11/02/22 23:35:42.32
有限の立場では、背理法の無制限な使用は認められますか？
368:１３２人目の素数さん
11/02/23 08:02:56.58
有限の立場ってのは有限公理化可能ってことだとするなら、
ZFCやMKは有限でないが、NGBは有限。
排中律を公理にするかは１階述語論理での話で、
むしろ背理法なしで無矛盾な集合論を展開できるかということ。
答えはYes。
369:１３２人目の素数さん
11/02/23 08:14:46.30
こりゃまた斬新な答えだ
370:１３２人目の素数さん
11/02/23 10:13:34.91
有限の立場は人の数だけあるとは言うが…
371:１３２人目の素数さん
11/02/23 12:09:40.31
少ない脳味噌を如何に活用するかってことなんですね。
372:368
11/02/23 19:56:25.65
>>369>>371
文句があるなら論破してみろ。
373:１３２人目の素数さん
11/02/23 20:04:38.06
どこから手をつけろと言うんだｗ
374:368
11/02/23 20:22:42.56
>>373
言い訳乙＾＾
375:368
11/02/23 21:10:09.87
全員まとめてかかってこい！
ジャクソンとショーアのlow basic theoremより
recursive degreeを下げることで不完全性定理は成り立たないようにできる！
376:１３２人目の素数さん
11/02/23 21:15:08.73
basicってことはadvancedとかもあるの？
377:１３２人目の素数さん
11/02/23 21:27:56.54
結局、有限の立場で背理法はOKなの？
378:368
11/02/23 22:13:03.52
>>376
basicってのは日本語では恐らく基底とか基数に該当するので基本とかではないです。
379:368
11/02/23 22:19:23.25
>>377
有限の立場の立場を明確にせよ
380:１３２人目の素数さん
11/02/23 22:21:36.12
Primitive recursive arithmetic, or PRA, is a quantifier-free formalization of the natural numbers.
It was first proposed by Skolem[1] as a formalization of his finitist conception of the foundations of arithmetic, and it is widely agreed that all reasoning of PRA is finitist.
381:368
11/02/23 22:59:50.96
>>377
述語の数を増やせばできます。
382:１３２人目の素数さん
11/02/23 23:43:01.36
>>378
いやlow basis theoremのはずなのにスペル間違ってたから
きっと内容分かってないんだろなと思ってからかっただけだよ
というかジャクソンってもしかしてJockuschのことじゃないだろうな？
383:１３２人目の素数さん
11/02/23 23:52:38.94
>>367
ヒルベルト達の言う有限の立場で示せる命題と言うのは、
或る特定の自然数に対する命題（Δ0式）とか、
或いは変数 x を使って x に対して成り立つ命題を証明することで
「任意の x に対して～～」を示す、とか、つまりかなり直截的に証明できるものなので、
∀x P(x)を仮定して∃x P(x)を示すとか、或いはその逆とか、
そういう凝った証明は出て来ないんじゃないかと思います。
従って、別に背理法を使っちゃいけないとはほとんど言っていませんが、
背理法を何度も重ねた超越的な存在証明みたいなものは実際上出て来ないはずです。
だからヒルベルトの計画が上手くいったなら当時の直観主義者達に対する反撃になってた訳で。
384:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:02:15.70
訂正
∀x P(x)を仮定して背理法によって∃x ￢P(x)を示すとか
385:368
11/02/24 00:14:58.16
>>384
∃x ￢P(x)は∀x P(x)の略記じゃないんですか？
386:368
11/02/24 00:21:42.85
>>382
ああそうだよ、内容なんてわかってないよ。
俺の論理学歴といえば先日小野の現代数理路理学序説を読了し、
最近shoenfieldを読み始めたばかりだよ。
low basis theorem についてはある人のブログで知ったんだよ、問題あるか？
387:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:26:29.37
議論・喧嘩してるわけでもないのに、なんで名前固定してんのこの人
388:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:26:46.53
仮に∀x P(x)を仮定して～～みたいな議論がそもそも無いので
￢∀x～～という論理式がそもそも出て来ない。
だから￢∀x￢が出て来ないからその略記としての∃xもそもそも出て来ない。
あるのは、任意にとった x に対して …x… が成り立つ、という …x… という式だけ。
389:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:28:01.31
くあんてぃふぁいあふりー
390:１３２人目の素数さん
11/02/24 16:44:00.27
素人でこの方面興味持つ奴は概ね基地外
391:１３２人目の素数さん
11/02/24 20:11:19.86
>>387
話の展開をわかりやすくするためだろ。
392:１３２人目の素数さん
11/02/24 20:28:22.40
というかロジックの場合、他分野では優秀な数学者が
往々にしてトンデモだったりするから困る
393:１３２人目の素数さん
11/02/24 21:04:17.78
>>392
www 本当杉て困る。
394:368
11/02/24 22:45:14.87
まともに勉強していないからに決まっている。
395:368
11/02/24 23:12:50.35
集合論研究者でさえ
論理学をやったことない人がいる。
396:１３２人目の素数さん
11/02/25 12:41:58.62
いまどき素朴集合論のみで食ってる研究者なぞおらんわ
寝言は寝てから言え
397:１３２人目の素数さん
11/02/25 12:44:27.44
いや、普通の数学の専門家は可算濃度と連続濃度の算法しか分からんのが結構いる。
398:１３２人目の素数さん
11/02/25 13:40:21.63
>>397の「いや」へ
>>395-396の流れを読め。
399:368
11/02/25 19:53:26.53
>>396
公理的集合論やモデル理論の研究者で
ロジックをやったことがないといのは
結構あるぞ。
400:１３２人目の素数さん
11/02/25 20:18:53.14
いやモデル理論はロジックの一部だし。
あと記述集合論とかとの関係で再帰函数論も或る程度知ってる人が大半なはず。
非古典論理とか部分構造論理とかには疎いだろうけどそれだけがロジックじゃないし。
401:368
11/02/25 22:19:27.88
知識あれば良いけど、
キューネンとかウッディンとかの本読んでるけど、
論理学のテキストまったく読んだことない人間でも
読めると思うけど？
実際に自分が読めてる。
論理学の知識はすべて共通前提だと考えれば大丈夫だと思う。
実際に直感的に明らかな論理学の結果しか使わないし。
何だかんだで代数、位相、測度、基数の方がメインな道具に見える。
402:１３２人目の素数さん
11/02/25 23:35:13.21
Woodinって何読んでんの
403:368
11/02/25 23:57:02.29
The Axiom of determinacy,
forcing axiom, and the non-stationary ideal
404:１３２人目の素数さん
11/02/27 01:20:35.00
>>399
> 公理的集合論(略)の研究者で
実際に何やってる人?
組合せ論的な構成可能集合の研究とか?
405:１３２人目の素数さん
11/02/27 21:35:27.99
基礎論を勉強し始めたど素人ですが、どなたか教えてください。
前原「数学基礎論入門」で、「等号の基本性質」の節の冒頭にある、
次の記述意味が分かりません。
>sとtがn階の対象式である場合には、s=tは、
>∀ξ_{n+1}(s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1})
>という論理式の略記法であった。
ここで、_{n+1}により下付き文字をあらわしました。
この定義ですと、t∈ξ_{n+1}でかつ、￢(s∈ξ_{n+1})となるξ_{n+1}が
存在した場合でも、論理式s=tが成立し得るというふうにとれます。
その意味で正しいのでしょうか？
普通に考えると、「→」のところで、「⇔」の間違いじゃないのかと、
思えるんですが。
406:１３２人目の素数さん
11/02/27 21:42:08.97
ξ_{n+1} の前に ∀ があるので、適切な内包公理の下で、
∀ξ_{n+1}(s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1}) から
∀ξ_{n+1}(t∈ξ_{n+1}→s∈ξ_{n+1}) が導ける。
ちょっと読み進めばそのことが書いてあるはず。
407:１３２人目の素数さん
11/02/27 21:43:42.25
>>405
"集合" ξ_{n+1} の補集合を考えれば、
s∈ξ_{n+1}→t∈ξ_{n+1} の逆向きもO.K.
408:１３２人目の素数さん
11/02/27 21:53:53.94
>>406
>>407
ありがとうございます。
ちゃんとした理屈があることが分かり、安心しました。
内包公理や補集合をヒントに理解してみます。
409:１３２人目の素数さん
11/03/03 15:09:48.69
知ったかぶりのバカが集まるすれですね
何の役にもたたないのにｗ
410:１３２人目の素数さん
11/03/03 16:30:05.36
自己紹介ご苦労
411:368
11/03/03 21:57:25.77
>>404
点集合トポロジーだったかなんだったか。
>>409
俺もそうだけど、別にいいじゃん知ったか。
知ったかでも博士とれちゃう国あるんだよ、世界には＾＾
412:１３２人目の素数さん
11/03/03 22:08:12.18
だったら無駄に名乗らないでください
邪魔なんで
413:368
11/03/03 22:34:23.08
>>412
こんな俺でも
ここじゃちょっとは役に立つと思って助言してる。
なんつーか隣人愛ってやつかな、論理の入り口で彷徨ってる
人間みるとつい助けたくなっちゃう。
414:１３２人目の素数さん
11/03/03 22:55:43.28
>>413
じゃ助けてよ。シエラハの理論、pcf理論を理解したいんだけど、オススメのショートコースある？
415:368
11/03/03 23:09:52.65
>>414
pcfはJechに載ってるだろう。
予備知識などいらん！
416:368
11/03/05 23:12:13.84
志賀の無限からの光芒って面白いね。
知らなかった定理が結構ある。
417:１３２人目の素数さん
11/03/06 06:14:59.41
証明抜きが多かった記憶
418:368
11/03/07 21:37:05.07
>>417
まぁ本来啓蒙書なんで。
その割には証明がある丁寧な本程度と考えた方が。
419:１３２人目の素数さん
11/03/16 18:44:12.04
東北大学のサイト落ちてますねえ。
まあ仕方ないかな。
420:１３２人目の素数さん
11/03/16 18:46:10.16
被災地域の大学生、教員でアボーンした人どれだけ居るのやら。
421:１３２人目の素数さん
11/03/16 19:09:28.70
田中一之さん、東北大学だよね。心配ですねえ。
422:１３２人目の素数さん
11/03/17 13:19:17.80
今東北にロジックの学生どれくらいいるの？
423:１３２人目の素数さん
11/03/17 13:24:44.90
学徒動員。福島原発に突入せよ。
424:１３２人目の素数さん
11/03/18 22:11:10.98
質問です。
命題論理のごく初歩的なところをやっているんですが、
replacement theoremとstrong replacement theoremの違いがわかりません。
wff Aを何回か含むwffをC[A]とし、C[A]の中のいくつかのAをwff Bで置き換えた結果をC[B]とする。このとき、
replacement theorem：AとBが論理的同値ならばC[A]とC[B]も論理的同値
strong replacement theorem：(A←→B)→(C[A]←→C[B])はトートロジー
なぜ、後者のほうが「強い」のでしょうか？
425:368
11/03/18 22:19:34.59
strong replacement theorem
なんて初めて聞いた。
426:１３２人目の素数さん
11/03/18 22:22:50.44
それはお前が無知なだけ
427:368
11/03/18 22:45:13.30
>>426
そんなら425をサクッと説明しちゃってくださいよ。
428:１３２人目の素数さん
11/03/18 22:50:59.58
なにこの糞数字コテ
429:１３２人目の素数さん
11/03/18 22:56:57.07
「A→Bが証明可能」 ⇒ 「Aが証明可能⇒Bが証明可能」
だけど、逆は一般には成り立たないことに
なぞらえてるのでは？
430:１３２人目の素数さん
11/03/18 23:05:57.04
だって、replacement theoremとstrong replacement theoremは同値じゃん。
なんでstrongなのかわからん
431:１３２人目の素数さん
11/03/19 00:31:55.49
そういうときは
wff、置換、論理的同値、トートロジー
の定義を書いてみよう。
書いているうちにわかる場合が多いよ。
432:１３２人目の素数さん
11/03/19 00:33:29.97
なにその万能な回答
433:１３２人目の素数さん
11/03/19 00:44:12.36
万能文化猫娘
434:431
11/03/19 00:50:10.47
え、割と有効なやり方だと思うんだけど
435:368
11/03/19 08:09:26.45
まぁ確かに定義を書くことで
頭が整理されるってことは結構あると思う。
436:１３２人目の素数さん
11/03/19 09:44:19.26
strong replacement theoremというのは一般的な呼び方じゃないと思う。
別の名前が付いている訳でもないけど。
AならばBというのとA→Bはトートロジーだというのでは
後者の方が強い気はするよね。
トートロジーに関するいくつかの性質を使えば前者から後者も証明できるだろうけど。
437:１３２人目の素数さん
11/03/19 11:07:58.09
ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
どなたか、お教えください
よろしくおねがいします
438:368
11/03/19 11:58:48.45
>>437
> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
言葉の定義とかも書かないとわからないと思いますよ。
普通の数理論理学のテキストにない用語が多いですから。
439:１３２人目の素数さん
11/03/19 12:00:34.25
なにこの糞数字コテ
440:368
11/03/19 12:07:59.68
>>437
> ジェフリー『形式論理学』の決定可能、決定不可能のくだりで
> 多項関係の述語を含む関数記号を含まない理論が決定不可能というのは関数記号を多項関係の述語に置き換える（たとえば、関数記号+を和の関係を表す述語に置き換える）結果、それが言えるという意味ですか？
> それとも、同一性記号や和の関係を表す述語のような特別な付値を持つ述語（＝11は定理だが、（自由な表れの述語Ａに関して）A11が定理は言えない）は関係なくて、自由な表れの多項関係の述語を持てば理論は決定不能になるという意味ですか
> どなたか、お教えください
> よろしくおねがいします
付値は命題への真偽値の与え方と考えてよろしいでしょうか？
それから「自由な表れ」とはなんでしょうか？
441:368
11/03/19 12:09:39.27
>>439
> なにこの糞数字コテ
どうも！
442:１３２人目の素数さん
11/03/19 12:34:39.61
>>436詳しく頼む
443:368
11/03/19 13:42:36.35
strong replacement theoremでググったらこのスレが一番だったW
444:368
11/03/19 13:58:43.76
>>442
strong replacement theorem から
replacement theorem が証明できる。逆は一般に成り立たないね。
fを付値とすれば
strong replacement theorem より
(A←→B)→(C[A]←→C[B])がトートロジーだから、
f((A←→B)→(C[A]←→C[B]))＝Т
一般に
f(⊥→X)＝f(⊥)→f(X)＝Т
f(X→Т)＝f(X)→f(Т)＝Т
が成り立つから、
f(A←→B)＝⊥ ∨ f(C[A]←→C[B])＝Т
replacement theorem の仮定から、
A と B は論理的同値なので、
f(A)＝(B)＝Т ∨ f(A)＝(B)＝⊥
このとき f(A←→B)＝f(A)←→f(B)＝Т であるので、
f(C[A]←→C[B])＝f(C[A])←→f(C[B])＝Т
よって、
f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
なので C[A] と C[B] は論理的同値。
445:368
11/03/19 14:09:13.52
下から2行目訂正
誤：f(C[A])←→f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])←→f(C[B])＝⊥
正：f(C[A])＝f(C[B])＝Т ∨ f(C[A])＝f(C[B])＝⊥
446:368
11/03/19 14:17:43.26
訂正：逆も成り立ちますね。
447:424
11/03/19 14:23:56.03
逆も普通に成り立ちますよね？
なんでstrongなのか・・・
ちなみに戸田山和久の『論理学をつくる』ってテキストです
