11/10/08 16:16:34.15
数学基礎論は
・フレーゲによる算術の基礎づけ、及び、
ラッセルによる逆理の指摘
・ヒルベルトによる解析学の無矛盾性証明の計画
”ヒルベルト・プログラム”の提案、及び
ゲーデルの不完全性定理による破綻宣告
等、数学の基礎(foundation)に対する哲学的考察である。
特に、後者の不完全性定理の影響は大きく、数理論理学が
哲学から数学に飛躍する機会にもなったが、数学の基礎づけ
は、今なお重要な問題である。
なお、このスレッドは、基礎的(basic)な数学は取り扱わない。
基礎的な数学に関する質問は他のスレッドで行うよう
お願いしたい。
2:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:28:41.59
数学基礎論における世間的誤解（その１）
「ラッセルの逆理は、カントルの集合論の矛盾を指摘した」
実際には、ラッセルが示した逆理は、フレーゲの
「算術の基本法則」における体系に対するものであって
集合論に対するものではない。
集合論における集合の条件として、内包公理を挙げた場合
ラッセルのパラドックスが引き起こされることが知られているが、
カントルは自らの集合論において、内包公理を掲げていないので
「カントルの集合論」の矛盾を指摘したことにはならない。
3:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:39:57.14
数学基礎論における世間的誤解（その２）
「ゲーデルの不完全性定理は、
数学の無矛盾性の証明が
不可能であることを示した。」
実際には、ゲンツェンが自然数論の無矛盾性を証明している。
また、自然数論にゲーデル命題を公理として付け加えた体系では、
体系自身の無矛盾性を示す命題が証明できる。
ゲンツェンの無矛盾性証明は、自然数論にはない、
ある種の超限帰納法を用いている。
また、後者の体系はω矛盾であるので、
不完全性定理の成立の前提条件である
ω無矛盾性を満たさない。
4:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:44:12.49
上に書いていることは釣りなのか？マジなのか？
5:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:49:21.06
数学基礎論における世間的誤解（その３）
「数学基礎論とは、超数学(metamathematics)のことである。」
実際には、超数学というのは、ヒルベルトが解析学の
無矛盾性証明計画のために、解析学の体系自体を
形式的な記号操作として取り扱う数学の理論を指す。
「数学自体を研究対象とする」という解説がよくなされるが
そのような漠然としたものではない。
6:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:55:03.60
>>4
「上に書いていること」とは
具体的に何を指すか明確に示されたい。
7:１３２人目の素数さん
11/10/08 16:58:19.44
また自称専門家が糞スレ立てやがった
8:１３２人目の素数さん
11/10/08 17:01:16.92
数学基礎論における世間的誤解（その４）
「数学基礎論とは、数理論理学の別名である。」
とある島国ではそのようなことになっているが、
本来は異なる。
「数学基礎論」の名称はフレーゲの「算術の基礎」や
ヒルベルト・ベルナイスの「数学の基礎」に
引き摺られたものであろう。
数理論理学の発展の動機が、数学の基礎付けにあった
ことは否定しようもないが、研究の動機と研究の成果は
異なるものであるから、今や数学の一分野となった
数理論理学を、哲学的動機に基づく数学基礎論の
名前で呼ぶのは適切でない。
なお、上記の文章は、数理論理学者が数学の基礎付けという
動機を抱くこと自体を否定するものではない。
9:１３２人目の素数さん
11/10/08 17:05:22.72
>>7
本物の専門家のための、数理論理学のスレッドが
別に存在するので問題ないｗ
ここではクソスレらしく、数理論理学本来の話題は一切論じず
どうでもいい瑣末な話題のみ論じることとしたい。
その結果、クソスレのほうが繁盛しても、一切の責任は負わないｗ
10:１３２人目の素数さん
11/10/08 17:23:47.33
一応、マジスレへの誘導もしておこうｗ
数学基礎論・数理論理学 その9
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
本スレが、公理的集合論、超数学、メタマス、數學木曾論等の
スレと異なり、正しい「数学基礎論」をその話題とする。
但し、数理論理学を論じるスレから「数学基礎論」の文字を
除きたいという一点において、私の意図は上記の対抗スレの
設置者と一致する。
「数学の基礎」という言葉の本来の意味を明確する意思もなく
ただ「なんか昔から数学基礎論と呼ばれてるから」とかいうだけで
「数学基礎論」という言葉を残すのは、知的怠慢以外の何者でもない。
11:１３２人目の素数さん
11/10/08 20:30:45.97
>>3
＞自然数論にゲーデル命題を公理として付け加えた体系では、
＞体系自身の無矛盾性を示す命題が証明できる。
これ、誤り。
”ゲーデル命題の否定”を公理として付け加えた体系では
”体系自身の矛盾の証明の存在”を示す命題が証明できる
というのはいえるが。
ちなみに、もとの体系が無矛盾であれば、
ゲーデル命題の否定を公理に追加しても
無矛盾である。
12:１３２人目の素数さん
11/10/08 21:56:06.20
ぶっちゃけ数学基礎論って名称は
「数学の無矛盾性を証明する！」
というヒルベルト・プログラムを
実現したい人にとっては意味があるが
単に数学としての数理論理学に興味が
ある人にとってはどうでもいいものだ
と思われ。