11/07/06 04:58:46.60
>>46
>>41の定理の反例
>>41
証明の以下の部分が
＞そこまでの手順の鏡像（右岸と左岸の逆転）手順を実行することにより
＞元のだれも渡っていない状態に戻すことができる。
仮定２の連続する行きと帰りの重複がないという条件に反する。
48:１３２人目の素数さん
11/07/06 12:19:14.73
>>47
＞ >>41の定理の反例
41とは仮定が異なるので反例にはなっていない。
＞ 仮定２の連続する行きと帰りの重複がないという条件に反する。
どこで？
49:１３２人目の素数さん
11/07/06 12:37:40.37
>>45の訂正
定理： 全員が渡り切ることができる乗船方法は、
召使＋犬のペアで始まりそのペアで終わるかまたは 父＋母のペアで始まりそのペアで終わる
50:１３２人目の素数さん
11/07/06 13:20:34.56
>>48
こちらの両岸の状態というのは、左岸まで移動し終わるまでの範囲で考えているが
そちらの考えは、その範囲を超えて考えているということで考え方の相違があった。
51:１３２人目の素数さん
11/07/06 13:28:18.73
>>48
＞どこで？
＞最初に乗船する組と最後に乗船する組は等しい。
この場合に、鏡像の手順を実行したら渡りきる最後の乗船する組と
渡り終わった後の最初の乗船する組が同一になる。
52:１３２人目の素数さん
11/07/06 13:50:39.37
>>50
＞ こちらの両岸の状態というのは、左岸まで移動し終わるまでの範囲で考えているが
なるほど。
>>51
そこは
＞＞ 最初に乗船する組と最後に乗船する組が等しくない仮定の下では
これを使って背理法なので、的外れな指摘。
次は、よく読んでからレスしてくれ。
53:１３２人目の素数さん
11/07/06 13:56:28.11
>>50
ということは
一行全体ではなくその真部分集合の渡河に関しては
同じ組の単純な往復をのぞいて、最初の組と最終組は同じになる
のかな。
54:53
11/07/06 14:45:54.20
あ、そんなことないや、 すまん、忘れてくれ
55:１３２人目の素数さん
11/07/11 04:44:03.78
〔問題〕
nが自然数のとき、x^3 + x = n^3, の実根は無理数か？
x = {√[(N/2)^2 + 1/27] + N/2}^(1/3) - {√[(N/2)^2 + 1/27] - N/2}^(1/3)
ここに N = n^3,
URLﾘﾝｸ(2sen.dip.jp)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:708番)
なお、有理数で近似することはできる。
{n - 1/(3n)}^3 + {n - 1/(3n)} = n^3 - 1/(3n)^3 ≒ n^3,
x ≒ n - 1/(3n),
56:１３２人目の素数さん
11/07/12 17:10:56.84
>>55
x=q/p (p,qは互いに素)とおくと
(q^3)/p=(pn^3-q)p
なのでp=1 (右辺が整数より左辺も整数でなくてはならないため)
よってxは整数となり条件式より正の整数となるが、
m^3<m^3+m<(m+1)^3
からこれはありえない
よって背理法からxの実根は無理数
なお、この問題で実根の存在の有無については記載する必要はないと思われる
57:１３２人目の素数さん
11/07/15 12:08:25.34
算私語録から
URLﾘﾝｸ(deaimuryou.sakura.ne.jp)
DQNにも分かる解き方（三角関数不可）でお願いします
58:１３２人目の素数さん
11/07/15 21:40:20.95
>>57
ヒントきぼんぬ
59:１３２人目の素数さん
11/07/15 22:31:19.27
真ん中の角出したらわかるやん
60:１３２人目の素数さん
11/07/16 00:26:55.80
ぽかーん
61:１３２人目の素数さん
11/07/16 01:51:07.40
外心使っていいなら楽勝で誰でも解けるけどDQNって言ってるし少なくとも算数の解き方を求められてそうだな
62:１３２人目の素数さん
11/07/16 02:17:10.52
>>61
くわしく～聞こうか～？
63:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:24:55.40
>>61に期待。
64:１３２人目の素数さん
11/07/16 10:23:26.72
数直接Ｒから元をとってこれるという命題は、選択公理を認めないと証明できませんか？
65:１３２人目の素数さん
11/07/16 10:50:24.76
>>57
アホばっかりだな。｢ラングレーの問題｣でググれよカス共
66:61
11/07/16 10:56:55.51
外心とか使っていいんだったら
ACとBDの交点をE、△BCDの外心をOとすれば
△OCDは正三角形で、△CDE≡△COEかつ△ADE≡△AOE
∠BDC=95°より∠BOC=170°、∠COE=∠CDE=95°なので∠BOE=75°
また∠BAC=105°なので□ABOEは同一円周上
以上から∠DAC=∠OAE=∠OBE=35°(最後はOB=OD, ∠BOD=2∠BCD=110°より)
∴θ=35°
一般に∠CBD=∠ACD=30°, ∠ABC=2∠ACBのときにAB=ADが成り立つはず。
算数解で解くには正三角形PQRをとってPQに関してRと反対側に点Sを
PS=PQ, ∠SPQ=80°となるようにとって、直線SQ上に点Qに関してSと反対側に点Tを
PQ=QTとなるようにとれば4点P,S,T,Rは順に4点A,B,C,Dと一致するのでAB=ADがいえるよ
みたいな感じで。
まぁ端的に言えば線分BC上に点FをAB=AFとなるようにとれば△ADFは正三角形
または正三角形ADFをとれば点Fは線分BC上に乗るのいずれかを示せばよいんだけど
この方向性で行くとちょっとめんどくさそうかなぁ
67:１３２人目の素数さん
11/07/16 14:37:06.61
>>66
ありがとうございます
いまから出かけるので、印刷して持っていって読みます
算私語録に書いてある内容の抜粋をネットで見つけた
URLﾘﾝｸ(www2.odn.ne.jp)
野崎昭宏の２通りの解法とやらを見たいものです
68:１３２人目の素数さん
11/07/16 14:39:04.66
>>67
> 静岡の村松さんからの問題は安野光雅の「算私語録 そのⅢ」の六三九に
> ある学習塾が出した広告ビラの中に「家庭教師検定試験予想問題（小学算数）」があり、
> その中に図形問題があり、３晩かかっても解けなかったとある。
>
> 彼は野崎昭弘(数教協委員長）に電話したところ即座にこの問題は難しいと返事をもらった。
69:１３２人目の素数さん
11/07/16 14:39:47.67
>>65
ググって同じ問題を探してみたのかな？
見つけられるかな？
70:１３２人目の素数さん
11/07/16 17:02:36.34
>>69
こいつ意味不明
71:１３２人目の素数さん
11/07/16 18:24:16.70
>>55-56
〔系〕
r>1, nが自然数のとき、次の実根xは無理数.
x^r + x = n^r,
x^r + 1 = n^r,
x^r + x^(r-1) + ･･････ + x + 1 = n^r,
など。
72:１３２人目の素数さん
11/07/16 18:29:00.69
x^r+1=1^r.
73:１３２人目の素数さん
11/07/16 21:45:30.00
>>57
点Dから線分ACへ垂線だ！垂線は辺BCの所まで伸ばせ
74:１３２人目の素数さん
11/07/16 22:15:54.26
上嘘だわすまn
75:１３２人目の素数さん
11/07/16 23:31:15.07
1 - 3 = 4 - 6
1 - 3 + 9／4 = 4 - 6 + 9／4
（1 - 3／2）^2 = （2 - 3／2）^2
1 - 3／2 = 2 - 3／2
1 = 2
あれれ～ｗ
76:１３２人目の素数さん
11/07/16 23:41:17.32
(-1)^2 = 1^2
-1 = 1
77:１３２人目の素数さん
11/07/16 23:44:57.67
実数全体をRとする。
R=I[1]∪I[2]∪I[3]∪… （任意のi,jについてI[i]∩I[j]=φ）
をみたす可算個の閉区間の列I[1],I[2],I[3],…は存在しないことを証明せよ。
78:１３２人目の素数さん
11/07/17 00:56:50.13
>>75
２行目から３行目で何をしたのか理解不能！
79:１３２人目の素数さん
11/07/17 01:19:13.66
>>77
・2つの異なる閉区間I[a]、I[b]は、supI[a]＜infI[b] or supI[b]＜infI[a]
（証明は容易だから略）
・もし存在なら、∀x∈R ∃n∈N x∈I[n] だが―
2つの異なる閉区間I[i_0]、I[j_0]（supI[i_0]＜infI[j_0]）について…
supI[i_k]＜infI[j_k] なる2つの異なる閉区間I[i_k]、I[j_k]に対し、E(k)=(supI[i_k]、infI[j_k])とおく。
E(k)は2つの異なる閉区間I[p],I[q]を含み（証略）、その2つをI[i_k+1]、I[j_k+1]（supI[i_k+1]＜infI[j_k+1]）とおく。
中略
E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
これは∀x∈R ∃n∈N x∈I[n]に矛盾。
Q.E.D.
80:１３２人目の素数さん
11/07/17 01:49:46.64
>>75
どこが面白いんだよカス
81:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:11:15.23
＞E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
I[1],I[2],…の中に[a, a] (1点のみの閉区間)という形のものが
存在する場合は、あるnに対してI[n]＝[r,r] となっている可能性が
あるから、矛盾しないよね
82:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:20:00.23
[-1-1/2^0,-1-1/2^1],[1+1/2^1,1+1/2^0].
[-1-1/2^2,-1-1/2^3],[1+1/2^3,1+1/2^2].
[-1-1/2^4,-1-1/2^5],[1+1/2^5,1+1/2^4].
[-1-1/2^6,-1-1/2^7],[1+1/2^7,1+1/2^6].
[-1,1].