448:368
11/03/19 14:26:13.99
strong replacement theorem は、
C[A] と C[B] が論理的同値ならば、
A と B が論理的同値でない場合でも成り立つので、明らかに強いですね。
449:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:41:00.37
それはreplacement theoremもおなじじゃないの？
450:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:41:41.10
んなら>>446の逆も成り立ちますってどういうことなの
451:368
11/03/19 14:44:01.60
論理学をつくるが出典か。
それじゃあ深い意味はなく、
使いやすい程度の直感的な命名の可能性が高い。
452:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:45:21.50
そんじゃ、どっちがstrongもなく、同値な定理と考えてＯＫ？
453:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:46:54.49
ちなみに、地の文にも「より強い置き換えの定理」とはっきり書かれています
454:368
11/03/19 14:48:57.61
>>450
私の間違えですね。訂正します。
：
A→B B
------------
A
：
のとき、A→BはAよりも強いと言いますから、
同値の場合は強いとは言わないかもしれないですね。
455:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:52:51.44
>>454そこを詳しく！
456:368
11/03/19 14:56:16.92
多分戸田の言いたいことは、
strong replacement theorem は replacement theorem と同値だが、
C[A] と C[B] が論理的同値 という別の命題があった場合、
strong replacement theorem は 「A と B が論理的同値でない」
場合にも成り立ちますが、
このとき replacement theorem が成立している必要はないという意味で、
「強い」と命名したんじゃないんでしょうか。
ですから>>454でいうような定義での「強い」ではないですね。
まぁその本読んだことないんで知りませんが。
457:１３２人目の素数さん
11/03/19 14:59:31.77
replacement theoremも、AとBが論理的に同値でない場合も成り立ちますよね？
458:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:03:58.55
結局、俺には>>429がなぜ正しいのかわからない
459:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:09:35.95
規制で書き込めなかった…
>>424
証明するために、内包公理が必要かどうか。
>>430
「同値」の階層を混同している。
「論理式が同値」と「命題が同値」は全く異なる概念。
「A←→Bならば、その時に限って、A≡B」が証明できるというだけ。
←→、≡は共に略記だけど、常識の範囲だから定義は略。
完全性定理をきちんと理解するには、この辺の区別は重要。
460:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:11:11.86
>付値は命題への真偽値の与え方と考えてよろしいでしょうか？
よいです。
＝が自由な表れでないと言っているのは、∀ｘ（ｘ＝ｘ）のような公理があるために、＝を他の述語と置き換えることは必ずしも自由でないということを言っています
461:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:11:24.83
初学者向けと謳っているのにそのあたりの解説がないのは不親切だなぁ
462:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:12:31.06
ごめん、>>429がなぜなのか、もう少し説明してもらえないだろうか
463:１３２人目の素数さん
11/03/19 15:16:38.80
付置はvaluationの訳語。
valuation function: wff→truth value
464:１３２人目の素数さん
11/03/19 20:46:20.72
すみません、初学者なのですが、質問させてください。
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が成立しないんじゃないかと思います。
反例として、
箱が二個(箱１、箱２)と玉が一個だけの世界を考えて、
Ｐ(ｘ)、Ｑ(ｘ)がともに、玉が箱ｘに入っているという命題を表すものとします。
このとき、各ｘに対してｙ＝ｘと考えてやれば「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」は真になりますよね。
ところがｙ＝１のときはｘ＝２を、ｙ＝２のときはｘ＝１の場合を考えてやればいずれも「Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)」が成立しないため、「∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))」が偽になりますよね？？
と考えたのですが、間違いがあれば教えてくださいｍ(＿ ＿)ｍ
465:368
11/03/19 20:58:24.75
>>462
散歩ついでに読んでみたけど
71ページの辺りの文脈読んでなんとなく推測。
replacement theorem は
A←→B がトートロジーならば C[A]←→C[B] もトートロジーと書ける。
|= C ⇔ C はトートロジー -----------（１）
（１）の書き方に従えば、
|= A←→B ⇒ |= C[A]←→C[B] -----------（２）
また、
strong replacement theorem は、
|= (A←→B)→(C[A]←→C[B]) -----------（３）
（３）からCuttingによって（２）が証明できるが逆は成り立たない。
だからstrongと読んでいるのではないだろうか？
>>459の言うとおりだとしても、
置き換えの定理が出てくるこの時点で、内包公理どころか
集合論の気配は一切ない。
本来のstrong replacement theoremの意味はどうだから知らないが、
少なくともこの本を読んでも、
「強い」が内包公理の要不要に依存しているようには思えない。
466:１３２人目の素数さん
11/03/19 21:15:27.00
>>429に関して、独立で説明してもらえないだろうか。
>>429は一般に言えることなの？
467:368
11/03/19 22:19:40.96
>>466
定理１ T，A |= B ⇔ T |= A→B
のTを空集合とすれば、
A |= B ⇔ |= A→B
定理２（Cutting） T |= A 、A, K |= B ⇒ T, K |= B
のような定理で、TとKを空集合とすれば、
|= A 、A |= B ⇒ |= B
となり、replacement theorem が証明される。
|=という記号はこの本の定義（2重ターンスタイルとか書かれてた）に従ったが、
上の定理１と２が常に成り立つかは恐らく証明体系に依存する。
>>429はこの|=のことを証明を表す記号として言っているのでは？
468:１３２人目の素数さん
11/03/19 22:38:17.87
初学者の俺には何言ってるかわからない・・・
もうちょっとわかりやすくたのむ・・・
strongとそうでないのは、結局、どっちからどっちをも証明できると考えておいてＯＫ？
469:368
11/03/19 22:40:11.88
>>464
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))
が「成立しない」の意味によりますね。
論理式としては成立しますが、これだけでは常に真ではないですね。
最後の方の文章がいまいち理解できませんが、
一応確認しておきたいのですが、
論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは
分かっていますか？
470:368
11/03/19 22:46:39.88
>>468
strong replacement theorem と replacement theorem という定理は、
メタ理論において定理とみなされていて、
メタ理論において必要十分条件（同値）になっています。
しかし形式体系の中で、論理式として取り扱う際には、
strong replacement theorem から replacement theorem への
論理式の変形は可能ですが、逆への変形は不可能なのです。
つまり形式体系の中で strong だと主張しているのです。
471:１３２人目の素数さん
11/03/19 22:48:50.08
>>470
おお、よくわかった。
また質問したいです。よろしければお名前を教えていただけませんか
472:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/19 23:01:35.98
>>471
仮に368としておきます。
論理学をつくるをざっと眺めたところ、
無駄に冗長なうえに、
今回の意味論とシンタックスの混同のように、
さまざまな罠が張り巡らされているようなので気を付けてください。
473:464
11/03/19 23:04:43.49
>>469
ありがとうございます。
すみません、「成立」は述語論理でトートロジーになるという意味です。
僕の読んでいる教科書で、「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」をＮＫで証明せよという課題が載っていて、解答がなかったもので。。。
>論理式の前半の∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))に出てくる変数ｘとｙは、
>後半の∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))の変数ｘとｙとは違うということは
それは分かっています。
「∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ)) 」の反例(偽になる場合)があれば教えていただけませんか？
474:１３２人目の素数さん
11/03/20 00:09:54.48
フレーム(枠組み、構造とも呼ぶ)の領域を整数全体
P,Q ともに1変数述語として、対応する部分集合をそれぞれ整数全体、偶数全体
x,y を異なる変数
とすれば、このフレームはモデルとならない。
475:１３２人目の素数さん
11/03/20 00:13:56.99
質問し直します
多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能とあったのですが、その理論で算術の定理（例えば、任意の数項に関して、数項と0の積と0と数項の積は同一という算術の定理）は真ですか？
というのが聞きたかった内容です
>>473
あってると思いますよ
∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｘ∀ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))は妥当ではないですから
例えば、任意のドメインの要素がＰに含まれあるドメインの要素がＱに含まれ（∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が真）、あるドメインの要素が￢Ｑに含まれる（∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)が偽）世界を考えれば、∀ｘ∃ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)→∃ｘ∀ｙ(Ｐｘ→Ｑｙ)の妥当性の反例になると思います
もっとも、教科書が妥当でない式の証明を求めるということはないので、誤植か読み違いが起きてるのでしょう
ｘとｙの順序をｙとｘと読み違えたりすることで式の内容はかわってきますよ
476:１３２人目の素数さん
11/03/20 02:02:42.88
URLﾘﾝｸ(a0.twimg.com)
477:464
11/03/20 17:46:21.59
>>475
ありがとうございます。どうも誤植だった模様です。
正確には∀ｘ∃ｙ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))→∃ｙ∀ｘ(Ｐ(ｘ)→Ｑ(ｙ))だったようです。
478:１３２人目の素数さん
11/03/20 18:21:08.09
なんだ、戸田山さんの本か。
戸田じゃなくて戸田山ね。
あの人は（学部の素朴な）集合論の普通の定理に関しても
この定理は哲学的には問題があるとか良く分かんないこと書いてた気がする。
ゲーデルと20世紀の論理学の彼が書いた記事は面白かったけどね。
479:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/21 10:54:28.93
>>475
「多項関係の述語記号を持ち関数記号を持たない理論は決定不可能」
というのBoolosによって示された定理のことでしょうか。
算術の定理に必要な関数記号を論理学の述語で代用するということは、
数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
これが真になるというのは、どのような場合なのでしょうか。
私は知りませんが、興味はありますね！
480:１３２人目の素数さん
11/03/22 18:59:09.84
>>466
>429は一般に言えることなの？
p を命題変数とする。勝手な論理式 A に対し、
p が証明可能ならば A も証明可能
しかし、p→A は一般にはトートロジーではない。
証明可能の条件をもうちょっと強めると、古典命題論理の範囲では
Mints による定理があって、逆にあたることが成立する。
481:１３２人目の素数さん
11/03/23 00:53:46.06
>算術の定理に必要な関数記号を論理学の述語で代用するということは、
>数学を二階述語論理で直接展開するということでしょうか。
は、私がそういうことかなと推測した内容で、本が言っている内容かはわかりません
数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
じゃあどうやって？
述語でやろうというのか？しかし・・
という感じで質問に来ました
482:１３２人目の素数さん
11/03/23 23:44:06.57
非古典論理の階層（１）
Modal logic
Classical modal logic
Regular modal logic
Normal modal logic
Modern modal logic
Temporal logic
Propositional dynamic logic
Linear temporal logic
Interval temporal logic
Graphical interval logic
Signed interval logic
Future interval logic
Kinetic logic
Dynamic logic
Propositional dynamic logic
Multimodal logic
Hennessy-Milner logic
Epistemic modal logic
Public announcement logic
Product update logic
Deontic logic
Dyadic deontic logic
Imperative logic
483:１３２人目の素数さん
11/03/23 23:44:42.49
非古典論理の階層（２）
Algorithmic logic
Branching-time logic
CTL*
Computational tree logic
Tense logic
Computational verb logic
Hybrid logic
Quantum logic
Many-valued logic
Fuzzy logic
T-norm fuzzy logics
Monoidal t-norm based logic
Product fuzzy logic
Nilpotent minimum logic
Lukasiewicz logic
Godel-Dummett logic
Basic fuzzy logic
Post logic
Kleene logic
Provability logic
Interpretability logic
484:１３２人目の素数さん
11/03/23 23:45:10.90
非古典論理の階層（３）
Bayesian logic
Probabilistic logic
Subjective logic
Combinations logic
Substructural logic
Relevant logic
Linear logic
Strict logic
Full linear logic
Modern Lambek calculus
Non-commutative logic
Cyclic linear logic
Pomset logic
BV
NEL
Bunched logic
Affine logic
Direct logic
Full affine logic
485:１３２人目の素数さん
11/03/23 23:45:50.52
非古典論理の階層（４）
Paraconsistent logic
LP
FDE
Doxastic logic
Floyd-Hoare logic
Description logic
Minimal logic
Independence-friendly logic
Dependence logic
branching quantifier logic
Non-monotonic logic
Default logic
Autoepistemic logic
Free logic
Connexive logic
Combinatory logic
Categorical logic
Q0 Logic
Ω-logic
Separation logic
：
：
486:１３２人目の素数さん
11/03/24 00:05:02.46
分岐量化子とか客観論理が好みですね...
