11/08/24 14:16:12.85
f(x+1)g(x-1)=(x+1)1=x+1
g(x+1)f(x-1)=1(x-1)=x-1
x+1=x-1
320:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:30:15.95
>>317
>>318
多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環で、
xにx+1やx-1をそのまま代入出来ることを示すことが出来ちゃうんだよ。
>>314もそこから来ているんだよ。
少し代数の話からはそれると思うけどな。
321:１３２人目の素数さん
11/08/24 14:48:31.48
代入出来ることを示すには、多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環の部分環としなければならなかった。
322:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:01:40.62
>>316
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される。
詳しく示して。
323:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:17:00.08
>>322
丁寧に書くと少し複雑になったり長くなることもあり、ここではやらない方がよい話だと思う。
324:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:30:59.45
>>323
>>312→>>314→>>319 とは違うということだな？
ところで>>317の答は？これも「少し複雑で長い」のか？
325:１３２人目の素数さん
11/08/24 15:50:09.63
f(x)＝x
g(x)＝1
と置くと、
f(x＋1)＝x＋1
f(x－1)＝x－1
g(x＋1)＝1
g(x－1)＝1
となり、
f(x＋1)g(x－1)＝x＋1
f(x－1)g(x＋1)＝x－1
となる。よって
f(x＋1)g(x－1) ≠ g(x＋1)f(x－1)
が成り立つ。
326:１３２人目の素数さん
11/08/24 16:05:32.05
>>324
細かく言えば>>312→>>314→>>319となるが、
>>312が仮定された時点で>>314と>>319は
(機械的演算という観点からは)ほぼ同時に言える。そして>>317は、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
のf(x)やg(x)のxを文字と見なしてf(x)やg(x)のxをx+1やx-1で置き換えて計算すればよい。
このように多項式を定義するには何らかの1つの文字Xを持ち出して
f(X)=…、g(X)=…のように表さないと話が始まらない。
このように定義すれば、置き換えや代入が出来ることを示せるが、丁寧に書くとこれが意外に長い。
327:１３２人目の素数さん
11/08/24 16:45:19.66
>>326
君は309で
＞実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。
と書き、316では
＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)が示される。
と書いているが、その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
君は間違っている。
328:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:16:50.06
1=0 でも仮定してんじゃないの？そうすりゃ何でも証明できる
329:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:20:12.84
「 可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x－1)f(x＋1) が成り立つ 」 (←これは正しい)
と言いたかったのを
「 可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x＋1)f(x－1) が成り立つ 」 (←これは間違い)
とタイプミスしてしまった可能性もある。
330:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:21:08.39
>>327
>その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。
んじゃなくて、>>325のように置いたり出来る背景の1つには
(半)群や準同型などを用いた表現論的な多項式の定義がある。
このように定義すると、>>325で置き方ではfやgの説明がなければ
f(x)＝x、g(x)＝1と置いた時点でxへの数値が保障されて、
f(x)やg(x)を関数と捉えることも出来る。
331:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:24:15.02
訂正：xへの数値→xへの数値の代入
332:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:37:12.24
>>329
本当に言いたいのは、多項式環R[X]が可換環とかそんな生ぬるいことではない
(例えば、多くの場合多項式環R[X]をR[X*1]と表したりはしないだろう)。
333:１３２人目の素数さん
11/08/24 17:50:11.08
>>332
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
と表されるとき、f(x+1) はどう表されるのか、結論だけでいいから書いてみて
334:１３２人目の素数さん
11/08/24 18:05:47.15
>>333
そのままxの多項式と見なせば
f(x+1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
となるし、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えれば
f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
となる。こんな風に、表現論的に多項式を定義すると多くの解析的代数的演算が保障されて
解析的演算の観点からすると扱いが便利と言えるし代数的には少々面倒でもある。
335:１３２人目の素数さん
11/08/24 18:37:26.66
>>334
書かなくても分かると思って省略したが、念のために省略せずに書くと
>そのままxの多項式と見なせば
は
(右辺自身を)そのまま(1つの)xの多項式と見なせば
だ。f(x+1)のx+1を多項式と考えた場合それは
文字xがあって定義されることは既にご承知済だよな？
336:１３２人目の素数さん
11/08/24 19:00:17.72
>>335は>>334でなく>>333へのレスだったな。
少し飯食ってくるからじゃあな。
337:１３２人目の素数さん
11/08/24 20:17:27.56
>>308
P[n] = C[n+1], と解釈できまする...
C[1] = 1, C[2] = 3, より、
C[n] = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n}
= [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ], (← ガウス括弧)
338:１３２人目の素数さん
11/08/24 20:33:14.29
>>298 の続き
DEF が求まったので
A[n] = (1/2){ (√2)D[n] + E[n] + F[n]},
B[n] = (1/2){-(√2)D[n] + E[n] + F[n]},
C[n] = (1/√2)(E[n] - F[n]),
で ABC に戻す。
339:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:27:47.66
で、>>252の等式はどこへ行っちゃったの？
340:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:40:49.90
>>339
答えは、リンク先に全部書いてあるからなあｗ（１箇所ミスがあるように見えるけど）
f(x)もg(x)も１次以下の整式で
f(x)=ax+b，g(x)=cx+dとおくとad-bc=1/2となる場合が全て、ということのよう。
ハンガリー語だが、数式だけ追えば何をやってるかは大体分かる
（最後の1/2が-1/2になってるところだけが謎）
341:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:43:20.41
>>334
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される
のはどっちの考え方？
342:１３２人目の素数さん
11/08/25 00:01:40.98
変な強がりから始まって
定義や表記法の確認からはじめなきゃならないスレになってしまったｗ
343:１３２人目の素数さん
11/08/25 00:08:55.49
>>340
>>252と>>309の関係を知りたいだけなんだがｗ。
344:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:04:56.13
>>341
(右辺自身を)そのまま(1つの)の多項式と見なしても
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えても、結局は
f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)、g(x+1)、g(x-1)についても同様にg(x)=g(x+1)=g(x-1)
となって多項式環R[X](R[x])は可換環であることもあり、
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)自身はどちらの考え方でも示せる。
>>342
変な強がりと書いた時点で僕は頭悪いんですって言っている気がする。
>>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
ほぼ確実に×になるよ。
まあ、f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n の右辺自身の方だけを
そのまま(1つの)xの多項式と見なすなんてことは余りしないから
多項式と捉えるなら暗黙のうちに両辺をxの多項式と見ることが多いんだが。
余りおススメしないが別にやりたきゃそちらのその定義でやってもいいぞ。
厳密な定義とは決して言えないけどな。
数論とかに出て来る可換環Q[√s]が何故そのように書かれるのかとかも
説明出来るんだから表現論的定義は便利だよ。
345:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:26:45.84
そろそろこいつどうにかしろよ
346:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:39:16.96
>>345
変な強がりとか変なこと言い始めて来たから御返事しただけだろう。
347:１３２人目の素数さん
11/08/25 01:42:53.20
>>297
算数書
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
348:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:03:53.55
引っ込みが付かなくなっちゃったみたいだね。
術語を並べて日本語のようには見えるけど実は意味不明な文字列を書くことで
偉そうに見せるだけだね。
> >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
> ほぼ確実に×になるよ。
筋の悪い数学を学んだようだ。
349:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:32:33.25
足元おるすな中学生が借り物知識かきあつめて背伸びしてんじゃね？
350:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:52:34.01
>>348
今の時代に何十年も前の時代錯誤な(大学以降の)数学書を読んでたらそうなったんだろうなあ。
群作用や二次体なんて当然のように出て来たぜ。
正確って言うんだか筋がよいって言うんだか、そんな説明は後回しだ。
或る意味線型微積より複素解析や抽象代数の方が基本的だ。
というかやらざるを得ない。
筋がよいか悪いかにかかわらず、試験の答案に日本語の丁寧な説明を求める人がいたことは言っておく。
聞いたことないが、それ以前に(大学以降の)数学に筋の良し悪しなんてあるのか？
何か受験数学っぽい考え方だな。
351:１３２人目の素数さん
11/08/25 02:59:26.56
話が合ったり合わなかったり、
数学科以降の厳密な数学の観点で書いたことが間違いだったか。
どういう数学やってる人がここに書いているんだ？
352:１３２人目の素数さん
11/08/25 11:37:28.68
>>334
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えれば
> f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
> となる。
>>344
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えても、結局は
> f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
つまり
a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
だと？
353:１３２人目の素数さん
11/08/25 11:39:12.20
>>280
ａ[n]=ａ[n-1]+2ａ[n-2]+2ａ[n-3]+……+2ａ[2]+2ａ[1]+4
ａ[1]=3,ａ[2]=7
よってａ[3]=17,ａ[4]=41,……,ａ[10]=8119。
354:１３２人目の素数さん
11/08/25 13:38:02.57
>>352
>a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
>= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
は勿論恒等的に成り立つ式ではないが、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)が実多項式である限り、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)の方を最初に定義されたと考えるか、