83:１３２人目の素数さん
11/07/17 03:09:33.95
いや、[a, a]かどうかは関係ないか。>>81は無かったことに。
それはそうと、やっぱり>>79はマズイ。
で、79の反例を書こうとしたが、
なんか82に既に書いてあるな(＾q＾)
>>79
＞E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
>82を参考に
・I[1]＝[－1,1]
・I[3k＋1]＝適当 (k≧1)
・I[3k＋2]＝[1－1/2^{2k}, 1－1/2^{2k＋1}] (k≧0)
・I[3k＋3]＝[1＋1/2^{2k＋1}, 1＋1/2^{2k}] (k≧0)
と置き、i_k＝3k＋2, j_k＝3k＋3 (k＝0,1,2,…)とすれば、
>79の「中略」までの議論は全て満たすのに
lim[k→∞]E(k)＝I[1]
となることが確認できる。この場合、任意のr∈lim[k→∞]E(k) は
r∈I[1]を満たすので、「どのI[n]にも属さない実数r」は
lim[k→∞]E(k) から取って来ることが出来ない。
84:１３２人目の素数さん
11/07/17 04:27:18.67
>>77
題意が成り立つとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
閉区間I，Jに対して、二項関係＜を
I＜J ⇔ Iの左端点 ＜ Jの左端点
として定義する(両方とも左端点で比較する)。
任意のI,J∈Mに対して、「I≠J → I＜JまたはJ＜I」が成り立つことが分かる。
さて、k1＝1として、I[k1]＜I[k]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk2とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k2]となっている。
次に、I[k1]＜I[k]＜I[k2]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk3とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k3]＜I[k2]となっている。
次に、I[k3]＜I[k]＜I[k2]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk4とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k3]＜I[k4]＜I[k2]となっている。
以下、同様にしてI[k_j]を作ると
・I[k1]＜I[k3]＜I[k5]＜…
・I[k2]＞I[k4]＞I[k6]＞…
・I[k_{2i－1}]＜I[k_{2j}] (i,j≧1)
が成り立つ。
85:１３２人目の素数さん
11/07/17 04:32:51.45
次に、I[k_i]の左端点をx_iと置く。
・x1＜x3＜x5＜…
・x2＞x4＞x6＞…
・x_{2i－1}＜x_{2j} (i,j＞1)
となるから、r＝inf[i∈N]x_{2i}と置けば
・x_{2i－1}≦r≦x_{2i} (∀i≧1)
が成り立つことが言える。また、R＝I[1]∪I[2]∪… だったから、
r∈I[n]なるnが存在する。簡単な議論により
・I[k_{2j－1}]＜I[n]＜I[k_{2j}] (j≧1) … (1)
が分かる。(1)からI[k1]＜I[n]＜I[k2]となるので、k3の最小性から
n≧k3である。同様にして、n≧k_{2j＋1} が任意のj≧1で言える。
特に、自然数の集合{k3，k5，k7，…}は上に有界となる(nは上界の1つ)。
よって、鳩ノ巣論法から、k_{2i＋1}＝k_{2j＋1} なるi≠jが
取れることになる。しかしI[k1]＜I[k3]＜I[k5]＜… だったから、
k1，k3，k5，…は全て異なる自然数であり、矛盾。
86:１３２人目の素数さん
11/07/17 05:31:06.71
>>84をちょっと修正。
× 題意が成り立つとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
○ 問題のI[1],I[2],…が存在するとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
87:１３２人目の素数さん
11/07/17 14:20:24.42
>>78
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
88:１３２人目の素数さん
11/07/17 16:04:44.22
フェルマーの最終定理
n=3の場合証明した
URLﾘﾝｸ(2sen.dip.jp)
あってる？
89:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:12:18.30
>>57
十年ばかり前になる。ある日、新聞の中に挟まれて、さる学習塾の広告ビラが舞い込んできた。
（中略）
ついに、私は野崎昭宏に電話をしてしまった。ものを教わるからには先生である。
電話で問題を説明したら、即座に「この問題はむずかしいよ」という返事だった。
（中略）
電話してから一週間くらい経って、ドサッと分厚い書類が届いた。中には二通りの解と、
かなり違うけど、いわば類題のプリントと、解題的手紙が入っていた。
「私にも学習塾の教師はやれそうにもありません」という一言が冴えていた。
二通りの解のうち一つは長い。これは電話を聞いた日にできたのだという。一つは短い。
このエレガントな解を見出すまで返事を渋ったのだということであった。さすがは数学者だ、
と私はとても驚いた。驚いていてはいけないのかも知れないが、ともかく新鮮な感動があった。
90:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:21:16.31
>>88
一番最後の s≦1 がどこからも出ない。あなたは計算ミスしていると思われる。
ていうか、この議論、「nが3であること」をどこにも使ってない。
もしこの議論が正しいなら、nが3がどうかに関わらず
同じ議論が使えてしまい、特にn＝2でも使えて
「x^2＋y^2＝z^2, x,y,zは互いに素, x≦y≦z を満たすx,y,zは存在しない」
とか言えてしまうのではないか？
91:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:34:27.87
>>88
あと、1ページ目について。
＞以上より、x,y,zは互いに素である
x,y,zが互いに素である場合だけを考察すればいいのは事実だが、
そこに至るまでの議論が間違ってる。正しい議論は次のようにやる↓
x,y,zの最大公約数をdとすれば、x＝d*a, y＝d*b, z＝d*c (a,b,cは互いに素)と表せて、
x^3＋y^3＝z^3 ⇔ a^3＋b^3＝c^3 (a,b,cは互いに素)
と変形できる。すなわち、3つの変数が互いに素である場合に帰着される。
従って、最初からx,y,zが互いに素である場合だけを考えれば十分である。
92:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:36:46.46
一方で、>>88の議論では
「x,y,zが全てxで割り切れる」(上の議論ではa＝1に相当する)
「x,y,zが全てyで割り切れる」(上の議論ではb＝1に相当する)
「x,y,zが全てzで割り切れる」(上の議論ではc＝1に相当する)
の3通りが排除できているに過ぎない。この3通りで解が無いなら、残るは
「x,y,zの全てがxで割り切れることは無く、同様にyでもzでも割り切れることは無いが、しかし互いに素ではない」(d≠1,a≠1,b≠1,c≠1に相当する)
「x,y,zは互いに素」(d＝1に相当する)
の2パターンであり、>>88の議論では後者のパターンが排除できてない。
93:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:38:48.52
間違えた。
× の2パターンであり、>>88の議論では後者のパターンが排除できてない。
○ の2パターンであり、>>88の議論では 前 者 のパターンが排除できてない。
94:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:49:03.97
そろそろ>>88は、こちらに移動してもらおうか？
【数学】トンデモ数理科学入門【物理】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
95:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:09:25.69
>>88の方法は画期的
これは一般にnの場合でも成立する
>>88は画期的な方法で最終定理を証明した
96:１３２人目の素数さん
11/07/18 20:51:13.90
何世紀の釣り師だよ
97:１３２人目の素数さん
11/07/18 21:09:42.10
実は最終定理には簡単な証明法があったということだな
98:１３２人目の素数さん
11/07/18 23:44:14.70
じゃあn＝2でも通用して"解なし"になるんだな
(x,y,z)＝(3,4,5)は解なのに
よって>>88は間違い
99:１３２人目の素数さん
11/07/18 23:47:27.15
すんません、こいつら隔離しますんで…
100:しんちゃん
11/07/20 19:01:33.54
❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8
101:１３２人目の素数さん
11/07/20 21:24:44.26
角度の問題って、解法が思いつかないんだけど、何かコツはありますか？
いくつか考え方のパターンがあれば、教えてください
AB=AC、∠BAC=40度の△ABCがあって、
辺AB上にD、辺AC上にEを、BC=CD、AD=CE
となるようにとるとき、∠CDE=？
102:１３２人目の素数さん
11/07/20 22:57:25.59
確かに角度の幾何学問題って補助線とか
気付き要素が多いよなぁ。
クロスワードパズルとか、ペンシルパズルっぽいよね。
なんか文章題を数式に落として
図を全く描かずに答えを出す
安楽椅子探偵的な解法ってあったりしないの…？
できたらちょっとカッコいいよね
103:１３２人目の素数さん
11/07/24 20:53:14.83
>>101
とりあえず、解答例
URLﾘﾝｸ(www.gensu.co.jp)
104:１３２人目の素数さん
11/07/24 21:49:14.88
>>103
もうちょっとマシな解答ないん？
105:１３２人目の素数さん
11/07/26 22:06:48.06
自然数全体をＮ
g: Ｎ→Ｎ とする。
g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。
106:１３２人目の素数さん
11/07/26 23:00:00.40
ｇ（０）＝０。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋１））＝２＾ａ（８ｂ＋３）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋３））＝２＾ａ（８ｂ＋５）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋５））＝２＾ａ（８ｂ＋７）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋７））＝２＾（ａ＋１）（８ｂ＋１）。
107:１３２人目の素数さん
11/07/27 05:33:01.39
奇数の自然数全体 Ｏdd を、4個1組に分類する。
Ｏdd = Σ_m {q1,q2,q3,q4}_m
任意の自然数は n = 2^a・b (a≧0, bは奇数) と表わせる。
g(2^a･q1) = 2^a･q2,
g(2^a･q2) = 2^a･q3,
g(2^a･q3) = 2^a･q4,
g(2^a･q4) = 2^(a+1)･q1,
とおく。
108:１３２人目の素数さん
11/07/28 06:24:54.65
g:Ｚ→Ｚ で考えた方がいいな。
奇数の整数全体 Ｏdd' を、4個1組に分類する。
Ｏdd' = Σ_m {q1,q2,q3,q4}_m
g(0) = 0,
0でない整数は n = 2^a・b (a≧0, bは奇数) と表わせる。
以下同文
109:１３２人目の素数さん
11/07/30 20:46:23.35
任意の正の整数pに対して、
1と0だけを適当に並べて0でないpの倍数をつくることができることを示せ。
110:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:36:11.24
細かい所はざっくり端折って…
素因数分解すると2と5以外出現しない数mと
素因数分解すると2も5も出現しない数nを使って
p=mnと表すことができる。
nが1でないとき、1/(9n)は循環小数になる。
その循環の周期がk桁のとき、(10^k)*(1/(9n))-1/(9n)=aでaは整数。
(10^k-1)/9=na
ここで、(10^k-1)/9は10進法で1がk個並んだ数であり、これがnの倍数。
（n=1のときは、k=1とすると、1がk個並んだ数がnの倍数）
一方、m=(2^b)*(5^c)として、bとcの大きい方をdとすると、10^dはmの倍数。
したがって、((10^k-1)/9)*10^dはpの倍数で、
これは1がk個並んだ後に0がd個並んだ数である。
111:１３２人目の素数さん
11/07/31 09:55:05.04
x[n]＝111…11 (1がn個並んでいる)と置く。