まぁ私は全て知っていましたけど。
487:１３２人目の素数さん
11/03/24 00:49:54.63
そんなにいっぱいあるんですか…
それらを(ある程度)統一した強力な体系とかあるんでしょうか？
488:１３２人目の素数さん
11/03/24 07:37:33.20
Wikipedia
489:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/24 08:08:58.26
>>481
> 数理論理の内容なので、関数記号を除いたからといって数学の定理が扱えないわけはない
> じゃあどうやって？
> 述語でやろうというのか？しかし・・
> という感じで質問に来ました
述語論理で必ずしも算術をする必要があるのでしょうか？
Boolosの定理は算術の存在を仮定しなくても、成り立つように思えます。
一般的な論理と数学に必要な論理は分離していった歴史がありますから。
490:１３２人目の素数さん
11/03/24 21:08:48.47
Paraconsistent logic
矛盾許容論理...
もう何でもありだな。
491:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/24 21:56:46.43
上記リストの中から、
興味のあるものや、詳しく知りたいものがあったら
言ってもらって結構です。
大抵答えられます。
492:１３２人目の素数さん
11/03/25 16:41:52.80
intuitionistic logic がないのは何故だろう?
493:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/25 23:47:24.56
>>492
直観主義論理は上記リストから見ると、
ちょっと古いのではないでしょうか。
古典論理から中間論理、直観主義論理、そして超直観主義論理までの
意味論はクリプキが可能世界の導入によって自然に拡張しましたから、
当然、上の非標準論理の基礎にはなっています。
しかし上のリストは恐らく、
様相論理を基本的な枠組みとして取り入れた
論理を紹介する意図があったのではないでしょうか。
いずれにしろ、個人の仕事なのですから
上記リストに抜けがあることは致し方ないでしょう。
それよりも良い検索キーワード集を提供してもらえたことに感謝しましょう。
494:１３２人目の素数さん
11/03/26 18:29:03.87
Public announcement logicって名前が面白いな
どういうことをやるんだろう？
Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？
あとInterpretability logic とΩ-logic について宜しく
495:１３２人目の素数さん
11/03/26 19:45:59.19
>>493
368の過去レスを見るとそんな偉そうな総括が言える力量とは思えない
おそらくハッタリであろう
496:１３２人目の素数さん
11/03/26 20:33:19.56
ロジックの本を読むのは初めてなのに
それが日本最高峰の教科書と言っちゃうくらいだからな>>188
497:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/26 22:32:27.30
>>496
正確にははじめてではないですね。
知識と信念の論理という本がはじめてですね。
この本で命題論理・述語論理から
様相論理、デフォルト論理やメンタル・スペース理論まで
まとめて学習しました。
理解できない部分は論理と計算のしくみという本で補填しました。
またこの本で完全性定理や不完全性定理を学習しました。
498:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/27 08:26:17.10
公開告知の論理PAL（Public announcement logic）
動的認識論理DEL（Dynamic Epistemic Logic）の一種で、
公開告知やプライベートなどの多種の言語伝達に依存して
エージェントたちの認識状態が変化するというアイデアによる。
様相論理を基礎にしている。
例
APLにおける文φの意味の公開告知の型がφ！であるとき、
様相演算子を[φ！]、<φ！>と置く。さらに命題ξに対して、
公開告知の後、[φ！]ξが真する。
ξが「K_aχ：エージェントaがχを知っている」で定義されるとき、
公開告知によって[φ！]K_aχが真。
これは公開告知による知識の変化を記述している。
おっしゃられる通り、common knowledge やmutual
knowledge への拡張もされています。
また認識論理の代わりに義務論理を選択することで、
指令論理ECL（Eliminative Command Logic）なども作られました。
関連
DEUL (Dynamic Epistemic Upgrade Logic）
DDEPL（Dynamic Deontic Epistemic Preference
Logic）
Arbitrary Public Announcement Logic (APAL)
Future Event Logic（FEL）
カテゴリ
数理論理学｜計算機科学
499:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/27 09:08:57.64
解釈可能性論理Interpretability logic
証明可能性論理GLを拡張したもので、さまざま種類があります。
算術的に完全なILMやモンターギュの公理を加えた最小論理IL、
持続公理をILに加えたILPなど。
p、q...は束、
∧、∨、→、⇒は様相論理のオペレータ
定義1
d(p)＝1
d(⊥)＝0
d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
公理2
略
自分よりも弱い理論の文を自分の中に置き換えて
数学的な性質を比較するという感じでしょうか。
500:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/29 23:09:07.72
解釈可能論理(IL)
GL＋述語記号△
二項様相演算子△を以下のように定義する。
理論Tにおける、A△Bの算術的な実現は
TにBの実現を加えたものは、TにAの実現を加えたものを解釈可能である。
つまり、Tの言語の論理式で、
T＋B |― C implies T＋A |― f(C)
となるような比較解釈可能関数ｆが存在する。
定義１
式Aの次数d(A)を次を満たす。
・d(p)＝1
・d(⊥)＝0
・d(A∧B)＝d(A∨B)＝d(A→B)＝d(A⇒B)＝d(A)+d(B)+1
定義２
ILの公理
K:□(p→q)→(□p→□q)
L:□(p→p)→□p
J1:□(p→q)→(p△q)
J2：(p△q)∧(q△r)→(p△r)
J3:(p△r)∧(q△r)→((p∨q)△r)
J5:(◇p)△p
ILの推論規則
MP
501:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/29 23:09:26.37
定義３
ILPの公理
ILの公理に以下の公理を加えたもの
P:(p△q)→□((p△q) (永続公理)
定義４
論理式Aと論理Lについて、L+Aとは、
L∪{A}を含む論理式の最小の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定義５
IK4とは、
K、J1、J2、J3、J5に、
4：□p→□□p
を加えた6つの公理とすべてのトートロジーを含む最小の論理式の集合で、
様相論理のMP、置換、必然性の3つの規則において閉じている論理。
定理１
IK4 ⇔ △-free fragment が様相論理K4となるILの部分論理。
定理２
IK4＋PはILPの部分論理。
定理３
IL＝IK4＋L
ILP＝IL＋P＝IK4＋P＋L
定理４
IL、ILPはクリプキ構造で完全。
502:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/30 19:18:55.66
定義６
Γ_A≡Γ－{A}を論理式の集合、
◎∈{□,◇,￢}を接頭辞としたとき、
◎Γ≡{◎A｜A∈Γ}
Γ△⊥≡{A△⊥｜A∈Γ}
と表現し、推件式は以下のように表現する。
Γ→⊿
定義７
推件式GIK4Pの公理
A→A
⊥→
503:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/30 21:24:29.35
定義８
論理式Aの部分論理式の集合をSub(A)
Γ∪∆の各論理式の部分論理式の集合をSub(Γ → ∆)で表す。
定義９
GIK4Pの推論規則。
(T→)Γ→∆：A,Γ→∆
(→T)Γ→∆：Γ→∆,A
(cut)Γ→∆,A、A,Π→Λ:Γ,ΠA→ ∆A,Λ
(∧→i)Ai,Γ→∆：A1∧A2,Γ→∆
(→∧)Γ→∆,A、Γ→∆,B：Γ→∆,A∧B
(∨→)A,Γ→∆、B,Γ→∆：A∨B,Γ→∆
(→∨i)Γ→∆,Ai：Γ→∆,A1∨A2
(⊃→)Γ→∆,A、B,Γ→∆：A⊃B,Γ→∆
(→⊃)A,Γ→∆,B：Γ→∆,A⊃B
(△K4P)A,{B,X1,···,Xn}△⊥,Σ→B,X1,···,Xn、Σ→Y1△B、…、Σ→Yn△B：
X1△Y1,···,Xn△Yn,Σ→A△B
504:368 ◆jkwVJMjC32
11/03/30 21:29:12.26
残念ながらこの論理の肝である、
シーケンス計算は、
証明図が奇抜な形をしているため
掲示板に書くことはできませんでした。
505:１３２人目の素数さん
11/04/03 01:45:35.55
N型推論図ってすごい使いにくいような気がする。
これのメリットって何があるの？
506:論理体系の表現能力
11/04/03 12:08:08.76
↑たかい
↑
様相論理（時相論理・認識論理・信念論理...）
↑
中間論理
↑
超直観主義述語論理
↑
超直観主義命題論理
↑
直観主義述語論理
↑
直観主義命題論理
↑
部分構造論理(ランベック計算・線形論理、矛盾許容論理、ウシュカヴィッチ多値論理、ファジー論理、適切論理...)