a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_nの方を最初に定義されたと考えるか、どちらにするかで扱いが変わる。
前者らの方を最初に定義すればf(x)、f(x+1)、f(x-1)についての取り扱いや具体的表し方はまだ不明で
この時点ではx自身の恒等式はまだ具体的に表されていないが、
x自身についての恒等式や方程式の問題を作ることが出来る。
後者を最初に定義されていると考えてそれをf(x)、g(x)=f(x+1)、h(x)=f(x-1)でそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n 、 g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n 、 h(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
と表せば、直ちにf、g、hについて恒等的に成り立つ式f(x)=g(x)=h(x)が生じる。
この時点では多項式g(x)、h(x)についての具体的表示はまだ不明で
f(x)、g(x)、h(x)について具体的に表示された多項式についての恒等式を作れる。
>>252を解くにはxの恒等式と見なさないと話が始まらないから、結局はどちらかの考え方をとることになる。
355:１３２人目の素数さん
11/08/25 13:54:06.18
>>351
方程式の定義もあやふやな
数学科以前の部分がおろそかな子の負け惜しみの
脳内「数学化以降の厳密な数学」で書いたのが間違いだったんじゃね？
356:１３２人目の素数さん
11/08/25 14:38:56.92
いいかい、問題を解き終わるまでは条件を満たす実多項式f(x)、g(x)の存在性はまだ正確には保障されていない。
もしかしたら存在しないのかも知れない。
解き終わって確認することで初めて条件を満たすf(x)やg(x)の存在性は本当に示される。
しかし、大抵は解くには或いは存在しなかったことを示すにはf(x)やg(x)の存在性を仮定しないといけない。
問題を解く過程では論理的にはf(x)やg(x)の存在性について矛盾した仮定をすることになる。
矛盾した仮定をしているんだから解く過程では何仮定してもよいという訳だ。
357:１３２人目の素数さん
11/08/25 19:32:28.18
過程と仮定がややこしい
358:１３２人目の素数さん
11/08/25 19:42:51.78
仮定と家庭と下底も混ぜて、文章を作ってください
359:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:45:08.05
方程式とか恒等式とかが
そんなに面白い問題なのか？
360:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:50:49.17
>>359
お前にとっての面白い問題って何だ？
言ってみろ？ あ？
361:１３２人目の素数さん
11/08/26 12:45:35.50
確かになんか面白い要素があって投稿してる訳だし
そっちが趣旨なんだから揚げ足なら大目に見てやれよ
362:１３２人目の素数さん
11/08/26 17:19:21.79
出された問題も解かずに
方程式だ恒等式だなんだかんだと言い合うのが趣旨なのか？
363:１３２人目の素数さん
11/08/26 17:51:16.17
(・3・)
364:１３２人目の素数さん
11/08/26 19:11:12.42
サイコロを振って出た目をそのまま得点とする。サイコロをn回振ったとき、得点の合計が10の倍数になる確率を求めよ。
365:１３２人目の素数さん
11/08/26 19:57:41.23
>>364
さすがに、これを面白い問題スレに貼るのはないと思うよ
宿題は質問スレに書き込むべきだ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
366:１３２人目の素数さん
11/08/26 21:02:08.83
>>364を少し改変して
n回サイコロを振ったときの目の合計が10の倍数である確率を P(n)とする。
lim_[n->∞](P(n))を求めよ。
367:１３２人目の素数さん
11/08/26 23:19:17.76
>>356
存在するという仮定それ自体に矛盾はないだろ。
その仮定により矛盾が生じるなら、仮定が誤りであることが分かるだけ。
368:１３２人目の素数さん
11/08/27 14:57:06.79
>>367
結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
はてさて、答案を書くときどんな立場をとるか。
最終的に解があることと分かって書くか、こんなことはまだ分からないと考えるか。
必ず解があるとは限らないんだから、論理的に書くなら後者のようなスタンスで書くのが無難だろ。
そのようなスタンスで書くなら、最終的に解がある問題では多くの場合
求めんとする解の存在性の仮定で、論理的に少しあやふやにならざるを得なくなる。
このような場合、存在の論理的正当性は、求めた解が最後の条件を満たすことを確認することで確立される。
高校以下の数学では、そのような大事な作業を怠っていることが多い。
電光石火のようにいきなり条件を満たす解を見つけたとして書くなら話は別だがな。
369:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:09:58.31
あと、方程式の厳密な定義はもういいよ。
今さらながら多項式の厳密な表現論的な定義の続きの延長線上にあることが分かった。
多項式をなす単項式が文字に価を一切代入出来ず線型独立か
多項式をなす単項式が文字に値を代入することが許された上で線型従属か
が大きな違いであることに気付いた。
線型代数と表現論的定義強しだな。
370:１３２人目の素数さん
11/08/27 18:32:27.55
>>368
>そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
全然。
それが仮定する、ということ。
371:１３２人目の素数さん
11/08/27 18:51:40.27
>>370
そのように仮定した答案を論理的に前から順序立ててたどって考えてみろ。
解を求めんとする裏で、仮定したい解の存在性についての理論的背景があったり
一目で解の存在性が明らかな場合は問題ないかも知れないが、
そうでない場合はどうして解の存在性が確立されていて
解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
という問題が生じることになる。
372:１３２人目の素数さん
11/08/27 19:13:18.87
>>371の
>解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
は
解を…とすることが出来ると言えるのか、
解の存在性は正確に立証されているのか、
本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
に変更。
373:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:02:10.07
＞本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
「解が存在するとして話を進めてはイケナイ」と言いたいのか？じゃあ、
「解は存在しないとして話を進めるべきである」
ということか？でも、この場合
「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
結局、お前の立場では身動きが取れず、如何なる問題も解けなくなるわけだ。
374:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:17:23.17
>>368
＞結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
＞最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
＞答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
解が存在すると仮定して、最後に待っているのが『矛盾』だった場合、
それは背理法と呼ばれる論法であり、お前が言うとおり、何も問題は起きない。
じゃあ、最後に待っているのが『矛盾』ではなく、
『何らかの条件』だった場合はどうなるのか？この場合、
「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」… (1)
という結果が得られたということである。
(1)は「 P ⇒ Q 」という形の論理式であるから、結局、
「 (1)に対応するP,Qについて、論理式『 P ⇒ Q 』は真であることが証明できた」
ということである。従って、この場合もやはり、何も問題は起きてない。
ただし、この場合、解が存在することを証明したわけでは無い。
ただ単に、ある種の「 P ⇒ Q 」という形の論理式について、
その論理式が真であることが証明できただけである。
しかし、そのことは「論理的におかしい」わけでは無い。
375:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:36:15.68
>>252 の問題で「解が存在する」と仮定して何が起きるかというと、
「 >252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない 」
という結果が得られるということである。何もおかしくない。
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。
すなわち、「解が存在する」が真であることは まだ証明できていない。
しかし、何か論理的に おかしなことが起きているわけではない。
376:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:36:35.54
>>373
２ちゃん見てたらたまたまレスが書かれていたけど、
皆さ～ん、…を求めて下さ～い、なんて問題出されるのはお受験数学までだよ。
例えば、1つ根を見つけて因数定理使って2次方程式に還元する実係数の3次方程式の問題で、
その見つけなければならない根が456/11なんていう類の問題だったらどうするんだい？
殆ど身動きとれないだろう？だけど実係数の3次方程式だから根は確かに存在する。
これだと根456/11を見つけるまで答案が書けないぜ。456/11なんていう根見つけるのは難しいだろう？
お受験数学でもこんなのは作ろうと思えば作れてしまう。
>「解は存在しないとして話を進めるべきである」
>ということか？でも、この場合
>「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
>という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
むしろ勝手に決め付けて話を進めているのはアナタの方だと思う。
377:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:52:09.08
>>368
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
もう一度言うが、何もおかしくない。
「 P 」が真であることを証明することと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することを
混同してはならない。
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明する際に、「 P 」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。特に、
「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」
という論理式を証明する際に、「解が存在する」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。
解の存在があやふやとか、そういう問題では無い。
378:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:59:03.59
>>375
>ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと或いは真であることが分かっていないといけない。
>>252の問題でPが真であることを示している部分は求め終わった部分だろう？
なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
379:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:08:20.52
>>378
＞その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと
＞或いは真であることが分かっていないといけない。
もちろん、Pが真であることの証明は追加で行う。
＞なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
当たり前じゃないか。
「確認の作業が必要無い」なんて誰も言ってない。
俺は>>368 の
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
この部分に反論したまでだ。
380:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:13:23.14
>>378
＞ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
「証明した意味が無い」かどうかは、目的によって変わる。
「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。
しかし、「解を全て求めたい」場合には、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "とても意味がある" ことだ。
なぜなら、もし運よく
「条件Qを満たせば、それは解である」
ということが証明できたなら、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。
オマケ：運悪く
「Qを満たすだけでは解とは限らない」
というケースもあるが、この場合は、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "あまり意味が無い" と言えるだろう。
381:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:25:35.93
>380の中央付近を訂正。というか書き足し。
＞なぜなら、もし運よく
＞