x[1], x[2], …, x[p＋1] をpで割った余りを考えると、引き出し原理から、
x[i]≡x[j] (mod p)なるi≠jが取れる。i＜jとしてよい。
このときx[j]－x[i]はpの倍数である。
また、x[j]－x[i]＝111…11000…00 (先頭からいくつかは1で、その後はずっと0)
という形をしているので、この数は題意を満たす。
112:ちょっと、ここで舞っててくれる
11/07/31 18:19:59.52
半径5㎝の球（中は空洞）を切り取ると、切り口の円の半径が3㎝の容器になった。
この容器に水を満タンに入れ、切り口を水平面に対し30度傾けた時、容器に残った水の体積を求めよ。
113:ちょっとここで舞っててくれる
11/07/31 18:26:24.72
中が空洞の球を切り取ると、大小ふたつの容器に分かれるが、大きい方の容器で考えてね。
関数電卓使用推奨。
114:１３２人目の素数さん
11/07/31 20:41:50.79
重心の円周x断面積
115:１３２人目の素数さん
11/07/31 21:25:53.67
rsint
116:１３２人目の素数さん
11/07/31 21:37:05.18
rsintrdrdt=1/3r^3(1-cosT)
rdrdt=.5r^2T
y=rsintrdrdt/rdrdt=(2/3)r(1-cosT)/T
2piyS+1/3sh=pir^2T(2/3)r(1-cosT)/T=pir^3(2/3)(1-cosT)+1/3sh
S=.5pir^2T/pi=.5r^2T
117:真実の話
11/07/31 22:54:56.41
昔、あるところにガウスという少年がいた。
ある日、小学校の教室で先生が生徒達に問題を出した。
黒板に
１＋２＋３＋・・・・＋１００＝？
と書き、
「わかったかね？ １から１００までの数字を全部足すんだ。
先生はちょっと出かけてくるからそれまでにやっておくんだよ。」
そう言って教室を出ようとした。
そのとき、ガウス少年が手を挙げて言った。
「先生できました。」
先生は、困ったような顔をしてガウス少年を呼んだ。
そして小声で
「君か。君ならあの方法を見つけると思っていたよ。」
答えをすぐに計算したんだろ。
ガウス少年は、「ええ、５０５０です。」と答えた。
先生は、やれやれというように言った。
「普通の少年なら、まず１と２を足して３、その３と３を足して６、６と４を足して１０
のように延々と計算していくのになあ。」
それに対してガウス少年は、不思議そうな顔をして言った。
「ボクもそうやって計算したんですが。」
118:１３２人目の素数さん
11/07/31 23:07:47.65
>>117
なーんだ、ガウスも大したことないじゃん、いや、やっぱりすごい、うーん
119:１３２人目の素数さん
11/08/01 13:32:48.11
うまい計算法は知らなかったがものすごいスピードで暗算したってのはフォンノイマンの逸話じゃないか
120:ぷっ
11/08/01 21:56:51.85
フォンノイマンもガウス並みの天才だった
121:１３２人目の素数さん
11/08/02 19:23:18.30
>>110 >>111
正解です。
この問題は昨年の京大模試文系で出たものなんですが、
そのときの平均点は0.2点でした。ちなみに30点の問題です（笑）
もちろん私は解けず、当時の数学の先生にも出してみたんですが
一週間かかってもできませんでした。
このスレには初めて来ましたが、レベル高いですね・・・。
122:１３２人目の素数さん
11/08/02 21:08:02.37
>>121
それはさすがにこのスレの人たちに失礼
123:１３２人目の素数さん
11/08/02 22:29:32.87
>>121
糞蟲の分際で世の中舐め杉
124:１３２人目の素数さん
11/08/07 10:40:47.97
野球で後攻めのチームが8-5で勝つスコアのパターンは、
100210010｜5
003100004｜8
など色々あるが、合計何通りあるか。
コールドや延長はないものとする。
125:１３２人目の素数さん
11/08/07 10:43:18.23
８の分割数x５の分割数
126:１３２人目の素数さん
11/08/07 10:56:26.92
>>125
見事に釣られてるｗ
127:１３２人目の素数さん
11/08/07 11:07:03.31
H[9, 5]*H[9, 8] = C[13, 5]*C[16, 8] = 16563690
128:１３２人目の素数さん
11/08/07 13:42:05.18
100210010｜5
003100004｜8
9H5*(8H5+8H4+8H3...+8H0)
100210010｜5
00310004X｜8
(8H5+8H4+8H3+8H2+8H1+8H0)*8H8
129:１３２人目の素数さん
11/08/07 15:48:27.73
>>128
上は9H5*9H5、下は9H5*8H8でいいのでは？
130:１３２人目の素数さん
11/08/07 16:14:03.22
9938214通り。
{16C8-(14C7+13C6)}×13C5=9938214
131:１３２人目の素数さん
11/08/07 16:17:16.03
9回裏は1点と2点はありえないからな。
132:１３２人目の素数さん
11/08/07 20:01:55.63
なるほど。8-7なら単純なんだけど、8-5はちと面倒、ってことか。
133:１３２人目の素数さん
11/08/07 22:10:04.50
>>124
勝者側試合放棄で、５点の側が８点として勝利するパターンは？
134:１３２人目の素数さん
11/08/07 22:14:32.10
>>132
そこがポイントではない あるいは 単純な方の例示が間違い だな
例示するなら「先攻の勝利なら単純」なら正しいけど
135:１３２人目の素数さん
11/08/07 22:19:27.81
>>133
試合放棄は 9-0 じゃないの？
136:１３２人目の素数さん
11/08/08 08:02:14.62
9回裏がある場合
先攻 9回までに5点
後攻 8回までに5点以下
9H5*(8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5)
9回裏がない場合
先攻 9回までに5点
後攻 8回までに8点
9H5*8H8
137:１３２人目の素数さん
11/08/08 08:26:29.66
>>136
> 後攻 8回までに5点以下
これは9回途中までに5点と同じことなので9H5でOK。
>>129で指摘されている。
138:１３２人目の素数さん
11/08/08 09:35:46.68
？ 8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5 = 9H5
139:１３２人目の素数さん
11/08/08 09:40:28.90
>>138は自己解決しました
140:１３２人目の素数さん
11/08/08 18:15:28.95
９回裏があるかどうかで考えるよりも、９回裏にはありえない得点を考えた方が早い。１点と２点はありえないから、その場合を除いた>>130がベスト解答。
141:１３２人目の素数さん
11/08/08 18:30:25.56
結局９回裏の得点は０(x)、3,4の３種だけてことだよな？
142:１３２人目の素数さん
11/08/08 20:51:32.19
>>141いや、X,3,4,5,6,7,8はありえる。たとえば9回表まで5-0の場合は、9回裏に4点取ったあと、満塁ホームランとか、
あるいは5点取って同点にしたあと、スリーランとかで一挙8点入る。
143:１３２人目の素数さん
11/08/09 00:27:14.32
あ、そうか。 なるほど
144:１３２人目の素数さん
11/08/09 01:13:57.47
>>140
9H5*(8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5) + 9H5*8H8
= 9H5*(Σ[k=0, 8]8Hk-8H6-8H7)
= 9H5*(9H8-8H6-8H7)
= 13C5*(16C8-13C6-14C7)
145:１３２人目の素数さん
11/08/10 13:33:52.04
ちなみに、8-3など5点差以上の場合、サヨナラ勝ちはない。
146:１３２人目の素数さん
11/08/10 17:19:05.70
100個中20個が当たりのくじを引き続けて、n個(1<=n<=20)の当たりくじを引いた時に、
その時に残るくじの枚数の期待値をE(n)を求めよ。
147:１３２人目の素数さん
11/08/10 17:24:19.22
訂正
100個中20個が当たりのくじをn個(1<=n<=20)の当たりが出るまで引き続ける。
この時残るくじの枚数の期待値をE(n)を求めよ。
148:１３２人目の素数さん
11/08/10 17:46:08.51
>>147
つまらんな、
ここは便所の落書きじゃないよ
自分で解きたまえ！
149:１３２人目の素数さん
11/08/10 18:04:19.82
>>148
すごく計算が厄介だから聞いてみた
150:１３２人目の素数さん
11/08/10 19:46:17.57
E(n)=100-101n/21
151:１３２人目の素数さん
11/08/10 20:37:20.18
>>149
なん…だと…
ここは宿題を解いてもらうスレじゃないんだよ坊や
152:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:12:11.60
E(1) = 20/100*99 + Σ[k=0, 79](Π[l=0, k](80-l)/(100-l))*20/(99-k)*(98-k)
153:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:12:42.46
>>151
E(1)でもこれだけ厄介だけど、計算できるの？
154:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:29:54.19
誰か、２封筒問題を解いてくれ～
155:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:43:50.38
偉そうな>>151の解説マダー？
156:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:52:31.47
152を計算したら150と一致するんだけど150はどうやって出したの？
157:１３２人目の素数さん
11/08/10 21:59:46.99
1回目～81回目で当たりを引く確率とその時の残りのくじの枚数を掛け合わせて出した
158:１３２人目の素数さん
11/08/10 22:36:02.83
152の出し方は聞いておりません
159:１３２人目の素数さん
11/08/10 22:46:11.55
それは失礼
160:実に面白い問題
11/08/10 23:06:15.84
1+1=
161:１３２人目の素数さん
11/08/10 23:09:46.00
>>160
田んぼの田
162:１３２人目の素数さん
11/08/10 23:16:18.19
>>161 正解です!!!!
次のステージ
1+1=
163:１３２人目の素数さん
11/08/10 23:21:05.91
田んぼの田
164:実に面白い問題
11/08/10 23:39:57.26
ﾌ正解でする!!!!
次のステージ
5÷0=
165:１３２人目の素数さん
11/08/11 00:03:15.32
>>156
二項分布をフーリエ変換の畳み込みに置き換えれば、
総和を積に置き換えられるから、>>150になる
166:１３２人目の素数さん
11/08/11 08:15:22.77
>>164
田んぼの田
167:１３２人目の素数さん
11/08/11 08:25:20.97
円に内接する五角形がある。
任意の頂点から対角線をそれぞれ2本の引く。
線が出ていない残り1つの頂点から対角線の交点に直線を引く。それと円の交点をAとし、円の中心をOとする。
OAが半径になるとき、五角形は正五角形であるか。
168:１３２人目の素数さん
11/08/11 08:30:33.82
>>167
いろいろと意味がわからない。
169:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:09:50.07
>>167
円上の点Aと円の中心Oを結ぶ線分OAは、常に半径だと思う
170:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:14:08.77
>>167
それぞれ の使い方もおかしいな
吟味せずに投げっぱなしてるいつもの奴だろう
171:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:19:56.47
>>166 ﾌ正解!!!
ステージ\11
この問題に答えなさい。\11/35+3%&@+(3?)523=
172:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:28:43.35
>>171
田嶋の田
173:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:29:31.09
>>169
正解！
174:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:29:50.54
実はこれ文章がめちゃくちゃでも分かる問題でしたー
175:１３２人目の素数さん
11/08/11 09:39:25.72
>>170残念でした(￣^￣)ゞ
176:実に面白い問題
11/08/11 19:18:59.43
>>172 正解です!!!