↑
↑ひくい
大体こんな関係じゃないでしょうか？>>487
507:１３２人目の素数さん
11/04/05 19:08:36.22
予習が完了しました。
今夜からΩ-論理の説明をはじめましょう。
508:１３２人目の素数さん
11/04/05 20:39:42.43
>>491で大抵答えられますって言ってたのは
勉強したら答えられるようになりますって意味だったの？
勉強したての人間の説明は何が本質的なのか全然分かんないから勘弁してほしい
509:１３２人目の素数さん
11/04/05 21:28:09.34
いえ、「Ω-論理以外」は何でも答えられるという意味である。
上記のリストにΩ-論理はない。
510:１３２人目の素数さん
11/04/06 10:18:46.30
１０は３で割り切れないって言うけど１０人分のケーキを三人に分けることはできるんだが？
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)l50
511:１３２人目の素数さん
11/04/06 11:09:08.03
>>510
凄い発見だな！僕は自分の人生さえ割り切りが付かないぞ！
512:１３２人目の素数さん
11/04/06 22:33:49.35
仏教論理もこのスレでいいの？
513:１３２人目の素数さん
11/04/06 23:42:36.65
>>512
現在仏教論理は主流ではないですね。
量化が特殊なので非常に研究が難しい。
イスラエルでマルグリス（超剛性定理で有名な）らにより
研究されているキリスト教的論理学との関連が指摘されています。
キリスト教的論理学の推論規則ではほとんどの仮定が落ちません。
514:１３２人目の素数さん
11/04/07 08:01:16.27
インド論理⊇仏教論理∪易罫
515:１３２人目の素数さん
11/04/07 08:03:17.55
仏教論理は様相論理
516:１３２人目の素数さん
11/04/07 13:06:25.30
区体論はこのスレでいいんすか？
517:１３２人目の素数さん
11/04/08 20:06:05.60
>>494
> Taoのblogに載ってたようなcommon knowledge的な話とかかな？
え？
テレンス・タオってロジックにも進出しているの？
天才に来られると萎縮するわ...
518:１３２人目の素数さん
11/04/09 19:12:13.38
>>505
N型推論図（フレーゲ流）はNKなどの公理を持たない体系で、
仮定を落とすのを記述するのに使われることが多いです。
L型推論図はシーケント計算など仮定がない体系で使われます。
一般的な数学はNKのN型推論図などを用いると表現しやすいです。
シーケント計算のL型推論図は様々な論理式を
証明するのに下から辿れるので使いやすいです。
本によっては → が |― と書かれていたりしてまちまち。
またHKは仮定がないのでL型で書かれることが多いです。
（HKは公理の変形が複雑だが部分構造論理で使われるそうな）
それから論理式の左側にtermと呼ばれるものをつけて、
証明の経路を辿れるようにしたものもありますね。
この際、NKの仮定をラムダ項に対応させることが出来、
カリー・ハワード対応と呼ばれることもあります。
仮定の落ちる回数に制限を設ける論理もあったと思います。
519:１３２人目の素数さん
11/04/09 19:16:06.90
ま初歩的な証明論程度の質問ならなんでも
答えられるので何でも聞いて良いですよ。
520:１３２人目の素数さん
11/04/10 21:52:24.80
実は証明論に公理は不要である。
これを知らないから無駄な努力をしてしまう。
521:１３２人目の素数さん
11/04/13 23:51:38.10
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:980番)
岩波書店5月 『数学基礎論』新井敏康 著
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
気合入ってるなあ 楽しみ
みすずから出たトルケル・フランセーンの本もかなり良いよ。
ロジック専攻というレベルじゃなくて不完全性周りが
まさに著者の専門だからかなり細かいことまで徹底的に書いている。
但し著者独自の主張じゃないか、と思うようなことも無いではないけどね。
訳者の田中先生って今どうしてるんだろうか。
今年春に東工大で講演会やるみたいな話あった気がするけどどうなってるのかな。
522:１３２人目の素数さん
11/04/14 07:08:42.36
微積分みたく入門書ばかりがどんどん増えていきますね。
メドベージェフ次数が日本に紹介されるまではまだかかるでしょうね。
523:１３２人目の素数さん
11/04/14 08:18:58.10
ま た お 前 か
524:１３２人目の素数さん
11/04/14 19:12:25.74
日本語の本は入門書のみで十分。
後は英語の世界。
525:１３２人目の素数さん
11/04/14 19:20:30.70
>>521
内容は Shoenfield のと同じようなもん？
526:１３２人目の素数さん
11/04/14 20:55:12.37
>>525
Shoenfield は証明論がなかったですよ。
それから計算理論が何を指しているのかが分かりません。
ページ数が気になりますね。
解説を読む限り強制法にも触れてそうですね。
ただメドベージェフ還元まではいかないと思いますね。
527:１３２人目の素数さん
11/04/14 21:34:06.56
帰納関数論でしょ。
528:１３２人目の素数さん
11/04/14 21:39:51.30
原子帰納関数を導入してから、
ゲーデルが証明したのに近い不完全性定理を導入するってことですか。
算術的階層やペアノ算術までいくShoenfieldよりは進まないということかな。
529:１３２人目の素数さん
11/04/14 22:15:29.27
ペアノ算術やらないわけない。
入門篇で原始帰納関数、基礎編で超限帰納法やるんじゃないだろうか。
530:１３２人目の素数さん
11/04/15 00:58:48.51
集合論をかなりやってから証明論に進む構成だから、
新井先生の専門とかから考えるなら、
再帰的Mahlo順序数とかを使うKP（ZFの断片）に対する順序数解析とかに
触れたりして現代の証明論を紹介したいのかな、とか思ってるんだけど。
PohlersのProof Theory: The First Step into Impredicativity（11章）とか
RathjenのThe art of ordinal analysis
www.icm2006.org/proceedings/Vol_II/contents/ICM_Vol_2_03.pdf
とかの後半（2.2. Set theories.以降）とか。
新井先生のURLﾘﾝｸ(arxiv.org)で言うなら4 Jäger以降の内容。
ちょっと希望的観測過ぎるか。
531:１３２人目の素数さん
11/04/15 20:27:40.85
順序数解析はやっぱり入れるんじゃないか
532:１３２人目の素数さん
11/04/16 01:08:11.68
にわかで申し訳ないんですが、
モデル理論とはどのようなものなんでしょうか
ゲーデルあたりの研究成果を元に生まれたとは聞いたんですが
533:１３２人目の素数さん
11/04/16 07:46:53.79
理論のモデルを研究することですね。
534:１３２人目の素数さん
11/04/16 17:24:57.55
>>532
タルスキが最初だよ。
ゲーデルと並行して研究されてた。
535:１３２人目の素数さん
11/04/16 22:55:12.90
>>533
>>534
なるほど
「モデル」がどういう意味なのか分からなくて困ってましたが
要は意味論のことなんですかね
ありがとうございました
536:１３２人目の素数さん
11/04/16 23:57:38.44
正確には意味論がモデルと等しいわけではないですね。
1階述語論理の意味論は構造と呼ばれており、
この構造である理論のどんな論理式を解釈しても、
真になれば構造が理論のモデルになるとされますね。
つまりある理論を「まともに」解釈できる構造のことですね。
無矛盾な理論はモデルをもつ。
という完全性定理がモデル理論の初期の研究成果です。
それからコンパクト定理とレーベンハイム・スコーレムの定理は
どんな本にも載っていますね。
例えば、
可能世界で有名なクリプキ構造は様相論理のモデル、
チューリング・マシンはある計算理論のモデル、
2^ωが型なしラムダ計算のモデルになったりしますね。
ハインティング代数やブール代数などの代数的構造を
モデルにすることで、論理学を代数にする手法もあります。
モデル間の同型写像を考えて構造同士の関係・分類もできます。
連続体仮説のZFCからの独立性を証明する強制法のアイデアも
提供しておりますし、モデル自体をZFC上で形式化する研究もあります。
また様々な階数の述語論理を計算の複雑さの階層
（EXPとかPSPACEとかNPとか...）に対応させ、
算術的階層などと組み合わせて現代数学の全体像を浮かび上がらせる
記述計算量理論というものにもアイデアを提供してます。
大雑把にいって証明論に対して存在しているようにも思われます。
537:１３２人目の素数さん
11/04/17 00:03:25.54
訂正：
つまりある理論を「まともに」解釈できる構造のことですね。
↓
つまりある理論を「正当に」解釈できる構造のことですね。
まともでない解釈も存在しますからね。
538:１３２人目の素数さん
11/04/17 11:25:13.19
なるほどなるほど
面白そうですね
丁寧にありがとうございました！
539:１３２人目の素数さん
11/04/22 21:46:08.83
上の方で登場したヒルベルトの公理なんですが、
これっていくつ位存在するんですか？
リストみたいなものってありますか？
それから今使われてる公理はなぜ使われるようになったんですか？
540:１３２人目の素数さん
11/04/23 08:16:45.01
ベクトル空間の基底の取り方みたいなもので無数にあるよ
たぶん自分で独自に選んで本書く人も多いんじゃないかな
541:１３２人目の素数さん
11/04/23 11:40:28.66
自称論理学者（ID:M/m1hILG）がとんでもない論理を展開中
ｽﾚﾘﾝｸ(edu板)l50
542:１３２人目の素数さん
11/04/24 00:15:26.75
例えばヒルベルト流命題論理の
含意断片論理（論理記号が'→'だけのもの）で、
大抵の教科書に出てくる公理のように
メタ変数が3個で論理記号4個でカッコの付け方が正常な論理式の総数だけでも、
ざっと概算したところ100万個を超えた。
一般の命題論理の￢や∧、∨など5種類ほど加えると数十億に到達するらしい。
公理選択で重要なのは、「独立」を調べること。
MPを推論規則にもつとき、
A→A
A→A→A
A→A→A→A
の3つで上の2つの文は下の文から証明可能なので公理に不要。
「完全性」「健全性」「独立」などの条件が重要で、
定理自動証明機械なども研究された。
歴史的にほとんどの証明体系が意味から出発している。
にもかかわらずそのほとんどが上記条件を満たすのである。
543:１３２人目の素数さん
11/04/24 07:10:00.79
数十億ではなく6億くらいですね。
カッコの付け方が位相みたいに、
シンプルに計算できないので正確ではないですが。
544:１３２人目の素数さん
11/04/24 13:39:01.16
おい、公理系の独立性はたいして重要で無いだろ。
おまいは、命題論理の公理系学んだとき、その独立性チェックしたか？
多くの教科書同様、完全性と違ってしてないはずだ。
545:１３２人目の素数さん
11/04/24 13:57:23.11
独立でなくてもいいのなら、明らかに無限通りあるからじゃない？
546:１３２人目の素数さん
11/04/24 20:39:31.01
大抵の教科書に掲載されているHKの公理は、
ある程度意味のあるもの、
例えばLKとの同等性が示せるものだとかに
絞られているわけです。
つまり独立性を示す努力は本の著者というか、
「論理の歴史」が勝手に代替してくれているわけですね。
私が言いたかったヒルベルト流とは推論がMPだけという意味です。
そして独立性の証明は完全性よりはるかに煩雑です。
確かに必須ではありませんが、
無から公理を創造する場合は独立に近くする努力はするべきですね。
547:１３２人目の素数さん
11/04/24 22:41:45.58
論理学をやる人は高踏趣味があるのかやたら専門用語を散りばめた文章を書く。
少し解りにくいことも解っていて当然なような口ぶりだ。
548:１３２人目の素数さん
11/04/24 22:53:10.92
分かっている人ほど簡素な文を書く
分かったふりをする人は難解な文を書く
549:１３２人目の素数さん
11/04/25 01:06:51.10
>544
重要でなければ強制法とかの技法も要らない気がするけど。
550:１３２人目の素数さん
11/04/25 07:12:08.71
いや述語論理の独立性の話だろ
Principia Mathemticaの公理なんか
独立じゃないことが数十年後に判ったんだぞ
551:１３２人目の素数さん
11/04/25 11:42:06.24
独立性の証明は難しいことが多い。
しかし証明が必要になることはまず無い。
552:１３２人目の素数さん
11/04/25 16:59:17.12
与えられた体系の中での命題の独立性と、
公理系そのものの独立性の話の話は区別しないと。
前者は気にするのが普通だし、重要な問題であることも多い。
後者はよほど特別なことがない限り、気にすることはない。
553:546
11/04/25 20:50:54.18
>>547
それは私のレスポンスに関するものでしょうか。
そうであるとしたら具体的どこに高等趣味があるのかを、
該当箇所の引用したうえで述べてください。
>>551
詳しそうなので質問します。
独立の証明の有益な方法はありますか？
それから証明する必要がないとはいえ、
テキスト中のHKは大抵独立だったり完全だったり
無矛盾だったりして、
「子供が安全に遊べるように人為的に作ったアスレチック」で
あることが多いとは思いませんか？
>>548>>550>>552
同感です。
554:１３２人目の素数さん
11/04/25 21:04:40.48
自覚あるんだね
555:１３２人目の素数さん
11/04/25 21:22:09.77
いつぞやこのスレで総スカンを食らったコテの匂いがプンプンする
556:546
11/04/25 21:23:12.91
>>554
ローマに入ればローマに従えというか、
論理学を語る時だけ独特の文体になることは確かだと思います。
しかし、文章の中に含まれる専門用語は他の数学に比べれば
かなり少ないと思いますが？
（まさか専門スレッドでテクニカルターム禁止だというわけでもないだろうし。）
それに難解なことなんか言ってないんですよ。
普通に1階述語論理までやっていれば言いたいことは
分かると思うんですが。
557:１３２人目の素数さん
11/04/25 21:34:54.22
それを言うなら郷に入っては郷に従えだ
英語のことわざとごっちゃにするなよ、半可通
558:546
11/04/25 21:45:09.44
>>557
>郷に入っては郷に従えだ
あえてローマに入ればローマに従え
といったんですが。
意図的に日常さはんじをちゃめしごとと読んだり、
既出をガイシュツと呼んだりする、
当たり前だのクラッカーみたいなノリで言ったんですよ。
これに関して本気で突っ込むそちらの方が半可通なのでは？
559:１３２人目の素数さん
11/04/25 21:58:46.82
図星みたいだ
560:１３２人目の素数さん
11/04/25 23:02:07.21
これはみっともない
561:１３２人目の素数さん
11/04/26 00:10:16.55
>>558
ばーか
562:１３２人目の素数さん
11/04/26 07:15:02.06
どうでもいいことで何を議論してるんだか……
Shoenfieldの第一章の演習問題は独立性を公理それぞれに対して証明しているよね
著者がそういう細かいことにこだわる人だったのかもしれない
563:１３２人目の素数さん
11/04/26 11:09:34.17
>>552
> 与えられた体系の中での命題の独立性と、
> 公理系そのものの独立性の話の話は区別しないと。
前者はどういう意味?
