11/03/19 13:58:43.76
>>442
strong replacement theorem から
replacement theorem が証明できる。逆は一般に成り立たないね。
fを付値とすれば
strong replacement theorem より
(A←→B)→(C[A]←→C[B])がトートロジーだから、
f((A←→B)→(C[A]←→C[B]))＝Т
一般に
f(⊥→X)＝f(⊥)→f(X)＝Т
f(X→Т)＝f(X)→f(Т)＝Т
が成り立つから、
f(A←→B)＝⊥ ∨ f(C[A]←→C[B])＝Т
replacement theorem の仮定から、
A と B は論理的同値なので、
f(A)＝(B)＝Т ∨ f(A)＝(B)＝⊥
このとき f(A←→B)＝f(A)←→f(B)＝Т であるので、
f(C[A]←→C[B])＝f(C[A])←→f(C[B])＝Т
よって、
f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
なので C[A] と C[B] は論理的同値。