11/09/03 14:37:39.30
解答：
[1.1] 集合α,θについて。α＝θが成り立つことを示そう。
[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
[3.2] が、これは本当に明らかである。
[4.1] 次に、β⊂θ が成り立つことを示す。
[4.2] f∈βとする。
[4.3] このとき、fは(B)を満たすから、(f(x)－1)^2＝0となり、f(x)＝1(∀x)となり、f∈θとなる。
[4.4] よってβ⊂θである。
[5.1] 次に、θ⊂αを示す。
[5.2] が、これは簡単に計算できるので省略する。
[6.1] 以上より、「α＝β∩γ」「β∩γ ⊂ β」「β⊂θ」「θ⊂α」が得られた。
これらをこの順番に使えば α ＝ β∩γ ⊂ β ⊂ θ ⊂ α となる。
つまりα⊂θ⊂αとなるから、これでα＝θが得られた。
[6.2] 以上より、[1.1]が示された。
[7.1] 最後に、
「(A)を満たす関数は、『fは定数関数で、その値は1』 という関数のみ」
であることを示す。
[7.2] が、これはα＝θから明らか。[終]