます・・・
最初に用意された２つの封筒と、封筒を見た後に1/2のギャンブルをするのでは結果が変わりました・・・
18:１３２人目の素数さん
11/10/31 13:46:28.01
>>17
それはそうなるだろうと思ってた
19:１３２人目の素数さん
11/10/31 23:10:12.70
期待値は？じゃなくて変えたほうがいいかどうかだろ
最初にどっち選んでも変えたほうがよくなるんだから、つまりどちらでも同じということだろ
最初に選ぼうが選ぶまいが中身が決まっているのだからもはや確率ではないんだよ
確率と言えるのは最初に高いほうを選ぶのが1/2というだけ
20:１３２人目の素数さん
11/10/31 23:30:48.81
いや
期待値の計算はどこがおかしいのか知りたい
21:１３２人目の素数さん
11/10/31 23:47:18.37
どの期待値の計算？
22:１３２人目の素数さん
11/10/31 23:59:30.94
だから、期待値という考え方がおかしいんだよ
ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ
もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない
23:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:12:17.88
> ランダムなものの中から選んできたら平均でこれぐらいですよ、というのが期待値だろ
違う。
＞ もう既に確定しているものを予想するのは数学的な意味での期待値ではない
確定しているものの確率を数学で扱うことになにも問題はないが？
24:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:14:55.33
期待値とは、確率と確率変数をかけたものの総和。 他の意味は(数学的には)ない。
25:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:25:02.33
>>24
なんかバカに説明しても無駄だということがようやくわかったよ
おまえさんももうやめときな
26:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:29:05.45
確定しているものの確率は１
勝手な想像で1/2と1/2にするのが間違い
27:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:51:04.19
>>25
数学板なんだから、数学の話をすればいいと思うよ。
28:１３２人目の素数さん
11/11/01 00:55:51.88
＞ 中身を見るかどうかで期待値が変わると思えないんだけど
中身をみたら期待値は変わる。
封筒内の金額に関する新たな情報が与えられたのに
期待値が変わらないほうがおかしい。
29:１３２人目の素数さん
11/11/01 01:04:33.85
数学的な期待値と勝手な妄想による己の期待している値をごっちゃにしているバカ発見ｗｗｗ
30:１３２人目の素数さん
11/11/01 01:13:03.51
>>28
おかしいのはおまえの頭
31:１３２人目の素数さん
11/11/01 01:26:03.49
おそらくそんな感じで合ってると思うけど、
じゃあ１つの封筒をあけて1万円だったときもう1個の封筒の期待値はいくらなの？
32:１３２人目の素数さん
11/11/01 02:58:57.08
最初に見た封筒に高額の方の金額が書かれているか、低額の方の金額が書かれているかどうかは1/2づつ。
交換しないを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつ。
交換するを選択し、高額の金額を手に入れるか、低額の金額を手に入れるかも1/2づつである。
しかし、見た封筒の金額がAであったとき、他方の封筒の金額が、2Aであるか、A/2であるかの確率は
1/2づつだと判断できるはずがない。
前者は「○●」があったとき、「○」を選択するか、「●」を選択するかは1/2づつだと言うことを言っている。
最初に「○」を引き、交換するか、交換しないか迷ったり、最初に「●」を引き、交換するかしないか迷おうと、
結局、高額を引く確率、低額を引く確率は、どうなろうとも、最終的には1/2づつである。
後者は、「□」を選んだ時、これは、「◇□」という物の中から「□」を選んだのか、「□☆」という
物の中から、「□」を選んだのか、確率が1/2づつだという判断など出来るはずがないということを言っている。
この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。
33:１３２人目の素数さん
11/11/01 03:08:57.92
訂正
誤：この確率は、「◇□」と「◇☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
正：この確率は、「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。この比が与えられない以上、期待値など計算できるはずがない。
34:１３２人目の素数さん
11/11/01 03:38:41.52
>>31
２封筒の合計金額がaである確率を P(a)とすると。
2500(P(15000)+4P(30000))/(P(15000)+P(30000))
35:１３２人目の素数さん
11/11/01 03:39:27.06
>>30
数学板なんだから数学の話をすればいいと思うよ
36:１３２人目の素数さん
11/11/01 03:41:18.25
>>29
誰が？
37:１３２人目の素数さん
11/11/01 04:07:10.42
>>32
>明らかに違うこの両者を「同じ？」と錯覚させるのが、２封筒問題の正体。
そこが最重要ポイントの１つではあるが、それだけじゃない。
そこをクリアしているにも関わらず、
元の問題や派生問題で、パラドクスだと考え、それに関して間違った解決・説明を与えているのも多い。
例えば、以下の２つのような主張や、これに対する説明
「◇□」と「◇☆」の確率の比が全くわからない場合、
どちらが選ばれる(主観)確率も同じと考えるしかないので、パラドクスとなるとする主張：
一方の封筒をあけて10000円だったとき
他方の封筒の金額が5000円である(主観)確率,20000円である(主観)確率は1/2ずつと考えるしかないので
他方の封筒の金額の期待値は12500円。これは確認した金額(交換しない場合の金額)より大きいから
交換した方が良い・交換した方が得である。これはパラドクスである。
「◇□」と「◇☆」の確率の比が与えられていてもパラドクスとなる場合があるとする主張：
n=0,1,2,3,…で
２封筒に2500*(2^n) 円, 5000*(2^n) 円を入れる確率を (1/3) * (2/3)^n であると明らかな場合を考える。
・確認した金額が2500円である時は、他方(交換後)の金額が5000円である確率が1なので
他方の金額の期待値は 5000*1=5000(円)で、確認した金額2500円より大きいから交換した方が良い・得である
・確認した金額(交換前の金額)が5000*(2^n)円(n>=0)である時は、他方(交換後)の金額が
2500*(2^n)円である確率は3/5, 10000*(2^n)円である確率が2/5なので
他方の金額の期待値は 2500*(2^n)*(3/5) + 10000*(2^n)*(2/5)= (11/10)*5000*(2^n) (円)
で、確認した金額5000*(2^n)よりも大きいから交換した方が良い・得である
どのような金額を確認した場合でも、交換した方が良い・得であると導かれたが、これはパラドクスである。
38:１３２人目の素数さん
11/11/01 05:01:33.10
上の例はなんも>>32の内容をなんも理解していない人の考えそのもの
下の例は、分布が与えられているのだから、封筒を確認する前の時点でゲームの期待値を計算できるが、発散している。
無限大が絡む話ではその様なことはよくあること。不思議なことかもしれないが、原因は明確。
無限大に繋がる量を、普通の数と同じルールの上で計算しようとしたことにある。
「２封筒問題の不思議」ではなく「無限の不思議」のカテゴリーに入れればよいこと。
39:１３２人目の素数さん
11/11/01 06:30:10.57
はじめの封筒にx円入っている確率をpとすると、
確率分布関数p(x)は、
∫[0;∞]p(x)dx=1かつ
任意のxでp(x)=0
を満たすものとなるよな？
このような関数の持つ性質について
40:１３２人目の素数さん
11/11/01 07:05:34.06
>>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能
1以上∞までのさいころやくじがないから。
仮に主催者が異なる分布たとえばp(1)=p(2)=…=p(1000)=0.001
としてa円を決めその2倍（2a円）をもう1つの封筒に入れたとする。
もう前提が違うので意味のない話だが、
１まい目の金額をb円とすると∫[0;b-1]p(x)dxと∫[b+1;1000]p(x)dx（または額が2倍なのでp(x/2）の積分でも良い)
の大小で2枚目の封筒にするかとどまるか判断すれば良く１：１ではない。
１：１というのは何も情報がない人がとりあえず、勝手に、決めたものである。
41:１３２人目の素数さん
11/11/01 10:56:17.19
>>39
xが離散的な値ではないと仮定しているのか？
>>40
＞ >>39のような分布で２封筒のお金a円・2a円の額を決めることは不可能
＞ 1以上∞までのさいころやくじがないから。
ふつうの６面サイコロがあればいい。
1以上∞までのさいころやくじなど必要ないと思うがどうか。
42:41
11/11/01 10:59:21.99
>>40
あ、ごめん。 「>>39のような分布で」 を 「>>37のような分布で」 と読み間違えていた。
>>41は無視してくれ。
43:１３２人目の素数さん
11/11/01 12:36:12.28
128 ：１３２人目の素数さん：2011/11/01(火) 10:41:11.11
「２つの封筒問題スレ」を見る限り、
「封筒を空けて金額を見た瞬間にその後の交換したほうが得」という中村亨の回答・解説は間違いのような気がするがどう？
>>128
「得」という単語の意味を
「現在の封筒の金額の期待値よりも交換後の期待値のほうが大きい」と
置き換えるのなら正しい。
ただし、以下を仮定している。
開けて出てきた金額が今回と異なる金額のときに
他方の封筒の金額が高額である場合と低額である場合が
それぞれ1/2である必要はない。
では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？
44:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:03:41.89
二つの封筒で、二倍の場合、十倍の場合、差額が十万円の場合(マイナスなら自腹)などで
一方の金額がわかった後の期待値を考えれば問題の性質がわかるかも
よくわからんが
45:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:24:59.19
俺は期待値はあがらないと思うんだけどな
46:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:25:47.83
というかコマ大本、もっと解説充実させるべきだろ
あれだけじゃ誰も理解できないじゃん
47:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:34:41.71
>>43
＞ では、ＡとＢに封筒が渡されて交換が可能、金額を見た瞬間に両方の期待値があがるという事？
両方あがるって何と何のことで、何に対して上がるって言ってる？
「A、Bというのは人で、二枚一組の封筒の一方がA、もう一方がBに渡されたときに
AとBとが共に封筒を開け金額を確認（互いには見せ合わない）したときに
A,Bふたりとも交換後の金額の期待値が、現在の封筒の中の金額よりも高い」
ということなのだとしたら、そうだよ。
ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。
たまたま、今開けた時の金額のときには1/2だということはあり得る。
A,B共にそういう金額だったということもありえる。
ここでは、そういった場合を想定している。