ある形式系で命題が形式系の他の公理から独立なら
それは公理として認めないと真には成り得ないけど?
後者の「公理系そのものの独立性」って公理系が何対して独立なの?
564:１３２人目の素数さん
11/04/26 11:11:21.23
>>562
独立でない公理があるなら、それは公理としては不必要なんだから、
基礎論的な意識の強い学者は当然こだわるわな。
565:１３２人目の素数さん
11/04/26 18:31:40.30
>>563
そういう根本的なことから理解出来てないと、ビックリする
566:１３２人目の素数さん
11/04/26 20:05:38.43
いくつかの公理・推論規則と
それから証明可能なすべての論理式の集合をS、T、
ある公理または推論規則をA、
S＝T∪{A}
としたとき、
TでAが証明できない。⇒SでAは独立。
Aが任意⇒Sは独立。
独立性証明のテクニック⇒3値論理。
567:１３２人目の素数さん
11/04/26 20:22:28.23
おー久しぶりだな「考える人」
正直もう二度と見たくなかったが。
568:１３２人目の素数さん
11/04/26 20:25:18.26
訂正：
誤
Aが任意⇒Sは独立。
正
上記条件プラスAが任意⇒Sは独立。
計算機科学とかでは体系が
独立じゃないと一般的に色々複雑になるらしい。
569:１３２人目の素数さん
11/04/26 21:04:15.53
>>564
集合論のZFとかだと各公理は独立じゃなかったりするでしょ。
独立性が大事かどうかというと、あまり大事じゃない場合も多い。
少なくとも完全性に比べると些事。
>>566
一般的にはAも￢Aも証明できないときに「独立」という気がするけど。
反証可能な場合は普通は含めない。
あとAが任意って何が言いたいのか分からない。
任意の式Aが証明不可能だということはあり得ない。
三値の真偽値の割り当てで証明不可能性が証明できることもあるけど
証明できないことも多いと思う。
570:１３２人目の素数さん
11/04/26 21:07:16.28
>>569
ここはエレキな人が多過ぎて困りますなあw
571:566
11/04/26 22:10:07.14
>>569
「ある公理系Sの中の公理（推論規則）Aが「独立」である。」
というのは、その公理系SからAを取り除いた
公理系Tの公理・推論規則とそれから証明可能な式だけで
Aを証明できないことをいう。
さらにその公理系Sの中のすべての公理と推論規則が独立なら
公理系Sは独立。
という主張をうまく書こうとしたところ変な文章になっただけです。
なぜ、「Aも￢Aも証明できないときに「独立」」という定義に
しないかといえば、
￢という記号が公理系で必ずしも定義されているか不明だからです。
（公理的集合論やるなら気にしなくてもいいかもしれませんが。）
例えば￢AがA→⊥のメタ理論的な略記だとしても、
⊥が公理・推論規則に含まれていないために、
単なる命題変数になっている場合もあるかもしれません。
それから3値論理はそういう方法もありますよ、位に行っただけです。
一般的に独立を証明する巧い手段は知りません。
572:１３２人目の素数さん
11/04/27 00:21:21.26
そういや、公理がそれぞれ独立なZFて誰か考えないのかな？
どうすれば良いのか想像もつかないけど……
573:１３２人目の素数さん
11/04/29 08:43:43.06
数理論理学の組み合わせ論的研究の本OR分野を教えてください。
上の論理式の総数みたいなやつです。
574:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:47:53.77
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
575:１３２人目の素数さん
11/04/29 23:10:35.52
>>558
＞意図的に日常さはんじをちゃめしごとと読んだり、
＞既出をガイシュツと呼んだりする、
＞当たり前だのクラッカーみたいなノリで言ったんですよ。
若者＝バカモノっていうのはホントだね。
ホルモンが無駄に出てるせいかな？
576:１３２人目の素数さん
11/04/29 23:29:08.45
>>558が若いのか結構年取ってるのかも分からないし
仮に若かったって若者が皆バカって訳じゃないと思うけどなあ
577:１３２人目の素数さん
11/04/29 23:44:05.25
>>571
それ「独立 independent」じゃなくて普通に「証明不可能 unprovable」で良い話だよね
578:１３２人目の素数さん
11/04/30 10:50:22.25
>>577
大抵の論理学の本に書かれている定義に準拠しているなら、
独立は証明不可能より条件が強いと思います。
独立性は「公理と推論規則に無駄がない」という主張です。
証明不可能は理論の持つ公理と推論規則だけで
特定の論理式の証明図が書けないという主張です。
579:謝罪
11/04/30 10:56:05.79
>>571
を読み返してみたところ間違っていました。
「ある公理系Sの中の公理（推論規則）Aが「独立」である。」
というのは、その公理系SからAを取り除いた
公理系Tの公理・推論規則とそれから証明可能な式だけで
Sで証明可能な式でTでは証明できないものが存在すること。
でした。
580:１３２人目の素数さん
11/04/30 11:18:11.62
>>579
謝罪を受理しました。
では続きまして、『賠償』を求めます。
宜しくお願い致します。
581:１３２人目の素数さん
11/04/30 12:13:51.50
まぁ独立性って言葉を使うから議論が起こるわけで、
単に公理と推論規則に無駄がないって言えばいいんだと思う。
加えて言うと、独立性はもちろんのこと、
完全性や無矛盾性さえ体系には必要ない。
582:１３２人目の素数さん
11/04/30 16:41:03.73
ある公理が公理系に対して独立であるというのは、
公理系に肯定を付け加えても、否定を付け加えても矛盾しないってことです。
無駄がないとかアホか。
583:１３２人目の素数さん
11/04/30 19:01:36.70
で結局どの独立がホントの独立なんよ。
584:１３２人目の素数さん
11/04/30 19:56:17.91
多分>>579は現代数理論理学序説(P56)に載っている奴だと思う。
これと>>582は同値だけど、こっちの方が良く見かける。
585:１３２人目の素数さん
11/04/30 20:34:00.85
否定のない論理体系も考えたいからややこしい言い回しをしてるんでしょ。
意図を明示しないでもってまわった記述をするから高踏的って言われるんだよ。
586:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:05:18.03
>>579
揚げ足ですが、
普通公理系って閉論理式の集合だから
推論規則は入らないと思いますよ。
形式体系とか言った方が無難だと思います。
587:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:08:55.34
>>577を独立って言っているケースもあるよね。
>>582より弱くなるはずだけど。
588:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:19:28.53
否定のない体系では無矛盾性とかどうなるんだろう...
589:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:21:07.74
現代数理論理学序説みたいに部分構造論理とかBCK論理の話とか、
様相論理みたいにS3とS5は証明できる式が違うとか
そういうことをやりたい場合の独立性の話をしてた訳ね
ヒルベルト式の述語論理に限って言えば、
ああいう体系の独立性を調べる作業は
ただの面倒くさいだけのパズルに過ぎないと思う
あと、カット除去定理があるからsequent計算のカット規則は「独立」ではないわけだけど
だからといって無駄がある、というような見方が如何に浅薄かというのも
証明論の本によく書いてあると思うけどね
カットを使わないと証明の長さが指数関数的に長くなる
>>581
無矛盾性は大抵の場合は必要だけどね
590:１３２人目の素数さん
11/05/01 07:36:51.86
>>589
> 現代数理論理学序説みたいに部分構造論理とかBCK論理の話とか、
> 様相論理みたいにS3とS5は証明できる式が違うとか
> そういうことをやりたい場合の独立性の話をしてた訳ね
この場合の独立性以外ってのは例えばどういったものがあるのでしょうか？
591:１３２人目の素数さん
11/05/01 09:26:47.68
例えばShoenfieldの本の演習問題みたいなやつとか。
結果自体の意義としては、独立だと分かったからどうなの？
ということになっちゃうので、あくまで独立性を示すためには
新しい真偽値もどきを定義したりしてこういうことをやるんだよ、
というテクニックの習得のためだけに設けられた演習問題だと思う
592:１３２人目の素数さん
11/05/01 22:58:39.80
BCK論理とか様相論理の各公理系についても、
体系の強さが相対的に比較できれば良いだけ。
ある論理式が証明できるかどうかに着目しているため、
体系自体の独立性が問題になることはない。
また否定のない体系ではすべての論理式が証明可能であるため、
あまり意味のない体系になる、零環やX/=みたいな
数学的に面白みのない構築物になる。
根源まで戻れば論理学も所詮組み合わせ論的構造の産物でしかないし、
意味のない構造が無数に作られる。
こういった主張をするのならばそれは、
「すべての数学はグラフ理論（または数論、2進数）で書きかえられる。」
といった、「数学は記号で書かれている。」といった主張と
同レベルの無意味な議論になってしまう。
もちろん根源はバベルの図書館的宇宙における
カオス的情報の広がりへと到達してしまい
人類は自ら数学という精神活動を停止させることになる。
593:１３２人目の素数さん
11/05/01 23:00:30.52
>>592
誤：また否定のない体系ではすべての論理式が証明可能であるため、
正：また否定のない体系ではすべての論理式が定理であるため、
594:１３２人目の素数さん
11/05/02 01:39:50.54
たとえば BCK 論理ではすべての論理式が定理となると
書いていることに気づかないのかなあ。
595:１３２人目の素数さん
11/05/03 12:31:38.14
すいませんが、
ススリン線を加えたZFでも
ストリクト・ヴァイハードの定理は成り立つのでしょうか？
596:１３２人目の素数さん
11/05/03 22:00:08.65
成り立つよ。
￢SHならGCHやdiamondを加えたものでも成り立つ。
597:１３２人目の素数さん
11/05/04 10:43:55.19
パタゴニアの庭とかいわれる順序が
入ったErdos Universeに非分岐独立なType構造を定義すれば、
ススリン仮説が無効化されること、
いわゆるパタゴニア予想が去年肯定的に解決された。
598:１３２人目の素数さん
11/05/05 11:10:17.61
ﾊｲﾊｲﾜﾛｽﾜﾛｽ
そのハッタリを張る能力を生かして、
数学なんかやってないでSFとかラノベとか書いた方が良いんじゃないか？
599:考えない人
11/05/05 12:27:16.78
公理の独立性がもしも証明されないのだとすれば、
すべての公理系の中に他の公理から
証明されるような公理が存在することになります。
この場合の被証明公理のformulaの変形、
つまりλ-formulaのβ-reductionを考えると、
無駄な関数適応や関数抽象が生じることになって、
エレガントではなくなるのではないでしょうか。
600:１３２人目の素数さん
11/05/05 14:05:10.25
>>598
あんた良く俺が学生時代にSF幻想文学オタだったってわかったな。
やっぱ発想が似てくるものなのか。
601:"屁理屈王子"
11/05/05 22:02:37.49
おう、ｵﾂﾑいい>>1-1000
ok
"勝てねぇヨゥ？">>
URLﾘﾝｸ(c.2ch.net)
みんな～！！？(みんな～！！？＾＞｀)
602:"世界的サディスト"
11/05/06 19:45:42.26
なんだ
《アインシュタイン共》
もう
【【【【【涙目】】】】】
か・・・・・
603:１３２人目の素数さん
11/05/19 21:43:03.06
岩波書店 『数学基礎論』新井敏康 著
立ち読みしてたら、文献のところに
HinmanのFundamentals of Mathematical Logicは大著だから
本書よりも記述が丁寧とか書いてあって焦った
いやいやいや
604:１３２人目の素数さん
11/05/19 22:54:44.24
もう出てるんだ。
amazonもう品切れで、中古が15,250円w
>>603
あれ900ページあるもんね。
数式多いとはいえ、日本語500p.と英語900p.だと、