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになるから、全ての解が判明したことになり
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。
↓
なぜなら、もし運よく
「条件Qを満たせば、それは解である」
ということが証明できたなら、これと先に示しておいた「 P ⇒ Q 」により、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、これで全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かる。
382:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:27:53.33
>>379
勝手な偏見に過ぎないが、…を求めよっていう類の問題の答案を論理的に見た場合
…を解とするとしてその解を求める過程と
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
…を求めよっていう類の問題の答案にそのような証明は書いたことないんでそのあたりはよく分からないが。
…を解とするとしてその解を求める過程を書いた大抵の答案って、ああいう書き方で証明になっているのか？
383:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:37:48.04
>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
同じ。たとえば次のような解答。
解答例：
>252に解f(x),g(x)が 存 在 す る と 仮 定 す る 。
～～(中略)～～
よって、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない。
以上により、
「>252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない」 …(1)
ということが言えた。
次に、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2のとき、このf(x),g(x)は解になることを示す。
～～(中略)～～
よって、このf(x),g(x)は確かに解になる。以上により、
「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 は>252の解である」 …(2)
ということが言えた。(1),(2)により、
f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2
だけが解である。
384:１３２人目の素数さん
11/08/27 23:52:26.44
もう1つ、別の観点から。
>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
Pを満たす元全体の集合をAと置き、Qを満たす元全体の集合をBと置くと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することは「 A⊂B 」を証明することと同値。
そして、「 A⊂B 」のテンプレ的な証明法は以下のようになる。
証明：「a∈Aならばa∈B」を示せばよい。a∈Aとする。
～～(中略)～～
よってa∈Bである。以上により、確かに「a∈Aならばa∈B」が
成り立つので、A⊂Bが成り立つ。
↑この証明において、「a∈Aとする。」という部分は
「解が存在すると仮定する」とか「…を解とする」という行為と全く同じ。
また、「～～(中略)～～」の部分は "…を解としてその解を求める過程"
そのものである。
従って、"…を解としてその解を求める過程" は、上のA⊂Bの証明と
全くことをしているわけで、つまりはA⊂Bの証明と全く同じ厳密さを
持っている。そして、A⊂BとP⇒Qは同値なのだから、結局、
"…を解としてその解を求める過程" は、P⇒Qを証明するのと
同じ厳密さを持っていると言える。
385:１３２人目の素数さん
11/08/28 00:52:17.92
>>383
>>384
なるほど。
色々と基礎論的観点から教えてくれたり誤りの指摘どうもありがとう。
386:１３２人目の素数さん
11/08/28 07:17:56.32
>>375
＞もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。
Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。
＞「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。
Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」
であるとするならば、Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。
＞なぜなら、もし運よく
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになる
もし「条件Ｒを満たせば、それは解である」という場合であれば、Qを満たすことを証明した
だけでは、その条件Qのみが解であるとはいえない。
387:１３２人目の素数さん
11/08/28 15:50:55.50
>>386
「・・ならば～である」という命題に、普通の論理では説明できない意味を込めているようだ。
388:１３２人目の素数さん
11/08/28 17:43:01.57
>>386
＞Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。
示されてないよ。「 P ⇒ Q 」を示した段階では、Pが真であることは
まだ言えてない。
＞Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」であるとするならば、
＞Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。
その段階では、まだ言えてないよ。
「Qを満たせば解である」を示した段階で初めて「解が存在した」と言える。
もし運悪く「Qを満たすものが どれも解にならない」が示せてしまうなら、
これは『矛盾』が示せたことになり、実は解が全く存在しないことになる。
つまり、「 P ⇒ Q 」が示せた段階では、Pの真偽について何も言えない。
Qを満たすものが解になるか否かをチェックして初めてPの真偽が分かる。
389:１３２人目の素数さん
11/08/28 17:52:51.55
386の主は、その人には仮定の話をしちゃいけない人。
390:１３２人目の素数さん
11/08/28 17:54:12.66
日本語が不自由だ
391:１３２人目の素数さん
11/08/28 21:58:54.43
今度は解の存在性の仮定を許すのかどうかが面白い問題になったのか？
392:１３２人目の素数さん
11/08/28 22:11:07.25
その話はもう終わってるのだが
393:１３２人目の素数さん
11/08/28 23:34:32.66
>>386またはそれ以外の人は
>>388またはそれに類するものにはもうレスをしない
という予言であると受け取ってよろしいか？
394:386
11/08/30 05:11:38.69
>>388
この問題を解いていく過程においては
Pを「f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1を満たす、関数f(x),g(x)が存在する」
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0として
Qを「a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)」
とした場合に
P => Qが成立する。
このQの条件の中で、Pの条件式を満たすということを考慮してすると
「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」・・・①
が成立する。この条件①は、Pが真であるということを示している。
395:１３２人目の素数さん
11/08/30 05:24:11.18
訂正
×P => Qが成立する。
○PならばQが必要である。
396:１３２人目の素数さん
11/08/30 10:03:29.22
よく聞こえんな。
何が終わってるんだって？
397:１３２人目の素数さん
11/08/30 18:02:39.23
>>394
＞ a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
＞ a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
＞ a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)
これらの条件をまとめてRと置き、①の条件をQとしよう。
すると、>394でやっていることは
・まずは「 P ⇒ R 」を証明した。
・Rでは必要十分条件にならないので、Rをさらに絞り込むことにした。
・すると、「a≠0かつa≠2の場合」「a＝0の場合」は解にならないことが分かった。
・残ったa＝2の場合は、さらに条件を絞って条件Qにした場合のみ、解になることが分かった。
・今の段階で、「Pは真である」ことが先に証明できてしまった。
・それと同時に、「 P ⇒ Q 」も実質的に証明できている。
・従って、この議論では、”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることは既に示せている”と言える。
ということになる。うむ、正しい。
しかし、この議論の仕方は、「 P ⇒ Q 」および「Pは真である」の証明を
同時進行で行っているのであり、この議論を
”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることも言えている” … (1)
と表現するのは、ちょっと語弊があるな。
”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”
と表現するのが正しい。
俺が(1)で言いたかったのは
”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”
ということだから。
398:１３２人目の素数さん
11/08/30 20:09:08.25
>>397
＞”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”
逆、条件Rの中で
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで
「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。
＞”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”
一般的には正しいが、この問題の場合は、
Pを「条件を満たす関数が存在する」
とした場合には、条件Qがその関数自体であり、条件Qが成立するならば
条件Pも真となる。
399:１３２人目の素数さん
11/08/30 21:47:07.16
これは、どのレスの問題の答えなのですか？
400:１３２人目の素数さん
11/08/30 21:50:12.13
一応>>252の続き
401:１３２人目の素数さん
11/08/30 23:52:38.82
>>398
＞「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。
君がやっていることは、
・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。
ということに過ぎない。それは
"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"
ということを 意 味 し な い 。
「 P ⇒ Q 」の証明は、「Pが真である」ことの証明に何ら関与していない。
あくまでも君は、「 P ⇒ Q 」の証明とは別個に、「Pが真である」ことの証明を
紛れ込ませているに過ぎない。
402:１３２人目の素数さん
11/08/30 23:54:17.81
>>398
＞逆、条件Rの中で
＞f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
＞を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで
そこが問題。君は何かを勘違いしている。
気が言っている「条件Qが成立することが示せた」とはどういうことか？
どうやってソレを示したのか？俺から見れば、ソレを示す方法は2通りある。
方法その1：
「条件Qを満たすf(x),g(x)は、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たす」
ということを直接的に手計算でチェックした。
方法その2：
「 P ⇒ R 」の証明中において、
(すなわち、「Pが真だと仮定する」という仮定を未だに続けている最中において、)
条件Rで与えられている3つの条件のうち、[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]だと
矛盾することを導いた。(自動的にQが成り立つしかないという論法)
403:１３２人目の素数さん
11/08/30 23:57:46.90
方法その1は、「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用せずにチェックできる方法なので、
この方法は「 P ⇒ Q 」の証明とは無関係。それでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、
わざわざ この方法を紛れ込ませてチェックすることは可能であり、そのチェックで以って
「Pは真である」ことは証明できる。ただし、この場合、
"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"
わけでは無い。あくまでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、
「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませた、ということにすぎない。
方法その2の場合、これは「 Pが真である 」という仮定を引きずったままで
「自動的にQが成り立つしかない」と言っているので、この方法では
「Pが真である」ことは導けない。この場合の「Qが成り立つ」という主張は、
あくまでも「 Pが真である 」という仮定ありきで導かれた結果だからだ。
「 Pが真である 」ことを言いたければ、後で追加の証明が必要になる。
すなわち、「Qを満たせば解である」ということをチェックする証明が必要になる。
結局、どちらの方法でも、
"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"
ということは無い。
404:１３２人目の素数さん