ステージ裏
♂+♀=
177:１３２人目の素数さん
11/08/11 19:42:12.41
子供
178:福沢論吉
11/08/11 21:50:27.27
天は人の上に人を乗せて人を作る
179:１３２人目の素数さん
11/08/11 22:44:17.12
「πが一定値であることを証明せよ。」
この問題をきちんと解けるやつ出てこい。
言っておくが高校レベルは軽く超えてるぞ。
180:１３２人目の素数さん
11/08/11 22:50:38.46
>>179
そのπの定義は？
181:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:01:21.19
当たり前と思っていることを証明しろと言われると、
証明の材料に困るよな。
下手な定理を使うと循環証明の危険があるし。
公理まで立ち戻れば確実なんだろうが。
182:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:05:57.13
URLﾘﾝｸ(html5games.com)
よく untangle っていう名前で呼ばれてるパズルで、
どうやら数学的には多項式時間で解ける問題らしいんだが、
手でやってみると全然方針が見えてこないのよね。
手でサクサク解ける方法なんかない？
183:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:12:17.31
>>182
英語かよ！
184:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:16:08.92
>>182
「頂点の位置を移動させて平面グラフにせよ」っていうことかな？
185:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:18:07.25
>>181
確実というよりは
使っていい公理を示してくれん限り
公理の選び方で答えが全然変わってくるから困るというだけだろ
186:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:19:08.60
>>184
そうそう。単に線が交わらないようにするだけ。
187:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:27:29.06
>>182
俺は割と解けたが、方針と言われると困るな
次数の多い点はなるべく中に押し込める
行き詰まったら外枠を広げてみる
とかかな
188:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:28:21.53
>>182
いま15までやったけど、簡単すぎるな
どういう理屈で解いているのか分からんが、サクサク解ける
天才ゆえに、途中式を飛ばして結論を出してしまうんだな
189:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:33:46.11
こっちの方が難しい
URLﾘﾝｸ(www.bestflashonlinefreegames.com)
190:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:37:11.16
>>182
とりあえず30問解けたけど、なんとなくサクサク解いている感じ
理屈を理解すれば、真の天才と呼べるのだが…
191:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:45:31.31
>>189
点が多すぎるので時間が掛かるが、やはり、なんとなく解けてしまう
いまLv.4クリア！
理論的に理解しないうちは…
192:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:54:23.95
今摘んだ頂点がある
そこから伸びてる辺により、摘んでる頂点に結ばれた頂点がある
その頂点が多い方向に摘んだ頂点を移動させてやればいい
どうだろうか…
193:１３２人目の素数さん
11/08/11 23:58:21.08
平面グラフの描画に辺の交差が存在する場合、
その点を適切に動かすと辺の交差の数が減る、という点が必ず存在する。
つまり辺の交差の数を減らす操作が必ずあり、
それを続ければ、行き詰まらずに解が得られる
194:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:02:59.55
>>189をLv.7までクリアしたんだけど、どうやら理解したらしい
ただし、無意識の中でな…
>189は数が多い分、適当にやれないから、なんとなく掴みかけてきた
195:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:03:38.26
URLﾘﾝｸ(url3.tk) が割と点数少ない割に良問出す
196:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:07:43.59
>>193
＞その点を適切に動かすと辺の交差の数が減る、という点が必ず存在する。
「どの1点を動かしても交差の数が減らないが、ある2点を同時に動かすと交差の数が減る」
という状況は起きないの？
197:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:09:07.77
>>193
いやー greedy には解けないでしょ。
たとえば、単純な20個くらいの数珠つなぎを８の字に１回ひねっただけの問題とか、
一個ずつ動かして行っても交差の数減らないし
198:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:13:15.20
>>195
Not good enough とか言われてちょっと癪だ
199:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:13:16.61
この問題において解けない条件はあるだろうか
200:１３２人目の素数さん
11/08/12 00:16:28.57
>>199
５点の完全グラフ
201:１３２人目の素数さん
11/08/12 01:07:35.40
>>197
前処理として縮約する(1次の点は削除、2次の点は辺とみなす)前提を忘れてた
>>200
あとは3-3完全二部グラフだな
202:１３２人目の素数さん
11/08/12 02:45:03.49
>>201
＞前処理として縮約する(1次の点は削除、2次の点は辺とみなす)前提を忘れてた
横レスだが、それでもダメだな。>197を少し改造して
URLﾘﾝｸ(coolier.sytes.net:8080)
こういうのを作ると、どの1点を動かしても交差の数は減らない。
また、このグラフに2次以下の頂点は無いから、
>201のような「前処理」も使えない。
203:実に面白い問題。
11/08/12 06:27:37.66
実に面白い…ふふ…。
♂+♂=
204:１３２人目の素数さん
11/08/12 09:26:19.90
801板にお帰りください
205:１３２人目の素数さん
11/08/12 11:24:18.97
>>203
そろそろ消えろ！
全然おもしろくない
206:１３２人目の素数さん
11/08/12 20:44:14.70
>>202
確かにローカルミニマムにハマってるな。
Hopcroft-Tarjanのアルゴリズム
URLﾘﾝｸ(bkocay.cs.umanitoba.ca)
多項式時間どころか線形時間だった
読んだがよく分からん。。
207:１３２人目の素数さん
11/08/12 22:12:49.51
>>179
π=4∫[0,1]√(1-x^2)dx
じゃだめ？
208:１３２人目の素数さん
11/08/12 22:55:55.78
田んぼの田
209:179
11/08/14 08:34:25.87
>>180
>そのπの定義は？
「円周の長さを直径で割った」数字以外にあるとでも？
210:１３２人目の素数さん
11/08/14 10:05:07.98
中心は何所で半径はいくつ。
211:179
11/08/14 10:44:32.96
>>210
>中心は何所で半径はいくつ。
であってもπが一定値であることを証明せよつー問題だとわからんのかキミは。
212:１３２人目の素数さん
11/08/14 10:54:00.25
>>210
R^2の(0,0)を中心,半径1の円の円周の長さの1/2をπとする。
213:１３２人目の素数さん
11/08/14 13:50:20.50
三角関数を級数で定義してその周期の半分をπと定義してもよい
214:１３２人目の素数さん
11/08/14 15:31:00.31
面白い問題というか、面白い性質だなと思った問題。
元の文章が見つからなかったので、俺が書き直した。
数列a[1,n]を1番目の数列と呼ぶことにする。
また
a[1,n]=1,1,1,1,1, （全ての項が1の数列）
とする。
次に、数列a[2,n]を2番目の数列と呼ぶことにする。
数列a[2,n]は初項1、a[1,n]を階差に持つ数列と定義する。
つまり、
a[2,n]=1,2,3,4,5,…
となる。
同様に数列a[m,n]を帰納的に定義する。
a[m,n]=1+Σ(k=1,n-1)(a[m-1,k])
このとき、
a[n,2n]=4^(n-1)
を示せ。
215:１３２人目の素数さん
11/08/14 16:47:03.38
>>209
円の定義は？
216:１３２人目の素数さん
11/08/14 19:45:35.15
〇●東日本大震災は人工地震URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)●●
217:１３２人目の素数さん
11/08/14 20:19:49.96
>>215
ググレカス
218:１３２人目の素数さん
11/08/14 20:53:11.58
>>214
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nとおく。定義より
f_1(x)=Σ[n=1,∞]a[1,n]x^n=Σ[n=1,∞]x^n=x/(1-x)
f_m(x)*x/(1-x)=(Σ[n=1,∞]a[m,n]x^n)*(Σ[n=1,∞]x^n)
=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n なので
f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x)
=Σ[n=1,∞](1+Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n
=Σ[n=1,∞]a[m+1,n]x^n=f_(m+1)(x) よって
f_(m+1)(x)=f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x) この漸化式から
f_m(x)=Σ[k=1,m]{x/(1-x)}^k が示される。
1/(1-x)^k=Σ[n=0,∞]C[n+k-1,k-1]x^n (C[n,r]は二項係数)より
{x/(1-x)}^kのxでのべき級数展開のn次の係数は
C[n-1,k-1] (ただしr>nのときC[n,r]=0と定める。) なので
f_m(x)=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,m]C[n-1,k-1])]x^n
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nよりa[m,n]=Σ[k=1,m]C[n-1,k-1]
特に
a[n,2n]=Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]
=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1])
=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,2n-k])
=(1/2)*(Σ[k=1,2n]C[2n-1,k-1])=(1/2)*2^(2n-1)=4^(n-1)
219:１３２人目の素数さん
11/08/14 21:08:21.29
>>217
それじゃいつどの時代にググるのかによって違う定義がでてくるから
答えが一意に定まらないのでは？
220:１３２人目の素数さん
11/08/14 21:13:12.72
>>219
自分で調べろって意味だろ
下らんレスつけんな
221:１３２人目の素数さん
11/08/14 22:20:07.06
アスペルガーなんじゃね？
222:１３２人目の素数さん
11/08/15 00:31:26.53
>>218
まさか、次の問題として用意してた一般化を先にやられるとは。。。
「一般項も綺麗だよね」って言う予定でした。
お見事です。
223:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:04:37.83
>>220
いや、だから出題者じゃない俺が調べて
たまたま出て来た定義を使って答えを書いても
意味なくね？ちゃんと使う公理系示してくれね？っていう突っ込みは
こういう基礎論っぽい問題に関しては正常な突っ込みだと思うんだが。
変な受け答えのように見えるのは
もちろんもともと問題とその問い方が奇妙だからなのであって
俺のせいじゃない
224:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:04:44.25
>>222
情報を小出しにする馬鹿の先を読んで答えたのだよ！
数学板で鍛えられたこの俺に死角はない！
225:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:20:59.09
>>224
では、一般項からでなく>>214を示してください。
226:１３２人目の素数さん
11/08/15 13:00:08.52
>>214 >>225
仕方ねぇな。それぢゃ....
a[m,n] = 0 (m≦0) としてよい。
Pascal型の漸化式
a[m,n] = a[m,n-1] + a[m-1,n-1],
を n-1 回使うと
a[m,n] = Σ[k=0,m-1] C[n-1,k] a[m-k,1]
= Σ[k=0,m-1] C[n-1,k] (← 題意)
ここで n=2m とおけば
a[m,2m] = (1/2)*2^(2m-1) = 4^(m-1).