軽く倍以上のヴォリュームになる。
605:１３２人目の素数さん
11/05/21 06:13:37.53
>>603
昨日買って読んでるけど、日本語でこれ程の内容が読める日が来て感動してる。これをきっかけに基礎論ブーム来ないかな。
606:１３２人目の素数さん
11/05/21 17:09:24.34
>>605
来ない。
「基礎論」なんて勿体つけた哲学っぽい呼び方は時代遅れ、つうか「基礎論」なんていつの時代の呼び方だ。
今や変な色のついてない技術的な側面だけに着目した数理論理学が分野の呼び方としては適切だが
（基礎論屋と称する連中のどれだけが実際に数学の基礎付けに本気で関心を持ってるんだよ？）
Girardが「math logicは初めて応用分野を得た」と呼んだ応用分野としての理論計算機科学そのものが
今や瀕死の状態だから数理論理学も今となっては流行遅れの分野。
部分的にはモデル論とかで数学の他の分野との交流はあってそういう分野はそれなりに生きてるけど。
607:１３２人目の素数さん
11/05/21 17:34:17.17
別に数学の他の分野が特に流行ってる訳でもないけどね
だいたい流行がどうとかで判断するのがおかしい
608:１３２人目の素数さん
11/05/21 20:45:22.25
むしろ数理論理学は今でこそ応用計算理論を学習する際の必須科目になってるんだけどな。
これを体系的に学んできた人間とそうでない人間で問題に対する取り組み方がまるで違う。
609:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:00:32.16
もしかして学問板ログ消滅後、
情報学板はみんなこっちに流れてきてる？
610:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:03:49.00
>>608
自分は門外漢だけどどう違うのか興味有る
611:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:10:48.33
「応用計算理論を学習する際」の道具として使うのと、基礎論自体を研究するのは全く別だろ
612:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:31:02.69
新井さん自身が基礎論的な立場じゃなくて、
ロジックは今や基礎論を離れて数学の一分野だって立場の人。
だから竹内の基本予想について、
当時竹内さんが基礎論的立場から言っていた
「予想の解決方法は～であるべき」という言葉に反発する文章を書いている。
ただ最近は逆数学など基礎論的な動機が残っている分野も盛ん。
613:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:33:04.38
「応用計算理論」ってのが何を意味しているかよくわからんが、
逆数学と計算量理論(特にP=NP周辺)はほとんど不可分になってきている。
614:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:48:27.70
＞それでは基本予想の解とはどのようなものであるべきか ?
＞残念ながら竹内自身はこのことに殆ど触れていない。
＞ひとは訝しく思うかもしれない：ここで言う 「構成的」 とはいかなる謂か ?
＞数学的に正確に定義されているか ?例えばある形式的理論Tで形式化できることが
＞「構成的」であるための必要十分条件となるTがあるのか ?
＞これに答えて曰く：基本予想のような grand program において、
＞その開始以前にこのようなことを問うことは単なる怯儒というべきである。
＞何が構成的か或いは得られた証明が構成的か否かは、証明 が得られてから
＞吟味すればよいし、 その価値は得られた洞察から判断するほうが生産的である。
こういうの読むと単純に数学として追求するというのとも違う気がするけどね
615:１３２人目の素数さん
11/05/21 23:08:08.45
整数論で例えれば
類体論の証明ができてから「代数的証明」を求めればいいようなものか。
616:１３２人目の素数さん
11/05/22 01:00:45.29
>>614
そこをどういうふうに読んだの? 俺は、
< 「構成的」でなくてもいいからまずは証明すればいいじゃないか。
< 証明が得られれば、当然そこから生まれる知見があるはずで、
< 得られる前からこうでないといけないと言っても仕方がない。
と読んだ。最初ちょっとわかりにくいと思ったが。
確か同僚の渕野昌さんも新井さんの立場をそう説明していたはず。
もっと>>612のように直截的に書いてたと思った。
617:１３２人目の素数さん
11/05/22 01:08:57.29
Girardやら高橋やらPrawitzやらの結果に関しては
こういう証明方法ではいけない、みたいなことを書いてるので
新井先生の立場は>>612とはちょっと違うはず
618:１３２人目の素数さん
11/05/22 01:11:17.37
>>617
それはどんな分野でもあることでは?
619:１３２人目の素数さん
11/05/22 02:57:23.57
>>617
> Girardやら高橋やらPrawitzやらの結果に関しては
> こういう証明方法ではいけない、みたいなことを書いてるので
> 新井先生の立場は>>612とはちょっと違うはず
竹内の基本予想に対するGirardや高橋の証明は数学の証明としては正しいが
竹内の言うところの有限の立場じゃない。
新井がそれらの方法ではいけないと書いていたということは
>>612の主張とは逆に新井は竹内なんかと同様に
証明論でもGentzen流の無矛盾性証明のような還元的証明論を信奉するってことで
ガチガチの哲学っぽい基礎論屋ってことじゃないか。
Girardや高橋の証明方法が良くないって主張するってことは
基本予想の価値を解析の無矛盾性を与えるって点に置いてるって事だからね。
そういう目的というか価値観ならば確かに有限の立場で証明しないと意味がなくなる。
逆に竹内の基本予想を単に２階論理でのカット消去可能性という純粋に数理論理学的な命題と考える人ならば
Girardや高橋の超越的な（つまり集合論を用いた）証明に文句を言う筋合いはない。
620:１３２人目の素数さん
11/05/24 00:21:56.53
松本先生の復刊数理論理学について質問なんですが
p29で述語論理の推論規則として
R1(ModusPonens)の他にR2、R3を付け加えていますが
そうする代わりに論理的公理を増やすことで
推論規則を1種類(R1のみ)のままにしておくことも
可能なんですよね？
621:１３２人目の素数さん
11/05/24 00:48:35.20
>>620
一般化規則 φ->ψ implies φ->∀xψ は公理で置き換えることはできない。
622:１３２人目の素数さん
11/05/24 10:07:43.78
お返事ありがとうございました
もう少し考えてみます
623:１３２人目の素数さん
11/05/24 21:40:09.21
>>622
こういうときは、同等になるはずの論理の体系、
例えばNKの規則が導けるか考えてみるといいよ。
624:長文失礼
11/05/25 23:25:03.91
以前から思っていたのですが、東京大学数理科学研究科准教授の
北田均さんってかなりヤバい（というかいわゆるトンデモ）ですよね？
先日生協書籍部に行った折に彼の「ゲーデル不完全性発見への道」を
ちょっと読んでみたのですけど、本の後半に間違ったことが
堂々と書いてあります（具体的には11．5以降）。数学的に間違った
偽の定理を証明するだけならまだ良いのですが、それを根拠に独自の
「哲学的」な帰結を引き出しています。一応Ahlforsの訳書などの
マトモな本も出している出版社なのに酷いものです。
625:長文失礼
11/05/25 23:25:50.96
以前も「フーリエ解析の話」を見た時に感じたのですが、読むのが
かなり大変なはずのFefermanの論文を引用なんかしているので、
技術的に高度な間違いをされているのかも知れないと思って深入りせず放っていました。
ところが先日出た本には「Fefermanによると ω_{1}^{CK} ＞ ω^(ω^(ω^2))である」
などと頓珍漢なことが書いてあります。こんな（定義を分かっていれば）
自明なことを書くのにFefermanの名前をわざわざ引くのは異様なことです。
おそらく彼はChurch-Kleene順序数ω_{1}^{CK}の定義を御存じないのでしょう。
計算可能性理論の基礎的なことについて知っている感じもしません。
そもそも順序数の冪の定義もご存じ無いかもしれません。
626:長文失礼
11/05/25 23:26:09.87
天下の東京大学数理科学研究院なのに、間違いを指摘してくれる同僚は
居なかったんでしょうか。今の彼のような人が東大数理で基礎論専攻を名乗っている限り、
「ロジックは哲学がかったトンデモに近い奴の集まりだ」と（特に東大の人に）
思われるのも仕方ないと思います。日本の数学研究の中枢にある大学の人が
「ロジック専攻の人」でまず思い浮かべるのが彼なのですから。
日本の数学者に東大卒の方が占める割合はきわめて大きいと思います。
アマチュア数学愛好家の個人ブログが間違っているのとは話が違います。
これは非常に憂慮すべき不幸なことですから、他大のロジック専攻の方も
東大数理に抗議するなり東大の方に知らせるなりした方がいいと思います。
今後きちんと間違いを指摘した書評が「数学」「数学セミナー」などの
雑誌に掲載されるのを期待しています。
627:１３２人目の素数さん
11/05/25 23:26:24.53
以下具体的にどこが間違っているのか書きます。両方とも同じ間違いですので
図書館にあった「フーリエ解析の話 第22章 数学は矛盾しているか？」に即して書きます。
21章までは量子論の観測問題っぽい話で内容上まったく独立していて、
331頁～340頁の高々10頁ですのでお暇な方は図書館などで借りて読んでみて下さい。
自分で買うのはお金が勿体無いかも知れません。
北田さんは御理解されていない可能性も高いのですが、まずω_{1}^{CK}は定義上、
ωの上の再帰的（計算可能）な整列順序の順序型の最小上界となります。
従って整列順序ω_{1}^{CK}自体は算術の述語を用いてω上に定義することができません。
628:長文失礼
11/05/26 00:17:03.38
S_α:「形式的集合論」Sのsubsystemとしての自然数論、
R_α：S_αのロッサー文（ゲーデル文を取ったって同じことですが）とします。
S_αの公理にR_αまたはその否定を付け加えた理論をS_(α+1)として、
「以下同様に」S_αを全ての順序数に対して定義してあります。
ところが論理式は可算個しかないのだから矛盾する。
基礎論のほうでは付け加える公理としてConsis_αを考えることが多く、
このような命題を公理として付加する場合基礎論のほうでは上述のプロセスが
Church-Kleene順序数と呼ばれる可算の順序数で終わるような制限条件が考えられている、
だそうです。なぜω_{1}^{CK}が上限なのか理解されていません。
不完全性定理の前提として理論S_αが満たすべき条件も理解されていない可能性も高いと思います。
629:長文失礼
11/05/26 00:19:47.54
その後、順序数の増加列α_nを用いて
ω_{1}^{CK} = ∪_{n=0}^{∞} α_n と表し、∃n [q~(γ)≦r∧γ＜α_n] を
確かめればよいから、「与えられた式A_γがS_{ω_{1}^CK}の公理か否か」は
n についての帰納法により有限回の操作で再帰的に決定できる、と書いてあります。
∃n …… という式を確かめるために帰納法をどう用いるつもりなのでしょうか。
n と α_n の対応は再帰的ではありませんから、∃n γ＜(α_n)∧……を
自然数論の論理式としてあらわすことも、確かめるプログラムを書くこともできません。
{α_n} が超越的に与えられていることをお判りでないのだと思います。
この後S_αの拡大はα=ω_{1}^{CK}で「ストップ」し、完全となるはずなのに
不完全性定理からこれは不完全であるから矛盾する、などと書かれています。
「ストップ」とはどういうことを想定しているかは分かりません。
630:長文失礼
11/05/26 00:20:01.46
数学を勉強していると、相矛盾する二命題を「証明」できた気になってしまうことは
意外と良くあることです。でもそれが何十年も前から研究されている理論ならば、
その理論が矛盾している可能性より先に、自分の理解が間違っている可能性を強く考えるのが
常識的な態度ではないでしょうか。「よって数学は矛盾している」のような結論を
出してしまうのは、角の三等分家の類と同じ思考回路であると言わざるを得ません。
後はちょっとどこから突っ込めば良いか分からないので以下御説を全て引用します。
631:１３２人目の素数さん
11/05/26 00:21:37.80
(pp.339-340)