11/08/31 00:02:11.09
そろそろ別スレ立ててやれ
405:１３２人目の素数さん
11/08/31 00:04:42.43
>>398
＞Pを「条件を満たす関数が存在する」
＞とした場合には、条件Qがその関数自体であり、
「条件Qがその関数自体である」という主張を、
一体どのようにして証明したのかが重要。
既に書いたとおり、方法その1のように直接的な手計算で
「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用していないから、
"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"
とは言わない。「 P ⇒ Q 」の証明の中に、それとは別個に、
「Pは真である」の証明を紛れ込ませたに過ぎない。
方法その2のように、「Pが成り立つと仮定する」という条件を引きずった状態で、
"Q以外の条件をチェックしたらダメだったから、自動的にQしかない"
という形で「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは、「 Pが成り立つと仮定する 」という仮定ありきで得られた結論だから、
そのことから「 Pが真である 」ことを導くことは出来ない。
406:１３２人目の素数さん
11/08/31 00:05:13.23
仮定の話が通じない奴なんだから、ほっておけよ。
407:１３２人目の素数さん
11/08/31 00:23:19.10
なお、方法2における「Pが成り立つ」の仮定を
打ち切った場合の方法についても書いておく。
方法その2’：
「Pが成り立つと仮定する」という仮定を打ち切って、
何の仮定も置かない状態で[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]の
場合をチェックし、これだと解にならないことを示す。
この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
ということしか言ってない。これと「 P ⇒ R 」により、
「解があるとしたら、その解は条件Qを満たすしかない」
ということまでは即座に言える。しかし、この後が続かない。
「 Pが真である 」ことは言えてない。条件Qだと本当に
解になるのかは、この方法だけでは分からない。
結局、追加でチェックする証明が必要になり、やっぱり
"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"
ということにはならない。
408:１３２人目の素数さん
11/08/31 06:30:33.64
>>402
＞「条件Qが成立することが示せた」
「条件Qの存在が示せた」ということでもよい。
Rの条件を
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
にそれぞれ代入することで、Qを導き出している。
Pを満たすための条件としてRを導き、Rの中でPを満たす条件としてQを導出している。
この時点で、P=>Qが証明された。
Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
Pが真であることが、
そ の 結 果 と し て
示されている。
409:１３２人目の素数さん
11/08/31 06:37:40.36
>>407
＞この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
Rの3条件全てをチェックし、Pを満たす1つの条件をQとしている。
これは、
「P => Q」の証明に含まれている。
背 理 法 で 「P => Q」 を 証 明 し て い る 訳 で は な い。
＞結局、追加でチェックする証明が必要になり
追加のチェックとして、3条件の内Qである1つの条件だけを分けて考える意味はない。
410:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:08:22.69
＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
＞Pが真であることが、
＞そ の 結 果 と し て
＞示されている。
その主張において、条件Qにこだわる理由は何だね？
条件Qよりも先に、条件Rが得られていただろう。だったら、
Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は 条 件 R が存在するのであるから、
Pが真であることが、その結果として示されている。
↑このように主張したっていいはずだ。なぜ、RではなくQなんだね？
それを突き詰めていけば、君が大きな勘違いをしていることが分かるはずだ。
まず、君に質問するまでもなく、Rではダメなのは明らかだ。
「条件だったら何でもいい」
わけでは無いからだ。最初に条件Rを見つけた段階では、
「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない 」
という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
だから、Rではダメなのだ。
条件Rでは まだ不十分だから、Rをさらに精査して条件を絞り、
そして君は、条件Qを見つけ出し、「Qが存在する！」などと主張したのだろう？
411:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:11:56.87
でも、そうやって見つけたQでさえ、不十分である可能性がある。
Qをさらに精査して、さらに条件を絞らなければならない可能性がある。
それなのに、どうして君は、Qを見つけた時点で条件の精査を打ち切って、
「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」
などと思ったのか？……君は無意識のうちに、
「条件の精査を終了するための、何らかの判定基準」
を使ったはずだ。条件Qは、その判定基準を満たしたのだ。
だから君は、そこで条件の精査を打ち切ったのだ。
では、その判定基準とは何か？簡単だ。その基準とは
「 考えている条件が実際に f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たすか否か 」… (*)
である。この(*)を満たしたらこそ、君は そこで条件の精査を打ち切り、
「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」
などと思ったのだ。つまり、
"Qこそが、存在する条件である" と主張するための根拠は(*)であり、
Qが(*)を満たしたからこそ、そのように主張できた
ということだ。
一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ
412:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:14:09.50
上に書いたとおり、
「Qこそが、存在する条件である」
と主張するための根拠は(*)だったのだから、(*)をチェックしなければ、
そのような主張は出来ない。しかし、(*)をチェックした段階で、
「Pが真であること」が先に証明されてしまう。従って、
"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"
ということは絶対に無い。君の方法では、
「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること 」)
をチェックしなければ、条件Qは確定しないのだ。つまり、
「 Pが真であること 」
を先に言わなければ、条件Qは確定せず、
「Qこそが、存在する条件である」とは主張できないのだ。
だから、君の主張は間違っているのだ。
413:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:38:15.50
もう一度言っておくが、君は
「 Qこそが存在する条件であり、その結果として、Pが真であることが示されるのだ 」
などと主張しているが、
「 Qこそが存在する条件である 」
ことを証明するために、君は(*)をチェックしているので、つまりは
・「 Pが真であること 」をチェックすることで「Qこそが存在する条件だ」と主張している
ということになり、順番が逆なのだ。
君は「Pが真であること」を先に証明しているのだ。
414:１３２人目の素数さん
11/08/31 22:32:46.67
>>410
＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は 条 件 R が存在するのであるから、
＞Pが真であることが、その結果として示されている。
誰もそんな事は主張していない。このように書いていながら、
＞「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない 」
＞という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
＞だから、Rではダメなのだ。
とも記載していて、明らかに矛盾している。そのようなことは分かっているから、Rの条件の内
Pを満たす条件は、Qの条件のみだということを書いている。
＞「Qが存在する！」
に関しては、Qの条件でそのPで仮定していた、関数そのものが存在が確認されたということを
表しているが、案の定そのようには理解してもらえなかったようだ。
>>411
＞一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
＞つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ
先も何もない。同時に示されている。後は>>408の後半をよく読んでもらうより他はない。
415:１３２人目の素数さん
11/08/31 22:51:05.27
>>412
＞「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること 」)
(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、関数の存在を示すためのものでは
ない。
例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合にはQは(*)の条件を満たさないのであるから
「P => Q」とは言えない。a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし
「P => Q」を示している。
条件Qが空集合となる場合には、条件Pを満たす関数は存在しないことになり。
関数の存在するというPの命題は偽となる。
>>413
＞「 Qこそが存在する条件である 」
＞ことを証明するために、君は(*)をチェックしている
そうではない、式を変更して
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
という式を導き出しているので、導出された条件Rがそもそも条件Pの(*)の式を満たすか
どうかの確認が必要になる。(*)の式を満たしていないのであれば、「Pならば」の部分を
表していないことになるからだ。Qが確定した段階で
「P => Q」が示せた。その後、Qという条件の関数が存在することから
「Pが真」 <=> 「(*)を満たす関数f(x)、g(x)が存在する」
ということがいえる。
416:１３２人目の素数さん
11/08/31 23:01:49.60
>>415
＞Qが確定した段階で「P => Q」が示せた。
＞その後、Qという条件の関数が存在することから
その書き方だと、
・まずは「 P ⇒ Q 」を示しました。
・その後で、「Qという条件の関数が存在すること」を追加の証明で示しました。
と主張しているように読めるぞ。ここで言う"追加の証明" とは、
「 Qを満たすf(x),g(x)を考えたとき、これがf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を
満たすことを手計算で確認する 」
ということだ。
417:１３２人目の素数さん
11/09/01 03:12:45.54
>>415
＞(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、
＞関数の存在を示すためのものではない。
そこの感覚が、意味が分からない。君が(*)をチェックする目的が
「関数の存在を示すのが目的ではない！」
のだとしても、(*)を満たすことが言えた瞬間に、君の目的や意図とは無関係に
「 Pは真である 」
が証明されたことになるわけよ。
つまり、君は「 Pが真であること 」を先に証明してしまったわけ。
418:１３２人目の素数さん
11/09/01 03:18:28.01
>>415
＞例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合には
＞Qは(*)の条件を満たさないのであるから「P => Q」とは言えない。
そうだね、「(*)が満たされない」ということを根拠にして、
[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。つまり、
「こんな条件では矛盾が起きて、解にならなかったぞ！！」
ということを根拠にして、[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。
＞a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし「P => Q」を示している。
そうだね、「(*)を満たす」ということを根拠にして、
[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。つまり、
「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」… ★
ということを根拠にして、[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。
ほらね、「 Pが真であること 」が先に証明されてるじゃないか。
★がどういうことを言ってるのか、分かるか？
「解が見つかりました！」と言ってるんだぞ？
「 Pは真であると判明しました！」と言ってるんだぞ？
そこで初めて、[a＝2の場合]にマル印がついたんだぞ？
つまり、「 Pが真であること 」の証明が先に終わってるんだぞ？
分かるか？
419:１３２人目の素数さん
11/09/01 03:38:20.28
>>415に もう1つ質問をしておこう。
問題：連続関数 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は(A)を満たすことが簡単に
確認できる。しかもfは連続関数であり、fの値域はRだから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]
この解答について、>>415はどう思うか？
「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
と主張するのか？