227:１３２人目の素数さん
11/08/15 13:53:06.18
>>209
その「円周の長さ」と「直径」の定義は？
228:１３２人目の素数さん
11/08/15 19:31:15.91
>>207じゃだめなんですか？
229:１３２人目の素数さん
11/08/15 19:45:39.64
>>228
>>209だから、その積分と「円周の長さを直径で割った」数字の関係をつけないとだめ
230:１３２人目の素数さん
11/08/15 20:02:03.62
2π=(4∫[0,r]√(1+(√(r^2-x^2))')dx)/r
じゃあこれでいいのか
231:１３２人目の素数さん
11/08/15 20:09:36.95
>>230
右辺の分数の分子が「半径rの円周の長さ」を表していることを証明しなければならない。
そのためには、まず始めに "曲線の長さ" とは何なのか、その定義が必要。
だから>230では不十分。
232:１３２人目の素数さん
11/08/15 21:15:39.64
マジレスする相手じゃねーだろw
233:１３２人目の素数さん
11/08/15 21:46:39.97
積分使うならせめて dπ(r)/dr ≡ 0 を証明するとか、そういう方向で書くべきじゃ？
234:１３２人目の素数さん
11/08/15 21:57:02.44
問題解くだけなら、（完備）位相空間で定義したほうが良くない？
235:１３２人目の素数さん
11/08/16 22:13:16.62
面白くないかもしれんが、△ABCにおいて
ABの中点をD、BCを1：2に内分する点をE、CAを1：3に内分する点をFとし、
AEとBFの交点をP、BFとCDの交点をQ、CDとAEの交点をRとするとき、
△PQRは△ABCの何倍か？
236:１３２人目の素数さん
11/08/17 02:25:02.86
AB = b、AC = c、△ABCの面積をSとすると
AP = 3b/5 + 3c/10、AP:PE = 9:1、△ABP = 3S/10
AQ = b/5 + 3c/5、CQ:QD = 2:3、△BCQ = S/5
AR = 2b/5 + c/5、CR:RD = 4:1、△CAR = 2S/5
△PQR = S/10
237:１３２人目の素数さん
11/08/18 16:58:55.77
質問スレの未解決問題
ちょっと面白いと思ったんで
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:739番)
> 試験で問題が6つあって、全部解けた人はいない。
> どの2問をとっても両方解けた人は全体の４０％より多い。このとき、ちょうど
> ５つ解けた人が少なくとも２人いることを証明せよ
238:１３２人目の素数さん
11/08/18 17:32:49.86
試験を受けた人数が2人の場合
そのうち一人が1～5番目の問題を正解したとすると
どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件から
もう一人は、1～5―6の組み合わせを全て正解しないといけなくなり
全問正解しなければならないので不適
239:１３２人目の素数さん
11/08/18 17:53:35.30
試験を受けた人数が3人の場合
3人がそれぞれ、1,2,3問目を間違い残りの問題に正解した場合には、
1-2,1-3,2-3の組み合わせでそれぞれ、両方解けた人が1/3となり不適
240:１３２人目の素数さん
11/08/18 18:49:55.45
試験を受けた人数が5人の場合
それぞれ
1-5
3-6
1,2,3,6
1,4,5,6
2,4,5,6
を正解した、1人が5問正解で4人が4問正解の場合に
どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件を
満たすので不適
241:１３２人目の素数さん
11/08/18 18:55:33.43
>>240
｢以上｣ではなく「より多い」だからそれだと
> どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件を
は満たさないんじゃないの？
242:１３２人目の素数さん
11/08/18 19:20:25.30
>>241
間違えました．．．
243:１３２人目の素数さん
11/08/18 20:32:26.01
途中まで
試験を受ける人数をn(4以上の整数)として、どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より
多いという条件を満たし、問題の組み合わせを両方正解した場合を1と数えてそれを全ての
組み合わせ掛ける人数分足し合わせた場合の数の総数をf(n)と表すと
f(n) = ([(6n)/15]+1)*15
1人が5問正解し残りの人数が4問正解するときの場合の数をg(n)とすると
g(n) = 6n + 4
f(n)-g(n) = 15([0.4n]-0.4n+4/15)
n≠5m+2(mは整数)以外の場合は
f(n)-g(n) > 0
となり、題意が示される。
244:１３２人目の素数さん
11/08/18 23:52:03.58
受験者が7人の場合
1人が5問正解で6人が4問正解の場合に
どの2問をとっても両方解けた人が3人より多くすることが
できないことを証明できない．．．
245:１３２人目の素数さん
11/08/19 23:40:45.00
受験者が5m+2人の場合
５問正解が２人未満であって、どの２問の組についても両方正解者が40％より多いと仮定する。
６問中２問の組合せ15通りについての、両方正解者の人数の総和≧30m+15より、
５問正解が１人だけで、残り全員が４問正解でなくてはならず、
その場合、15通りについての両方正解者の人数の総和＝30m+16で、
15通りの２問の組のうち、１組のみが両方正解者2m+2人で、残り14組が2m+1人。
問題番号1～6のうちの２つの組合せのうち、kを含む5組
（たとえば、k=1なら、1-2,1-3,1-4,1-5の５組）について、
各組の「両方正解者」のうち４問正解者の人数の合計をf(k)とすると、
４問正解者１人につき、この５組の中で両方正解者にカウントされる回数は０回か３回なので、
f(k)は必ず３の倍数である。
（続く）
246:１３２人目の素数さん
11/08/19 23:42:43.22
（続き）
ここで、6通りのkのうち、5問正解者が正解した問題は当然5通りある。
また、6通りのkのうち、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれているものは2通りある。
したがって、6通りのkの中には、必ず
・５問正解者が正解して、なおかつ、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれない問題
・５問正解者が正解して、なおかつ、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれる問題
の両方が存在する。
前者の１つをa，後者の１つをbとおく。
f(a)=(2m+1)*5-4=10m+1
f(b)=(2m+1)*4+(2m+2)-4=10m+2
この両方が３の倍数となることはありえないので、矛盾。
247:１３２人目の素数さん
11/08/19 23:45:37.33
訂正
誤：1-2,1-3,1-4,1-5の５組
正：1-2,1-3,1-4,1-5,1-6の５組
248:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:15:11.55
数列１、２、２、３、３、３、４、４、４、４、…の一般項を求めよ
249:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:30:48.33
ガウス記号とか使って、一般項の「式」をでっちあげたところで
「だからなに？」という感じなのだが
250:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:46:54.53
つまらなかったですか…
申し訳ありませんでした
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
251:１３２人目の素数さん
11/08/21 00:33:36.55
[B]
こなみcard
掃除
洗濯
飯
キリン水
風呂入った
アマゾンでマスオ
とんき
センター漆原慎太郎古文
漆原慎太郎のセンター古文は今年中に新しいの出ますか？
漆原慎太郎
加地伸行
デザイナーズ
ファッショナブル
252:１３２人目の素数さん
11/08/22 01:25:33.05
コマル問題
[B.4341.]
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たす実多項式の対 f(x), g(x) をすべて求めよ。 (P.Kutas)
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
253:１３２人目の素数さん
11/08/22 01:39:43.85
>>252
これって方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？
254:１３２人目の素数さん
11/08/22 02:01:04.23
>>253
何を問うているのかがわからん。
255:１３２人目の素数さん
11/08/22 02:07:57.37
あえて言うなら、
方程式が恒等式となるようにf(x)とg(x)を定める問題
全ての組みを見つける。
256:１３２人目の素数さん
11/08/22 02:27:20.38
＞方程式が恒等式となるように
用語を理解できてないんじゃね？
257:１３２人目の素数さん
11/08/22 02:32:03.93
どのあたりが？
258:１３２人目の素数さん
11/08/22 02:46:28.37
多項式は多項式。
xに何を代入するかとか、その時の式の値とか余計なことは考えずに、
多項式は多項式としてただ存在する。
その多項式がイコールで結ばれてるってのは、同じ多項式、つまり、全ての係数が等しいということ。
で、そのリンク先に書いてあるっぽい答えなんだけど、最後の
ad-bc=-1/2 は、ad-bc=1/2の間違いだよな？
259:１３２人目の素数さん
11/08/22 03:03:56.68
＞全ての係数が等しいということ。
恒等式だね
260:１３２人目の素数さん
11/08/22 03:05:52.16
とくに問題ないように思えるが。 なにが言いたいんだ？
261:１３２人目の素数さん
11/08/22 03:09:55.43
方程式を持ち出したのがおかしいってことだろう
そして方程式が恒等式となるようにと言いだすから余計におかしくなる
まだ係数決定とか言えば意味が通じたのに
262:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:05:00.69
持ちだしたのは253だろ
それへの説明としてはそんなに的外れでもないと思うが
263:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:40:03.18
そもそも「方程式」って何？って話になっちゃうけど、
未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
>>252の式のうち未知なる要素はfとgであって、xじゃないよね。
xは多項式で使われるただの文字。別に変数とか定数とかいう意味づけはない。
ここで扱っている対象は「値」ではなく多項式なのだから、
この等式は値に着目した相等関係ではなく、
あくまでも多項式としての相等関係を表しているとみなすべきでは。
264:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:59:52.38
f(x+1)
265:１３２人目の素数さん
11/08/22 05:04:19.16
＞未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
我流の定義でやってきたのか
数学に向いてないんじゃね？
266:１３２人目の素数さん
11/08/22 05:57:15.58
方程式の英訳語はequationだけど、equationの日本語訳は実はただの「等式」なわけで、
「方程式」という切り口の概念って、実は日本だけの曖昧なものなんでないの？
等式という概念だけあれば、あとはそれが文脈のなかでどう使われるかだけでしょ。
267:１３２人目の素数さん
11/08/22 06:00:36.21
言い訳積み重ねるより
中学なり高校なりの初歩の教科書でもあたってみればいいのに
268:１３２人目の素数さん
11/08/22 07:29:16.20
ここにティッシュ置いときますね。
_,,..i'"':,
|＼`､: i'､
.＼＼`_',..-i
.＼|_,..-┘
269:１３２人目の素数さん
11/08/22 11:57:39.93
>>265
>我流の定義でやってきたのか
意思疎通の問題はあるが、我流の定義が出来ない人の方が向いていない。
研究が出来る人は、すべてとは言わないがお受験数学の問題や演習問題をもモノにする。
お受験数学や試験なんて単なるお遊びで、場合によってはその続きがあったり、
更には凍て付く程難しい問題が生じることもある。
270:１３２人目の素数さん
11/08/22 13:56:22.58
>>269
そんな水準の話じゃないだろ
屁理屈
その中であてはまるのは「意思疎通の問題はある」の部分だけ
271:１３２人目の素数さん
11/08/22 14:11:08.18
>>252
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2) - g(x)f(x-2) = 1
g(x)f(x+2) - f(x)g(x+2) = 1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2) + g(x+2)} - g(x){f(x-2) + f(x+2)} = 0
よって、任意の実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
a*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
272:１３２人目の素数さん
11/08/22 14:17:50.46
×任意の実数aに対して
○ある実数aに対して
273:１３２人目の素数さん
11/08/22 14:20:36.79
>>270
ここはお受験数学の話だから屁理屈なんだろうけど、こんな甘ったれた考えしてたら
ポントリャーギンの連続群論とかの古典的本は1人で読めないぜよ。