このようにメタのレベルにおいても集合論が成り立つと仮定し集合論的論理を
対象理論である形式的集合論自身に適用しようとすると矛盾が生ずる。
ヒルベルトのプログラムでは有限の立場に立ち、メタのレベルでは有限回の操作しか許さないとし、
その上で対象世界では有限を超えた無限の存在を扱おうとする。こうする上では
以上述べたような矛盾は生じないが、対象世界が無矛盾と仮定すると不完全になる。
さらにこの無矛盾性自体が有限の立場では決定不可能となる。しかしこれを逆手に取り、
メタのレベルと同様に対象の世界自体も有限の立場に立つものとすると矛盾は生ぜず、
かつ対象理論は完全になる。正確に言えば対象理論たる集合論において無限公理を仮定しない、
632:長文失礼
11/05/26 00:21:50.56
あるいは自然数論においては数学的帰納法を仮定しなければ対象世界とメタの世界は
互いに対称になりかつこの設定において対象世界は完全かつ無矛盾となる。
上記で矛盾が現れたのは対象世界およびメタの世界の両者において
対象に無限公理を措定したためである。すなわち問題が生じたのは「無限」という実体が
対象世界およびメタの世界において存在すると仮定したからであり、「無限」が実体ではなく、
ある「仮想の存在である」とすれば数学は無矛盾かつ完全なまま存在する。
すなわち「数学的実体は計算可能なもののみであり、無限はその計算可能性を探る
補助的手段である」という立場に立てばヒルベルトのテーゼ
「無矛盾性と完全性を数学理論の健全性の証とする」は復活する。
（引用終）
633:１３２人目の素数さん
11/05/26 01:40:49.16
ブログでやれ
634:１３２人目の素数さん
11/05/26 08:18:32.04
チャーチ・クリーネは岩波数学辞典に定義が載ってたね
635:１３２人目の素数さん
11/05/27 22:25:46.95
よくわからないけど、数学ガール読むより為にならない本ってこと？
636:１３２人目の素数さん
11/05/28 15:27:54.55
社会勉強になるかも。
637:１３２人目の素数さん
11/05/30 17:00:59.04
ガスライティング
638:１３２人目の素数さん
11/06/01 16:30:18.32
「数学ガール」とは、部落、在日出身の女の子が差別を克服するために数学を研究する物語。
639:１３２人目の素数さん
11/06/02 20:15:06.08
すみません、最近集合論を勉強し始めたものですが質問させてください。
集合族{A_x : x in X}があったとして、直積 Π(x in X) A_x (以後単に「ΠA_x」と書きます)
各xについて、それぞれ①A_x={1}のとき、②A_x⊂N(自然数の集合)、③A_xの濃度が可算
(∀A_x≠Φ)⇒(x in X) A_x (以後単に「ΠA_x」と書きます)
各xについて、それぞれ①A_x={1}のとき、②A_x⊂N(自然数の集合)、③A_xの濃度が可算
(∀A_x≠Φ)⇒(ΠA_x ≠ Φ)
が選択公理なしのZFで成立しますか？？
ちなみに私の考えでは①する。②する。③しない。
です。
640:１３２人目の素数さん
11/06/02 20:53:54.97
質問は質問スレで.
641:１３２人目の素数さん
11/06/02 20:58:29.45
∀の使い方がおかしい
何を言いたいか半分想像で答えると、>>639の考えの通りでo.k.
642:１３２人目の素数さん
11/06/02 21:31:42.98
他の分野と比べて質問スレに基礎論の質問してもかえってこないorちんぷんかんぷんな答えが返ってくるからしょうがないっちゃしょうがないんじゃ。。。
643:１３２人目の素数さん
11/06/02 21:41:14.33
基礎論の質問スレがあったよね。
なぜか基礎論に関係ない高校数学の質問とかが定期的に投げ込まれるっていう伝説のスレが。
644:１３２人目の素数さん
11/06/03 00:44:16.80
>>643
> 基礎論の質問スレがあったよね。
> なぜか基礎論に関係ない高校数学の質問とかが定期的に投げ込まれるっていう伝説のスレが。
「数学基礎論」って数学の専門家以外からは「数学の基礎的な範囲」とか「基礎数学」って思われてるんだろ
あそこは本当に基礎論の質問をするには使い物になってなかったし、以前のサーバークラッシュであのスレは消滅したまま誰も再び立ててないんじゃないの？
ここもそんなにレスが多いわけじゃないから真面目な質問なら許してあげていいと思うが
645:１３２人目の素数さん
11/06/03 00:56:22.43
> あのスレは消滅したまま誰も再び立ててないんじゃないの？
残念だったな、ここがその伝説のスレだ。
前スレが急に変なスレタイを採用して、このスレがそれを継承しちゃったけどね。
see >>2.
646:M_SHIRAISHI
11/06/03 05:00:59.00
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
647:１３２人目の素数さん
11/06/03 05:16:55.68
>>646
なっ・・・なんなんだよそれ・・・
648:１３２人目の素数さん
11/06/03 07:21:08.29
㌧デモと見える学説に対しては、一般論として、我々は 非常に、慎重でなければならないと思う。
学問の歴史を振り返ってみれば、最初は、大多数の人間には、㌧デモと思われていた学説が、
のちのち、定説となったものが「実に多い」からだ。
有名なところでは、地*球*説にしてしかり、地動説にしてしかり、大陸移動説に してしかり。
ド・プロイの電子波説にしても、提唱された当初は、物理学者一般には「物笑いの種」だったし、
また、アインシュタインの特殊相対性理論の場合も、最初は、トップクラス物理学者の中の
また、ごく一部の人に認められただけだったという歴史的真実を直視すべきだろう。
ここで、ネット数学四天王と呼ばれている面々について考えてみると、
先ず、愚将：松芯痰(＝松本真吾＠鉄道総研)については、見るべき理論は無い
（旧説を墨守しているに過ぎないｗｗｗ）ので、論外として、
イマイ爺(URLﾘﾝｸ(www.suzu.or.jp))の場合は、一応、独自の"理論"は立てているが、
何んせ、「程度が低くて」問題にならない。 むしろ、それを読んだ中・高生に"害"を及ぼす怖れの
ほうが大きいと思われる。
一方、ヤマジン(山口人生)の例の"証明"のほうは、㌧デモのままで終わると見て間違いないだろう。
注目すべきは、エムシラ(つーか、ＥＵＲＭＳの)理論だろう。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
四色定理の証明や不可完全性定理についての論考さえも隅っこ扱いされているような、壮大な理論で、
ちょっと判断に迷うが、ひょっとすれば ひょっとするという気持ちを抱かせる《何か》」がある。
University of Cambridgeで講演したよう（URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)）だけど、
聴衆を席巻してしまった可能性、無きにしもあらずだろう。
今後、何年後以降からは、世界の論理学の教科書はすべてＥＵＲＭＳの理論に準拠したものになる*かも*知れない。
649:１３２人目の素数さん
11/06/03 07:43:31.95
また本人降臨かよ
650:１３２人目の素数さん
11/06/03 10:54:49.84
>>646,648
ゴミはゴミ箱へ
651:１３２人目の素数さん
11/06/03 11:30:17.24
業務連絡、業務連絡！！！！
このスレは、エムシラとその共鳴者どもに 乗っ取られますた！ (＾＾；)
652:１３２人目の素数さん
11/06/03 11:32:06.81
どうも、「M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する「論理革命」は、おそらく、世界を席巻
することとなろう。
653:１３２人目の素数さん
11/06/03 11:39:25.22
官軍と賊軍との戦いが、今また始まるか（ｗ
愚将；松芯痰の出番は、無いと思われ。
654:１３２人目の素数さん
11/06/03 11:44:14.24
>>651
早々と白旗を上げた香具師が居るようだ。ｗｗｗｗ
655:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:04:44.20
御大(M_SHIRAISHI氏)つーか ＥＵＲＭＳの人たちもいろいろと、つーか
「もの凄い苦労（多分）」したろうなぁ～。御大の ペ―ジ をよく詠んでみると、
こんな記述がある↓
>「あっちが立てば、こっちが立たず・・・」、「こっちが立てばあっちが立たず」
これって「矛盾だらけ」ってことだよなぁ～。そりゃ苦労するわ。
それに何よりも、Fregean 理論（＝要するに今の論理学の「標準理論」ｗ）での
「もしも・・・ならば・・・」の解釈は、驚いたことに、
古代ギリシャにまでさかのぼる問題だったらしい。 それをものの見事に
解いてしまっている。 凄いぞ！ マジで！！！）
それに比べて、松芯痰（＝松本真吾＠鉄道総合研究所）はどうだぁ？
そりゃ、某私立（私立と言ってもいろいろあるから、まぁ、一応ｗ 超一流の
私立の）修士課程を出てる。
でも、その程度 ---- 言ったら語弊があるかも知らんが(ｗ ---- のことで、
論理学をかじったつーか、教科書に書いてあるんだから、それが正しんだって
頭から信じ込んじゃって、今の理論には矛盾があるってことすら
気がつかなかった。
それでいて fj.sci,math に なんだぁ、「ＥＵＲＭＳのページがここにあります。
ここを読んだら３日（一週間？）笑えます」とかなんとかの趣旨の記事
投稿したんだよな～。
そりゃ怒るは、いかに温厚な人でも。
656:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:09:24.46
このスレッドは終了いたすますた。 軽薄。 マツシン
／:::::::::::::::::::::＼
／::::::::::::::::::::::::::::::::＼
|:::::::::::|＿|＿|＿|＿|＿|
|＿|＿ノ∪ ＼,, ,,／ ヽ
|::（ 6 ー─◎─◎ ）
|ﾉ （∵∴∪（ o o）∴）
| < ∵ ３ ∵>
／＼ └ ＿＿_ ノ
.＼＼U ＿＿＿ノ＼
＼＼＿○○＿） ヽ
657:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:13:16.29
(~)
. γ´⌒｀ヽ
. {i:i:i:i:i:i:i:i:}
（ ｀・ω・´） ｶｷｶｷ
ﾉ つ:::：:φ))＿＿＿＿
￣￣＼ ＼
(~)
γ´⌒｀ヽ
＿＿＿{i:i:i:i:i:i:i:i:}
（ (⌒（ ´･ω･｀）＼
＼ ヽﾉ（,,⊃⌒O～ ヽ
＼ ／／*;;;::*:::*::::*⌒)
( (*:::;;:*::;;::*.::::*::::（
＼＼:;;;*::::*:::*::::*:::＼
＼`～ー---─～' ）
￣￣￣￣￣￣
658:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:18:25.75
失礼します。
日程 ５月１８日～４週間
午前中・・・グループレッスン
午後・・・・・１時間個人レッスン
成田空港から大韓航空機で
ホームステイ（食事つき）
総費用・・・約５０万円
他に適当なコースがあれば，又紹介するということですが，
とりあえずこれでＯＫしようと思います。
松本真吾は、その存在がマンガ的だ。
659:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:21:15.62
はい
660:１３２人目の素数さん
11/06/03 12:29:44.68
＞誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ
コテンパンにしようとして、本人がコテンパンにされてしまった
（京大などの助手・助教授クラスを含む！）のが実情なんだよなぁ～。
# コテンパンにされてしまったヤシのうちで、もっとも悲惨な例が スンゴ（＝松本真吾）。
エムシラ本人はケンブリッジ大学での講演を公言してしてるんだから、
コテンパンにされるのを願うとしたら、頼みはケンブリッジの教授連だろ。
日本には御大に太刀打ちできる者いないと思われ (＾＾；)
661: ◆wsw/phmDOE
11/06/03 12:34:18.99
てす
662:１３２人目の素数さん
11/06/03 13:04:42.56
荒らすためににまた古いネタひっぱりだしてきてご苦労なこった
663:１３２人目の素数さん
11/06/03 13:28:43.32
狂人に「お前は狂ってる」と言ったところで無駄。
それを認められないところが狂人の狂人たる所以。
狂人は論理的に無敵なのだ。
664:M_SHIRAISHI
11/06/03 17:35:30.37