そうでなければ、A,B共に交換して増えるか減るかが1/2ということはありえない。
さらにA,Bが増えるか減るかは独立ではない、片方が増えるなら、もう一方は必ず減る。
48:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:35:24.18
>>45
何の期待値が、何に対して上がるか上がらないかの話をしている？
49:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:52:02.49
>>48
具体的にいうと1枚目をあけて１００００円だったときにあけてないほうが１２５００円になるということ
50:１３２人目の素数さん
11/11/01 13:53:08.36
>>47
>ただし、封筒を開けた時の金額がいかなる場合でも、自分が持っている封筒が
多い方の封筒なのか、少ない封筒なのかが常に1/2という分布は存在しない。
これっておかしくない？
どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど
51:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:01:22.81
コマ大から流れてきたから数学の専門的なことはわからないよ
封筒２つの組が２組あって
それぞれ（５０００円、１万円）と（１万円、２万円）の組み合わせしかない時は
１万円の封筒引いたとき交換したほうがお得だよね？
でも問題のようになるとお得ではなくなる？
52:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:34:23.95
>>49
そのときＢが中身を見て5000円だったら、Ｂの交換期待値は6250円になるということか？
53:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:36:24.50
>>52
俺はおかしいと思うけど、
このコマ大の解答ならそうなるんじゃない？
54:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:37:31.84
>>49
それは「期待値が上がる」のではなく、現在の金額より「交換後の期待値のほうが高い」だね。
期待値のほうが高くない（低いまたは同じ）とする理由は？
55:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:38:57.89
>>50
＞ どちらを選ぶかは自由なんだから1/2だと思うんだけど
それは封筒を開け金額を確かめる前なら、そのとおり。
金額を確かめたら、そうではない。
56:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:41:09.51
誰かコマ大の問題を、正しく再掲載してくれないか？
57:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:48:33.60
>>54
たしかにそうだね
確定した金額と期待値を比べているのもおかしいと思うけど、
コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね
金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
見たふりして見なかったらどうなるの？
二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？
58:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:49:32.28
>>55
それも理解できない
確かめたあとでも
高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？
59:１３２人目の素数さん
11/11/01 14:57:16.24
>>56
書こうかと思ったけど、本にのってる文章はどうでもいいこといっぱい書いてあるからすごい長い
60:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:02:05.21
箱がある。箱には、「◇□」というものと、「□☆」というものがたくさん入っている（※）。
箱の中から一つの「？？」を取り出し、「？？」の中からさらに一つを選んだら、
「□」がでてきた。「？？」の中のもう一方が、「◇」である確率と、「☆」である確率は？
こんな問題、計算できるはずがない。出来るはずのない問題に対し、あれこれ言っているのが２封筒問題だ。
例えば、(※)が
・箱には、５０個の「◇□」というものと、５０個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、９９個の「◇□」というものと、１個の「□☆」というものが入っている。
・箱には、１個の「◇□」というものと、９９個の「□☆」というものが入っている。
の様になっていれば、きちんと計算できる。そして、それぞれに対応して、☆の確率は50%、1%、99%となる。
これが判って初めて、交換してもしなくても同じか、しない方がよいか、した方がよいか決定できる。
逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
「交換した方が常に得？」←勝手な思いこみを根拠としている間違った判断以外の何物でもない。
61:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:05:18.25
>>57
＞ コマ大の解答は交換したほうがいいって書いてあるよね
すまん、コマ大は放送を見ただけで、
「確かめた金額よりも交換後の期待値のほうが大きいので交換する」
という趣旨の回答だったことはおぼえているんだが
一字一句正確な問題文や、回答文はおぼえていない。
＞ 金額をたしかめるということによって変わるのがおかしいと思う
これはどうして？
＞見たふりして見なかったらどうなるの？
見なかった時と同じ。
＞二人ひと組みで一人だけ見たらどうなるの？？
見た方の期待値だけが変わる。 見ていない人は変わらない。
（ただし、中身を確かめるまえの期待値が計算できるかどうかは
番組の問題文からはわからないはず、おそらく分布は与えられていなかったと記憶している。）
>>58
＞ 高い方を引いてるか低い方を引いてるかは半々じゃない？
ちがう。 封筒に入っている金額の分布によって変わる。
開けるまでは、封筒に入っている金額がわからないので
２つの封筒のどちらが高いか低いかは1/2。
しかし金額がわかった後で、いかなる金額でも1/2になるような分布はない。
（何か特定の金額で1/2になるような分布はある、おそらく番組で扱ったのはこのケース）
62:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:06:23.25
>>60
じゃあコマ大の解答が間違えているってこと？
その例ならどんなばらつきだとしても
◇は□より大
□は☆より大とか条件つければ
選んだ１つが大である確率は５０パーだと思う
その例自体が不適切なんじゃない？
63:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:09:27.48
>>61
つまり
見たあとだと期待値は１２５００円になるから交換したほうがよい
見たあとでは残りが５０００円の確率と１００００円の確率は等しくない
この２つが同時に成り立つってこと？
上と下は同時に成り立たないと思うんだけど
64:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:13:13.29
>>60
＞ 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
任意に取り出したものが「◇□」である確率をPとすれば
「□☆」を取り出す確率は1-P。
このPを使って、Pがどのような値なら交換後の期待値が大きくなるのかを考えれば良い。
番組では、Pが1/2と仮定した場合についての答を出していたが、他のいろいろな値でも考慮すればいい。
65:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:18:11.94
>>63
微妙に異なる。
1) 見た後では、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2とは限らない。（1/2になることもある）
２） 見た後に、選んだ封筒が高いほうか低いほうか1/2の仮定の下では期待値は１２５００円になる。
１）と２）は同時に成立する。
交換したほうが良いかどうかは、価値観の問題なので数学とは異なる。
66:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:20:25.00
>>65
それならたしかに矛盾しないが
それだとコマ大の解答の期待値は１２５００円になるから～
ってのは仮定を勝手に作ってるということ？
その仮定が成り立つ場合と成り立たない場合がよくわからない
67:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:27:58.59
>>62
おれはコマ大なるものを知らない。
設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
後半部分に対しては、>>32でも書いたが、「大きい方」等という指定の仕方をすれば、
それは、「○●」で表現できる「大きい方」と「小さい方」の２種類しか現れないが、
「A円」等という指定の仕方をすれば、「◇□☆」で表したように、「A/2」、「A」、「2A」
の三種類を考えなければならない。この違いをきちんと認識した上で問題を捉えているか？
68:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:31:09.21
>>67
＞ 違いがないのに同じ
＞ 結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
言いたいことはなんとなくわかるが、おそらくこれは書き間違いだよな？
69:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:31:38.63
>>67
いや、俺自身も>>32と同じ考えだからそれはわかるよ
期待値として計算できないものを期待値としてるってことでしょ？
1/2ずつじゃないってのはちょっとよくわからないけど
コマ大の解答では同じ問題なのに期待値は見る前はわからないが見たあとは12500円になると書いてあって
それが理解できない
70:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:32:17.10
>>69
>>32と同じと書いたがほぼ同じというべきだったな
俺は1/2ずつだと思ってるから
71:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:34:16.83
>>62
≫60の例は、考え方としては間違いの方向にはないだろう
◇＞□＞☆の関係があるとする
【◇□】も【□☆】の組み合わせも同じ量入っているとする
仮に◇10000＞□5000＞☆2500だとして（引いた人はこれを知らない）
開けた封筒が5000円の場合は50%の確率で+5000円、-2500円の損得
10000円を引いて交換すると常に5000円の損
2500円は常に2500円の得である
5000円を引く確率は50%、10000円、2500円を引く確率は25%づつ
5000円→50%+1250円[50%-2500円、50%+5000円]=
10000円→25%-5000円
2500円→25%＋2500円
そうするとこの箱から選んで交換する場合の期待値はプラスマイナス０です。
72:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:36:22.85
>>71
そう結論づけるならわかるよ
つまり交換してもしなくても変わらないってことでしょ？
俺はそうなると思ってるから
73:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:41:54.69
71の箱が無限にあり、【□☆】【☆○】も期待値プラマイゼロ71の箱が無限にあり、【◎◇】【◇□】も期待値プラマイゼロと無限に考えれば
