11/09/01 19:00:16.80
もっともっと簡単にしてもいいぞ。
問題：写像 f：{1,2} → R で、
「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。
f(1)＝a, f(2)＝bと置く。a,bを求めたい。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。
(x,y)＝(1,1)を代入して a^2＝2*a－1， (x,y)＝(1,2)を代入して b^2＝2*a－1
(x,y)＝(2,1)を代入して a^2＝2*b－1， (x,y)＝(2,2)を代入して b^2＝2*b－1
こうして、a,bに関する連立方程式が4つ得られたわけだが、
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、a＝b＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。
逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)－1＝1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)－1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)－1＝1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)－1＝1
だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]