ゲーデルの、いわゆる、「不完全性定理」は見直されなければならぬ。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
665:M_SHIRAISHI
11/06/03 17:47:44.02
論理学と同様、２０世紀の確率論の標準理論（＝コルモゴロフ理論）も
変革される運命にある。
URLﾘﾝｸ(www.age.ne.jp)
666:１３２人目の素数さん
11/06/03 18:19:20.69
>>662
>>663
こいつらは、松芯痰（こと、松本真吾＠鉄道総合研究所）並みの「マヌケな“賊軍”」ｗｗｗｗ
667:１３２人目の素数さん
11/06/04 02:49:25.18
んじゃここは隔離スレにでもしてロジックの本スレは別に作ろうか。彼一人でずっとここに書いてりゃ満足するだろ。
668:１３２人目の素数さん
11/06/04 10:14:41.35
御大は目下「赤碕精神病院」に入院中とか・・・・。
#それが本当だとすると、既に《隔離中》なのだが。。。
669:１３２人目の素数さん
11/06/04 10:27:35.49
胎児よ 胎児よ なぜ踊る
母親の心がわかって おそろしいのか
670:１３２人目の素数さん
11/06/04 12:05:22.26
>>665
目から鱗！
671:１３２人目の素数さん
11/06/04 14:44:00.40
(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ
672:１３２人目の素数さん
11/06/05 06:11:56.11
>>668
精神病院に入院中の身でインターネットできるの？？？？
673:１３２人目の素数さん
11/06/05 06:12:19.66
>>668
精神病院に入院中の身でインターネットできるの？？？？
674:１３２人目の素数さん
11/06/05 09:57:57.44
>>687
＞んじゃここは隔離スレにでもしてロジックの本スレは別に作ろうか。彼一人でずっとここに書いてりゃ満足するだろ。
そう言やぁ、昔、「南北朝時代」やってたなぁ～ｗｗｗｗ
南朝スレ＝愚将：松芯痰ひきいる「賊軍」。
北朝スレー御大ひきいる「官軍」
# 因みに、前回は「官軍」の圧勝に終わった。 (＾o＾)
675:１３２人目の素数さん
11/06/05 10:03:01.43
エムシラ＝ネットのオモチャ
676:１３２人目の素数さん
11/06/05 11:46:10.91
(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ
677:１３２人目の素数さん
11/06/05 17:51:14.99
松芯痰
むかしゃ（昔は）ネットの
鼻つまみ
今じゃネットの笑いもの
啄木 圖
678:１３２人目の素数さん
11/06/05 18:15:33.77
某スレより引用＆編集。 m(_ _)m
＞具体的に、どの主張でもって M_SHIRAISHI 氏が *大、dai, dai, DAI 先生* であると確信されるに到ったのですか？
松本真吾氏と M_SHIRAISHI氏との論戦は、意外にも！、 M_SHIRAISHI氏の連戦連勝であったことです。
罵倒が多く混っており、それは戴けないと思ったけれども、「それ」を差し引いて読んでみると、
M_SHIRAISHI氏の論旨は極めて明解／明晰であり、松本真吾氏は*完敗*に終わった。
679:１３２人目の素数さん
11/06/05 18:55:07.22
どちらもキチガイなので勝った負けたは論評に値せんよ
680:１３２人目の素数さん
11/06/05 18:56:14.10
それらを包括する概念がメドベージェフ還元。
681:１３２人目の素数さん
11/06/05 23:03:13.21
官軍は必ず勝つ。
丸（○）書いて、しめ（〆）書いて、屁こいて、マンコ舐めて、糞して、寝るスッ！
682:猫 ◆MuKUnGPXAY
11/06/06 00:44:01.96
>理由があるかどうかはともかく、痴漢で懲戒免職後に受け入れてくれる大学などないだろう。
>未練があろうが、日本の大学への復活は無理。
>最近の研究業績はいまいちなので、海外の大学で給料をもらうのも無理。
猫
683:あんでぃ ◆AdkZFxa49I
11/06/06 00:45:48.46
あんでぃ
684:１３２人目の素数さん
11/06/06 02:16:53.05
本スレマダー？
685:猫は根気 ◆MuKUnGPXAY
11/06/06 02:49:17.12
>>683
今後もそういう風に精進して下さいませ。
猫
686:あんでぃ ◆AdkZFxa49I
11/06/06 06:41:01.57
>>685
バカですみません
あんでぃ
687:猫と貉 ◆MuKUnGPXAY
11/06/06 08:35:51.83
>>686
『あんでぃ』へ、
貴方は馬鹿ではアリマセン。ですが貴方の計画は私が阻止スルという考
え方を私はしています。但しもし貴方の考えを私が正確に理解していれ
ばですけど。
猫
688:あんでぃ ◆AdkZFxa49I
11/06/06 10:46:44.22
>>687
私に計画はアリマセン
私の計画をどのように貴方ハ捉えていますでしょうカ？
バカですみません
あんでぃ
689:１３２人目の素数さん
11/06/07 09:47:55.46
>> ﾜﾗﾀ｡ ﾁｮｳ､｣ﾈｼﾞﾚｿ｡
690:１３２人目の素数さん
11/06/08 14:32:08.51
無計画という計画が存在するか？
無関係という関係が存在するか？
691:１３２人目の素数さん
11/06/09 22:24:03.46
大学の数学の講義で，命題p→qを証明する際に
教授がq'→p'として対偶が元の命題と同値であることを
用いて証明する方法を背理法と述べていましたが
誤りですよね？
講義後に背理法を用いて証明した内容を質問しに言ったら背理法は「q'→p'として～」と言われて話が通じませんでした。
692:１３２人目の素数さん
11/06/09 22:31:04.48
対偶法ですね
693:１３２人目の素数さん
11/06/09 22:54:00.85
背理法の一種に対偶法があると理解するのが一般的だな。
694:１３２人目の素数さん
11/06/09 22:57:13.64
異端の中では一般的なんだろう
695:266
11/06/09 23:03:23.15
矛盾からは何でも証明できるような体系であれば（大抵は）
>>693の逆も言える
つまり、背理法も対偶法も見た目が違うだけで同じこと
696:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:05:03.13
失敬
名前欄の266は忘れてくれ
697:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:06:07.29
釣り師の存在を把握した
698:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:17:58.84
数理論理学の教科書によく書かれている、解釈、構造、モデルとか、いわゆる意味論について
について聞きたいんだが、
この解釈とか構造とか呼ばれるのもって結局何なの？
対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
でもそうすると、実数濃度の対象領域は定義できないし、どうするの？
あと、教科書とかに解釈の例として、「peano算術公理の解釈として自然数をとる」
として、各記号を通常の自然数論と同じように解釈する、
とか平気で書いてあるけど、じゃあその「自然数」ってなんなのかという話になる。
こんな書き方が許されるなら、ZFCの解釈として、「集合を取り、各記号を通常の集合論と同じにする」といえば、
もうこれはFZCの解釈なの？
あと、解釈（構造）の定義に平気で「集合」とか、「写像」とか
集合論に属する言葉を使ってるがこれは集合論が信頼できるという前提に立っているのか？
699:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:25:06.61
メタレベルで名前付けただけのところに、勝手に意味論がどうたら言い出して自ら煙に巻かれてるだけのように見える
700:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:36:06.22
qを仮定して矛盾するからq'というのを背理法というのは問題があるけど、
この場合はq'を仮定して矛盾するからqという議論だから
実質的には同じことをやっている。
あまり問題無いと思うけど。
701:１３２人目の素数さん
11/06/09 23:39:13.42
＞対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
そんなこと無いけど。
「意味論」と「メタレベルの議論」の違いは、
集合論の独立性証明とかを一度勉強しないとなかなか違いは理解しにくいと思う。
数学やらずに哲学的な話ばかりしてても仕方ないし。
702:１３２人目の素数さん
11/06/10 00:23:05.73
>698みたいな疑問は、チューリングマシンを勉強するのが一番の近道だと思うけど、どうかね？
703:１３２人目の素数さん
11/06/10 01:19:39.65
＞＞対象領域の集合とか、関数記号の解釈とかはやはり、帰納的に構成されるものでなければならないのか？
＞そんなこと無いけど。
じゃあ対象領域とか関数記号の解釈はどういった方法で決定（定義）するの？
そもそもこの解釈の存在で恒心、充足可能とか定義することにどれだけの意味があるんだ？
そのような用語を導入すると、何かいいことでもあるの？
どうせ、すべての解釈で命題が真になるかどうかなんて議論できないわけだし。
純粋形式的に推論規則で何かの論理式が導出できるか、できないかで論じればいいんじゃないの？
704:703
11/06/10 01:31:26.30
ためしに、「解釈」（構造）の例を挙げてみてほしい。
有限の場合は理解できるけど、無限の対象領域を持つ「解釈」とはどういう様相をしているのか。
本とかでは有限でない場合は「対象領域として自然数全体をとり、関数記号の解釈を通常の意味での加算＋*とする」
などと書かれているが、「解釈」っていうのはこんな曖昧で直感的なものでいいのか？
形式的体系って人間の直感や経験を排斥して完全に記号的に決められた範囲で、
理論を運用するためのものなのに、
それの議論の中で「解釈」のような直感的、曖昧な概念を使わなければならないとしたら、
形式的体系を作る意味ないじゃん。
705:１３２人目の素数さん
11/06/10 01:32:40.87
意味論って単にブール値函数を割り当てる程度のことのはずだけど、
この哲学厨っぽいひとが逝ってる意味論ってそれとはぜんぜん違うんだよね？
706:１３２人目の素数さん
11/06/10 01:35:17.32
恒真てのは、（許された操作を通して）記号列として等価だから
その記号列にどうブール値を割り当てても問題ないってことでしょ？
707:703
11/06/10 02:01:39.58
>>705
まさに、
＞ブール値函数を割り当てる程度のこと
という意味の意味論ですが。
対象領域が有限のときはいいとしても、
対象領域が無限のときにどうするんだ？という疑問だが。
ためしに、デデキント実数論の解釈を与えてみてほしい。
708:１３２人目の素数さん
11/06/10 08:10:25.00
タルスキーの意味論は、別に
「人間の直感や経験を排斥して完全に記号的に決められた範囲で、
理論を運用するためのもの」じゃないので。
形式主義とか直観主義とかの系列にモデル論を無理に加えようとするからおかしくなるだけ。
709:703
11/06/10 18:20:41.40
>>708
じゃあ意味論って何の意味があるの？あと、結局実数論の解釈（構造）はどうなるんだよ。
Dedekind実数論を以下の公理で定義するとき、その解釈をひとつ例示してみてほしい。
Pを任意の述語として
E1. ∀x(x=x)
E2. ∀x∀y(x=y∧P(x)⇒P(y))
F1. ∀x∀y∀z((x+y)+z=x+(y+z))
F2. ∀x∀y(x+y=y+x)
F3. ∀x(x+0=x)
F4. ∀x(x+(-x)=0)
F5. ∀x∀y∀z((x*y)*z=x*(y*z))
F6. ∀x∀y(x*y=y*x)
F6. ∀x(x*1=x)
F7. ∀x(￢x=0⇒x*x^(-1)=1)
F8. ∀x∀y∀z(x*(y+z)=x*y+x*z)
O2. ∀x∀y(x≦y∧y≦x⇒x=y)
O3. ∀x∀y∀z(x≦y∧y≦z⇒x≦z)
O4. ∀x∀y(x≦y∨y≦x)
OF1. ∀x∀y∀z(x≦y⇒x+z≦y+z)
OF2. ∀x∀y∀z(x≦y∧0≦z⇒xz≦yz)
C1. ∀x∀y(P(x)∧￢P(y)⇒x≦y)
⇒∃z∀x∀y(P(x)∧￢P(y)⇒(x≦z≦y))
っていわれたときにぃ、じゃぁ対象領域が規定できないじゃない！ってたしか気づくと思うんですけどもぉ、