連続群論の中の記号や用語に限っても、標準的でない部分は多めにある。
274:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:04:07.47
>>252
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0
a ≠ 2のとき
x^2 - ax + 1 = 0の2解をα、βとすると
f(x+2) - αf(x) = β{f(x) - αf(x-2)}
h(x) = f(x+2) - αf(x)とおくと
h(x) = C2β^(x/2)、C2は定数
h(x+2) - αh(x) = (β-α)h(x)
f(x+2) - αf(x) = {h(x+2) - αh(x)}/(β-α)
k(x) = f(x) - h(x)/(β-α)とおくと
k(x) = C0α^(x/2)、C0は定数
f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2)、C1は定数
a = 2のとき
f(x+2) - f(x) = C、Cは定数
f(x) = Cx/2 + D、Dは定数
275:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:23:30.88
×a ≠ 2のとき
○a ≠ 0かつa ≠ 2のとき
276:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:37:51.85
a = 0のとき
f(x) = C、Cは定数となり不適。
a = 2のとき
f(x) = ax + b、g(x) = cx + dとすると
ad - bc = 1/2を満たす場合に題意を満たす。
a ≠ 0かつa ≠ 2のとき
f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 0となり不適。
277:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:45:52.54
>>263
その定義をそのままつかったとしても
fとgに関する方程式が与えられていて
その未知なるfとgを、恒等式となるように決定する。
という問題であることになにか間違いがあるのか？
278:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:46:54.77
＞f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
は削除します。
279:１３２人目の素数さん
11/08/22 15:48:19.68
>>273
なにも我流の定義すべてがいけないと言ってるんじゃなく
他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。
280:ひょうたん柄コマ
11/08/22 18:07:56.24
わりと難問です。
10両編成の電車を赤青黄の3色で塗り分ける。赤同士および青同士は、隣接してはならない（黄同士は隣接してかまわない）ものとして、塗り分け方は何通りあるか。
281:１３２人目の素数さん
11/08/22 18:22:17.00
>>279
>他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
>押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。
なるほど、確かにこれなら意思疎通の問題は生じ得るな。
だけど、定義が分かっていればと言うか読解力があれば、
>>252の「実多項式」は恒等式を指していると分かるだろう。
方程式ならそれを解けってなるだろ。
むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。
まあ、方程式の厳密な定義は暗黙の了解となっていることが多いから、>>263の話も一理あると思う。
282:１３２人目の素数さん
11/08/22 19:04:34.50
>>280
難問か？
DQN問題の間違いだろ？
283:１３２人目の素数さん
11/08/22 19:10:41.21
だからさ、そういう話ではなくて
>>253が、方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？ という
問題の文意を解ってんだか解ってないんだか微妙な質問があったところに
>>255が揶揄を含んで
（ｘについての）恒等式となるように（f,gについての）方程式を解けという意味だよ
と言っただけのことなんだよ。
その流れから言えば、方程式や恒等式の定義の話なんかに一理もクソもないんだ。
284:１３２人目の素数さん
11/08/22 19:26:59.75
>>282
では華麗に解いてくれたまい
285:１３２人目の素数さん
11/08/22 20:10:58.17
>>280 282ではないが、似た問題は、ここら辺に何度も出ている。
a,b,cの何れかを幾つか並べた列を考える。
この列を、最後の文字と、長さで区別する。
最後の文字がaで、文字の長さがnのものをA[n]、同様に、B[n]、C[n]と呼び、それに属する
列の数を値として持つこととする。
さて、ここで一つ、ルールを設ける。つまり、cだけは、連続して並べてはいけい。すると、
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]
整理すると、A[n]=B[n]=2*(A[n-1]+A[n-2])、C[n]=2*A[n-1]等で、
A[10]=B[10]=9136、C[10]=6688で、合計24960
286:１３２人目の素数さん
11/08/22 20:35:20.78
うわ、問題読み間違えてた。漸化式は
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
で、8119が答えだ
287:１３２人目の素数さん
11/08/22 20:55:32.58
>>280
途中まで
nを枝分かれをする階層の数として
青か赤を選択した場合にその後にくる組み合わせの総数をp(n)
黄色を選択した場合にその後に組み合わせの数をq(n)とする
p(1) = 2
q(1) = 3
p(n+1) = p(n) + q(n)
q(n+1) = 2p(n) + q(n)
288:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:25:50.21
>>273
地に足がついてない奴が背伸びして高校以上の数学の話をしようとしても
滑稽なだけだよ
289:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:27:28.63
>>283
揶揄にも知性が必要だからなあ
揶揄しようとしてかえって墓穴掘ったり恥かいてるんじゃ本末転倒では？
290:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:32:24.97
>>281
> むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。
ごっちゃにしているのは>>281だけのように見受けられる。
291:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:36:18.71
>>289
そういう台詞は、君なりに>>253に答えたあとで言わないと説得力がない。
もちろん知性のある揶揄を含んだ答で。
292:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:46:30.24
とりあえず解けよ
言ってる単語の意味が数学界と違っても違わなくても
脳内修正して問題解け
本題解けないから横道の議論で誤魔化してるのそろそろバレてっからな
293:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:55:42.70
解けないのをごまかす必要など無いので（書かなければ十分だろう） それは何かの勘違い。
294:１３２人目の素数さん
11/08/23 01:14:51.84
>>292
根っからの構って君体質が
他人を見る見方にもあらわれてるな
295:１３２人目の素数さん
11/08/23 01:15:55.88
鏡も見てみるとよい
296:１３２人目の素数さん
11/08/23 20:25:19.25
>>266
「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕
「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕
297:１３２人目の素数さん
11/08/23 21:11:19.77
>>266
「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕
「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕
【九章算術】は中国古代の数学書。著者未詳。九章から成る。
263 年に魏(ぎ)の劉徽(りゅうき)が注をつけて出版した。
一説に紀元前 1000 年頃の著という。
連立方程式の解法に、加減法が見られる。〔大辞林(三省堂)〕
確かな証拠はないけれども、B.C.1105年に死んだ周公の命によって準備されたという伝承がある。
前漢期の陵墓から出土した『算数書』発見までは、数学書としては中国最古のものであった。
九章に分かれており、延べ246問が収められている。 なお、九章算術の名前は九章からなる構成に由来する。
巻第一 方田章 - 主に田畑の(年貢のための)面積計算と分数の計算。
巻第二 粟米章 - 交換比率の異なる商品を物々交換するための計算。比例算。
巻第三 衰分章 - 商品とお金との分配。比例按分。利息計算。
巻第四 少広章 - 面積体積から辺の長さを求める。平方根や立方根。
巻第五 商功章 - 土石の量などを求める土木計算。体積。
巻第六 均輸章 - 租税の計算。複雑な比例問題。
巻第七 盈不足章 - 鶴亀算。復仮定法。
巻第八 方程章 - ガウスの消去法による連立一次方程式の解法。また、その為の負の数とその演算規則の導入。
巻第九 句股章 - ピタゴラスの定理に関する問題。測量など。
URLﾘﾝｸ(www.weblio.jp)
解いてみたい人は
URLﾘﾝｸ(ctext.org)
298:１３２人目の素数さん
11/08/24 01:43:28.81
>>286 の続き
(A[n] - B[n])/√2 = D[n],
(1/2){A[n] + B[n] +(√2)C[n]} = E[n],
(1/2){A[n] + B[n] -(√2)C[n]} = F[n],
とおくと
D[n+1] = －D[n],
E[n+1] = (1+√2)E[n],
F[n+1｣ = (1-√2)F[n],
より等比数列で
D[n] = (-1)^(n-1)･D[1],
E[n] = (1+√2)^(n-1)･E[1],
F[n] = (1-√2)^(n-1)･F[1],
本問では、D[1] = 0, E[1] = (1 +√2)/√2, F[1] = -(√2 - 1)/√2,
|F[n]| = (1/√2)(√2 -1)^n < (1/√2)(1/2)^n,
A[n] = B[n] = [ (1/√8)(1+√2)^n + 1/2 ],
C[n] = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],
299:１３２人目の素数さん
11/08/24 07:11:40.99
>>287
(続き)
[[p(n+1)], [q(n+1)]] = [[1, 1], [2, 1]][[p(n)], [q(n)]]
[[p(1)], [q(1)]] = [[2], [3]]
A = [[1, 1], [2, 1]]とおくと
[[p(n)], [q(n)]] = A^(n-1)[2, 3]
P = [[1, 1], [√2, -√2]]とおくと
P^(-1) = √2/4[[√2, 1], [√2, -1]]
P^(-1)AP = [[1+√2, 0], [0, 1-√2]]
となるから
A^(n-1) = P[[1+√2, 0], [0, 1-√2]]^(n-1)P^(-1)
= √2/4[[√2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1)), (1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)],
[2((1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)), √2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1))]]
p(n) = √2/4((3 + 2√2)(1+√2)^(n-1) + (-3 + 2√2)(1-√2)^(n-1))
q(n) = √2/4((4 + 3√2)(1+√2)^(n-1) + (-4 + 3√2)(1-√2)^(n-1))
300:１３２人目の素数さん
11/08/24 07:55:23.25
>>298 「．．．の続き」とは．．．を書いた人間が使える言葉だと思うぞ
286本人による続き
対称性を考えると、A[n]=B[n]、つまり、A[n+1]=A[n]+C[n]、C[n+1]=2A[n]+C[n]=A[n+1]+A[n]なので、
A[n+2]=A[n+1]+C[n+1]=2A[n+1]+A[n]、A[1]=1、A[2]=2を解けばよい。
x^2=2x+1→x=1±√2なので、 A[n+2]-(1土√2)A[n+1]=(1干√2)(A[n+1]-(1土√2)A[n])
A[n+1]-(1土√2)A[n])=(2-(1土√2))(1干√2)^(n+1)=(1干√2)^n
差を取って A[n]={(1+√2)^n-(1-√2)^n}/(2√2) 以下略
301:１３２人目の素数さん
11/08/24 08:26:54.84
>>300
は？287 = 299。
302:１３２人目の素数さん
11/08/24 08:31:00.73
>>301
>>286>>298>>300の流れに
>>287>>299は関係ない。
303:１３２人目の素数さん
11/08/24 08:39:13.93
>>301
それはそうだが、299は自分のレスに対する(続き)であって、前のレスに対するものではない。
304:１３２人目の素数さん
11/08/24 09:03:08.89
>>303
303=301?