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の集合でもプラマイゼロと考えられるだろう・・・
74:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:42:17.85
>>64
一体、何を書いているんだ？ だからおれは、
>> 逆にこの様なデータがなければ、「判らない」としか言いようがない。
と書く前に、具体的な存在比を仮定して、50%だとか、99%だとか、1%だとか書いただろう。
そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
だから、その判断材料に不可欠な数値が明らかでない以上、判断できないとかいた。
>>具体的な数値はわからなくても、答えを思考することはできる。
すでに、実践して示しる。
75:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:46:13.22
そして封筒を開けて□5000円が入っていたとして、それが【◎◇】【◇□】の□か、【◇□】【□☆】の□か、【□☆】【☆○】の□かは不明だが
【◎◇】【◇□】【□☆】【☆○】の中の□がプラマイゼロの期待値だから交換期待値は5000円だと思う
よってコマ大の空けて中身を見ると1.25倍の期待値になるというのは間違いだと思う
76:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:49:06.46
>>75
俺も間違えだと思うんだよね
でもあの本が間違えるかな？
77:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:50:47.67
>>68 ご指摘の通り 訂正
誤：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに同じ
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
正：設定の違いがあるのなら、それが原因で結論が異なることもあるだろうが、違いがないのに異なる
結論になるのなら、どちらかが間違っているのは自明の事。
ついでに>>74 も訂正
誤：すでに、実践して示しる。
正：すでに、実践して示している。
78:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:52:25.94
補足として、あけて10000円で交換しても期待値が１００００円というのを逆算すると、
残りの封筒に入ってるのは５０００円か２００００円
これの期待値が10000円になるためには、
5000円が2/3、20000円が1/3になる
ということはあけて10000円だった時点でそれが大きいほうだった確率は小さい方だった確率の２倍
10000円という数に意味はないから
無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる
？？？？？
これはどこが間違えてる？？
79:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:53:03.05
>>74
＞ そして、その数値によって、判断は３つに分かれると。
３つにわかれる？
交換する、しない、以外に何があるんだ？
80:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:54:01.48
>>76
間違えてもおかしくはないと思うけど・・・こういう時はコマ大チームの出番だと思うけど、
大量に二組の封筒を混ぜた箱から一組選んで1万回くらいやって、変えた場合、変えない場合のトータル金額を出す
大量に二組の封筒を混ぜた箱から選ぶというのが問題の意に反するといわれたどうしようもないが・・・
81:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:55:37.28
>>74
＞ すでに、実践して示しる。
先に手にした封筒が高額の方の封筒である確率がどのくらいの範囲ならば
交換後の期待値が高くなるのか等、示されていないと思うが。
実践というのは、そのような具体的な数値を示すことは含まないのか？
82:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:55:52.88
>>80
そういう試行したら絶対変わらないと思うんだよね
見たか見てないかで結果が変わるってのはありえないでしょ
あの番組に出てる数学者の人って一応それなりの人でしょ？
有名問題だし間違えるというのは考え難いなぁ
83:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:58:36.17
>>78
うまくいえないけど、
5000円が1/2、20000円が1/2の場合もあるし、5000円が0/1、20000円が1/1の場合もあるし、5000円が1/1、20000円が0/1の場合もある事も考慮に入れないといけない
それを平たくすると5000円が2/3、20000円が1/3となる、しかしこの2/3とか1/3は確率ではなく期待係数みたいなものかな・・
84:１３２人目の素数さん
11/11/01 15:59:46.74
>>78
＞ 無作為に２つの封筒から１つ取ると小さいほうを引く確率が２倍ということになる
逆じゃないか？ 大きい方をひく確率が２倍だと言いたいんじゃないの？
もっとも、「交換後の期待値が交換前の金額と一致する」というところは間違い。
それは一致しない。
（たまたま一致することはあるが、するとは限らないと言ったほうがいいか？）
85:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:00:14.22
>>83
うーん
それがよくわからないな
大と小と書かれた二つの封筒があって
無作為に封筒あけて大きいほうである確率はさすがに1/2だよね？
86:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:02:01.58
>>84
そうだ、大きいほうが２倍の間違え
やっぱり確定した金額と期待値を比較するという概念自体が間違えてるということ？
じゃああけて１００００円だった封筒がある
この封筒の期待値っていくら？？
87:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:05:09.51
>>85
それで間違いないと思う、
この集合には見えない下限と見えない上限が存在するとすると、下限の出現する可能性と上限の出現する可能性は等しい
しかし、下限のときに100%プラスになる金額と上限のとき100％マイナスになる金額の差が膨大
よって長いことこの封筒の交換を行うと交換してもしなくても期待値は同じになる
よって個々の施行の期待値も同じであると考える
88:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:16:33.00
まとめると、
10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
それを合成して5000円1/2、20000円1/2としているのが間違いなんだろうね
89:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:17:58.28
>>87
差が膨大ならプラスのほうが大きくなるんじゃないの？
というか言ってることの意味がよくわからない
90:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:19:13.55
>>88
まぁ、それはそうなんだよね
それが正しいのはわかる
結局もう１枚の期待値も今引いてるほうの期待値も定義できないってことでしょ？
コマ大は間違えてるってことになるけどそれもおk？
91:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:20:54.82
でもそれだと結局取り替えても変わらないってことでしょ？
それはもう１枚の期待値も１万円ということにはならない？？？
いや、期待値を考えることすらできないんだからならないのか？
92:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:21:21.23
>>87
書かれている金額にマイナスがあるんならその通りだけど、下限が０なら、上に発散する。
すると、「交換する方が常に得」という状況もあり得るが、無限を仮定した世界ならば、
このような事があっても不思議ではない。
>>88
正しい。面白い切り口だな。
93:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:25:49.35
>>91
取り替えた方がよいか、取り替えない方がよいか、判断に必要な材料がないのだから
判断できないのであって、変わらないというのとはニュアンスが違う。
期待値が考えられないというのは正しい
94:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:29:11.20
>>93
つまり、変えても変わらないのでなくて、
変えたら得になるかどうかは期待値の視点からもわからないということ？
95:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:30:34.46
だとすれば１つ目の封筒を見て替えることと見ないで替えることは
全く同じということでいい？
96:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:32:35.98
>>90
コマ大間違いはＯＫだと思う、
コマ大の先生は偉いから間違いないというなら、こちらのえらい先生は間違いというパラドックスが生まれてしまう
URLﾘﾝｸ(www.yoshizoe-stat.jp)'パラドックス 2つの封筒'
>>89
上限のときは100%-1億円とかになるから、マイナスに触れるの意味
>>91
半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
>>92
かりに無限があるとして、無限の2倍という存在し得ない数字がないと成立しないので上限てきな物は必ずあると考えている。また無限に０に近い数字というのものも考慮する、これは1/2に出来る数字ではない
あくまで期待値を求めるために考慮しないといけない存在・概念の話ですが・・・
97:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:33:44.77
>>95
まったく同じだろうね、実際に100万回やって、1.25倍の差は出ないと思う
98:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:35:55.86
ただ100万回の施行するのにどのような条件の元施行すればいいのか考えるのが大変
99:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:38:57.20
>>96-97
それだとなんの疑問も無くなってしまうな
ただ、
>半分になる確率や倍になる確率は不明でも、期待値は1万円でいいと思う
この部分はおかしくない？
確率不明で１万円ってことは、ありえる金額は５０００円か２００００円なんだから、
>>78の議論になってしまわない？？
100:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:39:51.38
>>94
「期待値の視点」というのは「期待値」が計算できて使えるもの
期待値を計算するには、(5000,10000)と(10000,20000)の存在比が不可欠
それが判らないから、期待値は、計算できない。よって、そのような視点は「使えない」
あえて「期待値」について触れれば、「5000より大きく、20000より小さい値の何処か」
にあるとしか言えない。（「7500以上15000以下」ではない)
>>90
コマ大は視聴の対象だけど信仰の対象ではないよ。
101:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:40:54.65
参加費１万円で1/2で金額が倍1/2で金額が半分になるゲームがある
これは期待値の考えからいうと参加したほうが得
これは真だよね？
これと混同してしまっているところがパラドクスなわけだよね？
102:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:42:52.53
>>100
その考えなら最初の自分の考えと同じだからなんの問題もないわ
103:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:43:40.03
なるほど、なら、
個々の期待値不明だが、ある必要十分以上の試行回数において[Ｘ円ｘ試行回数]の期待値とするのがいいかな
104:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:44:44.84
>>101
それは真だね、1/2で金額が倍1/2で金額が半分と定義されているので・・・
105:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:45:01.63
期待値は不明だけど、
理想的なモデルがあればおそらく、もう１個の封筒の金額も最初に開けた封筒と同じ金額に収束すると考えていいのかな？
106:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:54:18.02
>>105
そうだと思う、そう考えるとパラドックスが解消される
107:１３２人目の素数さん
11/11/01 16:57:05.86
>>106
そうだね
そうすると収束するということは期待値も１万円になりそうなものだけどそうならないのが不思議だなー
１枚目も色々金額が変わってその結果x円に収束して、２枚目もx円に収束する
１回ごとは期待値不明、みたいなイメージかな
108:１３２人目の素数さん
11/11/01 17:25:39.85
これで一回毎の期待値は等価で他に矛盾がなければすっきりするとことなんだが・・・
109:１３２人目の素数さん
11/11/01 17:32:59.42
>>108
１回ごとの期待値を定義できないんだけど、取り替えても得しないってのがすっきりしないよね
110:１３２人目の素数さん
11/11/01 17:33:46.35
>>109
得しないんじゃなかった
わからないのが正解か
長い目で見るとおそらく変わらないってことか
111:１３２人目の素数さん
11/11/01 18:15:29.84
人の会話が入っている音声テープがある。
所々音声を無音化してしまうと、何を言っているか判らないが、無音部分を電車の騒音の様な雑音に置き換えると、
なぜだか聞こえてしまうと言う現象がある。これは、脳が勝手に雑音部分を補完してしまって起こる現象だ。
経験がもたらした、脳の高度な機能と言える。
>>108>>109
すっきりしないのは当然。
数学の問題として成立させるために必要な情報が欠如しているんだから、答えが導けない問題なのだ。
そんなところに、>>101のような別のゲームの存在を脳は知っている。
冷静に考えれば、全く違う問題だと判るのに、あえて必要な情報を取り除いたことで、
勘違いあるいは錯覚を誘発させている。これこそが２封筒問題の正体だ。
112:１３２人目の素数さん
11/11/01 18:16:49.37
封筒は２つだけど一万円を引く確率は１／３じゃないの
引いた金額が１／２と１と２のどれに該当するかの１／３
その場合替えなかったら期待値11666円
結果でしか計算できないから問題にならないんだと思う
113:１３２人目の素数さん
11/11/01 18:27:59.33
>>111
>>37の後半のように必定な情報が欠如してないのにもかかわらず矛盾が導ける例が存在する
114:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:25:09.22
>>113
無限が絡む例では、良くある例。
「無限に潜む不思議な話」に分類すればよいだけ。
115:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:46:25.24
>>88
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が5000円である確率は0か100%
＞ 10000円引いたとき残りの封筒が20000円である確率は0か100%
そんな確率があるか。
116:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:48:14.33
>>87
どんな分布を仮定して、期待値を考えているんだ？
117:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:54:11.29
>>101
期待値を、損得の指針にしている所が問題。
期待値は一般には損得の指針にすることはできない。
損得は人間の感情による価値判断が含まれるので数学では扱えない
もしくは、数学的に扱えるような損得を定義する必要がある。
２封筒問題の根本は、それと混同しているところではない。
118:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:56:46.82
>>115
「◇□」と「□☆」がたくさん入った物の中から、ひとつの「？？」を選び、
「？？」の中かから一つ選ぶと「□」がでてきた。
もし、選んだ物が「◇□」だったら、残りの一方が「◇」である確率は100%で、「☆」である確率は0%
もし、選んだ物が「□☆」だったら、残りの一方が「◇」である確率は0%で、「☆」である確率は100%
残り一方が「◇」なのか「☆」なのかは、「◇□」と「□☆」の存在比が判らないと計算できない。
119:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:56:58.59
>>113
矛盾が導ける？ まさか？ どこに？
120:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:57:30.94
>>112
それ違う問題。
121:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:59:30.17
>>118
それ、
明日大地震が起きたら、大地震が起きる確率は１００％
明日大地震が起きなかったら、大地震が起きる確率は０％
だから大地震が明日起きるのは、１００％か０％
と、言ってるのとなんかちがうのか？
122:１３２人目の素数さん
11/11/01 20:14:47.67
文章の上辺しか読めないかわいそうな人だね。
論理的思考をしっかりと行うために、比較対象が可能なように、当たり前のことを丁寧に書いている。
□がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
考えが出来ないことを丁寧に示している。
他方が◇であるためには、選んだ物が「◇□」でなければならない。
他方が☆であるためには、選んだ物が「□☆」でなければならない。
それならば、他方が◇であるか☆であるかは、選んだ物が「◇□」であるか「□☆」であるに依存する。
その確率は、たくさんあった物のなかの「◇□」と「□☆」の存在比に依存する。
この論理展開の説明の一部分があの中にある。
今日の投稿ぐらい、きちんと読み直してから、書き込みしたら？
123:１３２人目の素数さん
11/11/01 21:12:34.49
Aを選んでからBにかえるのと
Bを選んでからAにかえるのと
どっちかが高くてどっちかが安いんだから得する確率はどちらかが1でどちらかが0
AもBも事前に確定しているのだから、2回目のケースが枝分かれすることはない
124:１３２人目の素数さん
11/11/01 21:13:14.33
>>121も「だからといって1/2とは言えない」ことを端的に表しているので
結局は数学的な期待値に影響するような違いではなく
あつかうテーマの違いでしかないということでいいのか？
また
＞ □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
＞ 考えが出来ないことを丁寧に示している。
これは「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
レス内容の人格の問題については、ここは数学版なのでわざわざ考慮も反論もしない。
125:１３２人目の素数さん
11/11/01 21:13:58.07
>>123
＞ 2回目のケースが枝分かれすることはない
詳しく。 何を言っているのか意味不明。
126:１３２人目の素数さん
11/11/01 21:31:15.28
主観確率
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベイズ確率
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
という考え方(哲学的解釈)があるのを知らないのか、あるいはこれを認めない主義なのか？
例えば
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを１回だけ投げた場合の表が出る確率は
[A]判らない。０以上１以下で、１／２ではないとしか言いようがない
[B]１／２である
という２つの考え方があって、どちらもそれぞれで正しい
(どちらの値に関してもそれぞれ確率論の公理を満たすようにできるから、それぞれ確率と呼べる)。
[A]の考え方(前提)では確かに
> □がでたとき、他方が◇なのか☆なのかは、◇か☆しかあり得ないから、1/2づつ等という乱暴な
> 考えが出来ない
となるが、
[B]の考え方(前提)では
他方が◇である確率1/2, 他方が☆である確率1/2 としてよい。
また[B]の考え方の下で矛盾が導かれることはない。
[A]と[B]を混同したり、期待値の計算を間違えたり、損得の定義がいい加減である
と正しい推論ができない。
127:１３２人目の素数さん
11/11/01 21:36:53.25
>>124
>>32 >>33 >>60 >>67 >>77 >>100辺りに私の意見は書いてある。
1/2とは出来るはずがない理由、「判断できない」が正答だという理由も書かれている。
期待値を求めるのに必要な情報がないからだ。その辺りを読み直して欲しい。
128:１３２人目の素数さん
11/11/01 22:42:46.15
>>119
矛盾が導けるってのは言いすぎたかもしれんが
変えた方の期待値の方が高くなるってのは直感には反してると思う
129:１３２人目の素数さん
11/11/01 23:15:37.97
>>127
＞ 1/2とは出来るはずがない
という結論は
「理由不十分の原理により1/2」とは適応できないだけの
十分な理由があると言っていると考えていいのか？
それとも理由不十分の原理については考慮の外なのか？
130:１３２人目の素数さん
11/11/01 23:20:43.63
この２封筒問題を始め、最初のカードがダイヤの確率問題などの
一見簡単そうな確率の問題がよく話題になり延々ともめるのは
問題そのものの根本とはあまり関係なく関係なく
数学の用語についての定義もろくに知らないようなのが
自分の主張が伝わらないのは、自分の理解や説明が不足して
いるからはなく相手の頭が悪いからだと考え
相手の人格や能力について批判を始めるところにある。
131:１３２人目の素数さん
11/11/01 23:28:20.22
>>128
矛盾が導けるものと、直感に反するもののどちらもをパラドクスと呼ぶことがあるが、
それらは一方が他方を含むとか、階層構造を成すというような関係のものではない。
極端な言い方をすれば、非自明な定理はすべてパラドクス（直感とは結果が異なる）とも言えるが
矛盾という意味でのパラドクスは、その定理そのものが矛盾しているのではなく
仮定（公理）が矛盾を含んでいるのである。
132:１３２人目の素数さん
11/11/02 00:01:03.40
一言で言うと、2回目の結果は1回目の従属事象なので
1回目が終わった後に独立に計算するのが間違い
133:１３２人目の素数さん
11/11/02 00:19:18.28
交換前と交換後を１回目２回目と言ってるのかな？
用語は、他人に伝えるのを目的に選んでほしいなぁ
134:１３２人目の素数さん
11/11/02 00:23:19.82
>>117
期待値の考えからと限定してるだろ
だから期待値がプラスかどうかを損得に定義してるんだよ
135:１３２人目の素数さん
11/11/02 00:36:46.70
>>133みたいなバカは理解できなくていいよ
136:１３２人目の素数さん
11/11/02 00:40:41.67
>>129 他方の封筒が5000なのか、20000なのかは、元々の封筒のペアが(5000,10000)なのか、