420:１３２人目の素数さん
11/09/01 05:28:16.51
>>417
＞つまり、君は「 Pが真であること 」を先に証明してしまったわけ。…★★
意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
それを示さない限り★★の主張は誤り。
421:１３２人目の素数さん
11/09/01 05:45:21.67
>>419
[3.1]は>>252の問題の場合は
3条件(R)の中から、1つの条件(Q)を導き出す過程に等しい。
「P => Q」と、「Pが真である。」ということは同時に証明されるので、どちらが先も後もない。
ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。
[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
422:１３２人目の素数さん
11/09/01 12:38:45.22
>>421
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
そこは抜けていていいんだよ。質問の意味分かってる？
もう少し丁寧に書くぞ。
問題：連続関数 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は、任意のx,y∈Rに対して f(y)^2＝2*f(x)－1 を満たすことが
簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1－1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、
この関数は(A)を満たす。しかもfは連続関数であり、fの値域はRに含まれるから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]
この解答について どう思うか？
「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
と主張するのか？
423:１３２人目の素数さん
11/09/01 12:51:47.59
(続き)あるいは、この解答について
「 [3.1]～[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」
などと主張するつもりか？
>>421
＞ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。
意味不明。君が言うように、本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、
"「 P ⇒ Q 」の証明が「Pが真」の証明を兼ねている"
ということは有り得ない。当然、
"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
ということも有り得ない。
なぜか？もし本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、
その証明をSと置けば、Sという証明は「 Pが真だと仮定する 」という仮定を
最初に置いてしまっているので、Sの全ては「Pが真である」という仮定ありきでの
証明にすぎない。実際にその証明Sを機能させようとしたら、「Pが真である」という仮定が
"実は仮定ではなく、実際に成り立つ事実なのだ"
ということを追加で証明しなければ(すなわち「Pが真である」を追加で証明しなければ)、
証明Sは機能しないのだ。
"証明Sが得られた段階で、この証明Sは「Pが真」も同時に主張している"
などということは有り得ないのだ。
424:１３２人目の素数さん
11/09/01 13:09:59.17
もし未だに
「 同時に証明される 」
などと思っているのなら、もう一度言うが、それは
・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。
ということに過ぎない。
本当に「 P ⇒ Q 」しか証明してないのであれば、
「その証明は、"Pが真" の証明を兼ねている」
「その証明によって、"Pが真"も同時に言える」
などということは有り得ない(理由は>>423に書いたとおり)。
425:１３２人目の素数さん
11/09/01 15:13:37.07
>>422
＞「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている 」
そんなことは一言もかいていない。想像で書くのをやめていだだきたい。
>>423
＞「 [3.1]～[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない 」
>>421で
[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。
＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
そうであれば、>>420で書いた
＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
に対して答えてもらいたい。
426:１３２人目の素数さん
11/09/01 15:26:57.11
>>425の訂正
＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
の下に
＞ということも有り得ない。
を追加
427:１３２人目の素数さん
11/09/01 16:44:10.06
>>425
＞そうであれば、>>420で書いた
＞＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
＞に対して答えてもらいたい。
君の証明方法に こだわる限りは、
・(*)のチェックなしには「 P ⇒ Q 」は証明できない
のである。すなわち
・「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」という確認なしには、「 P ⇒ Q」は証明できない
のである。これは、「解になることのチェックが先」ということを意味する。
この時点より後に「 P ⇒ Q 」を証明する過程が続いている必要は無い。
君は「続いてなければおかしい」と言うが、おかしくない。
証明の優先順位として、「解になることのチェックが先」なのだから、
それは「Pが真」の証明が先だということ。
(ということを何度も言っているのだが、おそらく、この話は平行線のままだろうな。)
そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
証明することは出来る。ただし、この場合、君が主張するような
"「 P ⇒ Q 」の証明の結果によって、「Pが真」も言えている"
ということは起きない。
428:１３２人目の素数さん
11/09/01 16:48:08.21
あるいは、「(*)のチェックが どうだこうだ」とかの話題とは関係なしに、
>>423の切り口で説明してもよい。
本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないのなら、その証明をSとすれば、
Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
証明しておかなければ、Sは全く機能しない。
つまり、本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないなら、
"「 P ⇒ Q 」の証明Sの結果として、「Pが真」も言えている"
ということは起きない。証明Sを活用するためには、
「Pが真」を追加で証明しておかなければならないからだ。
429:１３２人目の素数さん
11/09/01 16:53:59.51
>>425
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
＞と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
＞x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。
残念だが、>>422は 完 全 に 正 し い 証 明 です。
どこにも誤りは無い。
[2.1]は "必要条件" についての言及なのであって、十分条件だとは一言も言ってない。
もし[2.1]が十分条件について言及しているのであれば、確かに全てのx,yについて
考慮しなければならない。一部のx,yしか考慮してないなら、それは「十分」では無いからだ。
しかし、[2.1]は必要条件についての言及しかしていないで、
一部のx,yだけしか考慮していなくても、何の問題も無い。
「必要条件を導くのに、全てのx,yについてを考慮する必要は無い」
ということさえ、君は分からないのかね？
じゃあ、十分条件はどうするのかと言うと、まさにそれを[3.1]で行っている。
すると、[3.1]により、f(x)＝1は十分条件だと分かるから、以上により、
f(x)＝1が "必要十分条件" だということが判明する。
つまり、[1.1]～[2.1]は必要条件の話をしていて、[3.1]は十分条件の話をしているわけ。
そして、必要条件の部分では、全てのx,yについて考慮する必要は無いから、何も間違ってない。
一方で、[3.1]は十分条件の話だから、全てのx,yについて考慮しなければならないが、
実際、[3.1]では考慮しているから、ここも何も間違ってない。
結局、君は証明というものを何も理解してなかったということだ。
必要条件と十分条件の違いも分かってない。
それでもまだ「>422の証明は間違っている」と思うなら、コメントをどうぞ。
430:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:00:18.55
ついでに、もう1つ質問しておく。
問題：関数 f：R → R について、次の (あ) が真であることを示せ。
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つならば、関数fは定数関数である」… (あ)
解答その1：
(あ)の仮定をPと置き、(あ)の結論をQと置く。すなわち、
P「任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つ」
Q「関数fは定数関数である」
と置く。このとき、(あ)は「 P ⇒ Q 」を意味するから、これを証明すればよい。
まず、Pは偽であることに注意する。
実際、Pが真だとすると、x＝y＝0を代入してf(0)＝f(0)＋1となり、0＝1となって矛盾する。
よって、背理法により、Pは偽である。
以上により、「 P ⇒ Q 」は真である(「A ⇒ B」という形の論理式は、Aが偽のとき常に真であるから)。
解答その2：
[1.1] 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つと仮定する。
[1.2] このとき、y＝0を代入して整理すると f(x)＝f(0)－1 となる。
[1.3] 左辺のxは任意であり、右辺は「f(0)－1」という定数であるから、確かに関数fは定数関数である。
[2.1] よって、(あ)は真である。
この2種類の解答について、どう思うかね？
どちらも間違った証明だと思うかね？
「なんだ、Pを満たす解fは1つも存在しないのか。だったら、そもそも(あ)は真ではない。(あ)は偽である」
と思うかね？
431:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:02:37.26
>>427
＞そして、君の証明方法に こだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
＞証明することは出来る。
その証明方法がどのようなものかを示すべき。
このように述べておきながら
>>428では
＞Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
＞Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
＞証明しておかなければ、Sは全く機能しない。
としている。この2つの内容に矛盾があるのは明らか。
432:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:10:10.54
>>429
問題は
＞問題：連続関数 f：R → R で、
＞「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
＞を満たすものを全て求めよ。
はとなっているから、全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
間違っている。
つまり、x ≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
解答としては不適切だ。
全ての関数を求めよとなっているのにも関わらず、解くのに都合のいい条件のみしか
考えて、必要条件だけを求めればよいと解釈するのは間違い。
問題に(A)を満たす関数を1つ求めよとか、満たす関数が存在することを示せとなっているので
あれば、上記の証明でも問題はない。
433:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:12:18.11
>>432の訂正
×はとなっているから
○となっているから
×解くのに都合のいい条件のみしか考えて
○解くのに都合のいい条件のみしか考えずに
434:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:21:24.98
>>432
お話にならない。君は本当に証明というものを理解していない。
いや、「論理」を理解していない。
＞全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
＞間違っている。
そうだよ。だから、全ての関数を求めているでしょ。
f(x)＝1という関数しか無いんだよｗ
＞つまり、x ≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。
適切です。(A)をよく読みなさい。
「任意のx,yに対して成り立つ」と書いてあるだろ。(A)は
「この関数は、x≠yとしても成り立ちます」
「なおかつ、この関数は、x＝yとしても成り立ちます」
と言っているのだ。2行目が見えないのかね？
x＝yとしても成り立つと言っているのだから、
わざわざ最初にx≠yを代入する必要は無い。
まずはx＝yを代入してチェックすればいい。
で、その時点でf(x)＝1しか出てこないから、そこで終わり。
自分で>>422の問題を解いてみろよ。
いかに自分がトンチンカンな発言してたかが分かるから。
435:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:24:26.16
>>431
行数が多いから書くのを控えていたが、要求されたなら書くしかあるまい。
2レスに渡って書く。
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 … (A)
