11/11/07 15:30:03.20
命題 63
K と L を体(>>82)とし、σ： K → L を同型(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
β を σf(X) の Ω(>>82) における根の一つとする。
このとき、同型 τ：K(α) → L(β) で
σ の拡張となっているものが存在する。
証明
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に σg(β) を対応させることにより得られる。
ここで、σg(X) は g(X) の各係数にσを作用させた多項式である。
よって、この同型は σ の拡張である。
証明終