11/06/01 12:08:11.88
簡単のため単位円で考察
光が1回直進する際の中心角をαとおく(π/3≦α≦π/2)
OPの長さをpとして点Pを通過する直線 y = a(x - p) を仮定すると
2回目の反射点(-cos2α, -sin2α)および
3回目の反射点(-cos3α, -sin3α)が、この直線上に在る
それぞれ代入して
-sin2α = a(-cos2α - p) , -sin3α = a(-cos3α - p)
aを消去し、pをαで表す
sin2αcos3α + psin2α = cos2αsin3α + psin3α
cos2αsin3α - sin2αcos3α = sinα = p(sin2α - sin3α)
ここで初めて二倍角・三倍角を展開
p = 1 / (2cosα - 3cos^2α + sin^2α) = 1 / (2cosα - 2cos2α - 1)
極値を求めるため、pをαで微分
dp/dα = (2cosα - 2cos2α - 1)' * (-1) / (2cosα - 2cos2α - 1)^2
= (2sinα - 4sin2α) / (2cosα - 2cos2α - 1)^2
= 2sinα(1 - 4cosα) / (2cosα - 2cos2α - 1)^2
π/3≦α≦π/2 なので
sinα＞0 且つ (2cosα - 2cos2α - 1)^2 ＞0
従って pが極値をとるのは cosα = 1/4 のとき
p = 1 / (2cosα - 3cos^2α + sin^2α) = 1 / (2cosα - 4cos^2α + 1)
に代入すると
p = 1 / (2/4 - 4/16 + 1) = 4/5 ※最小値かどうかの検証は省略
直径120なので
120 / 2 * (4/5) = 48 …(ans)
反射角をθとおくより、こっちの方が筋が良いと思ふ。
>>382, 384
α = acos(1/4) = 75.522°なので θ = 52.239°だよ