[1.01] (A)を満たす多項式f(x),g(x)が存在すると仮定する。
[1.02] f(x),g(x)は互いに素でなければならないことが簡単に言える。
[1.03] 特に、f(x)もg(x)も "恒等的に0という関数" では無い。
[1.04] 次に、(A)式でxをx±1に置き換えた式を考えると、
f(x){g(x-2) + g(x+2)} = g(x){f(x-2) + f(x+2)}が得られる。
[1.05] f(x)とg(x)は互いに素だったから、ある多項式p(x)が存在して
p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)，p(x)*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
が成り立つ。
[1.06] p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、両辺の次数を比較すれば、
p(x)は定数でなければならない。よって、p(x)≡aと表せる。
[1.07] 次に、a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、f(x)の最高次の係数をbとして、
両辺の最高次の係数を比較すれば、a*b = b + b すなわち「a＝2またはb＝0」となる。
f(x)は恒等的に0という関数ではなかったから、b≠0であり、よってa＝2である。
[1.08] 今の段階で、2*f(x) = f(x-2) + f(x+2), 2*g(x) = g(x-2) + g(x+2) が成り立っている。
これを解くと f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)となる。
[1.09] これを(A)に代入すると、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1となり、
C4*C7 - C5*C6 = 1/2 が得られる。
(ここで[1.01]の仮定は打ち切る。)
436:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:28:17.53
(>435の続き)
[2.01] 以上により、「(A)を満たすf(x),g(x)が存在するならば、
f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2
でなければならない 」ということが言えた。
[3.01] 次に、 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2 と置く。
[3.02] このときf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1 となるから、このf(x), g(x)は(A)を満たす。
[4.01] 以上により、「f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、 C4*C7 - C5*C6 = 1/2」のみが求めるf(x),g(x)である。[終]
437:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:34:29.07
>>426
>>378だが、「条件Pを満たす関数fが存在すると仮定する」の意味が分からないみたいだな。
条件P自身から関数fを直接的に構成したり或いは同値性を保ったまま具体的に構成出来たなら確認の作業は必要ないが
条件Pを満たす関数fが存在するという仮定から、解になるfを例えば論理的に逆が言えないように、
間接的に構成出来た場合は、条件Pを満たす関数fの存在性は保障されていないから確認作業は必要だ。
で、>>252の解答の場合、f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1とf(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1から
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))
を導いた時点で、f、gはもとの条件を満たすかどうかが怪しくなってて逆が言えない訳だ。
だから求めたf、gは本当に満たしているのかという確認作業が必要になる訳だ。
438:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:37:39.32
>>426
これで分かったろ？
439:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:42:26.34
>>434
x = yとして求めた関数がf(x) = 1であり、x、yに依存しない定数となるから
x≠yの場合もこれが(A)を満たすことは当然。
初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
それを検証しないのは、不適切。
しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。
>>435
[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
[1.09]を示した時点で
「P => Q」の証明は完了している。
440:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:43:32.07
>>432
＞つまり、x ≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。
もう一度言うが、(A)を満たす関数とは
x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ
という性質を持つ関数f のことを言うんだぞ。
二行目が読めないのかね？
君が言っていることは まるで、
「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が 成 り 立 た な い
という性質を持つ関数fについて検証しろ」
というふうに聞こえるぞ。
もし君が このような主張をしているのなら、それはバカバカしすぎるぞ。
なぜなら、そのような関数は そもそも(A)を満たしてないから、
最初から考慮する必要が無いからだ。
君は何を勘違いしているのだね？
441:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:46:12.73
>>437
その確認作業が必要ではないなどということは書いていない。
そのことは>>415にも書いている。
442:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:47:42.13
>>439
＞[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
＞[1.09]を示した時点で
＞「P => Q」の証明は完了している。
「 P ⇒ Q 」の証明は、最初から[1.09]の時点で完了しているのだが？
で、もう1つ。君は "[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返している"
と言っているが、決して同じことではない。
なぜなら、[1.09]の議論は「Pが真ならば」という仮定のもとでの議論だからだ。
・[1.09]と[3.01]&[3.02]は、同じことではない
・[1.01]の仮定を取り除いたバージョンの[1.09]を考えると、それは[3.01]&[3.02]と同じ。
君はこの違いが分からないから、
トンチンカンな発言を繰り返しているのだろうな。
443:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:51:03.66
>>439
＞初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
＞それを検証しないのは、不適切。
＞しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。
>>440を参照のこと。君は何かを勘違いしている。君のそのレスは、まるで
「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つが、
x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が 成 り 立 つ の か 不 明
という性質を持つ関数fについて検証しろ」
と言っているように見えるぞ。だが、そんな関数は最初から
(A)を満たしていないのだから、考える必要が無い。
444:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:51:15.14
>>440
x = y、x ≠ y両方の場合に対して関数f(x) = 1が条件(A)を満たすことは自明。
問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。
>>440の後段は、全くそのような内容は主張していないので、意味不明な理解を
示すことは止めていただきたい。
445:１３２人目の素数さん
11/09/01 17:54:23.36
バカの小競り合いはいつもこの調子だな
アスペ×２なのかな
専用スレでも立ててそこでやれ
446:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:02:00.34
>>444
＞問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。
(A)を満たす関数とは、
x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ
という性質を持つ関数fのことを言う。言い換えれば、
(A)を満たす関数とは
x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ (←左辺がf(x)^2になっていることに注意)
という性質を持つ関数fのことを言う。もっと言い換えれば、
(A)を満たす関数とは
x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ
という性質を持つ関数fのことを言う。
君はたぶん、最後の2つの条件について分かってない。
「 x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ 」
という性質を持つ関数は、f(x)＝1(∀x∈R)という関数以外には無い。
このことは理解しているか？
447:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:08:02.19
>>446
だから
＞x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち
この条件を満たす関数にf(x) = 1が存在することは理解している。
これ以外にないということが何故言えるのかということを問題にしているのが理解できないの？
そもそもf(x) = 1を導き出すのにx = yの拘束条件を課しておきながら、
た ま た ま
x ≠ yの場合にも条件(A)が満たされるからと言ってx ≠ yの場合に条件(A)を満たす関数が
f(x) = 1のみであるということは示すことはできない。
448:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:23:27.99
>>447
本当に理解してないんだな。
じゃあ、少し別の切り口で解説しよう。次の問題を考える。
問題：写像 f：{1,2,3} → R で、
「 任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
(注意：この写像fは、定義域が{1,2,3}だから、f(1),f(2),f(3)が決まれば、それで写像fは決まるのだ)
解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R が存在すると仮定する。
x＝y＝1を代入して、f(1)^2＝2*f(1)－1となる。よってf(1)＝1となる。
x＝y＝2を代入して、f(2)^2＝2*f(2)－1となる。よってf(2)＝1となる。
x＝y＝3を代入して、f(3)^2＝2*f(3)－1となる。よってf(3)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1でなければならない。
逆に、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1という写像f：{1,2,3} → Rについて考える。
任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝1, 2*f(x)－1＝1 だから、
f(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R は
f(1)＝f(2)＝f(3)＝1 という写像のみである。[終]
これを見ても、まだ君の勘違いに気づかないか？
449:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:41:23.91
>>448
理解できていないから>>447の問いに答えられない。
450:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:47:12.99
>>422
残念ながら
>[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
>[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない 」が言えた。
の部分が間違っている。
[1.2]で行ったのは(A)を満たす関数fの存在性であり、この時点では(A)を満たすfの一意性はまだ示していない。
451:１３２人目の素数さん
11/09/01 18:54:04.26
>>449
君が誰なのかわからない。君は>>447なのか？
もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。
なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか？
問題：写像 f：{1,2} → R で、
「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
(注意：この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる)
解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝2*f(1)－1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝2*f(1)－1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝2*f(2)－1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝2*f(2)－1