(10000,20000)なのかに依存する。
問題文には、その封筒のペアが、(5000,10000)である確率と、（10000,20000）である確率
あるいは、(5000,10000)と（10000,20000）だけの存在比率は確認できない。
確認できるのは、二枚の封筒の一方が他方の二倍だと言うだけ。
高額の方を引く確率と低額の方を引く確率は1/2づつだということははっきりしているが、
10000が高額の方の金額である確率((5000,10000)と言うペアを採用する確率）や
10000が低額の方の金額である確率((10000,20000)と言うペアを採用する確率）について、
何も情報が与えられていない以上、判断のしようがない。
具体例を出すと、例えばもし、50組の(5000,10000)が入った大袋と、50組の（10000,20000）
が入った大袋、合計100の大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中
から一つの封筒を選んで10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率と20000で
ある確率は、両方とも1/2づつになる。
もし、1組の(5000,10000)が入った大袋と、99組の（10000,20000）が入った大袋、合計100の
大袋の中から、一つの大袋を選び、その大袋の中の二つの袋の中から一つの封筒を選んで
10000がでたというのなら、他方の封筒が5000である確率は1/100、20000である確率は99/100となる。
このように、(5000,10000)と（10000,20000）の存在比等がはっきりしていれば、確率は計算
できるが、この問題には、この様な情報がないため、判断のしようがない。
偶然か故意かはともかく、>>111で書いたような効果と相まって、混乱を引き起こす問題となっている。
137:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:07:38.99
>>129
[理由不十分の原理]と言う言葉は初めて聞いたので、検索したら、
[不十分理由の原理]というものが見つかった。（両方使われているようだ）
>> 統計学上の原理で，種々の場合が同様に確からしく起こるということに，反対理由
>> が見いだされない場合には，やはり同様に確からしく起こるという原理．
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
高額の封筒を選ぶか、低額の方の封筒を選ぶかについては、この原理は適用（適応×）でき1/2と出来るが、
10000を引いた時、他方の封筒が5000か、20000かについては、この原理は適用できない。
反対理由がある。
(5000,10000)内で、前者か後者か、あるいは、(10000,20000)内で、前者か後者かは原理に従い1/2だが、
ペアが、(5000,10000)なのか、(10000,20000)なのかは、>>136のような任意性もあるし、作為も出来る。
この原理が適用できる訳がない。
また、(5000,10000)なのか(10000,20000)なのかが同様に確か等という内容も問題文には一切記されていない。
138:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:09:05.38
えらくわかりづらい内容だな
もうちょっと簡潔に書いてほしいもんだ
139:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:21:47.25
頭の悪い人はどう説明しても理解できないだろ
ここまでにまともな説明が既にいくつも出てきてるんだから
140:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:32:14.43
>>139
まともな説明はどれですか？
141:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:50:08.06
ざっと読んでわからないのなら
これだと言われて読んでも理解できないだろう
142:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:52:23.63
>>135
さっそく>>130の実践
143:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:53:13.93
>>134
＞期待値がプラス
また新しい用語の自分定義か？
144:１３２人目の素数さん
11/11/02 01:55:14.69
>>143
交換したほうが期待値が高くなるってことね
くだらない揚げ足取りやめてくれる？
145:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:03:28.30
>>137
＞ この原理が適用できる訳がない。
「他方の封筒が２倍の時と半分の時では等確率でない」と書かれていないことも含め
封筒の金額の分布に関する情報が、問題文には一切無いことには同意しているにもかかわらず
それが等確率ではないという「理由」は何か？
理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
理解しているか？
それとも、「理由不十分の原理」そのものを認めないという考えなのか？
146:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:10:35.19
>>144
「期待値が高く【なる】」というのは、期待値が変化するってこと？
147:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:11:16.00
>>139
>>130
148:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:11:47.37
>>146
>>101の例でいうと期待値が10000円より上という意味
149:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:45:47.75
微妙な問題を扱っているという自覚があるなら
最初から誤解のない言い方にしてほしい。
150:１３２人目の素数さん
11/11/02 02:58:05.35
>>145
「理由不十分の原理」は事象Aと事象Bの発生確率に差をつける理由がないなら
p(A)=p(B)だということを言うものであろう。
「理由不十分の原理」が適用できないとは、p(A)とp(B)の間に、≠を入れるものではない
p(A)とp(B)の間に入れるべき不等号、等号記号が、どれなのか判断できないという意味である。
p(A) > p(B) や p(A) < p(B) や p(A) = p(B) の可能性全てを残している。
作為的に、等確率にすることも、偏った確率にすることも可能である。
実際に等確率が実現するような例を示している。
>>理由不十分の原理が適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要だということは
>>理解しているか？
これはこの原理の意味を正しく理解している人の言とは思えない。
151:１３２人目の素数さん
11/11/02 10:29:25.58
>>121
封筒の中身が決定したのは過去、それなのに地震の問題は明日と未来にしているところの悪意を感じる
昨日大地震が起きたら、昨日大地震が起った確率は１００％
昨日大地震が起きなかったら、昨日大地震が起きなかった確率は０％
ＯＫ？
152:１３２人目の素数さん
11/11/02 13:15:39.54
>>151
封筒の中身を知るのは未来であるから、同じでないと思う。
同じにするなら、「昨日地震が起こったかどうかまだ知らない。あとで教えてもらう。」
などを追加せねばならんような。
153:１３２人目の素数さん
11/11/02 13:15:50.72
>>150
国語の問題かもしれんが
＞ 差をつける理由がないなら p(A)=p(B)だということを言うものであろう。
＞ 適応できない以上は「等確率ではない」という情報が必要
同じ意味ではないのか？
それとも情報ではない理由があるのか？
154:１３２人目の素数さん
11/11/02 13:24:56.48
>>151
よくある
＞ 投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
＞ どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコインを投げた時に表が出る確率
という例えは、コインに作為的に裏またはおもてのどちらかだけにしか偏らないように
細工をする可能性をがあるから理由不十分は適応できず、1/2とするのは正しくないという立場のひと？
155:１３２人目の素数さん
11/11/02 13:37:44.12
>>151
A)
封筒の中身を先に決定しておく （封筒の中身が決まったのは過去）
B）
1. 先に封筒をひとつ選ばせ、渡すとき（開ける前）にこっそりとある金額を入れる。
2. プレイヤーが封筒を開け金額を確かめる。
3. プレイヤーが交換するしないを決めたら、残った封筒にこっそりと適当な（Aと同じ分布になるように）金額を入れる。
4. プレイヤーは交換を決めただなら、交換後の封筒を開け金額を確かめる。
A) と B）では 金額が決定するタイミングが異なる（プレイヤーの意思決定の前後）が
プレイヤーへの支払い金額を含め、確率的な差異はなにかあるのだろうか？
プレイヤーにとって金額が決定するのは封筒を開ける時であって
封筒に金を入れる時ではないのではないか。
地震も同じ、いつ地震が起こるのかは関係なく
プレイヤー(?)が地震についての情報を知る時が重要。
156:１３２人目の素数さん
11/11/02 14:02:07.74
おもしろいな。
問題文に書かれていない作為の介入を理由にできるのなら
すべての確率の問題文に
「サイコロやカードやコインなどには作為の介入は行われていないこととする」
という注意書きが必要になりそうだ。
157:１３２人目の素数さん
11/11/02 14:30:14.44
>>153 国語の問題ではないし、同じでもない。
小さなカードがある。カードの表は青、裏は赤だ。
見えないように手の中で振り、机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつ
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用されている
両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、
適当に一枚を取って机の上に置く。見える面が青か赤かは1/2づつだとは言えない。
この確率の決定には、「理由不十分の原理」が適用できないからだ。
しかし、青いカードと赤いカードの枚数を同じにすれば、1/2づつである。
「理由不十分の原理」が適用できないのに、1/2の例だってある。
当然、入れる枚数によって、1/3と2/3にすることだって、他の値にすることだって可能
この様に、人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る場合は、
「理由不十分の原理」は適用できない。>>137で言うところの反対理由があるからだ。
158:１３２人目の素数さん
11/11/02 14:51:43.36
>>157
てことは>>56なのか？
159:１３２人目の素数さん
11/11/02 14:58:11.66
>>157
＞ 両面青いカードと、両面赤いカードがある。それを何枚かづつ袋の中に入れ、
＞ 適当に一枚を取って机の上に置く。
これは言えるという立場と、言えないという立場がある。
以下のどこからが言えて、どこからが言えないのかは、４通りの立場がある。
偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード
偏りがあり、赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられていることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは全く不明な袋の中のカード
偏りがあり、投げた時に表裏のどちらかが出やすいことは判明しているが
どちらがどれだけ出やすいのか全く不明なコイン
160:159
11/11/02 14:59:27.27
