11/01/11 17:21:31
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
写像 T↓：S → P(S) を T↓(x) = T ∩ (-∞, x] により定義する。
T↓ を T-下写像(T-down map)と言う。
T↓ は単調増加(>>227)である。
297:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/11 17:26:12
>>296の修正
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T の冪集合 P(T) を包含関係により順序集合と見なす。
写像 T↓：S → P(T) を T↓(x) = T ∩ (-∞, x] (>>191)により定義する。
T↓ を T-下写像(T-down map)と言う。
T↓ は単調増加(>>227)である。
298:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/11 17:27:44
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T の冪集合 P(T) を包含関係により順序集合と見なす。
写像 T↑：S → P(T) を T↑(x) = T ∩ [x, +∞) (>>191)により定義する。
T↑ を T-上写像(T-up map)と言う。
T↑ は単調増加(>>227)である。
299:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/11 17:34:20
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
任意の x ∈ T に対して (-∞, x] ⊂ T となるとき T を S の下集合(down set)と言う。
S の下集合の全体を Down(S) と書く。
300:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/11 17:36:47
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
任意の x ∈ T に対して [x, +∞) ⊂ T となるとき T を S の上集合(up set)と言う。
S の上集合の全体を Up(S) と書く。
301:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/11 18:03:01
>>212
>>263
使用する専門用語についてはそれが定義されている箇所のレス番号をなるべくつけるようにしてますが
それがついていない場合はスレを遡って調べてください。
因みに、このスレ全体をテキストエディター（例えば秀丸）でコピーして検索すれば
簡単に定義の箇所が見つかります。
過去スレを検索する場合は各過去スレをテキストエディターでコピーして同一のフォルダーに格納し、
テキストエディターのgrep機能で検索すればこれも簡単に定義の箇所が見つかります。
さらにテキストエディターのタグジャンプ機能を使えばその場所に一発で飛べます。
このシリーズを読みまともに理解しようとする場合、秀丸のようなテキストエディターは
ほぼ必須だと思ってください。
302:１３２人目の素数さん
11/01/11 21:26:23
逃げるな、猫
うしろめたいのか？
303:１３２人目の素数さん
11/01/11 21:27:52
>>302
ｽﾚﾘﾝｸ(sec2chd板)
猫は規制されて書き込めないよ。
304:１３２人目の素数さん
11/01/11 22:50:23
猫よ、見ているだろうか？
もりたぽを使えば
２ちゃんねるに規制なしでいくらでも書き込めるようになるぞ。
年間わずか500円だ。
ぜひ一連の市民活動への導入を検討してほしい。
305:１３２人目の素数さん
11/01/11 23:07:49
一緒に規制されてたりして
306:１３２人目の素数さん
11/01/11 23:28:51
証明した
307:Kummer ◇g2BU0D6YN2
11/01/12 02:11:49
>>260
>253は猫になりすましてるだけだよ
トリップを表す◆が◇に化けてるだろ
それとトリップの英数字列が太い字体になってしまってるだろ（少なくとも専ブラで見ると太い）
あれ、猫に成り済まそうとして、猫のハンネとトリップからなる文字列「猫は作業 ◆MuKUnGPXAY」全体を
ＨＮに指定したってこと
この投稿は、試しにKummerさんのＨＮとトリップの文字列「Kummer ◆g2BU0D6YN2」全体をＨＮに指定してみました
（Kummerさん、ごめんね）
するとトリップを表す◆が◇に化けてしまって、しかもKummerさんのトリップの文字列「g2BU0D6YN2」が太字になってるだろ
308:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 02:43:33
>>307
>>41は私じゃないんだが、こういうのはどうやるの？
309:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:35:18
例
Ψ を集合 X の部分集合からなる集合とする。
Ψ が遺伝的(過去スレ007の767)であるとは
Ψ が X の冪集合 P(X) の下集合(>>299)であることに他ならない。
310:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:43:26
命題
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T が S の下集合(>>299)であるためには S - T が S の上集合(>>300)であることが必要十分である。
証明
必要性：
T が S の下集合であるとする。
x ∈ S - T に対して x ≦ y とする。
y ∈ T なら x ∈ T であるから y ∈ S - T でなければならない。
よって、S - T は S の上集合である。
十分性：
順序集合に関する双対原理(>>177)より、S - T が S の上集合であれば T は S の下集合である。
証明終
311:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:47:01
命題
S を順序集合とする。
Ψ を S の下集合(>>299)の集合とする。
このとき ∪Ψ および ∩Ψ は S の下集合である。
証明
自明である。
312:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:48:53
命題
S を順序集合とする。
Φ を S の上集合(>>300)の集合とする。
このとき ∪Φ および ∩Φ は S の上集合である。
証明
自明である。
313:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:54:23
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
>>311より T を含む S の下集合全体の共通部分は T を含む最小の下集合である。
これを ↓T と書き T の S における下閉包(down closure)と言う。
314:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 03:56:27
定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
>>312より T を含む S の上集合全体の共通部分は T を含む最小の上集合である。
これを ↑T と書き T の S における上閉包(up closure)と言う。
315:Kummer ◆g2BU0D6YN2
11/01/12 04:05:49
命題
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
このとき、↓T = {x ∈ S； x ≦ y となる y ∈ T がある} である。
証明
T’= {x ∈ S； x ≦ y となる y ∈ T がある} とおく。
T ⊂ T’である。
x ∈ T’なら x ≦ y となる y ∈ T がある
z ≦ x なら z ≦ y だから z ∈ D である。
よって T’は下集合である。
D を下集合で T ⊂ D とする。
x ∈ T’なら x ≦ y となる y ∈ T がある
y ∈ D だから x ∈ D である。
よって、T’⊂ D である。
以上から T’は T を含む最小の下集合である。
証明終
316:１３２人目の素数さん
11/01/12 05:03:07
ねこはおじけづいて逃げたようんだなw