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)＝f(2)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。
逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)－1＝1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)－1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)－1＝1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)－1＝1
だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]
452:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:00:16.80
もっともっと簡単にしてもいいぞ。
問題：写像 f：{1,2} → R で、
「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。
f(1)＝a, f(2)＝bと置く。a,bを求めたい。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。
(x,y)＝(1,1)を代入して a^2＝2*a－1， (x,y)＝(1,2)を代入して b^2＝2*a－1
(x,y)＝(2,1)を代入して a^2＝2*b－1， (x,y)＝(2,2)を代入して b^2＝2*b－1
こうして、a,bに関する連立方程式が4つ得られたわけだが、
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、a＝b＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。
逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)－1＝1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)－1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)－1＝1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)－1＝1
だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]
453:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:05:12.55
さて、>>451や>>452 では、せっかく4パターンの等式を並べたにも関わらず、
結局のところx＝yの場合の等式しかチェックしていない。つまり、
「x＝yの拘束条件を課して議論しているのと全く同じこと」
である。しかし、証明はこれで正しい。特に、>>452の証明は正しい。
さすがの君にも分かるだろ？
>452の前半部分では、a,bに関する4つの連立方程式が出てきたわけだが、
その中の2つの式だけで、もうaとbが求まってしまったわけ。
じゃあ、そのようにして求めたa,bは、残りの2つの式を満たすのか？
……それを確認してるのが後半部分だ。実際に4つの式を全て満たす。
だから、解はf(1)＝f(2)＝1という写像しかない。
ここで、もし君が言うように、
「都合よくx＝yの拘束条件を課して議論するだけではダメだ」
ということであれば、まさしくそのように議論している>>452は
ダメダメのはずだが、しかし、実際には、>452は正しい証明なわけだ。
つまり、君は何かを勘違いしているわけ。お分かり？
以上。
454:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:17:39.85
おかわり！
455:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:31:37.85
おわかり！
456:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:40:45.87
>>451
くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
君の証明は
y = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
f(y)^2＝2*f(x)－1
は
f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
>>447に対する答えが>>448であるはずがない。
間違っていることに対して、まともな理由もなく強行に正当性を主張しても、それを他人が
理解することはできない。
457:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:44:16.85
>>456
＞くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
物凄い示唆を与えてるよ。
君は俺の証明方法を「間違ってる」と思ってるわけだ。
で、俺は定義域を制限した場合の問題について、
全く同じ証明方法を使ったわけだ(>>452)。
もし君の言っていることが正しいなら、
>>452の証明は間違っていることになるだろ？
では質問しよう。
「>>452の証明の、一体どこが間違いなの？」
答えてくれ。
458:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:44:35.02
そうだそうだ！
459:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:49:23.67
>>456
＞君の証明はy = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
そうです。
特に、>>452の問題において、y＝xという
拘束条件を課した上で、f(1),f(2)を決定してます。
＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
>>452では、x＝yという拘束を課した場合の等式しかチェックしていない。
「より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についてのチェック」は、
当然ながら行ってない。じゃあ、>>452は間違ってるのかな？
ほら、言ってごらん。>>452のどこが間違ってるの？
460:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:50:28.70
それでそれで？
461:１３２人目の素数さん
11/09/01 19:58:27.93
>>456
＞それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
＞f(y)^2＝2*f(x)－1
＞は
＞f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
＞として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
この主張を >>452 に当てはめると、次のようになる。
『 それではこの拘束条件を一般化して、写像 g：{1,2} → {1,2} を任意に
持ってきて y = g(x)を満たしているとした場合にf(y)^2＝2*f(x)－1は
f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2として表される。この式が成立する。
f(x)が存在するかを検証しなければならない。』
君は>>452に対して、このような主張をしているわけだ。
で？どうしてそんな検証が必要なの？
>452の問題は、>452の証明だけで完結してるでしょ？
それとも、やっぱり>452の証明は間違ってると？
じゃあ、>>452の証明のどこが間違ってるの？言ってごらん。
462:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:01:07.47
そうきたか！ｶﾞﾀｯ
463:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:02:16.45
>>459
だから>>452は違う問題。いいように>>419の問題の定義域を変更したものであって同じ
問題ではない。
つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。
もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
証明としては不適切だと述べている。
464:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:04:24.27
それも一理あるな
465:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:09:27.09
>>463
＞つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。
そうか、>452は正しいのか。
では、Xを一般的な集合として、次の問題を考えよう。
問題：写像 f：X → Rについて、
「 任意のx,y∈Xに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
[1.1] (A)を満たす写像 f：X → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす写像 f：X → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない 」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈X) とする。この関数は、任意のx,y∈Xに対して f(y)^2＝2*f(x)－1 を満たすことが
簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1－1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、この関数は(A)を満たす。
[4.1] 以上により、(A)を満たす写像 f：X → R は「f(x)＝1 (∀x∈X)」のみである。[終]
↑この証明方法は、「 X＝{1,2} という集合の場合には正しい 」わけだ。
君自身が認めたからな。で、君によれば、「 X＝Rの場合には正しくない 」わけだ。
どうして？
466:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:14:09.97
>>463
＞ もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
＞ x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
＞ がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
＞ x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
＞ それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
＞ 証明としては不適切だと述べている。
そんなこと言ったら、>>452だって、
x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、
『 そこで出来た「f(1)＝f(2)＝1」という写像が、がx ≠ yの場合でも
(A)を満たすことを証明しただけでは、x ≠ yの場合に(A)を満たす
関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
それ以外のf(1),f(2)が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
証明としては不適切だ』
と言えてしまうはずだぞ。でも、>>452は正しいんでしょ？
これはどういうことかな？
このように、君が>>419に対して投げかけている疑問は、
そのまま>>452にトレースできちゃうんだよ。もっと一般化すれば>>456だけどな。
君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
467:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:15:29.27
たしかにそうかもしれない
468:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:48:22.68
繰り返しになってしまうが、もう一度書く。
>>465のXについて、X＝{1,2}とした場合の問題文・解答文が>>452である。
また、X＝Rとした場合の問題文・解答文が>>419である。
>465の文章は、Xを与えるごとに「問題文」「解答文」を
統一的にポンと生成する、文章生成機械のようなものである。
さて、>>419でも>>452でも、x＝yの束縛条件下での計算しかしていない。
というか、「f(x)＝1だけが解である」という結論を導き出すための
理屈は、どちらでも全く一緒である。
同じ理屈で「f(x)＝1だけが解である」と言っているのに、君は
「>>452は正しくて、>>419はダメ」と言う。なぜ>>419はダメなのか？君は
「x＝yの束縛下の計算しかやってないからダメなんだ」
と言っているが、それなら>>452も同様の理由でダメのはずである。そこで君は
「 >419と>452は別の問題だ 」
と言うが、たとえ問題が違っても、その解答に使われている「理屈」が
全く同じなのだから、そのような言い分は通用しない。
「違う問題だ」
などと思考停止しないで、両者の証明で使われている「理屈」が
全く同じであることを理解することに努め、そして、
君が大きな勘違いをしていることに早く気づくべきである。
469:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:52:22.68
>>466
＞そんなこと言ったら、>>452だって、
＞x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、
>>452の場合は
(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。