失礼、最初の例の 「偏りがあり」は削除
赤いカードか青いカードかのどちらかが多く入れられている可能性があることは判明しているが
どちらがどれだけ多いのかは同じなのかは全く不明な袋の中のカード
161:１３２人目の素数さん
11/11/02 15:04:23.13
>>157
＞ 人間の意志や、条件設定で確率を変化させることが出来る
前者をできない、後者をできる、とする「違い」について詳しく説明してくれないか？
入れる枚数 は人為的調整や条件設定だが
カードの裏表を見ない（他の条件は与えられていない）で選ぶのは
人為的ではなく条件設定はできないとする理由が知りたい。
162:１３２人目の素数さん
11/11/02 15:17:08.90
「明示されていなければ、可能性があるかぎり疑う」 という立場なのか
「明示されていないことは、起こっていない」 と考える立場の違いの話
なのかと思っていたがどうやらそうではないようだ。
国語の問題でなければ、常識の違いの問題なのか？
163:１３２人目の素数さん
11/11/02 16:06:54.54
>>152
どのみち>>121のたとえが正しくないことには変わりない・・・
164:１３２人目の素数さん
11/11/02 16:18:21.65
>>155
地震の話は「明日起こったら明日起こる確率は」とおかしな現象の話になっている
また、Aと同じ分布になるように入れる方法を示してくれ
165:１３２人目の素数さん
11/11/02 16:30:06.89
>>155
どちらの例も、プレイヤーにとって（２つの封筒の）金額が決定するのは封筒を開ける時ではなく、封筒にお金を入れるときと思えるが、何か間違えてるかな？
166:１３２人目の素数さん
11/11/02 16:31:26.08
>>155
ＡとＢの例えが、地震の話の根拠になってないぞ
167:１３２人目の素数さん
11/11/02 16:35:23.76
>>155
>>121の言ってることの補足にはなってないぞ
168:１３２人目の素数さん
11/11/02 17:57:04.11
>>167
補足などではないが、何を言ってるんだ？
なにか行き違いがあるように思える。
169:１３２人目の素数さん
11/11/02 18:06:20.32
>>165
誰にとって決定しているのかを考えていないのかな？
ABCは サイコロの出目の分だけ金貨をもらえる事になった。
サイコロは一度だけAが振り、全員がその出目の分だけ金貨をもらえる。
Aはサイコロを振ってその出目を見た、３だった。
Bはその目を見せてもらえない。
Cは横からサイコロを見ることが許された。５が見えた
（上面が５でと２ではないことが解っている。）
この時点で、ABCのそれぞれの立場でもらえる金貨の期待値はわかるか？
170:１３２人目の素数さん
11/11/02 18:36:43.29
>>169
あなたがどちらの意見の方かはわからないが、12500円の立ち位置の人かな？
仮にサイコロの状態からその期待値の判断が出来るからといって、もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならないのだけど・・・・
171:１３２人目の素数さん
11/11/02 19:41:14.93
>>170
＞ もう片方の封筒の中身を判断できることの証明にならない
そういう話をしているのではなく、期待値は立場によって変わるという話をしている。
「金額が決定する」という言葉を
「プレイヤーの視点で起こる事象が１通りに定まる」という意味で使わないで
「プレイヤーにはその金額は解らないが、封筒に金額を入れた時点で金額は決まっている」
という意味で使うのならば、それは確率的には意味のない主張になってしまう。
分布が同じなら、 いつ封筒に金を決めようが入れようが、確率的には同じ事象。
172:１３２人目の素数さん
11/11/02 19:48:16.98
>>169>>171
結局どっちサイドなんだ？
ちなみに、封筒の問題で期待値不明の立場からものを言わせてもらえば、Cの立場でもらえる金貨の期待値も不明になるだけどね・・・
173:１３２人目の素数さん
11/11/02 19:55:05.33
>>171
同様に地震の話も確率は不明というのが正解だろうね
地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ、それと封筒の確率は同じだよ、それだけの情報だけでは確率や期待値はわからないの無理やり出そうとしている
そういう意味では上のサイコロの問題も前提条件が不足しているので確率や期待値は出せない
立場によって変わることってここにいる人間なら誰でもわかっることと思うんだが、論点がずれただけで何の役にも立ってないぞ
174:１３２人目の素数さん
11/11/02 20:34:01.79
>>171
その分布を図ることができないからあとから意図的に分布どおりにお金を入れることができない。
よって確率的に同じ事象ではない
175:１３２人目の素数さん
11/11/02 23:13:14.88
>>121
その地震の例えに間違えはない、ただの条件付確率って事だよね
よって>>118にも間違えはない
176:１３２人目の素数さん
11/11/03 00:59:18.09
>>172
Cの期待値が不明なのはなぜ？
Bは不明なの？不明じゃないの？
177:１３２人目の素数さん
11/11/03 01:01:49.58
>>174
「分布を図ることができない」というのはプレイヤーの視点からの話ではないの？
お金を入れるのはプレイヤーではないよ、ディーラーだよ。
ディラー視点では、「何らかの方法」で金額を決定するのだから
その分布を知ることもできるし、同じ分布となるようにもできるのではないかな？
178:１３２人目の素数さん
11/11/03 01:03:06.84
>>173
＞ 地震なんてどんな情報を持っていたとしても確率なんて割り出せないでしょ
数学以外の話をしたいの？
179:１３２人目の素数さん
11/11/03 01:54:44.45
>>165
「金額が決定する」というのは、
プレイヤーが確率１でその金額になることをプレイヤー本人が知ることを言う。
プレイヤーは、封筒を開けるまで、封筒の中身の金額を知ることはできない。
しかし、ディーラーの視点では、プレイヤーが開けなくても金額は解っている。
神の視点では、ディーラーが封筒に金を入れる前から、金額が解っている、
明日地震が起こるかどうかは、プレイヤーは知らない
しかし、神の視点ではもうそれは決まっている。
180:１３２人目の素数さん
11/11/03 09:40:55.73
>>176
サイコロの形状などを自分の思うように考えている
その点で封筒が1/2でと思い込んでいるのと同等だよ
181:１３２人目の素数さん
11/11/03 17:16:21.66
サイコロとは「１～６の自然数がすべて等確率に出目として現れるもの」
という仮定からして覆そうということ？
182:１３２人目の素数さん
11/11/03 18:30:30.38
サイコロって言われれば、断りが無くてもどの目の出やすさも同じと考えて問題を解く
カードの裏表と言われれば、どちらの面が出るのも同じと考えて問題を解く
だけど、好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら、どんな数字
のペアが書かれるか全く判らない。
２封筒問題は、左の封筒か右の封筒かの２択だから、
「高額の封筒を選ぶ確率は1/2で、低額の封筒を選ぶ確率が1/2だ」というのは正しい。しかし、
「10000が高額である確率が1/2で、10000が低額である確率も1/2だ」というのは正しくない。
「10000が高額である」というのは、好きな数字として5000を選んだこと。
「10000が低額である」というのは、好きな数字として10000を選んだこと。
だから、「10000が高額ある確率」と、「10000が低額である確率」は、ディーラーが好きな数字
として5000を選ぶ確率と、10000を選ぶ確率の相対比になる。
これが、1:1だなどと判断できるわけがない。（不明という意味で、1:1である可能性を否定するものではない）
けちなディーラーで最初から、数千円程度しか眼中になかったら、10000で有った可能性は0だろう
正２０面体サイコロに１～２０の数字を書き、出目の千倍を好きな数字にしたなら、5000も10000も1/2づつ。
自分の財布の中から適当な札を一枚取って、それを好きな数字にしたなら、5000円札は普通０～２枚程度。
万札は０～？？。万札を引いた可能性の方が高いかも知れない。この様に、全く不明なのだ。
183:１３２人目の素数さん
11/11/03 18:38:27.01
なるほど数学ではない話がしたいのか。
それなら板違いだ。
184:１３２人目の素数さん
11/11/03 19:34:51.38
テストをして点数の分布が次のようになった。この分布から平均点を求めよ。
81～100：２人
61～80：３人
21～40：１人
という設問があったなら、疑義はない。平均点はきちんと求められる。しかし、与えられたデータが
81～100
61～80
21～40
だったらどうだろう。平均点は求められるか？
勝手に各ランクに一人づつと思いこんで平均を求める人も現れるようだが、それは正しいか？
２封筒問題は、この様なもの。必要な情報が欠けている。だから求められない
勝手に人数を仮定して平均値を求めるのと、必要なデータがないから求められないと指摘し
回（解）答するのとでは、どちらが正しい対応か
185:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:15:01.14
>>184
いやその平均点は求められないだろ。
それとも答えを区間で（○○＜平均＜△△）てなふうに平均を求められるかどうかの話なのか？
186:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:29:39.86
>>182
現実のには、サイコロは正確な６面体にならないし、各面が等確率で出るサイコロなど存在しない。
カードの裏表を、ランダムにしかし1/2に決める方法も存在しない。
数学では、そこをなんとか「もし、等確率のサイコロやカードがあったら」という仮定の下で思考をする。
もちろん等確率でない仮定もできるが、その場合の結果は、等確率と仮定した場合と異なっていても
仮定が違うのだから矛盾してないと考える。 どちらがより正しいかなんてこともない。
それはサイコロやガードに限らず、ルーレットだろうが封筒だろうが、ディーラーでさえも
そのように仮定することができる。
封筒やディーラーだけを、サイコロやカードと区別しなければならない理由はない。
開けた封筒から１００００円出てきたときには、それが高額の封筒であったのか
低額の封筒であったのか、等確率に起こるとの仮定の下では
けちなディーラーがいる可能性など、考慮する必要などまったくない。
もちろん、あなたが、ディーラーはケチだと決めて（仮定して） 開けていない封筒には
２万円ではなく５千円が入っていることが圧倒的に多いのだ、という別の数学を展開することは
何の問題もなく自由。 しかし、その場合でも、けちなディーラーを仮定しない他の数学に対して、
それはおかしい間違っているなどというのは、まったくもってナンセンスなことである。
187:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:32:53.80
>>184
分布が分かってても無理なパターンがある>>37の後半のような
しかし、だからといって必ず交換戦略はこの場合有効ではない！
なぜならこの場合期待値が無限大へと発散するからだ
無限大の1.1倍の期待値はやはり無限大でありどちらが上だと言えない状況なのだ
いや当然ながら10000円が出たならば交換したほうがいいし20000円が出ても交換したほうがいい
だが！この交換したほうがいい戦略はは全体へとはつながらない
この『個々の事象なら交換したほうがいい』→『よって全体としても交換したほうがいい』
この矢印が間違いの元だと思う
188:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:33:40.78
>>182
＞ 好きな数字を選び、その数字とその数字の２倍を書けと言われたら
好きな数字を選ぶためには、選ぶ方法が必要だろう。
189:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:37:52.09
>>182
たぶん貴方の心のなかには サイコロやカードには 等確率であることを受け入れる理由があって