「>>301」は「>>302」の間違い？
>>299が>>298の続きだと思ってる人はいないよ。
305:301
11/08/24 09:30:24.09
>>304
そう。301=303
306:１３２人目の素数さん
11/08/24 10:10:15.21
今北。わけわからんｗ
307:301
11/08/24 10:40:08.11
>>300が>>299に対するレスかと勘違いした、失礼
308:１３２人目の素数さん
11/08/24 11:06:43.21
>>286を解いてP[n]=A[n]+B[n]+C[n]とすると
P[1]=3
P[n+2]=2P[n+1]+P[n]
となるが、これはどう解釈できるのかな
309:１３２人目の素数さん
11/08/24 12:24:05.60
>>288
>>290
実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。
高校と大学の数学は論理展開が全く違うんだよ。
地に足が付いていないのはそっちだと思われる。
こちらが地に足が付いていないというなら、(代数)方程式の厳密な定義を書いてほしい。
こちらも(代数)方程式の厳密な定義は知らない
(大学1年あたりでやる実数体R上の連立方程式も1つの(代数)方程式で
大抵ガロア理論はそれ以降でやるだろ)。
310:１３２人目の素数さん
11/08/24 12:29:19.39
虚勢を張れば張る程滑稽
方程式と恒等式の違いの区別がつかないことは
論理展開の違いじゃ言い訳にならないわｗ
ｆ（x-1）の意味すらわかってるのかあやしいな
311:１３２人目の素数さん
11/08/24 12:56:07.63
>>310
xが文字であることは既にご承知さ。
312:１３２人目の素数さん
11/08/24 13:02:57.48
>>309
f(x)=x, g(x)=1 のとき f(x+1), f(x-1), g(x+1), g(x-1) が各々どうなるか書いてくれないか
313:１３２人目の素数さん
11/08/24 13:10:04.79
そう言えば大学数学で恒等式と言う用語は出て来たっけ？
恒等式という概念は出て来るが、少し時代錯誤の本で勉強したこともあり
そのような用語は余り聞いた覚えはないな。
恒等式の厳密な定義はされていたけどな。
多分認識のギャップが生じるとしたらそのようなせいもあるだろう。
いきなり古本に主にタイムスリップしたからな。
314:１３２人目の素数さん
11/08/24 13:25:16.94
>>312
こういうのは基本中の基本だと思うけど
f(x+1)=x+1、
f(x-1)=x-1、
g(x+1)=g(x-1)=1。
315:１３２人目の素数さん
11/08/24 13:30:08.11
たぶん>>312は
＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
はどこから沸いてきたんだ？
って話をしてるんだと思うんだ
316:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:00:44.67
>>315
実係数多項式f、gはそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
の形で表されて実数体Rは乗法について可換だから
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
が示される。群や準同型による多項式の定義では
文字への代入についても定義されていたりして、
f(x+1)、g(x-1)が定義される前に或る文字Xを用いて
多項式f(X)、g(X)が定義されていないといけない。
317:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:09:58.86
>>316
>実係数多項式f、gはそれぞれ
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
>g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
>a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
>の形で表されて
で、f(x+1)、g(x-1)、g(x+1)、f(x-1) はそれぞれどう表されるの？
318:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:13:16.83
>>316 もはやどこから突っ込めばよいか（苦笑）
319:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:16:12.85
f(x+1)g(x-1)=(x+1)1=x+1
g(x+1)f(x-1)=1(x-1)=x-1
x+1=x-1
320:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:30:15.95
>>317
>>318
多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環で、
xにx+1やx-1をそのまま代入出来ることを示すことが出来ちゃうんだよ。
>>314もそこから来ているんだよ。
少し代数の話からはそれると思うけどな。
321:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:48:31.48
代入出来ることを示すには、多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環の部分環としなければならなかった。
322:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:01:40.62
>>316
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される。
詳しく示して。
323:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:17:00.08
>>322
丁寧に書くと少し複雑になったり長くなることもあり、ここではやらない方がよい話だと思う。
324:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:30:59.45
>>323
>>312→>>314→>>319 とは違うということだな？
ところで>>317の答は？これも「少し複雑で長い」のか？
325:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:50:09.63
f(x)＝x
g(x)＝1
と置くと、
f(x＋1)＝x＋1
f(x－1)＝x－1
g(x＋1)＝1
g(x－1)＝1
となり、
f(x＋1)g(x－1)＝x＋1
f(x－1)g(x＋1)＝x－1
となる。よって
f(x＋1)g(x－1) ≠ g(x＋1)f(x－1)
が成り立つ。
326:１３２人目の素数さん
11/08/24 16:05:32.05
>>324
細かく言えば>>312→>>314→>>319となるが、
>>312が仮定された時点で>>314と>>319は
(機械的演算という観点からは)ほぼ同時に言える。そして>>317は、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
のf(x)やg(x)のxを文字と見なしてf(x)やg(x)のxをx+1やx-1で置き換えて計算すればよい。
このように多項式を定義するには何らかの1つの文字Xを持ち出して
f(X)=…、g(X)=…のように表さないと話が始まらない。
このように定義すれば、置き換えや代入が出来ることを示せるが、丁寧に書くとこれが意外に長い。
327:１３２人目の素数さん
11/08/24 16:45:19.66
>>326
君は309で
＞実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。
と書き、316では
＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)が示される。
と書いているが、その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
君は間違っている。
328:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:16:50.06
1=0 でも仮定してんじゃないの？そうすりゃ何でも証明できる
329:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:20:12.84
「 可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x－1)f(x＋1) が成り立つ 」 (←これは正しい)
と言いたかったのを
「 可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x＋1)f(x－1) が成り立つ 」 (←これは間違い)
とタイプミスしてしまった可能性もある。
330:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:21:08.39
>>327
>その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
んじゃなくて、>>325のように置いたり出来る背景の1つには
(半)群や準同型などを用いた表現論的な多項式の定義がある。
このように定義すると、>>325で置き方ではfやgの説明がなければ
f(x)＝x、g(x)＝1と置いた時点でxへの数値が保障されて、
f(x)やg(x)を関数と捉えることも出来る。
331:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:24:15.02
訂正：xへの数値→xへの数値の代入
332:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:37:12.24
>>329
本当に言いたいのは、多項式環R[X]が可換環とかそんな生ぬるいことではない
(例えば、多くの場合多項式環R[X]をR[X*1]と表したりはしないだろう)。
333:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:50:11.08
>>332
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
と表されるとき、f(x+1) はどう表されるのか、結論だけでいいから書いてみて
334:１３２人目の素数さん
11/08/24 18:05:47.15
>>333
そのままxの多項式と見なせば
f(x+1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
となるし、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えれば
f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
となる。こんな風に、表現論的に多項式を定義すると多くの解析的代数的演算が保障されて
解析的演算の観点からすると扱いが便利と言えるし代数的には少々面倒でもある。
335:１３２人目の素数さん
11/08/24 18:37:26.66
>>334
書かなくても分かると思って省略したが、念のために省略せずに書くと
>そのままxの多項式と見なせば
は
(右辺自身を)そのまま(1つの)xの多項式と見なせば
だ。f(x+1)のx+1を多項式と考えた場合それは
文字xがあって定義されることは既にご承知済だよな？
336:１３２人目の素数さん
11/08/24 19:00:17.72
>>335は>>334でなく>>333へのレスだったな。
少し飯食ってくるからじゃあな。
337:１３２人目の素数さん
11/08/24 20:17:27.56
>>308
P[n] = C[n+1], と解釈できまする...
C[1] = 1, C[2] = 3, より、
C[n] = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n}
= [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ], (← ガウス括弧)
338:１３２人目の素数さん
11/08/24 20:33:14.29
>>298 の続き
DEF が求まったので
A[n] = (1/2){ (√2)D[n] + E[n] + F[n]},
B[n] = (1/2){-(√2)D[n] + E[n] + F[n]},
C[n] = (1/√2)(E[n] - F[n]),
で ABC に戻す。
339:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:27:47.66
で、>>252の等式はどこへ行っちゃったの？
340:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:40:49.90
>>339
答えは、リンク先に全部書いてあるからなあｗ（１箇所ミスがあるように見えるけど）
f(x)もg(x)も１次以下の整式で
f(x)=ax+b，g(x)=cx+dとおくとad-bc=1/2となる場合が全て、ということのよう。
ハンガリー語だが、数式だけ追えば何をやってるかは大体分かる
（最後の1/2が-1/2になってるところだけが謎）
341:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:43:20.41
>>334
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される
のはどっちの考え方？
342:１３２人目の素数さん
11/08/25 00:01:40.98
変な強がりから始まって
定義や表記法の確認からはじめなきゃならないスレになってしまったｗ
343:１３２人目の素数さん
11/08/25 00:08:55.49
>>340
>>252と>>309の関係を知りたいだけなんだがｗ。
344:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:04:56.13
>>341
(右辺自身を)そのまま(1つの)の多項式と見なしても
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えても、結局は
f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)、g(x+1)、g(x-1)についても同様にg(x)=g(x+1)=g(x-1)
となって多項式環R[X](R[x])は可換環であることもあり、
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)自身はどちらの考え方でも示せる。
>>342
変な強がりと書いた時点で僕は頭悪いんですって言っている気がする。
>>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
ほぼ確実に×になるよ。
まあ、f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n の右辺自身の方だけを
そのまま(1つの)xの多項式と見なすなんてことは余りしないから
多項式と捉えるなら暗黙のうちに両辺をxの多項式と見ることが多いんだが。
余りおススメしないが別にやりたきゃそちらのその定義でやってもいいぞ。
厳密な定義とは決して言えないけどな。
数論とかに出て来る可換環Q[√s]が何故そのように書かれるのかとかも
説明出来るんだから表現論的定義は便利だよ。
345:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:26:45.84
そろそろこいつどうにかしろよ
346:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:39:16.96
>>345
変な強がりとか変なこと言い始めて来たから御返事しただけだろう。
347:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:42:53.20
>>297
算数書
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
348:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:03:53.55
引っ込みが付かなくなっちゃったみたいだね。
術語を並べて日本語のようには見えるけど実は意味不明な文字列を書くことで
偉そうに見せるだけだね。
> >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
> ほぼ確実に×になるよ。
筋の悪い数学を学んだようだ。
349:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:32:33.25
足元おるすな中学生が借り物知識かきあつめて背伸びしてんじゃね？
350:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:52:34.01
>>348
今の時代に何十年も前の時代錯誤な(大学以降の)数学書を読んでたらそうなったんだろうなあ。
群作用や二次体なんて当然のように出て来たぜ。
正確って言うんだか筋がよいって言うんだか、そんな説明は後回しだ。
或る意味線型微積より複素解析や抽象代数の方が基本的だ。
というかやらざるを得ない。
筋がよいか悪いかにかかわらず、試験の答案に日本語の丁寧な説明を求める人がいたことは言っておく。
聞いたことないが、それ以前に(大学以降の)数学に筋の良し悪しなんてあるのか？
何か受験数学っぽい考え方だな。
351:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:59:26.56
話が合ったり合わなかったり、
数学科以降の厳密な数学の観点で書いたことが間違いだったか。
どういう数学やってる人がここに書いているんだ？
352:１３２人目の素数さん
11/08/25 11:37:28.68
>>334
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えれば
> f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
> となる。
>>344
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えても、結局は
> f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
つまり
a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
だと？
353:１３２人目の素数さん
11/08/25 11:39:12.20
>>280
ａ[n]=ａ[n-1]+2ａ[n-2]+2ａ[n-3]+……+2ａ[2]+2ａ[1]+4
ａ[1]=3,ａ[2]=7
よってａ[3]=17,ａ[4]=41,……,ａ[10]=8119。
354:１３２人目の素数さん
11/08/25 13:38:02.57
>>352
>a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
>= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
は勿論恒等的に成り立つ式ではないが、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)が実多項式である限り、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)の方を最初に定義されたと考えるか、
a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_nの方を最初に定義されたと考えるか、どちらにするかで扱いが変わる。
前者らの方を最初に定義すればf(x)、f(x+1)、f(x-1)についての取り扱いや具体的表し方はまだ不明で
この時点ではx自身の恒等式はまだ具体的に表されていないが、
x自身についての恒等式や方程式の問題を作ることが出来る。
後者を最初に定義されていると考えてそれをf(x)、g(x)=f(x+1)、h(x)=f(x-1)でそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n 、 g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n 、 h(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
と表せば、直ちにf、g、hについて恒等的に成り立つ式f(x)=g(x)=h(x)が生じる。
この時点では多項式g(x)、h(x)についての具体的表示はまだ不明で
f(x)、g(x)、h(x)について具体的に表示された多項式についての恒等式を作れる。
>>252を解くにはxの恒等式と見なさないと話が始まらないから、結局はどちらかの考え方をとることになる。
355:１３２人目の素数さん
11/08/25 13:54:06.18
>>351
方程式の定義もあやふやな
数学科以前の部分がおろそかな子の負け惜しみの
脳内「数学化以降の厳密な数学」で書いたのが間違いだったんじゃね？
356:１３２人目の素数さん
11/08/25 14:38:56.92
いいかい、問題を解き終わるまでは条件を満たす実多項式f(x)、g(x)の存在性はまだ正確には保障されていない。
もしかしたら存在しないのかも知れない。
解き終わって確認することで初めて条件を満たすf(x)やg(x)の存在性は本当に示される。
しかし、大抵は解くには或いは存在しなかったことを示すにはf(x)やg(x)の存在性を仮定しないといけない。
問題を解く過程では論理的にはf(x)やg(x)の存在性について矛盾した仮定をすることになる。
矛盾した仮定をしているんだから解く過程では何仮定してもよいという訳だ。
357:１３２人目の素数さん
11/08/25 19:32:28.18
過程と仮定がややこしい
358:１３２人目の素数さん
11/08/25 19:42:51.78
仮定と家庭と下底も混ぜて、文章を作ってください
359:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:45:08.05
方程式とか恒等式とかが
そんなに面白い問題なのか？
360:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:50:49.17
>>359
お前にとっての面白い問題って何だ？
言ってみろ？ あ？
361:１３２人目の素数さん
11/08/26 12:45:35.50
確かになんか面白い要素があって投稿してる訳だし
そっちが趣旨なんだから揚げ足なら大目に見てやれよ
362:１３２人目の素数さん
11/08/26 17:19:21.79
出された問題も解かずに
方程式だ恒等式だなんだかんだと言い合うのが趣旨なのか？
363:１３２人目の素数さん
11/08/26 17:51:16.17
(・3・)
364:１３２人目の素数さん
11/08/26 19:11:12.42
サイコロを振って出た目をそのまま得点とする。サイコロをn回振ったとき、得点の合計が10の倍数になる確率を求めよ。
365:１３２人目の素数さん
11/08/26 19:57:41.23
>>364
さすがに、これを面白い問題スレに貼るのはないと思うよ
宿題は質問スレに書き込むべきだ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
366:１３２人目の素数さん
11/08/26 21:02:08.83
>>364を少し改変して
n回サイコロを振ったときの目の合計が10の倍数である確率を P(n)とする。
lim_[n->∞](P(n))を求めよ。
367:１３２人目の素数さん
11/08/26 23:19:17.76
>>356
存在するという仮定それ自体に矛盾はないだろ。
その仮定により矛盾が生じるなら、仮定が誤りであることが分かるだけ。
368:１３２人目の素数さん
11/08/27 14:57:06.79
>>367
結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
はてさて、答案を書くときどんな立場をとるか。
最終的に解があることと分かって書くか、こんなことはまだ分からないと考えるか。
必ず解があるとは限らないんだから、論理的に書くなら後者のようなスタンスで書くのが無難だろ。
そのようなスタンスで書くなら、最終的に解がある問題では多くの場合
求めんとする解の存在性の仮定で、論理的に少しあやふやにならざるを得なくなる。
このような場合、存在の論理的正当性は、求めた解が最後の条件を満たすことを確認することで確立される。
高校以下の数学では、そのような大事な作業を怠っていることが多い。
電光石火のようにいきなり条件を満たす解を見つけたとして書くなら話は別だがな。
369:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:09:58.31
あと、方程式の厳密な定義はもういいよ。
今さらながら多項式の厳密な表現論的な定義の続きの延長線上にあることが分かった。
多項式をなす単項式が文字に価を一切代入出来ず線型独立か
多項式をなす単項式が文字に値を代入することが許された上で線型従属か
が大きな違いであることに気付いた。
線型代数と表現論的定義強しだな。
370:１３２人目の素数さん
11/08/27 18:32:27.55
>>368
>そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
全然。
それが仮定する、ということ。
371:１３２人目の素数さん
11/08/27 18:51:40.27
>>370
そのように仮定した答案を論理的に前から順序立ててたどって考えてみろ。
解を求めんとする裏で、仮定したい解の存在性についての理論的背景があったり
一目で解の存在性が明らかな場合は問題ないかも知れないが、
そうでない場合はどうして解の存在性が確立されていて
解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
という問題が生じることになる。
372:１３２人目の素数さん
11/08/27 19:13:18.87
>>371の
>解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
は
解を…とすることが出来ると言えるのか、
解の存在性は正確に立証されているのか、
本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
に変更。
373:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:02:10.07
＞本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
「解が存在するとして話を進めてはイケナイ」と言いたいのか？じゃあ、
「解は存在しないとして話を進めるべきである」
ということか？でも、この場合
「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
結局、お前の立場では身動きが取れず、如何なる問題も解けなくなるわけだ。
374:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:17:23.17
>>368
＞結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
＞最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
＞答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
解が存在すると仮定して、最後に待っているのが『矛盾』だった場合、
それは背理法と呼ばれる論法であり、お前が言うとおり、何も問題は起きない。
じゃあ、最後に待っているのが『矛盾』ではなく、
『何らかの条件』だった場合はどうなるのか？この場合、
「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」… (1)
という結果が得られたということである。
(1)は「 P ⇒ Q 」という形の論理式であるから、結局、
「 (1)に対応するP,Qについて、論理式『 P ⇒ Q 』は真であることが証明できた」
ということである。従って、この場合もやはり、何も問題は起きてない。
ただし、この場合、解が存在することを証明したわけでは無い。
ただ単に、ある種の「 P ⇒ Q 」という形の論理式について、
その論理式が真であることが証明できただけである。
しかし、そのことは「論理的におかしい」わけでは無い。
375:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:36:15.68
>>252 の問題で「解が存在する」と仮定して何が起きるかというと、
「 >252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない 」
という結果が得られるということである。何もおかしくない。
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。
すなわち、「解が存在する」が真であることは まだ証明できていない。
しかし、何か論理的に おかしなことが起きているわけではない。
376:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:36:35.54
>>373
２ちゃん見てたらたまたまレスが書かれていたけど、
皆さ～ん、…を求めて下さ～い、なんて問題出されるのはお受験数学までだよ。
例えば、1つ根を見つけて因数定理使って2次方程式に還元する実係数の3次方程式の問題で、
その見つけなければならない根が456/11なんていう類の問題だったらどうするんだい？
殆ど身動きとれないだろう？だけど実係数の3次方程式だから根は確かに存在する。
これだと根456/11を見つけるまで答案が書けないぜ。456/11なんていう根見つけるのは難しいだろう？
お受験数学でもこんなのは作ろうと思えば作れてしまう。
>「解は存在しないとして話を進めるべきである」
>ということか？でも、この場合
>「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
>という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
むしろ勝手に決め付けて話を進めているのはアナタの方だと思う。
377:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:52:09.08
>>368
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
もう一度言うが、何もおかしくない。
「 P 」が真であることを証明することと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することを
混同してはならない。
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明する際に、「 P 」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。特に、
「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」
という論理式を証明する際に、「解が存在する」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。
解の存在があやふやとか、そういう問題では無い。
378:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:59:03.59
>>375
>ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと或いは真であることが分かっていないといけない。
>>252の問題でPが真であることを示している部分は求め終わった部分だろう？
なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
379:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:08:20.52
>>378
＞その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと
＞或いは真であることが分かっていないといけない。
もちろん、Pが真であることの証明は追加で行う。
＞なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
当たり前じゃないか。
「確認の作業が必要無い」なんて誰も言ってない。
俺は>>368 の
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
この部分に反論したまでだ。
380:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:13:23.14
>>378
＞ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
「証明した意味が無い」かどうかは、目的によって変わる。
「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。
しかし、「解を全て求めたい」場合には、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "とても意味がある" ことだ。
なぜなら、もし運よく
「条件Qを満たせば、それは解である」
ということが証明できたなら、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。
オマケ：運悪く
「Qを満たすだけでは解とは限らない」
というケースもあるが、この場合は、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "あまり意味が無い" と言えるだろう。
381:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:25:35.93
>380の中央付近を訂正。というか書き足し。
＞なぜなら、もし運よく
＞
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになるから、全ての解が判明したことになり
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。
↓
なぜなら、もし運よく
「条件Qを満たせば、それは解である」
ということが証明できたなら、これと先に示しておいた「 P ⇒ Q 」により、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、これで全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かる。
382:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:27:53.33
>>379
勝手な偏見に過ぎないが、…を求めよっていう類の問題の答案を論理的に見た場合
…を解とするとしてその解を求める過程と
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
…を求めよっていう類の問題の答案にそのような証明は書いたことないんでそのあたりはよく分からないが。
…を解とするとしてその解を求める過程を書いた大抵の答案って、ああいう書き方で証明になっているのか？
383:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:37:48.04
>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
同じ。たとえば次のような解答。
解答例：
>252に解f(x),g(x)が 存 在 す る と 仮 定 す る 。
～～(中略)～～
よって、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない。
以上により、
「>252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない」 …(1)
ということが言えた。
次に、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2のとき、このf(x),g(x)は解になることを示す。
～～(中略)～～
よって、このf(x),g(x)は確かに解になる。以上により、
「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 は>252の解である」 …(2)
ということが言えた。(1),(2)により、
f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2
だけが解である。
384:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:52:26.44
もう1つ、別の観点から。
>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
Pを満たす元全体の集合をAと置き、Qを満たす元全体の集合をBと置くと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することは「 A⊂B 」を証明することと同値。
そして、「 A⊂B 」のテンプレ的な証明法は以下のようになる。
証明：「a∈Aならばa∈B」を示せばよい。a∈Aとする。
～～(中略)～～
よってa∈Bである。以上により、確かに「a∈Aならばa∈B」が
成り立つので、A⊂Bが成り立つ。
↑この証明において、「a∈Aとする。」という部分は
「解が存在すると仮定する」とか「…を解とする」という行為と全く同じ。
また、「～～(中略)～～」の部分は "…を解としてその解を求める過程"
そのものである。
従って、"…を解としてその解を求める過程" は、上のA⊂Bの証明と
全くことをしているわけで、つまりはA⊂Bの証明と全く同じ厳密さを
持っている。そして、A⊂BとP⇒Qは同値なのだから、結局、
"…を解としてその解を求める過程" は、P⇒Qを証明するのと
同じ厳密さを持っていると言える。
385:１３２人目の素数さん
11/08/28 00:52:17.92
>>383
>>384
なるほど。
色々と基礎論的観点から教えてくれたり誤りの指摘どうもありがとう。