＞君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
私は全く勘違いしていないし、書いたことに何の誤りもない。
勘違いはそちら。
だから、>>456で指摘したことを考慮せずに、つまり初めからx ≠ ｙの場合に対しての
条件(A)を満たすものが存在するかを考えなければ、関数f(x) = 1のみしか存在しえない
ことをいえない。
他人の主張内容は理解できないのですね。分かりました。
470:１３２人目の素数さん
11/09/01 20:56:58.92
おっとー？おっとおっとー？
471:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:01:16.16
>>468
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
これに対してx = yの場合には
f(x)^2 = 2*f(x) - 1
となりf(x) = 1でなくてはならない。
つまり
「 x = yを満たす任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (B)
として
(B) => f(x) = 1
が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
(A) => f(x) = 1
が示せた訳ではない。
x = yとx ≠ yの場合に
f(x) = 1 => (A)
が示せただけ。
472:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:05:27.86
か～ら～の～？
473:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:05:41.11
>>469
＞>>452の場合は
＞(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。
考慮してないよｗ
>>452では、x,y全ての場合についての等式(全部で4つある)を
丁寧にリストアップしている。しかし、リストアップしたはいいが、
その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は 使 っ て な い 。
a＝b＝1を導くのに使ったのは、 a^2＝2*a－1, b^2＝2*b－1 という2つの等式のみ。
これらの等式は(x,y)＝(1,1), (2,2)すなわちx＝yの場合の等式だから、
結局、>>452 では「x＝yの束縛下の条件しか考慮してない」ことになる。
それとも、
「たとえ等式を使わなくても、>>452のように丁寧にリストアップさえすれば、それで考慮したと見なす」
ということかね？もしそうなら、>>419だって、
「 f(y)^2＝2*f(x)－1 (∀x,y∈R) 」… ★
という一文を書くだけで、「全ての等式を>>452のようにリストアップしたことになる」でしょ。
つまり、「全てのx,yを考慮したことになる」でしょ。
(x,yは無限にあるから、>>452の形式で紙面上にリストアップすることは出来ない。
しかし、★のような形で表記すれば、それは全てのx,yについてリストアップしたのと同じである)
474:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:06:49.05
うんうん
475:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:10:04.34
>>473
＞その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は 使 っ て な い 。
使っているんだよ。(x,y)＝(1,1)、(2,2)の等式からa=b=1が示せて
このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
4条件は使っている。
これで君の数学的能力に問題があることがわかった。
全く間違っている内容を世界中に拡散するのをこれ以上止めたらどうか？
476:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:10:18.67
>>471
君のその言い分を、>>452に使ってごらん。
[00] >>452の証明において、
[01] 「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
[02] これに対してx = yの場合には
[03] f(x)^2 = 2*f(x) - 1
[04] となりf(x) = 1でなくてはならない。
[05] つまり
[06] 「 x = yを満たす任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (B)
[07] として
[08] (B) => f(x) = 1
[09] が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
[10] (A) => f(x) = 1
[11] が示せた訳ではない。
[12] x = yとx ≠ yの場合に
[13] f(x) = 1 => (A)
[14] が示せただけ。
さて、君は「 >452は正しい」と言っていた。
ならば、上の疑問の [00]～[14] において、いずれかの番号の主張は
"間違っていなければならない" 。
で？ [00]～[14]のうち、どの番号が間違ってるの？
477:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:14:41.01
ほぉー！
478:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:15:24.87
＞このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
＞4条件は使っている。
つまり、こういうことだな？
『 >>452では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈{1,2})という条件を出したに過ぎない。
ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』
と。そうです。x≠yのときも成立しています。
ただし、その事実について、>>452の証明では 言 及 し て い ま せ ん 。
君が勝手に、証明を補完してしまっただけです。
「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」
という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。
そして、そのような補完が出来る能力が 君にあるのなら、
>>419だって、全く同じ補完が可能になる。
つまり、こういうことだ。
『 >>419では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈R)という条件を出したに過ぎない。
ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』
なぜ君は、>>419の場合はこのように考えないのだね？
479:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:16:16.05
盛り上がってまいりました
480:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:26:10.99
>>478
脳内で補完している訳ではない。>>452は定義域をそちらが勝手に都合よく
狭めているため、全ての定義域で条件を確認しているから正しいことになる。
＞「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」
＞という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。
4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。
苦しい主張の繰り返しでお疲れ様です。
>>471で
＞x = yとx ≠ yの場合に
＞f(x) = 1 => (A)
＞が示せただけ。
と書いているが、f(x) = 1以外にもx ≠ yを満たす関数が存在するかどうかの検証が
行われていない。
懇切丁寧に言いかえれば、
x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。
481:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:28:17.22
>>480
よし、もういい。いったん、証明の表現方法を変える。
(本質的に同じことをやっているのだが)
問題：写像 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：まず、
「 (A)を満たす写像fは "必ずf(0)＝1である" 」 … B[0]
ということを示す。
写像fは(A)を満たすとする。どんなx,yに対しても(A)の式が
成り立つのだから、特に、x＝0, y＝0を代入しても(A)の式が成り立つ。
実際に代入するとf(0)^2＝2*f(0)－1 となるから、ここからf(0)＝1が出る。
よって、確かにB[0]が成り立つ。
↑証明の途中で申し訳ないがが、この証明について、君はどう思うかね？
「正しい」と思うかね？
「x≠yのときにもf(0)＝1が言えているわけではないから、間違い」
などと思うかね？
482:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:30:02.93
どうなんだい？
483:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:38:49.43
>>419
誰が誰だか分からないが[2.1]は、「(A)を満たす連続関数 f：R → R は確かに存在する」だぞ。
そしてfの一意性は[3.1]で示そうとしている訳だが[3.1]のままでは一意性を示したことにはならない。
暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
これも別個に示さないといけない。
484:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:45:46.49
>>483
＞暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
＞これも別個に示さないといけない。
それを示しているのが[2.1]でしょ。よく読むべし。
485:１３２人目の素数さん
11/09/01 21:51:21.49
うむ。
486:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:09:19.65
>>483
その[2.1]は「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実の厳密な証明になってないんだよ。
487:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:10:33.84
「x＝yと置くと～」じゃなくて、
「どんな実数tを選択しても、そのtに対して、x＝t, y＝tを代入すれば～」
と表現すれば、誤解が起きないようになるかな？
問題：写像 f：R → R で、
「 任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
解答：
(A)を満たす写像 f：R → R が存在すると仮定する。このとき、どんなx,yに対しても
(A)式が成り立つのだから、特にx＝0, y＝0を代入して、f(0)^2＝2*f(0)－1となるから、必ず
f(0)＝1
となる。今度は、x＝√2, y＝√2を代入してみると、f(√2)^2＝2*f(√2)－1となり、必ず
f(√2)＝1
となる。じゃあ、x＝3.14, y＝3.14 を代入したらどうか？f(3.14)^2＝2*f(3.14)－1となり、必ず
f(3.14)＝1
となる。……このような計算から容易に分かるように、どんな実数tを選択しても、
そのtに対して、x＝t, y＝tを(A)式に代入して整理すれば、必ず
f(t)＝1
となることが分かる。「どんな実数tを選択しても必ずf(t)＝1である」とはすなわち、
fは定数関数であって、その値は1であるということである。以上より、
「 (A)を満たす写像 f：R → R が存在するならば、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数でなければならない 」
ということが言えた。次に、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数を持ってくる。このfは(A)を
満たすことが容易に確認できる。以上により、(A)を満たすfはf(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数だけである。
488:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:12:59.55
特殊化による必要性の証明が理解できないようだ。
数学初心者にある、
命題「AならばB」の証明における、
「Ａが成り立っているならば、特にA'のとき云々、よってB」 ・・・（１）
という証明の流れに対して、A'でないときはどうするのか、と悩み始める。
そんな人には(1)の対偶を考えてみることをお勧めしたい。
489:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:44:47.44
>>488
肝心の（１）の文法が良くわかんないんだが。
正確に書き直しといてくれる？
490:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:46:46.85
>>488
>A'でないときはどうするのか
論理的に言うと厳密にはA'でないときも考えないといけないぞ。
「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」の1つの厳密な証明は
(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数yを任意に取る。すると任意の実数z、xに対して
f(y)^2＝2*f(z)－1＝2*f(x)－1
が成り立ちf(z)=f(x)が得られる。
よってfは定数関数である。
だ。
491:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:47:31.34
あくまでの(1)は流れだから、直接には該当する証明にあたってくれ。
上の方に一杯あるからさ。>>419とか。
492:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:50:12.94
>>490
いらない。