封筒（ディーラー？）の場合にはないのだろう。
その「ある・なし」の違いが、経験によるものなのか、嗜好によるものなのかはわからないが
その違いに、数学的な違いを見出さない限りは、ここでの（数学板での）論議は徒労に終わると思う。
190:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:44:21.85
>>186
サイコロの目やカードの裏表、選んだ封筒が高額か低額かには「理由不十分の原理」が使える
（＝同様に確からしく起こると言うことに反対する理由はない）が、
ディーラーが(5000-10000)という封筒のペアを用意したか
ディーラーが(10000-20000)という封筒のペアを用意したかには、「理由不十分の原理」が使えない。
理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。
これが理解できないなら、残念だ。これ以上あなたとは関わる事に価値はないだろう。
191:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:45:37.67
想像するにたぶん>>184は、正解が先に用意されてから与えられる問題を解くというスタイルの
数学しか受け入れられないのだろう。
解を求めるためにはさらにどのような仮定が必要か、どのような仮定ならば別の結果が得られるのか
などの探求よりも、彼は「この問題では解が唯一に定まるための条件が欠けている」と問題の不備の
指摘をするほうが正しい対応だと主張するのだから。
192:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:48:52.77
>>190
＞ 理由は、同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから。
その理由は数学的なものではなくて、「けちなディーラーがいるかもしれないから」 なのか？
193:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:52:34.93
>>190
問題に、「ディーラーはケチではない、不正もしない。」と書かれていたら使えるの？
194:１３２人目の素数さん
11/11/04 01:03:49.33
>>190
↓ こう言ってるってことは>>150 とは別の人だよね？
＞ 同様に確からしく起こるということに反対する理由があるから
その理由がなんなのかを言えばいいと思うよ。
195:１３２人目の素数さん
11/11/04 02:15:37.73
>>194
>>182の最後の方に書かれているディーラーがけちだったら5000の確率が高いとか、
20面体サイコロを使っていたら1/2づつだとか、財布から一枚の札を選んだんだったら10000の
方が可能性が高いかもとかが、反対する理由。
サイコロの目とか、カードの裏表とか、選んだ封筒が低額か高額かとかは、偶然でそうなったと
しか言えないけど（いかさまサイコロを使っていたら、とかは別の話）、上のような例だったら、
偶然じゃない要素がたくさん入り込める。だから「理由不十分の原理」が使えない。
196:１３２人目の素数さん
11/11/04 05:15:13.74
横から失礼。
>>190には同意だが、その理由として>>195は弱いと思うよ。
金ではなくただの数字ということにすれば「けち」とか関係なくなるし。
20面体サイコロとか財布、、、はいかさまサイコロと同程度の理屈に聞こえる。
いかさまサイコロが別の話ならそんなサイコロとか財布とかも別の話じゃん。
197:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:04:34.89
すくなくとも>>195は数学の話じゃないな。
６面体サイコロやカードは無条件で信じられるが封筒は信じられないとう感情の話でしかない。
>>193に答えられない。
198:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:05:03.24
選んだ封筒が高額側の封筒なのか低額側の封筒なのかは、「理由不十分の原理」により、五分五分。確率1/2だ。（★）
しかし、中を見た封筒(10000を確認)が高額側の封筒なのか、低額側の封筒なのかについては、確率は判らない。（☆）
上は何度も繰り返し説明している事だが、>>186等の書き込みを見ると、未だにこの違いが理解できていないようなので、
具体例を使って説明を加える。
5000-10000のセット90組と、10000-20000のセット10組を用意し、箱の中に入れたという前処理があったとして問題を考えてみよう。
箱の中をよくかき混ぜ、中から一つのセットを選ぶ。そのセットの中には二つの封筒が入っていて、一方を選択した。
さて、ここで第一問目。「この封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
これに答えを与えているのが（★）だ。1/2ずつである。
状況を進めよう。先ほど選んだ封筒を開けると、10000が入っていた。
ここで、第二問目。「この10000が入っていた封筒は高額側の封筒なのか？それとも低額側の封筒なのか？」
(☆)はこの時点での説明を行っている。答えは、高額側の封筒（=他方の封筒には5000）である確率は90/100、
低額側の封筒(=他方には20000)である確率は10/100だ。
オリジナルとは状況が違い、分布が判っているからこの様な計算が出来るが、分布が判らなければ、こんな事は出来ない。
199:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:06:02.89
(★)は偶然「だけ」が支配するもの。(☆)は0～1まで、自由に変えられるものだ。
(★)と(☆)は全く異質な確率なのだ。
(★)と(☆)が全く異なることを端的に示すために持ち出したのが「けちなディーラー」だ。
けちなディーラーは(☆)で偏りをつけることは出来ても、(★)の確率を変化させることは出来ない。
２封筒問題の最重要ポイントは(★)のような顔をしている問題が、実はけちなディーラーが支配できる(☆)の問題であることにある。
だから、この部分が強調される「情報がないから計算できない。」を私の答えとしている。
「「5000-10000」と「10000-20000」の分布が1:1ならば、．．．」の様な設定の問題なら、「けちなディーラー」は介在しない。
義務教育で習う問題だ。そこでやればいい。
しかしオリジナルは違う。(★)から(☆)への性質変化がコッソリ行われ、惑わせている。これが２封筒問題の正体である。
>>196
「けち」などが本質であるわけがない。
(★)と(☆)の違いを感じ取ってもらうのに都合の良さそうな例として用いただけのものである。
200:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:06:23.96
失礼。 >>189がとっくに指摘していたか。
201:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:21:34.63
そういう意味では、サイコロだって 異質な確率だろう。
問題文に「６面はそれぞれ等確率で出るものとする」と、ことわられていない以上は
サイコロを用意するディーラーがいくらでも出目を支配できるようなサイコロを用意できる。
書かれていないから、分布がわからない、と言う意味では全く同じだ。
なのにサイコロの目は偶然にしか支配されないとするのは
サイコロは、数学の問題として頻出なので、書かれていなくても疑わない
という感情的経験的な理由でしかないのではないか？
カードも裏表を決定する手順が明記されていないので、いくらでも不正が介在できる。
カードやサイコロだけを特別視する理由は、数学ではなく教育（または経験や感情）のせいだろう。
この板では、国語や心理学の話をしてるんじゃないんだ。数学的にやろう。
・ディーラーは不正なくサイコロを振った
・ディーラーは不正なくカードを選び裏表を決めた
・ディーラーは不正なく封筒を用意した
封筒を特別視したいのなら、こうやって同じ前提を付けたときに
「なぜ」封筒は違うのかを言わなくてはならないんだよ。
202:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:30:16.03
>>200 は>>197 の書き込みです。 投稿前に更新するべきでしたね。
203:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:31:39.79
＞ (★)から(☆)への性質変化がコッソリ行われ、惑わせている。これが２封筒問題の正体である。
浅い。 過去スレを嫁。
204:１３２人目の素数さん
11/11/04 08:34:57.81
>>198
>>172 は あなたですか？ それとも別人？
205:Ｂ太郎
11/11/04 11:38:44.36
とりあえず「サイコロは一様に等しい」でいいじゃないか
地震とか出すと論点がずれる
封筒は
・2つの封筒を選ぶとき、金額が多い封筒を引くのも、金額が少ない封筒を引くのも1/2から選ばれる
という前提があり（ここまでは民が認めているはず）
・選ばれた封筒がⅹ円の場合、交換した場合は≪1/2≫の確率で1/2ⅹ円になり、1/2の確率で2ⅹ円になる、故に交換すると期待値1.25ⅹ円になる
と言えるかどうか。
Ａ上記で間違いない
Ｂこの1/2というものが間違い、この確率・分布は数学的に計りしえないので数学的・確率的な期待値は求められない
Ｃⅹ円のままでは交換期待値はⅹ円だが、封筒をあけ10000円を確認すると、交換期待値は12500円になる。
これ以外に派閥があれば、ＤとかＥとか宣言して欲しい、あるいはＢ´とかも可
またどの意見に賛同なのかわからないし、過去どの発言から言ってるのか判らないから
名前にＢ太郎、Ａ吉など派閥＋固有の名称で発言してくれると助かる
206:Ｂ太郎
11/11/04 11:53:08.07
Ａ意見の人に聞きたいのは
2人で封筒を受け取り、交換可能な場合について
甲が最初に受け取ったＸ円とすると、交換すると交換期待値は1.25Ｘ円になり
乙が受け取ったＹ円は交換すると交換期待値は1.25Ｙ円になる
交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい
Ｃ意見の人に聞きたいのは
甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が５０００円だとすると交換期待値は６２５０円になる
交換しないと二人の金額の総和は１５０００円
交換した場合、二人の金額の期待値は１８７５０円になる
Ａが最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
Ｂが受け取った金額が２００００円だとすると交換期待値は２５０００円になる
交換しないと二人の金額の総和は３００００円
交換した場合、二人の金額の期待値は３７５００円になる
常に総和が増加する矛盾について解決して欲しい
207:Ｂ太郎
11/11/04 11:53:36.52
訂正：
Ａ意見の人に聞きたいのは
2人で封筒を受け取り、交換可能な場合について
甲が最初に受け取ったＸ円とすると、交換すると交換期待値は1.25Ｘ円になり
乙が受け取ったＹ円は交換すると交換期待値は1.25Ｙ円になる
交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい
Ｃ意見の人に聞きたいのは
甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が５０００円だとすると交換期待値は６２５０円になる
交換しないと二人の金額の総和は１５０００円
交換した場合、二人の金額の期待値は１８７５０円になる
甲が最初に受け取った１００００円とすると、交換期待値は１２５００円になり
乙が受け取った金額が２００００円だとすると交換期待値は２５０００円になる
交換しないと二人の金額の総和は３００００円
交換した場合、二人の金額の期待値は３７５００円になる
常に総和が増加する矛盾について解決して欲しい
208:１３２人目の素数さん
11/11/04 12:04:10.94
俺はB派だがその期待値を足すのはナンセンスだと思うよ
期待値っていうのはお互いの今持ってる情報が同じ場合にのみ足せる
Aの人はX円を受け取ったっていう情報Xを元に行動する
Bの人はY円を受け取ったっていう情報Yを元に行動する
AとBの持っている情報が違うので期待値を足すことはできない
