11/09/01 12:38:45.22
>>421
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
そこは抜けていていいんだよ。質問の意味分かってる？
もう少し丁寧に書くぞ。
問題：連続関数 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は、任意のx,y∈Rに対して f(y)^2＝2*f(x)－1 を満たすことが
簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1－1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、
この関数は(A)を満たす。しかもfは連続関数であり、fの値域はRに含まれるから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]
この解答について どう思うか？
「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
と主張するのか？