209:Ｂ太郎
11/11/04 12:53:18.27
>208
そうか？
競馬もカードゲームも、おのおのの買い目、手の内から期待値が算出できて、胴元の取り分など計算に入れれば１になるはずだが・・・
210:１３２人目の素数さん
11/11/04 13:05:50.31
>208
今持ってる情報が同じというか、同じ情報源上にいるかどうかだろ
この場合封筒の交換の相手なので同じ情報源上にいると考えないといけないだろう
封筒の中身を交換しても交換しても総額は増えないと考えるのが自然で、この点において矛盾している
あんたのいうような、お互いの今持ってる情報が同じ場合のみ期待値が足せるのであれば、現在有効とされているゲーム理論のほぼすべてが無効になってします。
211:１３２人目の素数さん
11/11/04 13:21:56.17
>>209
両方が交換したら得になるって状況はわりとあるんだよ
例えば(5000,10000)・(10000,20000)・(20000,40000)・(40000,80000)っていう封筒の集まりが1:1:1:1であったとして
Aが10000円引いて、Bが20000円引いたとする(A,Bは相手の金額を知ることはできない)
このとき交換するときの期待値はAは12500円、Bは25000円で期待値の合計は37500円だが実際の合計値は当然30000円
これは無頓着にお互いの期待値を足したのが原因
212:１３２人目の素数さん
11/11/04 14:52:26.89
今朝までは、問題文に与えられれていない分布を仮定することの是非についての話だったのに
新たな参加者があったのか新たな論点がでてきているようだな。
これまでに出ている、立場を追加しておく。
D この確率・分布は数学では仮定することは正しくない。仮定することができない。 （Bより強い）
E この確率・分布は仮定することができ、その仮定の下で期待値を求めることができる 。
Bと違うのは「わからない」で終始するのではなく、仮定をすることを許す。
F 具体的な分布を仮定するまでもなく、分布の存在を仮定するだけで期待値を考えることができる。
E,Fははっきりとした対立があるわけではない。 （FはもちろんEを含む、EもFを否定した書き込みはないようだ）
213:１３２人目の素数さん
11/11/04 15:02:08.64
>>205での B の立場の書き方が Dに近いので 誤解があるかもしれないが
DもEもFも
「分布が与えられていないので 何らかの分布を仮定しないと期待値は計算できない」
という意味では共通。
Dはその仮定を許さない立場。
Eは具体的な数値の分布(たとえば1/2とか）をつかう。
Fは封P(x)などと分布を一般化したものでよいとする。
214:１３２人目の素数さん
11/11/04 15:02:48.85
>>212
昨日からの論議はそこではなく
封筒の場合、理由不十分の原理を受け入れられない理由として
「イカサマやケチなどディーラーの性格や行動」を認めて良いかどうか
215:１３２人目の素数さん
11/11/04 15:03:45.56
てゆうか、ここにいまAやCの人なんかいるの？
過去スレにはいたようだが。
216:１３２人目の素数さん
11/11/04 15:58:48.18
>>207
私はA派ではないが、Aについて、
＞交換しないと二人の金額の総和はＸ＋Ｙ円
＞交換した場合、二人の金額の期待値は1.25Ｘ＋1.25Ｙ円になる矛盾を解いて欲しい
これは、何をもってして矛盾しているというのか示してほしい。
少なくとも、期待値の和が、元の金額の和を越えることそのものだけでは矛盾は言えない。
217:216
11/11/04 16:04:17.34
失礼、編集途中で送ってしまった。
AだけでなくＣも同じ。
期待値の総和が増えることだけを根拠に矛盾は言えない。
（実際にそのような分布を構成することができる）
もし207の言うように矛盾があるとすれば、他の理由があるはずだ。
218:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:02:57.58
>>214
理由不十分の原理、判ってる？
サイコロやカードの裏表など、見分けのつかないｎ個の中から一つを選んだ時、
ある一つが選ばれる確率が１／ｎだということを、もっともらしく原理と呼んでいるだけだぞ。
偶然しか関与できないものに対してそう呼んでいる。
いかさま、ケチ、その他予め不公平になるように、数で調整したりすることも出来る。
偶然以外の関与で、確率を変化させられる。このようなものが、「反対理由」そのもの。
「反対理由」が存在するから「理由不十分の原理」が使えない。
たったこれだけのこと、理解できないの？
219:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:06:39.34
>>218
数学以外にも理由不十分の原理があるのか？
頼むから数学の話をしよう。
220:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:08:57.61
>>218
あなたが、サイコロやカードには、イカサマなどの不公平が入らないと思っている理由が知りたい。
「ディラーは不正をしない封筒」と「ディーラーが不正をしないサイコロ」の違いはなんだ？
221:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:09:52.96
>>218
＞ ある一つが選ばれる確率が１／ｎだということを、もっともらしく原理と呼んでいるだけだぞ。
どこでそんなことを教わった？ 自己流？
222:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:11:38.29
釣りにしても、ずいぶん余裕のない釣りだな。 それとも真性なのか？
223:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:15:41.69
>>209
０和のゲームならばそういうことになるが、そうでないものもある
224:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:17:43.55
>>210
＞ 封筒の中身を交換しても交換しても総額は増えないと考えるのが自然で、この点において矛盾している
自然に反するから矛盾て…
数学でないものは他所でやったほうがいい
225:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:24:06.65
>>218
＞ たったこれだけのこと、理解できないの？
あなたが何を言っているのかはわかるんです。
しかしそれではサイコロと封筒を区別するには不十分だと言っている。
理解出来ないのは、 貴方の主張の内容ではなくて
あなたがその主張が十分だとする理由なんですよ。
226:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:40:24.31
まず、どこかで聞きかじってきた
「理由不十分」なんて用語を忘れるところから
やりなおしたほうがよさそうだな
227:１３２人目の素数さん
11/11/04 17:56:42.63
おそらく彼の公理には、他の人の公理にはない「サイコロは公平、ディーラーは不公平」 と書いてある。
数学的な違いが説明できないのに数学でないことをやっていると思っていない以上、残るのはもうそれしかない。
228:１３２人目の素数さん
11/11/04 18:06:19.49
これが実際の賭博の現場なら、ディーラーの性格やイカサマも理由の一つとして十分だろうが
それだとサイコロもルーレットも同じだわな。
信頼に値するゲームかどうか、ディーラーかどうかは、数学とは関係ない話になってしまう。
229:１３２人目の素数さん
11/11/04 18:09:28.81
>>210
足せるかどうかと、足すことに意味があるかどうかは別でしょ。
230:１３２人目の素数さん
11/11/04 18:10:42.84
>>225 サイコロと封筒と等と言っている時点で、私の主張を理解していない証拠だ
（封筒を使った言葉には両方のケースがあることを私は何度も述べている）
サイコロと封筒に本質な差はない。サイコロの１の目か、２の目か、、、６の目かは、
右の封筒か左の封筒かと同様、差はないさらに、高額側の封筒を選ぶか、低額側の封筒を
選ぶかも区別できない。これらは、1/2ずつだ。
しかし、10000が入った封筒が低額側か、高額側かと問われた時には、差が出てくる。
10000が低額側と言うことは、(10000,20000)というペアだったと言うこと。
10000が高額側と言うことは、(5000,10000)というペアだったと言うこと。
つまり、10000が入った封筒が低額側か、高額側かと言う問いは、
封筒のペアが、、(10000,20000)だったか、(5000,10000)だったかと置き換えられる。
この確率は、サイコロや、左右の封筒、封筒の高額／低額側を選択する、等のように
どちらが起こるか、同様に確からしいから1/2ずつだ等と安易に判断することは出来ない。
君は、サイコロ目が1/6づつ、カードの裏表が1/2ずつだと判断するのと同様に、1/2ずつと判断するのか？
231:１３２人目の素数さん
11/11/04 18:26:17.75
そんなことはわかってるよ。
サイコロでは安易に仮定することができて
封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？
232:１３２人目の素数さん
11/11/04 18:57:44.69
>>231 やっぱり君は判ってない。
サイコロも、封筒も「原理」により、それぞれの確率は同確率だ。
この様な場合は、「封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」ではなく、
「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
この『中身を確認した』が肝なのだから、それを省略することなどあり得ない。
そのような対応だから、こちらの話を理解した上での発言とは受け取れなくなる。
逆に聞くが、サイコロでは各目が出る確率は同じと仮定して良い理由は何？
それと同じ理由を、(5000-10000)というペアを選択したか、(10000-20000)というペアを選択したかに
適用できるか？
233:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:01:23.70
訂正
誤：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければ、
正：「『中身を確認した』封筒は安易に仮定することができないのはなぜ？ 」と聞かなければならない
234:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:16:03.43
二つある封筒のうち、左側を選んで、これが高額であるか低額であるかのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ）
これまでの情報からディーラーが用意したペアは(5000-10000)か(10000-20000)かのどちらかである。
「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ｂ）
（Ａ）の判断はだれも疑わない。
（Ｂ）のような判断を君はするのか？
235:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:40:56.50
>>232
だからさ、国語の問題じゃないんだからそんなところに突っかかるなよ。
問題にしてるのは封筒の場合、２封筒の選択ではなくてそこなのはとっくに了解済みだろう。
２封筒の選択がおかしいといった書き込みがひとつでもあったかい？
サイコロを仮定して良いのは、そのように仮定しても矛盾が起きないからだ。
同じ理由で、もう一方の封筒についても仮定できる。
同じだと仮定しても矛盾は起きないんだよ。
236:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:43:39.64
>>234
＞ 「これはカードの裏表の様なもので、同様に確からしいから、原理が適用でき、1/2ずつだ。」・・・（Ａ）
「同様に確からしいから原理が適用でき」
同様に確からしいなら、原理など適用しなくても1/2だろ。
なにか誤解してないか？
(A)の判断を誰も疑わないなんて考えてるので、おかしな考えに陥るんだよ。